（1）求雙曲線的標(biāo)準(zhǔn)方程；
（2）證明：直線必過定點(diǎn)，并求出此定點(diǎn)坐標(biāo).
2．已知動圓過點(diǎn)，并且與圓：相外切，設(shè)動圓的圓心的軌跡為.
（1）求曲線的方程；
（2）過動點(diǎn)作直線與曲線交于兩點(diǎn)，當(dāng)為的中點(diǎn)時(shí)，求的值；
（3）過點(diǎn)的直線與曲線交于兩點(diǎn)，設(shè)直線：，點(diǎn)，直線交于點(diǎn)，求證：直線經(jīng)過定點(diǎn)，并求出該定點(diǎn)的坐標(biāo).
3．已知離心率為2的雙曲線的一個焦點(diǎn)到一條漸近線的距離為.
（1）求雙曲線的方程；
（2）設(shè)分別為的左右頂點(diǎn)，為異于一點(diǎn)，直線與分別交軸于兩點(diǎn)，求證：以線段為直徑的圓經(jīng)過兩個定點(diǎn).
4．已知動圓過點(diǎn)并且與圓相外切，動圓圓心的軌跡為.
（1）求曲線的軌跡方程；
（2）過點(diǎn)的直線與軌跡交于、兩點(diǎn)，設(shè)直線，點(diǎn)，直線交于,求證：直線經(jīng)過定點(diǎn).
5．已知雙曲線的中心在坐標(biāo)原點(diǎn)，焦點(diǎn)在軸上，離心率，虛軸長為．
（1）求雙曲線的標(biāo)準(zhǔn)方程；
（2）若直線與雙曲線相交于兩點(diǎn)（均異于左、右頂點(diǎn)），且以為直徑的圓過雙曲線的左頂點(diǎn)，求證：直線過定點(diǎn)，并求出定點(diǎn)的坐標(biāo)．
6．已知雙曲線，點(diǎn)在曲線上，曲線的離心率為，點(diǎn)為曲線上易于點(diǎn)A的任意兩點(diǎn),為坐標(biāo)原點(diǎn)．
（1）求曲線上方程；
（2）若為曲線的焦點(diǎn)，求最大值；
（3）若以為直徑的圓過點(diǎn)，求證：直線過定點(diǎn)，并求出定點(diǎn)坐標(biāo)．
7．已知曲線，為曲線上一動點(diǎn)，過作兩條漸近線的垂線，垂足分別是和.
（1）當(dāng)運(yùn)動到時(shí)，求的值；
（2）設(shè)直線（不與軸垂直）與曲線交于、兩點(diǎn)，與軸正半軸交于點(diǎn)，與軸交于點(diǎn)，若，，且，求證為定點(diǎn).
8．雙曲線經(jīng)過點(diǎn)，兩條漸近線的夾角為，直線交雙曲線于、.
（1）求雙曲線的方程；
（2）若過原點(diǎn)，為雙曲線上異于、的一點(diǎn)，且直線、的斜率為、，證明：為定值；
（3）若過雙曲線的右焦點(diǎn)，是否存在軸上的點(diǎn)，使得直線繞點(diǎn)無論怎樣轉(zhuǎn)動，都有成立？若存在，求出的坐標(biāo)，若不存在，請說明理由.
二、填空題
9．已知雙曲線C：－y2＝1，直線l：y＝kx＋m與雙曲線C相交于A，B兩點(diǎn)(A，B均異于左、右頂點(diǎn))，且以線段AB為直徑的圓過雙曲線C的左頂點(diǎn)D，則直線l所過定點(diǎn)為________．
10．已知雙曲線，點(diǎn)，在雙曲線上任取兩點(diǎn)、滿足，則直線恒過定點(diǎn)__________；
參考答案
1．（1）（2）證明見解析；定點(diǎn)
【分析】（1）由題意可得的值，再由點(diǎn)到直線的距離為，可得的值，再由，，之間的關(guān)系求出雙曲線的方程；
（2）設(shè)弦所在的直線方程，與雙曲線的方程聯(lián)立可得兩根之和進(jìn)而可得的中點(diǎn)的坐標(biāo)，再由橢圓可得弦的中點(diǎn)的坐標(biāo)，分別討論當(dāng)?shù)男甭蚀嬖诤筒淮嬖趦煞N情況可得直線恒過定點(diǎn).
