1．已知過拋物線的焦點的直線與拋物線交于兩點，且，拋物線的準線與軸交于點，于點，若四邊形的面積為，則準線的方程為（ ）
A．B．C．D．
2．過雙曲線的右焦點作漸近線的垂線，設垂足為（為第一象限的點），延長交拋物線于點，其中該雙曲線與拋物線有一個共同的焦點，若，則雙曲線的離心率的平方為
A．B．C．D．
3．已知拋物線的焦點，直線與交于兩點，且，則直線的斜率可能為
A．B．C．1D．
二、解答題
4．設拋物線C：（）的焦點為F，經過點F的動直線l交拋物線C于，兩點，且.
（1）求拋物線C的方程；
（2）若（O為坐標原點），且點E在拋物線C上，求直線l的傾斜角；
（3）若點M是拋物線C的準線上的一點，直線，，斜率分別為，，，求證：當為定值時，也為定值.
5．已知拋物線的焦點為F，點Q在拋物線C上，點P的坐標為，且滿足（O為坐標原點）.
（1）求拋物線C的方程；
（2）若直線l交拋物線C于A，B兩點，且弦的中點M在直線上，試求的面積的最大值.
6．已知拋物線y2 = 2px(p > 0)的焦點為F，過引直線l交此拋物線于A，B兩點.
（Ⅰ）若直線AF的斜率為2，求直線BF的斜率；
（Ⅱ）若p=2，點M在拋物線上，且，求t的取值范圍.
7．拋物線的方程為，過拋物線上一點作斜率為的兩條直線分別交拋物線于兩點（三點互不相同），且滿足：
（1）求拋物線的焦點坐標和準線方程；
（2）當時，若點的坐標為，求為鈍角時點的縱坐標的取值范圍；
（3）設直線上一點，滿足，證明線段的中點在軸上；
8．如下圖，設拋物線方程為，M為直線上任意一點，過引拋物線的切線，切點分別為，．
（Ⅰ）設線段的中點為；
（?。┣笞C：平行于軸；
（ⅱ）已知當點的坐標為時，，求此時拋物線的方程；
（Ⅱ）是否存在點，使得點關于直線的對稱點在拋物線上，其中，點滿足（為坐標原點）．若存在，求出所有適合題意的點的坐標；若不存在，請說明理由．
9．已知圓：N:(x+1)2+y2=2和拋物線C:y2=x,圓N的切線l與拋物線C交于不同的兩點A,B.
（1）當切線l斜率為?1時，求線段AB的長；
（2）設點M和點N關于直線y=x對稱，且MA?MB=0,求直線l的方程.
10．（本小題12分）已知如圖，圓和拋物線，圓的切線與拋物線交于不同的點，.
（1）當直線的斜率為時，求線段的長；
（2）設點和點關于直線對稱，問是否存在圓的切線使得？若存在，求出直線的方程；若不存在，請說明理由.
11．在圓上任取一點，過點作軸的垂線段，為垂足，當點在圓上運動時，點在線段上，且，點的軌跡為曲線.
（1）求曲線的方程；
（2）過拋物線：的焦點作直線交拋物線于，兩點，過且與直線垂直的直線交曲線于另一點，求面積的最小值，以及取得最小值時直線的方程.
參考答案
1．A
【解析】
設|BF|=m，|AF|=3m，則|AB|=4m，p=m，∠BAA1=60°，
∵四邊形AA1CF的面積為，
∴=，
∴m=，∴=，
∴準線l的方程為x=﹣，
故選A．
2．D
【解析】試題分析：，，因為，所以為中點，即，，因此，又，所以，選D.
考點：拋物線定義，雙曲線漸近線
【方法點睛】1.凡涉及拋物線上的點到焦點距離時，一般運用定義轉化為到準線距離處理．本題中充分運用拋物線定義實施轉化，其關鍵在于求點的坐標．
2．若P（x0，y0）為拋物線y2＝2px（p＞0）上一點，由定義易得|PF|＝x0＋；若過焦點的弦AB的端點坐標為A（x1，y1），B（x2，y2），則弦長為|AB|＝x1＋x2＋p，x1＋x2可由根與系數的關系整體求出；若遇到其他標準方程，則焦半徑或焦點弦長公式可由數形結合的方法類似地得到．
3．A
【解析】設A、B兩點坐標分別為
，
由題意，設直線AB的方程為，代入拋物線方程得： ，因為直線與拋物線有兩個交點，所以，，，把代入即可解得，故選A.
