題型一 、 圓錐曲線中過定點問題
圓錐曲線中過定點問題常見有兩種解法：（1）、求出圓錐曲線或直線的方程解析式，研究解析式，求出定點·（2）、從特殊位置入手，找出定點，在證明該點符合題意（運用斜率相等或者三點共線）。
例1、【2020年高考全國Ⅰ卷理數(shù)】已知A、B分別為橢圓E：（a>1）的左、右頂點，G為E的上頂點，，P為直線x=6上的動點，PA與E的另一交點為C，PB與E的另一交點為D．
（1）求E的方程；
（2）證明：直線CD過定點.
例2、（2020屆山東省臨沂市高三上期末）如圖，已知點F為拋物線C：（）的焦點，過點F的動直線l與拋物線C交于M，N兩點，且當(dāng)直線l的傾斜角為45°時，.
（1）求拋物線C的方程.
（2）試確定在x軸上是否存在點P，使得直線PM，PN關(guān)于x軸對稱？若存在，求出點P的坐標(biāo)；若不存在，請說明理由.
例3、【2019年高考北京卷理數(shù)】已知拋物線C：x2=?2py經(jīng)過點（2，?1）．
（1）求拋物線C的方程及其準線方程；
（2）設(shè)O為原點，過拋物線C的焦點作斜率不為0的直線l交拋物線C于兩點M，N，直線y=?1分別交直線OM，ON于點A和點B．求證：以AB為直徑的圓經(jīng)過y軸上的兩個定點．
題型二、圓錐曲線中定值問題
圓錐曲線中常見的定值問題，屬于難題．探索圓錐曲線的定值問題常見方法有兩種：①從特殊入手，先根據(jù)特殊位置和數(shù)值求出定值，再證明這個值與變量無關(guān)；②直接推理、計算，并在計算推理的過程中消去變量，從而得到定值
例4、【2020年新高考全國Ⅰ卷】已知橢圓C：的離心率為，且過點A（2，1）．
（1）求C的方程：
（2）點M，N在C上，且AM⊥AN，AD⊥MN，D為垂足．證明：存在定點Q，使得|DQ|為定值．
例5、（2020屆山東省泰安市高三上期末）已知橢圓的離心率e滿足，右頂點為A，上頂點為B，點C(0，－2)，過點C作一條與y軸不重合的直線l，直線l交橢圓E于P，Q兩點，直線BP，BQ分別交x軸于點M，N；當(dāng)直線l經(jīng)過點A時，l的斜率為．
(1)求橢圓E的方程；
(2)證明：為定值．
例6、(2019蘇州三市、蘇北四市二調(diào)）如圖，在平面直角坐標(biāo)系xOy中，已知橢圓C1：eq \f(x2,4)＋y2＝1，橢圓C2：eq \f(x2,a2)＋eq \f(y2,b2)＝1(a>b>0)，C2與C1的長軸長之比為eq \r(2)∶1，離心率相同．
(1) 求橢圓C2的標(biāo)準方程；
(2) 設(shè)點P為橢圓C2上的一點．
①射線PO與橢圓C1依次交于點A，B，求證：eq \f(PA,PB)為定值；
②過點P作兩條斜率分別為k1，k2的直線l1，l2，且直線l1，l2與橢圓C1均有且只有一個公共點，求證k1·k2為定值．
二、達標(biāo)訓(xùn)練
1、（2020屆浙江省溫州市高三4月二模）如圖，已知橢圓，為其右焦點，直線與橢圓交于兩點，點在上，且滿足.(點從上到下依次排列)
(I)試用表示：
(II)證明：原點到直線l的距離為定值.
2、【2018年高考北京卷理數(shù)】已知拋物線C：=2px經(jīng)過點（1，2）．過點Q（0，1）的直線l與拋物線C有兩個不同的交點A，B，且直線PA交y軸于M，直線PB交y軸于N．
（1）求直線l的斜率的取值范圍；
（2）設(shè)O為原點，，，求證：為定值．
3、(2019蘇錫常鎮(zhèn)調(diào)研）已知橢圓E：eq \f(x2,a2)＋eq \f(y2,b2)＝1(a>b>0)的離心率為eq \f(\r(3),2)，焦點到相應(yīng)準線的距離為eq \f(\r(3),3).