【解析】（1）由題設(shè)可得，，所以，.
所以雙曲線的標(biāo)準(zhǔn)方程為.
（2）證明：點(diǎn)，設(shè)過點(diǎn)的弦所在的直線方程為，，，
則有.
聯(lián)立，可得.
因?yàn)橄遗c雙曲線有兩個交點(diǎn)，所以，
所以，所以.
（1）當(dāng)時(shí)，點(diǎn)即是點(diǎn)，此時(shí)，直線為軸.
（2）當(dāng)時(shí)，將上式點(diǎn)坐標(biāo)中的換成，同理可得.
①當(dāng)直線不垂直于軸時(shí)，
直線的斜率，
其方程，化簡得，
所以直線過定點(diǎn)；
②當(dāng)直線垂直于軸時(shí)，，此時(shí)，，直線也過定點(diǎn).
綜上所述，直線過定點(diǎn).
【點(diǎn)評】本題主要考查雙曲線的標(biāo)準(zhǔn)方程及性質(zhì)、定點(diǎn)問題等知識以及邏輯思維與運(yùn)算求解能力，考查了學(xué)生的計(jì)算能力，屬于難題.
2．（1）；（2）4；（3）證明見解析，定點(diǎn)的坐標(biāo)為.
【分析】（1）利用動圓經(jīng)過的點(diǎn)及外切關(guān)系可求；
（2）設(shè)出直線方程，聯(lián)立方程組，結(jié)合中點(diǎn)公式，得到，進(jìn)而可求；
（3）設(shè)出直線方程，聯(lián)立方程組，結(jié)合韋達(dá)定理，證明直線經(jīng)過定點(diǎn).
【解析】（1）設(shè)動圓的圓心，半徑為，則由題意可得，即，
因?yàn)?，所以點(diǎn)的軌跡是以為焦點(diǎn)的雙曲線的右支，且，
所以曲線的方程為.
（2）當(dāng)直線的斜率不存在時(shí)，，此時(shí)；
當(dāng)直線的斜率存在時(shí)，設(shè)直線的方程為，，
聯(lián)立得，
，，
.
因?yàn)闉榈闹悬c(diǎn)，所以，代入曲線方程得；
整理可得；
，
因?yàn)榍殡p曲線的漸近線，且其中一條漸近線的傾斜角為，
所以，所以.
綜上可得.
（3）證明：當(dāng)直線的斜率不存在時(shí)，,，直線經(jīng)過點(diǎn).
當(dāng)直線的斜率存在時(shí)，設(shè)直線，，
直線，當(dāng)時(shí)，，
，聯(lián)立得，
，，
下面證明直線經(jīng)過點(diǎn)，即證， ，
把，代入整理得，
即，
所以直線經(jīng)過點(diǎn).
【點(diǎn)評】本題主要考查雙曲線的方程及直線與雙曲線的位置關(guān)系，聯(lián)立方程結(jié)合韋達(dá)定理是主要的考慮方向，側(cè)重考查數(shù)學(xué)運(yùn)算的核心素養(yǎng).
3．（1）；（2）詳見解析.
【分析】（1）根據(jù)離心率求得的關(guān)系式，利用焦點(diǎn)到漸近線的距離列方程，解方程求得的值，進(jìn)而求得雙曲線方程.（2）設(shè)出點(diǎn)的坐標(biāo)，根據(jù)點(diǎn)斜式求得和的方程，進(jìn)而求得兩點(diǎn)的坐標(biāo)，根據(jù)中點(diǎn)坐標(biāo)和直徑長求得圓的方程.令求得兩個定點(diǎn)的坐標(biāo).