4．(1) ；(2) 或 ；
(3) 見解析
【分析】(1)設出直線的方程與拋物線方程聯(lián)立,消去得到關于的一元二次方程,利用根與系數的關系即可得出；
(2)根據向量和(1)的結論可用表示點的坐標代入拋物線的方程即可得出直線的斜率和傾斜角；
(3)利用向量計算公式和(1)中的根與系數的關系即可得出.
【解析】(1)由題知 ， 直線方程為
化簡得：
，
(2) ，設

點E在拋物線C上，

，
或
(3)M是拋物線C的準線上的一點，設
，,


,
當為定值時，也為定值.
【點評】本題考查拋物線與直線位置關系的應用. 熟練掌握直線與拋物線相交問題轉化為直線方程與拋物線的方程聯(lián)立得到一元二次方程、根據根與系數的關系、斜率的計算公式是解題的關鍵.
5．（1）；（2）.
【分析】（1）設點，利用向量的坐標運算公式列出滿足的關于的式子，解出與，代入拋物線方程解得即可得到拋物線的方程；
（2）設直線的方程為，設，，將直線方程與拋物線方程聯(lián)立，利用韋達定理及中點坐標公示表示點的縱坐標，得出與的關系式，再利用含與的式子表示的面積，利用消元思想將面積的表達式轉化為關于的式子，然后設法求最值.
【解析】解：（1）設，∵，
∴，
∴，，
∴，，即.
又∵點Q在拋物線C上，
∴，∴，
∴拋物線C的方程為.
（2）依題意，可知直線與x軸不垂直，故可設直線的方程為，
并設，，的中點.
聯(lián)立方程組消去y，
得，
∴，.
∵線段的中點的縱坐標為2，
∴，即.
由，得，
故，則.
由，令，得.
∴
設，則，
，
令，
得或，
由，得，
由，得，
∴的單調遞增區(qū)間為，，單調遞減區(qū)間為，
當時，y取得極大值，
當時，，，
∴當，即時，，
即的面積的最大值是.
【點評】本題考查直線與拋物線的綜合問題，考查面積最值問題，難度較大.解答時一定要想辦法利用所設未知量表示所求三角形的面積，當未知量較多時，要利用各未知量之間的關系進行轉化，然后利用不等式、導數等方法求最值.
6．（1）；（2），或.
【分析】本題主要考查拋物線的標準方程及其幾何性質、直線的標準方程、直線與拋物線相交問題、韋達定理等基礎知識，考查學生的分析問題解決問題的能力、轉化能力、計算能力.第一問，根據拋物線的定義得到，再利用平行線的性質得到，所以得到①式，在和中，用角的正弦表示邊長，轉化比例關系，得到，所以，即得證；第二問，設出直線方程，令直線與拋物線方程聯(lián)立，消參，利用韋達定理和方程的判別式找到k與、的關系，代入到已知的向量表達式中，得到，利用的范圍解不等式，解出t的取值范圍.
【解析】（Ⅰ）分別過作準線的垂線，垂足分別是
則∴，
∴，∴…①
中，…②，
中，…③
將②③代入①，得，∴
∴∴，∴．…6分
（Ⅱ）依題意可知，拋物線為，直線的斜率存在且，的方程為，設交點，，滿足，
即滿足，∴，∴，
且設，由，其中，
得，∴，
而
代入，得，化為：
得，，而 且，
∴，或．
考點：拋物線的標準方程及其幾何性質、直線的標準方程、直線與拋物線相交問題、韋達定理.