(1) 求橢圓E的標(biāo)準方程；
(2) 已知P(t，0)為橢圓E外一動點，過點P分別作直線l1和l2，直線l1和l2分別交橢圓E于點A，B和點C，D，且l1和l2的斜率分別為定值k1和k2，求證：eq \f(PA·PB,PC·PD)為定值．
4、(2018蘇州暑假測試）如圖，已知橢圓O：eq \f(x2,4)＋y2＝1的右焦點為F，點B，C分別是橢圓O的上、下頂點，點P是直線l：y＝－2上的一個動點(與y軸的交點除外)，直線PC交橢圓于另一個點M.
(1) 當(dāng)直線PM經(jīng)過橢圓的右焦點F時，求△FBM的面積；
(2) ①記直線BM，BP的斜率分別為k1，k2，求證：k1?k2為定值；
5、(2016泰州期末）如圖，在平面直角坐標(biāo)系xOy中， 已知圓O：x2＋y2＝4，橢圓C：eq \f(x2,4)＋y2＝1，A為橢圓右頂點．過原點O且異于坐標(biāo)軸的直線與橢圓C交于B，C兩點，直線AB與圓O的另一交點為P，直線PD與圓O的另一交點為Q，其中D(－eq \f(6,5)，0).設(shè)直線AB，AC的斜率分別為k1，k2.
(1) 求k1k2的值；
(2) 記直線PQ，BC的斜率分別為kPQ，kBC，是否存在常數(shù)λ，使得kPQ＝λkBC？若存在，求λ的值；若不存在，說明理由；
(3) 求證：直線AC必過點Q.
專題11 圓錐曲線中的定點、定值問題
一、題型選講
題型一 、 圓錐曲線中過定點問題
圓錐曲線中過定點問題常見有兩種解法：（1）、求出圓錐曲線或直線的方程解析式，研究解析式，求出定點·（2）、從特殊位置入手，找出定點，在證明該點符合題意（運用斜率相等或者三點共線）。
例1、【2020年高考全國Ⅰ卷理數(shù)】已知A、B分別為橢圓E：（a>1）的左、右頂點，G為E的上頂點，，P為直線x=6上的動點，PA與E的另一交點為C，PB與E的另一交點為D．
（1）求E的方程；
（2）證明：直線CD過定點.
【解析】（1）由題設(shè)得A（–a，0），B（a，0），G（0，1）.
則，=（a，–1）.由=8得a2–1=8，即a=3.
所以E的方程為+y2=1．
（2）設(shè)C（x1，y1），D（x2，y2），P（6，t）.
若t≠0，設(shè)直線CD的方程為x=my+n，由題意可知–30)，C2與C1的長軸長之比為eq \r(2)∶1，離心率相同．
(1) 求橢圓C2的標(biāo)準方程；
(2) 設(shè)點P為橢圓C2上的一點．
①射線PO與橢圓C1依次交于點A，B，求證：eq \f(PA,PB)為定值；
②過點P作兩條斜率分別為k1，k2的直線l1，l2，且直線l1，l2與橢圓C1均有且只有一個公共點，求證k1·k2為定值．
.eq \a\vs4\al(思路分析) (1)根據(jù)已知條件，求出a，b的值，得到橢圓C2的標(biāo)準方程．
(2)①對直線OP斜率分不存在和存在兩種情況討論，當(dāng)OP斜率存在時，設(shè)直線OP的方程為y＝kx，并與橢圓C1的方程聯(lián)立，解得點A橫坐標(biāo)，同理求得點P橫坐標(biāo)，再通過弦長公式，求出eq \f(PA,PB)的表達式，化簡整理得到定值．
②設(shè)P(x0，y0)，寫出直線l1的方程，并與橢圓C1聯(lián)立，得到關(guān)于x的一元二次方程，根據(jù)直線l1與橢圓C1有且只有一個公共點，得到方程只有一解，即Δ＝0，整理得(xeq \\al(2,0)－4)keq \\al(2,1)－2x0y0k1＋yeq \\al(2,0)－1＝0，同理得到(xeq \\al(2,0)－4)keq \\al(2,2)－2x0y0k2＋yeq \\al(2,0)－1＝0，從而說明k1，k2是關(guān)于k的一元二次方程的兩個根，運用根與系數(shù)的關(guān)系，證得定值．
(1) 規(guī)范解答 設(shè)橢圓C2的焦距為2c，由題意，a＝2eq \r(2)，eq \f(c,a)＝eq \f(\r(3),2)，a2＝b2＋c2，解得b＝eq \r(2)，因此橢圓C2的標(biāo)準方程為eq \f(x2,8)＋eq \f(y2,2)＝1.(3分)
(2)①1°當(dāng)直線OP斜率不存在時，
PA＝eq \r(2)－1，PB＝eq \r(2)＋1，則eq \f(PA,PB)＝eq \f(\r(2)－1,\r(2)＋1)＝3－2eq \r(2).(4分)
2°當(dāng)直線OP斜率存在時，設(shè)直線OP的方程為y＝kx，代入橢圓C1的方程，消去y，得(4k2＋1)x2＝4，
所以xeq \\al(2,A)＝eq \f(4,4k2＋1)，同理xeq \\al(2,P)＝eq \f(8,4k2＋1).(6分)
所以xeq \\al(2,P)＝2xeq \\al(2,A)，由題意，xP與xA同號，所以xP＝eq \r(2)xA，
從而eq \f(PA,PB)＝eq \f(|xP－xA|,|xP－xB|)＝eq \f(|xP－xA|,|xP＋xA|)＝eq \f(\r(2)－1,\r(2)＋1)＝3－2eq \r(2).
