一、單選題：本大題共8小題，每個(gè)小題5分，共40分.在每小題給出的選項(xiàng)中，只有一項(xiàng)是符合題目要求的.
1．已知點(diǎn)，過(guò)點(diǎn)作直線l與拋物線相交于A，B兩點(diǎn)，設(shè)直線PA，PB的斜率分別為，，則（ ）
A．B．C．2D．無(wú)法確定
【解析】設(shè)直線方程為，聯(lián)立拋物線方程可得，
設(shè)，，可得，
則
故選：A
2．已知拋物線的焦點(diǎn)為，點(diǎn)在拋物線上（異于頂點(diǎn)），（點(diǎn)為坐標(biāo)原點(diǎn)），過(guò)點(diǎn)作直線的垂線與軸交于點(diǎn)，則（ ）
A．6B．C．4D．
【解析】法一：依題意，設(shè)，由，得為的中點(diǎn)且，
則，易得直線的垂線的方程為.
令，得，故，由拋物線的定義易知，
故，故選:A.
法二：特殊值法.不妨設(shè)，則，則，易得直線的垂線的方程為.令，得，故，又，故.故選:A.
3．過(guò)拋物線的焦點(diǎn)的直線l交拋物線于兩點(diǎn)，若點(diǎn)P關(guān)于x軸對(duì)稱(chēng)的點(diǎn)為M，則直線QM的方程可能為
A．B．
C．D．
【解析】由題意，拋物線的焦點(diǎn)為，準(zhǔn)線方程為，
設(shè)直線方程為，聯(lián)立方程，整理得，
設(shè)，則，，
過(guò)三點(diǎn)向準(zhǔn)線作垂線，垂足分別為，準(zhǔn)線與軸交于點(diǎn)，
則
而，所以，
因?yàn)橛泄颤c(diǎn)，所以三點(diǎn)共線，即直線一定過(guò)點(diǎn),
由四個(gè)選項(xiàng)可知，只有選項(xiàng)經(jīng)過(guò)點(diǎn).故選：D.
4．已知直線l與拋物線交于不同的兩點(diǎn)A，B，O為坐標(biāo)原點(diǎn)，若直線的斜率之積為，則直線l恒過(guò)定點(diǎn)（ ）
A．B．C．D．
【解析】設(shè)直線方程為 ，
聯(lián)立 ，整理得： ，
需滿(mǎn)足 ，即 ，則 ，
由 ，得： ，
所以 ，即 ，故 ，
所以直線l為：，當(dāng)時(shí)，，即直線l恒過(guò)定點(diǎn)，故選：A.
5．已知拋物線的焦點(diǎn)為，過(guò)且不與軸垂直的直線與拋物線相交于、兩點(diǎn)，為軸上一點(diǎn)，滿(mǎn)足，則（ ）
A．為定值B．為定值
C．不是定值，最大值為D．不是定值，最小值為
【解析】若直線與軸重合，此時(shí)，直線與拋物線只有一個(gè)交點(diǎn)，不合乎題意；
由題意，，設(shè)直線的方程為，設(shè)點(diǎn)、，
聯(lián)立可得，，
由韋達(dá)定理可得，則，
所以，，
線段的中點(diǎn)為，所以，直線的方程為，
在直線的方程中，令，可得，即點(diǎn)，
所以，，因此，.故選：A.
6．已知點(diǎn)，設(shè)不垂直于軸的直線與拋物線交于不同的兩點(diǎn)、，若軸是的角平分線，則直線一定過(guò)點(diǎn)（ ）
A．B．C．D．
【解析】根據(jù)題意，直線的斜率不等于零，且直線過(guò)的定點(diǎn)應(yīng)該在軸上，
設(shè)直線為，與拋物線方程聯(lián)立，消元得，
設(shè)，由軸是的角平分線，
∴且， ，
∴、的斜率互為相反數(shù)，即，整理得，即，∴，解得，故直線過(guò)定點(diǎn).故選：A．
7．已知、、是拋物線上三個(gè)不同的點(diǎn)，且拋物線的焦點(diǎn)是的重心，若直線、、的斜率存在且分別為、、，則（ ）
A．3B．C．1D．0
【解析】設(shè)，，則，，
兩式相減，得，則，
設(shè)，同理可得，，
因?yàn)榻裹c(diǎn)是的重心，所以，
則，故選：D.
