1．拋物線()的焦點為，準線為，、是拋物線上兩個動點，且滿足，設(shè)線段的中點在上的投影為，則的最大值是（ ）
A．B．C．D．
二、解答題
2．已知拋物線的頂點在坐標原點，焦點在軸的正半軸上，直線經(jīng)過拋物線的焦點.
（1）求拋物線的方程；
（2）若直線與拋物線相交于、兩點，過、兩點分別作拋物線的切線，兩條切線相交于點，求面積的最小值.
3．已知直線l1，l2分別于拋物線y2＝x相切于A，B兩點．
（1）若點A的坐標為（1，﹣1），求直線l1的方程；
（2）若直線l1與l2的交點為P，且點P在圓（x+2）2+y2＝1上，設(shè)直線l1，l2與y軸分別交于點M，N，求的取值范圍．
4．已知拋物線的焦點為，經(jīng)過點作傾斜角為的直線交于，兩點，且弦的長．
（1）求拋物線的方程；
（2）設(shè)直線的方程為，且與相交于，兩點，若是關(guān)于原點的對稱點，記直線，的斜率分別為，，求的取值范圍．
5．如圖，橢圓的左頂點為，離心率為，長軸長為4，橢圓和拋物線有相同的焦點，直線與橢圓交于，兩點，與拋物線交于，兩點．
（1）求拋物線的方程；
（2）若點，滿足，，求的取值范圍．
6．已知拋物線，過不在y軸上的點P作C的兩條切線，切點分別為．直線與y軸交于點M，直線（O為坐標原點）與交于點N，且．
（1）證明M是一個定點；
（2）求的最小值．
7．已知拋物線的焦點為，且點是拋物線上的動點，過作圓的兩條切線，分別交拋物線于，兩點．
（Ⅰ）求拋物線C的方程；
（Ⅱ）當直線垂直于直線時，求實數(shù)的取值范圍．
8．若拋物線上存在關(guān)于直線對稱的兩點，求的取值范圍.
9．如圖，設(shè)拋物線的焦點為F，拋物線上的點A到y(tǒng)軸的距離等于.
（Ⅰ）求p的值；
（Ⅱ）若直線AF交拋物線于另一點B，過B與x軸平行的直線和過F與AB垂直的直線交于點N，求N的橫坐標的取值范圍．
10．如圖，橢圓：的左右焦點分別為，離心率為，過拋物線：焦點的直線交拋物線于兩點，當時，點在軸上的射影為，連接并延長分別交于兩點，連接，與的面積分別記為，，設(shè).
（1）求橢圓和拋物線的方程；
（2）求的取值范圍.
11．如圖，已知拋物線：與圓：有四個不同的公共點，，，.
（Ⅰ）求的取值范圍；
（Ⅱ）求四邊形面積的最大值.
12．已知拋物線：和直線：，是拋物線上的點，且點到軸的距離與到直線的距離之和的最小值
（1）求拋物線的方程；
（2）設(shè)，過點作拋物線的兩條切線，切點分別記為，，拋物線在點處的切線與，分別交于，兩點，求外接圓面積的最小值.
13．已知：拋物線，過外點作的兩條切線，切點分別為、.
（Ⅰ）若，求兩條切線的方程；
（Ⅱ）點是橢圓上的動點，求面積的取值范圍.
參考答案
1．A
【分析】設(shè)、，根據(jù)拋物線的定義，有，結(jié)合余弦定理與基本不等式即可求解．
【解析】設(shè)、，如圖所示，根據(jù)拋物線的定義，
可知、，
在梯形中，有，
在中，，
又∵，∴，
∴，故的最大值是，
故選：A．
【點評】方法點睛：與焦點、準線有關(guān)的問題一般情況下都與拋物線的定義有關(guān)，解決這類問題一定要注意點到點的距離與點到直線的距離的轉(zhuǎn)化：（1）將拋物線上的點到準線距轉(zhuǎn)化為該點到焦點的距離；(2)將拋物線上的點到焦點的距離轉(zhuǎn)化為到準線的距離，使問題得到解決．
2．（1）；（2）9.
【分析】（1）由直線經(jīng)過拋物線的焦點，解得；
（2）聯(lián)立方程，利用弦長公式表示，分別表示兩條切線的方程，得到點坐標，利用點到直線距離公式，表示三角形的高，從而得到三角形的面積表達式，求最值即可.
【解析】解：（1）設(shè)拋物線的方程為.
直線經(jīng)過拋物線的焦點，，解得.
拋物線的方程為.
（2）設(shè)、，
由，得.
，，，
.
由得..
拋物線經(jīng)過點的切線方程是，
將代入上式整理得.