7．（1）焦點，準線；（2）或；（3）證明見解析；
【分析】（1）數形結合，依據拋物線C的標準方程寫出焦點坐標和準線方程；
（2）為鈍角時，必有,用表示，通過的范圍可得的范圍；
（3）先根據條件求出點M的橫坐標，利用一元二次方程根與系數的關系，證明，可得的中點在軸上.
【解析】解：（1）由拋物線的方程為可得，焦點，準線；
（2）由點在上，可得，所以拋物線為，
設直線的直線方程，直線的直線方程,
點與是方程組的解，將②式代入①式得，
，可得 ③，可得
點與是方程組的解，將⑤式代入⑤式得，
，可得 ，，
由已知得：，則 ⑥，
由③可得，代入，可得，
將代入⑥可得，代入，可得，
可得直線、分別與拋物線C得交點坐標為，
,于是,,
,
因為為鈍角且三點互不相同，故必有，
可得得取值范圍是，或，
又點得縱坐標滿足，當，；
當時，，
故的取值范圍：或；
（3）設點得坐標為,由，則，
將③與⑥式代入可得：，即，即線段的中點在軸上.
【點評】本題主要考查拋物線的標準方程、直線與拋物線的位置關系，考查推理論證能力、運算求解能力等，綜合性大，屬于難題.
8．（Ⅰ）（?。┳C明見解析；（ⅱ）或；（Ⅱ）僅存在一點適合題意.
【分析】（Ⅰ）（?。┰O出的坐標，利用導數求得切線的方程，結合是線段的中點進行化簡，得到兩點的橫坐標相等，由此證得平行于軸.
（ⅱ）利用列方程，解方程求得，進而求得拋物線方程.
（Ⅱ）設出點坐標，由點坐標求得線段中點的坐標，由直線的方程和拋物線的方程，求得點的坐標，由此進行分類討論求得點的坐標.
【解析】（Ⅰ）（?。┳C明：由題意設，，，，．
由得，則，所以，．
因此直線的方程為，
直線的方程為．
所以，①．②
由①、②得，因此，即，也即.所以平行于軸．
（ⅱ）解：由（?。┲?，當時，將其代入①、②并整理得：
，，所以，是方程的兩根，
因此，，又，
所以．
由弦長公式的．
又，所以或，
因此所求拋物線方程為或．
（Ⅱ）解：設，由題意得，
則的中點坐標為，
設直線的方程為，
由點在直線上，并注意到點也在直線上，
代入得．
若在拋物線上，則，
因此或．
即或．
（1）當時，則，此時，點適合題意．
（2）當，對于，此時，，
又，，所以，
即，矛盾．
對于，因為，此時直線平行于軸，
又，
所以直線與直線不垂直，與題設矛盾，
所以時，不存在符合題意得點．
綜上所述，僅存在一點適合題意．
【點評】本小題主要考查直線和拋物線的位置關系，考查運算求解能力，屬于難題.
9．（1）；（2）.
【分析】（1）設出切線l的方程為y=?x+m，利用圓心到直線l的距離等于半徑得到切線l的方程y=?x+1，再聯(lián)立拋物線的方程，借助弦長公式求得線段AB的長；（2）分直線l的斜率不存在和存在兩種情況考慮，將直線l的方程與拋物線C:y2=x聯(lián)立，消元，分別計算MA?MB=0是否成立，從而求得直線l的方程.
【解析】（1）因為圓N:(x+1)2+y2=2,所以圓心N為(?1,0),半徑r=2.
設A(x1,y1),B(x2,y2),當直線l的斜率為?1時，設l的方程為y=?x+m,則
|1+m|2=2，∴m=1或m=?3（舍），
由y=?x+1y2=x消去x得y2+y?1=0,
所以y1+y2=?1,y1?y2=?1,(y1?y2)2=(y1+y2)2?4y1?y2=5.
弦長|AB|=1+1k2|y1?y2|=10.
（2）①當直線l的斜率不存在時，因為直線l是圓N的切線，所以l的方程為x=2?1,與y2=x聯(lián)立，則得x1x2=3?22,y1+y2=0,(y1y2)2=x1x2=3?22,即y1y2=1?20,即km

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