【解析】（1）設(shè)：，
因?yàn)殡x心率為2，所以，．
所以的漸近線為，
由，得．
于是，，
故的方程為．
（2）設(shè)（），
因?yàn)椋?br>可得直線與方程為，．
由題設(shè)，所以，，，中點(diǎn)坐標(biāo)，
于是圓的方程為．
因?yàn)?，所以圓的方程可化為．
當(dāng)時(shí)，，因此經(jīng)過兩個定點(diǎn)和．
【點(diǎn)評】本小題主要考查雙曲線標(biāo)準(zhǔn)方程的求法，考查雙曲線的漸近線，考查直線的點(diǎn)斜式方程和圓的標(biāo)準(zhǔn)方程的求法，考查化歸與轉(zhuǎn)化的數(shù)學(xué)思想方法，屬于中檔題.
4．（1）；（2）證明見解析.
【解析】（1）由已知得，即，
所以的軌跡為雙曲線的右支，且，，，，
∴，
曲線的標(biāo)準(zhǔn)方程為.
（2）當(dāng)直線的斜率不存在時(shí)，，，，則直線經(jīng)過點(diǎn)；
當(dāng)直線的斜率存在時(shí)，不妨設(shè)直線，，，
則直線：，當(dāng)時(shí)，，，
由得，
所以，，
下面證明直線經(jīng)過點(diǎn)，即證，即，
即，由，，
整理得， ，即恒成立.
即，即經(jīng)過點(diǎn)，
故直線過定點(diǎn).
【點(diǎn)評】本題考查了利用定義求圓錐曲線的方程，直線與圓錐曲線的位置關(guān)系，直線過定點(diǎn)問題，綜合性強(qiáng)，需要很好的思維和計(jì)算能力，屬于難題.
（1）根據(jù)題意，判斷出動點(diǎn)的軌跡方程為雙曲線的右支，然后根據(jù)定義即可求得雙曲線的方程.
（2）討論當(dāng)直線斜率存在與不存在兩種情況下直線過定點(diǎn)問題.當(dāng)斜率不存在時(shí)，易得直線過定點(diǎn)的坐標(biāo)為；當(dāng)斜率存在時(shí)，設(shè)出直線方程，聯(lián)立曲線方程，消y得到關(guān)于x的一元二次方程，利用根與系數(shù)的關(guān)系表示出兩個交點(diǎn)橫坐標(biāo)間的關(guān)系；利用，再證明直線BM經(jīng)過.
5．(1) (2) 證明見解析，定點(diǎn)坐標(biāo)為
【分析】（1）求雙曲線標(biāo)準(zhǔn)方程，一般方法為待定系數(shù)法，即根據(jù)題意列出兩個獨(dú)立條件：，解方程組得（2）以為直徑的圓過雙曲線的左頂點(diǎn),等價(jià)于,根據(jù)向量數(shù)量積得，結(jié)合直線方程得，利用直線方程與雙曲線方程聯(lián)立方程組，消y得，再利用韋達(dá)定理代入等式整理得，因此或.逐一代入得當(dāng)時(shí),的方程為,直線過定點(diǎn).
【解析】（1）設(shè)雙曲線的標(biāo)準(zhǔn)方程為 , 由已知得又,解得 ,所以雙曲線的標(biāo)準(zhǔn)方程為 .
（2）設(shè),聯(lián)立,得,有,,以為直徑的圓過雙曲線的左頂點(diǎn),,即,,解得或.當(dāng)時(shí), 的方程為,直線過定點(diǎn),與已知矛盾；當(dāng)時(shí),的方程為,直線過定點(diǎn),經(jīng)檢驗(yàn)符合已知條件, 所以直線過定點(diǎn),定點(diǎn)坐標(biāo)為.