同理可得拋物線經(jīng)過點的切線方程為.
解方程組得，.
到直線的距離，
的面積.
，.當時，.
面積的最小值為.
3．（1）x+2y+1＝0；（2）.
【分析】（1）設(shè)直線l1：y+1＝k（x﹣1），與拋物線方程聯(lián)立，再由根的判別式等于零求得直線的斜率，由此可求得直線的方程．
（2）設(shè)A（x1，y1），B（x2，y2），求得直線，直線，得到點，．表示出直線AB方程，與拋物線方程聯(lián)立，由根與系數(shù)的關(guān)系表示，可求得范圍．
【解析】（1）由題意知直線l1，l2的斜率一定存在，設(shè)直線l1：y+1＝k（x﹣1），與拋物線方程聯(lián)立，得ky2﹣y﹣k﹣1＝0．
由△＝1+4k（k+1）＝0，得，則l1的方程為．
（2）設(shè)A（x1，y1），B（x2，y2），設(shè)直線l1： ，與拋物線方程y2＝x聯(lián)立，得．
由 ，解得，所以直線，同理得直線，則，．
設(shè)點P（x0，y0），代入可得，則直線AB方程為．
與拋物線方程聯(lián)立，得y2﹣2y0y+x0＝0，則有y1+y2＝2y0，y1y2＝x0．
則，，所以．
又點P在圓（x+2）2+y2＝1上，所以，即，所以.
所以的取值范圍為.
【點評】方法點睛：(1)解答直線與拋物線的題目時，時常把兩個曲線的方程聯(lián)立，消去 (或)建立一元二次方程，然后借助根與系數(shù)的關(guān)系，并結(jié)合題設(shè)條件建立有關(guān)參變量的等量關(guān)系；(2)涉及到直線方程的設(shè)法時，務(wù)必考慮全面，不要忽略直線斜率為或不存在等特殊情形．有時若直線過x軸上的一點，可將直線設(shè)成橫截式.
4．（1）；（2）．
【分析】(1)設(shè)出直線的方程與拋物線方程聯(lián)立，寫出韋達定理，由弦長公式可得答案.
(2)由直線直線的方程與拋物線方程聯(lián)立，寫出韋達定理，由判別式求出參數(shù)的范圍，設(shè)出，兩點坐標，表示出，將韋達定理代入，根據(jù)參數(shù)的范圍可求出答案.
【解析】（1）設(shè)，．依題意，知直線的方程為，即，
將它代入拋物線的方程中，并整理得．
由韋達定理得，，其對恒成立；
由弦長公式得，
化簡得且，解得．故拋物線的方程為．
（2）設(shè)，，由（1）易得，則依題意知．
而①；
又因，兩點在直線上，
于是，代入①式整理得②．
將的方程代入的方程中，化簡得，
由韋達定理得，③，其且，
解得且；
將③式代入②式化簡得且 ．
分情況討論如下：當時，由均值不等式得，
當且僅當，且，即時取等號；
當時，令，
則對恒成立，
從而知在區(qū)間上單調(diào)遞增，所以．
綜上得的取值范圍為．
【點評】關(guān)鍵點睛：本題考查根據(jù)弦長求拋物線的方程和考查直線與拋物線的位置關(guān)系，解答本題的關(guān)鍵是由，兩點坐標，表示出，將韋達定理代入可得，從而由參數(shù)的范圍求解，屬于中檔題.
5．（1）；（2）．
【分析】（1）根據(jù)題意可得，，再根據(jù)即可求解.
（2）將直線與橢圓方程聯(lián)立，設(shè)，，利用韋達定理可得，再將直線與拋物線方程聯(lián)立設(shè)，，利用韋達定理可得，再由從而可得，配方即可求解.
【解析】（1）因為橢圓的離心率為，長軸長為4，，所以，，
因為橢圓和拋物線有相同的焦點，所以，即，
所以拋物線的方程為．
（2）由（1）知橢圓，
由得，
，得，．
設(shè)，，
則，
所以．
易知，所以．
由得．
，得．
設(shè)，，
則，
所以，
所以．
所以
，，
易知函數(shù)在上單調(diào)遞減，
所以．
【點評】方法點睛：求解圓錐曲線中最值或范圍問題的一般方法：一是建立關(guān)系，二是求最值或范圍，即先由題設(shè)條件建立關(guān)于所求目標的函數(shù)關(guān)系式，再對目標函數(shù)求最值，如本題中需先將直線方程分別與橢圓、拋物線方程聯(lián)立，利用根與系數(shù)的關(guān)系將，用表示出來，再結(jié)合的范圍及函數(shù)的單調(diào)性求的取值范圍．
6．（1）證明見解析；（2）．
【分析】（1）利用導(dǎo)數(shù)的幾何意義及點斜式方程求得直線和方程，可得直線的方程為，由直線的斜率為，結(jié)合可求得，即可得出定點；
（2）由點到直線的距離公式及兩點之間的距離公式求得，利用基本不等式的性質(zhì)即可求得的最大值，進而得出所求.