8．已知拋物線的方程為，過(guò)其焦點(diǎn)F的直線交此拋物線于M．N兩點(diǎn)，交y軸于點(diǎn)E，若，，則（ ）
A．B．C．1D．
【解析】根據(jù)條件可得F（1，0），
則設(shè)直線MN的方程為y＝k（x﹣1），M（x1，y1），N（x2，y2），
所以E（0，﹣k），聯(lián)立，整理可得k2x2﹣（2k2+4）x+k2＝0，
則x1+x2＝，x1x2＝1，因?yàn)?，?br>所以λ1（1﹣x1）＝x1，λ2（1﹣x2）＝x2，即有λ1＝，λ2＝，
所以.故選：D.
二、多選題：本大題共4小題，每個(gè)小題5分，共20分.在每小題給出的選項(xiàng)中，只有一項(xiàng)或者多項(xiàng)是符合題目要求的.
9．如圖，過(guò)點(diǎn)作兩條直線和：（）分別交拋物線于，和，（其中，位于軸上方），直線，交于點(diǎn)．則下列說(shuō)法正確的（ ）
A．，兩點(diǎn)的縱坐標(biāo)之積為
B．點(diǎn)在定直線上
C．點(diǎn)與拋物線上各點(diǎn)的連線中，最短
D．無(wú)論旋轉(zhuǎn)到什么位置，始終有
【解析】設(shè)點(diǎn)，
將直線l的方程代入拋物線方程得：.則，故A正確；
由題得，則，，
直線的方程為，直線的方程為，
消去y得，將代入上式得，故點(diǎn)Q在直線上，故B正確；
設(shè)拋物線上任一點(diǎn)，則，當(dāng)時(shí)，最小，此時(shí)，即最短，故C正確；
因?yàn)?，但，所以D錯(cuò)誤.
故選：ABC.
10．已知拋物線，過(guò)其準(zhǔn)線上的點(diǎn)作的兩條切線，切點(diǎn)分別為A、B，下列說(shuō)法正確的是（ ）
A．B．當(dāng)時(shí)，
C．當(dāng)時(shí)，直線AB的斜率為2D．直線AB過(guò)定點(diǎn)
【解析】因?yàn)闉闇?zhǔn)線上的點(diǎn)，所以，解得，故A錯(cuò)；
根據(jù)拋物線方程得到，則，設(shè)切點(diǎn)坐標(biāo)為，，
則，整理得，同理得，
所以，為方程的解，，
所以，則，故B正確；
由B選項(xiàng)得，所以，故C錯(cuò)；
由B選項(xiàng)得，又，聯(lián)立得，
同理得，所以直線AB的方程為，恒過(guò)點(diǎn)，故D正確．
故選：BD．

11．已知拋物線的焦點(diǎn)為，準(zhǔn)線為，、是上異于點(diǎn)的兩點(diǎn)（為坐標(biāo)原點(diǎn)）則下列說(shuō)法正確的是（ ）
A．若、、三點(diǎn)共線，則的最小值為
B．若，則的面積為
C．若，則直線過(guò)定點(diǎn)
D．若，過(guò)的中點(diǎn)作于點(diǎn)，則的最小值為
【解析】對(duì)于A選項(xiàng)，易知拋物線的焦點(diǎn)為，
當(dāng)直線與軸重合時(shí)，直線與拋物線只有一個(gè)公共點(diǎn)，不合乎題意，
設(shè)直線的方程為，設(shè)點(diǎn)、，
聯(lián)立可得，，
由韋達(dá)定理可得，，則，
易知，，所以，，
當(dāng)且僅當(dāng)時(shí)，等號(hào)成立，故的最小值為，A對(duì)；
對(duì)于B選項(xiàng)，設(shè)點(diǎn)，，可得，所以，，
則，所以，，B對(duì)；
對(duì)于C選項(xiàng)，易知的斜率存在，設(shè)直線的方程為，
設(shè)點(diǎn)、，由于直線不過(guò)原點(diǎn)，所以，，
聯(lián)立可得，，
由韋達(dá)定理可得，所以，，
因?yàn)?，則，解得，
所以，直線的方程為，故直線過(guò)定點(diǎn)，C錯(cuò)；
對(duì)于D選項(xiàng)，過(guò)點(diǎn)作于點(diǎn)，過(guò)點(diǎn)作于點(diǎn)，
設(shè)，，所以，
因?yàn)?br>，
所以，則的最小值為，當(dāng)且僅當(dāng)時(shí)，等號(hào)成立，D對(duì)．
故選：ABD．
12．已知拋物線，為軸正半軸上一點(diǎn)，則（ ）
A．存在點(diǎn)，使得過(guò)點(diǎn)任意作弦，總有為定值
B．不存在點(diǎn)，使得過(guò)點(diǎn)任意作弦，有為定值
C．存在點(diǎn)，使得過(guò)點(diǎn)任意作弦，總有為定值
D．不存在點(diǎn)，使得過(guò)點(diǎn)任意作弦，有為定值
【解析】設(shè)，，，
由，可得，則有，
所以，
，
所以+，
所以當(dāng)且僅當(dāng)時(shí)，，
即存在點(diǎn)，使得為定值，故A正確，B錯(cuò)誤；
由題意可得，
，
所以，
如果為定值，則必有，而此方程組無(wú)解，
所以不為定值，故C錯(cuò)誤，D正確.