考點(diǎn)：雙曲線標(biāo)準(zhǔn)方程，直線過定點(diǎn)
【點(diǎn)評】定點(diǎn)、定值問題通常是通過設(shè)參數(shù)或取特殊值來確定“定點(diǎn)”是什么、“定值”是多少，或者將該問題涉及的幾何式轉(zhuǎn)化為代數(shù)式或三角問題，證明該式是恒定的. 定點(diǎn)、定值問題同證明問題類似，在求定點(diǎn)、定值之前已知該值的結(jié)果，因此求解時(shí)應(yīng)設(shè)參數(shù)，運(yùn)用推理，到最后必定參數(shù)統(tǒng)消，定點(diǎn)、定值顯現(xiàn).
6．（1）方程為（2） （3）證明見解析；PQ過定點(diǎn)
【分析】（1）根據(jù)離心率得雙曲線中的關(guān)系，代入點(diǎn)的坐標(biāo)，解方程組即可求得雙曲線方程．
（2）設(shè)點(diǎn)，根據(jù)焦半徑公式表示出， 代入表達(dá)式，轉(zhuǎn)化為關(guān)于橫坐標(biāo)的表達(dá)式，根據(jù)橫坐標(biāo)的取值范圍即可求得最大值．
（3）設(shè)出點(diǎn)P、Q的坐標(biāo)和直線PQ的方程為，聯(lián)立雙曲線方程可得P、Q兩點(diǎn)縱坐標(biāo)的關(guān)系；根據(jù)以PQ為直徑的圓過點(diǎn)A，化為，代入坐標(biāo)化簡即可求得過定點(diǎn)的坐標(biāo)．
【解析】（1）離心率為 所以
即
因?yàn)辄c(diǎn)在雙曲線上,所以
解得
所以雙曲線方程為
（2）由雙曲線的對稱性知，不妨設(shè)P在左支上，設(shè)
由焦半徑得：，
所以
所以，當(dāng)時(shí)取等號．
的最大值是 ．
（3）設(shè)，聯(lián)立直線PQ和雙曲線方程，化簡得

所以由 得
且
由題知
所以


代入得
解得或（舍去），所以PQ方程為
即得PQ過定點(diǎn)
【點(diǎn)評】本題考查了雙曲線標(biāo)準(zhǔn)方程的求法，雙曲線焦半徑公式的應(yīng)用，直線過定點(diǎn)的求法，綜合性強(qiáng)，屬于難題．
7．（1）；（2）證明見解析；
【分析】（1）確定兩條漸近線方程，求出點(diǎn)到兩條漸近線的距離，再計(jì)算與夾角的余弦值，應(yīng)用向量的數(shù)量積公式，即可求得結(jié)論.
（2）設(shè)而不解，聯(lián)立直線與雙曲線方程得到根與系數(shù)的關(guān)系，再利用向量式，，將表示出來，代入化簡即可證得為定點(diǎn).
【解析】解：（1）由曲線，得漸近線方程為，作示意圖如圖所示：
設(shè)，，則
則 ，
又 ，
.
（2）設(shè)，，，設(shè)直線的斜率為，
則，又，得
得，
由，則，即，
得 ，同理，由，
則
得，則，
得，又，得，即為定點(diǎn).
【點(diǎn)評】本題考查了直線與雙曲線的位置關(guān)系，向量數(shù)量積的定義，設(shè)而不解，根與系數(shù)的關(guān)系，學(xué)生的計(jì)算能力,是一道綜合應(yīng)用能力較強(qiáng)的題目.
8．（1）
（2）證明見解析
（3）存在，.
【分析】（1）根據(jù)雙曲線所過的點(diǎn)和漸近線的夾角可得關(guān)于的方程組，解該方程組后可得雙曲線的標(biāo)準(zhǔn)方程.
（2）設(shè)，，，用三點(diǎn)的坐標(biāo)表示，再利用點(diǎn)滿足的方程化簡前者可得所求的定值.