所以eq \f(PA,PB)＝3－2eq \r(2)為定值．(8分)
②設(shè)P(x0，y0)，所以直線l1的方程為y－y0＝k1(x－x0)，即y＝k1x－k1x0＋y0，
記t＝－k1x0＋y0，則l1的方程為y＝k1x＋t，
代入橢圓C1的方程，消去y，得(4keq \\al(2,1)＋1)x2＋8k1tx＋4t2－4＝0，
因為直線l1與橢圓C1有且只有一個公共點，
所以Δ＝(8k1t)2－4(4keq \\al(2,1)＋1)(4t2－4)＝0，即4keq \\al(2,1)－t2＋1＝0，
將t＝－k1x0＋y0代入上式，整理得，(xeq \\al(2,0)－4)keq \\al(2,1)－2x0y0k1＋yeq \\al(2,0)－1＝0，(12分)
同理可得，(xeq \\al(2,0)－4)keq \\al(2,2)－2x0y0k2＋yeq \\al(2,0)－1＝0，
所以k1，k2為關(guān)于k的方程(xeq \\al(2,0)－4)k2－2x0y0k＋yeq \\al(2,0)－1＝0的兩根，從而k1·k2＝eq \f(yeq \\al(2,0)－1,xeq \\al(2,0)－4).(14
又點在P(x0，y0)橢圓C2：eq \f(x2,8)＋eq \f(y2,2)＝1上，所以yeq \\al(2,0)＝2－eq \f(1,4)xeq \\al(2,0)，所以k1·k2＝eq \f(2－\f(1,4)xeq \\al(2,0)－1,xeq \\al(2,0)－4)＝－eq \f(1,4)為定值．(16分)
二、達標(biāo)訓(xùn)練
1、（2020屆浙江省溫州市高三4月二模）如圖，已知橢圓，為其右焦點，直線與橢圓交于兩點，點在上，且滿足.(點從上到下依次排列)
(I)試用表示：
(II)證明：原點到直線l的距離為定值.
【答案】(I) ；(II)證明見解析
【解析】
(I) 橢圓，故，
.
(II)設(shè)，，則將代入得到：
，故，
，
，故，得到，
，故，同理：，
由已知得：或，
故，
即，化簡得到.
故原點到直線l的距離為為定值.
2、【2018年高考北京卷理數(shù)】已知拋物線C：=2px經(jīng)過點（1，2）．過點Q（0，1）的直線l與拋物線C有兩個不同的交點A，B，且直線PA交y軸于M，直線PB交y軸于N．
（1）求直線l的斜率的取值范圍；
（2）設(shè)O為原點，，，求證：為定值．
【答案】（1）（-∞，-3）∪（-3，0）∪（0，1）；（2）見解析.
【解析】（1）因為拋物線y2=2px經(jīng)過點P（1，2），
所以4=2p，解得p=2，所以拋物線的方程為y2=4x．
由題意可知直線l的斜率存在且不為0，
設(shè)直線l的方程為y=kx+1（k≠0）．
由得．
依題意，解得k

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