故選：AD.
三、填空題：本大題共4小題，每小題5分，共20分.把答案填在答題卡中的橫線上.
13．設(shè)A、B為拋物線上的點(diǎn)，且（O為原點(diǎn)），則直線必過(guò)的定點(diǎn)坐標(biāo)為 ．
【解析】設(shè)直線的方程為，
聯(lián)立方程組，解得，即，
因?yàn)?，則的方程為，
聯(lián)立方程組，解得，即，
可得直線的方程為，令，可得，即直線必經(jīng)過(guò)定點(diǎn).
14．已知拋物線和直線，點(diǎn)為直線上的動(dòng)點(diǎn)（不在軸上），以點(diǎn)為圓心且過(guò)原點(diǎn)的圓與直線交于，兩點(diǎn)，若直線，與的另一個(gè)交點(diǎn)分別為，，記直線，的斜率分別為，，則 ．
【解析】如圖，設(shè)直線，的方程分別為，，則，，，
因?yàn)闉閳A的直徑，，所以．
聯(lián)立，消去得，，，同理可得，，
，，．
15．已知AB，CD是過(guò)拋物線焦點(diǎn)F且互相垂直的兩弦，則的值為 .
【解析】由題設(shè)，直線、的斜率一定存在，
設(shè)為，，，聯(lián)立拋物線方程，可得且，
∴，，而，，
∴，
由，設(shè)為，，，聯(lián)立拋物線，
可得，同理有，，∴，
綜上，.
16．經(jīng)過(guò)拋物線的焦點(diǎn)的直線交此拋物線于，兩點(diǎn)，拋物線在，兩點(diǎn)處的切線相交于點(diǎn)，則點(diǎn)必定在直線 上．（寫(xiě)出此直線的方程）
【解析】拋物線中，焦點(diǎn)為，設(shè)直線方程為，代入拋物線整理得，設(shè)，，則，．
由得，∴過(guò)點(diǎn)切線斜率為，切線方程為，即，同理過(guò)點(diǎn)切線方程為，兩式相除得，整理得，
解得，所以點(diǎn)在準(zhǔn)線上．
四、解答題：本大題共6小題，共70分.解答應(yīng)寫(xiě)出必要的文字說(shuō)明、證明過(guò)程或演算步驟．
17．已知拋物線，，是C上兩個(gè)不同的點(diǎn)．
(1)求證：直線與C相切；
(2)若O為坐標(biāo)原點(diǎn)，，C在A，B處的切線交于點(diǎn)P，證明：點(diǎn)P在定直線上．
【解析】（1）聯(lián)立得，因?yàn)樵贑上，則，
所以，因此直線與C相切．
（2）由（1）知，設(shè)，切線的方程為，切線的方程為，
聯(lián)立得，因?yàn)?，，所以?br>又因?yàn)椋裕?br>解得，所以．故點(diǎn)P在定直線上．
18．設(shè)拋物線的焦點(diǎn)為F，過(guò)F且斜率為1的直線l與E交于A，B兩點(diǎn)，且．
(1)求拋物線E的方程；
(2)設(shè)為E上一點(diǎn)，E在P處的切線與x軸交于Q，過(guò)Q的直線與E交于M，N兩點(diǎn)，直線PM和PN的斜率分別為和．求證：為定值．
【解析】（1）由題意，，直線l的方程為，代入，得．于是，∴焦點(diǎn)弦，解得p＝2．故拋物線E的方程為．
（2）因在E上，∴m＝2．設(shè)E在P處的切線方程為，代入，得．由，解得t＝1，
∴P處的切線方程為y＝x＋1，從而得．
易知直線MN的斜率存在，設(shè)其方程為，設(shè)，．
將代入，得．
于是，，且，．
∴
．
故為定值2．
19．已知過(guò)點(diǎn)的直線交拋物線于A，B兩點(diǎn)，且（點(diǎn)O為坐標(biāo)原點(diǎn)），M，N，P是拋物線上橫坐標(biāo)不同的三點(diǎn)，直線MP過(guò)定點(diǎn)，直線NP過(guò)定點(diǎn).
(1)求該拋物線的標(biāo)準(zhǔn)方程；
(2)證明：直線MN過(guò)定點(diǎn).