（3）設(shè)直線為，，，根據(jù)可得恒等式，聯(lián)立直線方程和雙曲線方程后利用韋達(dá)定理化簡前者可得，從而得到所求的定點(diǎn).
【解析】（1）雙曲線的漸近線方程為，
因?yàn)閮蓷l漸近線的夾角為，故漸近線的傾斜角為或，
所以或.
又，故 或（無解），故，
所以雙曲線.
（2）設(shè)，，，
故，，所以，
因?yàn)?，所以即?br>所以為定值.
（3）雙曲線的右焦點(diǎn)為，
當(dāng)直線的斜率存在時(shí)，設(shè)直線的方程為：，設(shè)，，
因?yàn)?，所以?br>整理得到①，
由可以得到，
因?yàn)橹本€與雙曲線有兩個不同的交點(diǎn)，
故且，
所以.
由題設(shè)有①對任意的總成立，
因，
所以①可轉(zhuǎn)化為，
整理得到對任意的總成立，
故，故即所求的定點(diǎn)的坐標(biāo)為.
當(dāng)直線的斜率不存在時(shí)，則，此時(shí)或，
此時(shí).
綜上，定點(diǎn)的坐標(biāo)為.
【點(diǎn)評】求雙曲線的標(biāo)準(zhǔn)方程，關(guān)鍵是基本量的確定，方法有待定系數(shù)法、定義法等. 直線與雙曲線的位置關(guān)系中的定點(diǎn)、定值問題，一般可通過聯(lián)立方程組并消元得到關(guān)于或的一元二次方程，再把要求解的目標(biāo)代數(shù)式化為關(guān)于兩個的交點(diǎn)橫坐標(biāo)或縱坐標(biāo)的關(guān)系式，該關(guān)系中含有或，最后利用韋達(dá)定理把關(guān)系式轉(zhuǎn)化為若干變量的方程（或函數(shù)），從而可求定點(diǎn)、定值、最值問題.
9．
【分析】聯(lián)立直線與雙曲線求出韋達(dá)定理，由題知，結(jié)合斜率公式和韋達(dá)定理即可求解
【解析】設(shè)A(x1，y1)，B(x2，y2)，
聯(lián)立得(1－4k2)x2－8kmx－4(m2＋1)＝0，
所以，x1＋x2＝＞0，x1x2＝＜0，所以y1y2＝(kx1＋m)(kx2＋m)＝k2x1x2＋mk(x1＋x2)＋m2＝.
因?yàn)橐跃€段AB為直徑的圓過雙曲線C的左頂點(diǎn)D(－2，0)，所以kAD·kBD＝－1，
即，
所以y1y2＋x1x2＋2(x1＋x2)＋4＝0，
即＋＋＋4＝0，
所以3m2－16mk＋20k2＝0，解得m＝2k或m＝.
當(dāng)m＝2k時(shí)，l的方程為y＝k(x＋2)，直線過定點(diǎn)(－2，0)，與已知矛盾；
當(dāng)m＝時(shí)，l的方程為y＝k，直線過定點(diǎn)，經(jīng)檢驗(yàn)符合已知條件．
故直線l過定點(diǎn).
故答案為：
10．
【分析】設(shè)的方程為,聯(lián)立雙曲線利用代數(shù)式恒成立即可求解直線恒過定點(diǎn)時(shí)中的值,進(jìn)而求得定點(diǎn).
【解析】設(shè)的方程為,則由.
設(shè),則是該方程的兩根,
∴,.
又,,故
∴,
又,,
∴,
代入,得：
整理得：,
∴,
∴或.
當(dāng)時(shí),過與題意不符,故舍去。
當(dāng)時(shí),過定點(diǎn).
故答案為：
【點(diǎn)評】本題主要考查了根據(jù)直線與雙曲線的聯(lián)立方程,利用韋達(dá)定理求解參數(shù)定值與直線過定點(diǎn)的問題.屬于難

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