【解析】解：（1）證明：設(shè)，顯然，設(shè)，
由，求導(dǎo)，
則直線的斜率，直線的方程：，則，即，
同理直線的方程：，
∴由直線過切點P，則，
則A和B的坐標滿足，
∴直線的方程為，則直線的斜率為，直線的斜率為，
由，即，，則，
則直線的方程，
與y軸的交點M是定點；
（2）由（1），則為P到直線的距離，
，
由，
由，
，當且僅當，即時，取等號，
則的最小值．
【點評】關(guān)鍵點睛：本題考查拋物線中直線過定點問題，考查最值的求解，解題的關(guān)鍵是利用導(dǎo)數(shù)的幾何意義及點斜式方程求得直線和方程，得出直線的方程為，得出，用基本不等式的性質(zhì)即可求得的最大值.
7．（Ⅰ）；（Ⅱ）.
【分析】（Ⅰ）由拋物線的焦點為，得，求得，則拋物線方程可求；
（Ⅱ）設(shè)，由題意可知，不與軸垂直，設(shè)，，分別與拋物線方程聯(lián)立，利用根與系數(shù)的關(guān)系求得的縱坐標，得到的斜率，再由直線與圓相切，可得，得到，寫出的斜率，再由，結(jié)合點在拋物線上，求得，由此求解實數(shù)的取值范圍.
【解析】（Ⅰ）因為拋物線的焦點為，所以，則，
所以拋物線方程為：；
（Ⅱ）設(shè)，
由題意可知，不與軸垂直，
設(shè)，，
由，得，
則，得，同理可得，
所以，
若過M的直線與圓相切，可得，
化簡得，
則，
又，，
所以，
所以，即，
將代入，化簡得，
即，因為，
所以，即，得，
所以實數(shù)的取值范圍是.
【點評】方法點睛：該題考查的是有關(guān)直線與拋物線的綜合題，解題方法如下：
（1）結(jié)合拋物線的焦點坐標求得的值，得到拋物線的方程；
（2）根據(jù)題意，設(shè)出直線方程，與拋物線方程聯(lián)立，利用韋達定理求得點的縱坐標，利用斜率坐標公式求得其斜率；
（3）根據(jù)直線與圓相切，得到等量關(guān)系式；
（4）根據(jù)兩直線垂直得到其斜率乘積等于；
（5）根據(jù)坐標的范圍得到不等關(guān)系，求得參數(shù)的取值范圍.
8．
【分析】設(shè)是拋物線上關(guān)于直線對稱的兩點，AB的中點，則，兩式相減化簡得到，再由，求得點P的坐標，然后根據(jù)點p在拋物線內(nèi)部,由求解.
【解析】設(shè)是拋物線上關(guān)于直線對稱的兩點，
則，
設(shè)AB的中點.
又，
點p在拋物線內(nèi)部,
，即，
1)當，則，
，即無解；
2)當則
，即
故.
9．（Ⅰ）2；（Ⅱ）.
【分析】（Ⅰ）利用拋物線的定義，轉(zhuǎn)化求解的值；
（Ⅱ）由（Ⅰ）得拋物線的方程為，，可設(shè)，，，，設(shè)直線，聯(lián)立消去得，求出的坐標，求出直線，由解得的橫坐標是，其中，然后求解即可．
【解析】解：（Ⅰ）由題意可得拋物線上點到焦點的距離等于點到直線的距離．
由拋物線的定義得，即．
（Ⅱ）由（Ⅰ）得拋物線的方程為，，可設(shè)，，，．
由題知不垂直于軸，可設(shè)直線，，
由消去得，
故，所以．
又直線的斜率為，故直線的斜率為，
從而的直線，直線，
由解得的橫坐標是，其中，
或．
綜上，點的橫坐標的取值范圍是，，．
【點評】本題考查直線與拋物線的位置關(guān)系的綜合應(yīng)用，考查分析問題解決問題的能力，屬于中檔題．
10．（I） ，；（II） ．
【解析】試題分析：（Ⅰ ）由題意得得，根據(jù)點M在拋物線上得，又由，得 ，可得，解得，從而得，可得曲線方程．（Ⅱ ）設(shè)，，分析可得，先設(shè)出直線的方程為 ，由，解得，從而可求得，同理可得,故可將化為m的代數(shù)式，用基本不等式求解可得結(jié)果．
試題解析：
（Ⅰ）由拋物線定義可得，
∵點M在拋物線上，
∴，即 ①
又由，得
將上式代入①，得
解得
∴
，
所以曲線的方程為，曲線的方程為．
（Ⅱ）設(shè)直線的方程為，
由消去y整理得，
設(shè)，.