【解析】（1）設(shè)直線AB方程為，，，
聯(lián)立得，消x得，得，，
因?yàn)?，所以，即，?br>所以拋物線的解析式為：.
（2）設(shè)，，，
因?yàn)镸、P、C三點(diǎn)共線，所以，即，①
因?yàn)镹、P、D三點(diǎn)共線，所以，即，②
直線MN方程為：，即③
由①②得，即，
代入③得，所以直線MN過(guò)定點(diǎn).
20．已知拋物線的焦點(diǎn)為，準(zhǔn)線為，過(guò)點(diǎn)且傾斜角為的直線交拋物線于點(diǎn)（M在第一象限），，垂足為，直線交軸于點(diǎn)，
(1)求的值.
(2)若斜率不為0的直線與拋物線相切，切點(diǎn)為，平行于的直線交拋物線于兩點(diǎn)，且，點(diǎn)到直線與到直線的距離之比是否為定值？若是，求出此定值；若不是，請(qǐng)說(shuō)明理由.
【解析】（1）如圖所示，過(guò)點(diǎn)作，垂足為交軸于點(diǎn)，
由題得，所以，因?yàn)椋浴魇堑冗吶切危?br>因?yàn)槭堑闹悬c(diǎn)，所以，故，
所以，，所以，所以，即.

（2）由（1）可知拋物線的方程是，
設(shè)直線的方程為，，
因?yàn)?，所以?br>即，即.
又，所以，故.
聯(lián)立，消去，得，其中，
則，所以，所以.
設(shè)點(diǎn)到直線和直線的距離分別為，則由得，
所以點(diǎn)到直線與到直線的距離之比是定值，定值為3.
21．已知?jiǎng)訄A與圓外切，與軸相切，記圓心的軌跡為曲線，．
(1)求的方程；
(2)若斜率為4的直線交于、兩點(diǎn)，直線、分別交曲線于另一點(diǎn)、，證明：直線過(guò)定點(diǎn)．
【解析】（1）設(shè)，動(dòng)圓的半徑為，圓的圓心為，半徑為1，
因?yàn)閯?dòng)圓與圓外切，可得或，
化為或，
所以點(diǎn)的軌跡的方程為：或．
（2）
證明：設(shè)直線的方程為，設(shè)，，，，
聯(lián)立，化為，△，解得．所以，，
直線的方程為，與聯(lián)立，
解得，，所以，．同理可得，，
，
所以直線的方程為：，
化為，
，，
根據(jù)對(duì)應(yīng)系數(shù)相等可得，得，則，
所以直線恒過(guò)定點(diǎn)，．
22．已知拋物線E：（p>0），過(guò)點(diǎn)的兩條直線l1，l2分別交E于AB兩點(diǎn)和C，D兩點(diǎn)．當(dāng)l1的斜率為時(shí)，
(1)求E的標(biāo)準(zhǔn)方程：
(2)設(shè)G為直線AD與BC的交點(diǎn)，證明：點(diǎn)G必在定直線上．
【解析】（1）當(dāng)?shù)男甭蕿闀r(shí)，得方程為，
由,消元得，，，；
由弦長(zhǎng)公式得，
即，解得或（舍去），滿(mǎn)足，
從而的標(biāo)準(zhǔn)方程為.
（2）法一：因?yàn)閘1，l2分別交E于AB兩點(diǎn)和C，D兩點(diǎn)，所以直線斜率存在
設(shè)直線的方程為，設(shè)，
由，消去得，則.
設(shè)直線的方程為，
同理，消去得可得．
直線方程為，即，
化簡(jiǎn)得，同理，直線方程為，
因?yàn)樵趻佄锞€的對(duì)稱(chēng)軸上，由拋物線的對(duì)稱(chēng)性可知，交點(diǎn)必在垂直于軸的直線上，所以只需證的橫坐標(biāo)為定值即可．由消去，
因?yàn)橹本€與相交，所以，
解得
所以點(diǎn)的橫坐標(biāo)為2，即直線與的交點(diǎn)在定直線上．
法二：設(shè)直線方程為，由消去得，
設(shè)，則．
設(shè)直線的方程為，同理可得．
直線方程為，即，
化簡(jiǎn)得，同理，直線方程為，．
因?yàn)樵趻佄锞€的對(duì)稱(chēng)軸上，由拋物線的對(duì)稱(chēng)性可知，交點(diǎn)必在垂直于軸的直線上，所以只需證的橫坐標(biāo)為定值即可．由消去，
因?yàn)橹本€與相交，所以，
解得
所以點(diǎn)的橫坐標(biāo)為2，即直線與的交點(diǎn)在定直線上．

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