則，
設(shè)，，
則，
所以， ②
設(shè)直線的方程為 ，
由，解得，
所以，
由②可知，用代替，
可得，
由，解得，
所以，
用代替，可得
所以
，當且僅當時等號成立．
所以的取值范圍為.
點睛：解決圓錐曲線的最值與范圍問題時，若題目的條件和結(jié)論能體現(xiàn)一種明確的函數(shù)關(guān)系，則可首先建立目標函數(shù)，再求這個函數(shù)的最值．常從以下幾個方面考慮：
①利用判別式來構(gòu)造不等關(guān)系，從而確定參數(shù)的取值范圍；
②利用隱含或已知的不等關(guān)系建立不等式，從而求出參數(shù)的取值范圍；
③利用基本不等式求出參數(shù)的取值范圍；
④利用函數(shù)的值域的求法，確定參數(shù)的取值范圍．
11．（Ⅰ）；（Ⅱ）.
【分析】（Ⅰ）聯(lián)立拋物線與圓的方程，由題意可得在上有兩個不同的解，即，解不等式組可得答案.
（Ⅱ）用半徑表示出四邊形的面積為，令，此時，構(gòu)造函數(shù)，求導(dǎo)判單調(diào)性，由單調(diào)性即可得到最值.
【解析】（Ⅰ）聯(lián)立得.由題可知，
在上有兩個不同的解，所以，
得，所以.
（Ⅱ）設(shè)，，，，
由韋達定理可知，，.
又.
，
所以.
令，則，此時.
記，.
.
當時，，當時，.
所以在上單調(diào)遞增，在單調(diào)遞減.
所以，得四邊形的最大值為.
【點評】本題考查圓與拋物線的位置關(guān)系，考查韋達定理的應(yīng)用，考查利用導(dǎo)數(shù)研究函數(shù)的最值問題，屬于中檔題.
12．（1）；（2）.
【分析】（1）根據(jù)拋物線定義求解方程；
（2）設(shè)，拋物線在處的切線，設(shè)，，，可得，的方程，將直線方程與拋物線方程聯(lián)立，再利用韋達定理及三角形的面積公式及中正弦定理，即可得答案；
【解析】設(shè)拋物線焦點為，作軸延長交拋物線準線于點，作于點，作于點，
焦點到直線的距離，，
解得因此拋物線的方程為.
（2）
設(shè)
拋物線在處的切線
設(shè)，，，，
聯(lián)立與拋物線：，整理得
相切：，即
同理可得：，因此，是方程的兩根，
判別式：，即，成立
韋達定理；，，
到角公式；，
則
聯(lián)立與，解得，
同理可得：
弦長公式：
在中使用正弦定理：
.
，面積最小值為.
【點評】本題考查拋物線的定義及直線與拋物線的綜合問題，考查轉(zhuǎn)化與化歸思想，考查邏輯推理能力、運算求解能力，求解時注意運算的準確性，屬于難題.
13．（Ⅰ）和；（Ⅱ）.
【分析】（Ⅰ）設(shè)過點的切線方程為，與拋物線的方程聯(lián)立，由可求得的值，由此可求得所求切線的方程；
（Ⅱ）設(shè)點、、，利用導(dǎo)數(shù)求得直線、的方程，將點的坐標代入直線、的方程，可得出兩個等式，可求得直線的方程，并將直線的方程與拋物線的方程聯(lián)立，列出韋達定理，求得以及點到直線的距離，可求得的面積，然后利用橢圓方程可將的面積表示為有關(guān)的函數(shù)，由此可求得面積的取值范圍.
【解析】（Ⅰ）設(shè)過點的切線方程為，將其代入，可得，
因為直線與拋物線相切，，解得.
因此，所求的兩條切線的方程為和；
（Ⅱ）設(shè)、、，由，可得，
則切線的方程為，又，
即.同理，切線的方程為.
又和都過點，.
直線方程為，即.
聯(lián)立，得.
,
由韋達定理得，.
.
點到直線的距離為，
的面積.
，，，
.
【點評】本題考查拋物線的切線方程的求解，同時也考查了三角形面積取值范圍的求解，考查了拋物線切點弦方程的求解，考查計算能力，屬于較難

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