A．B．C．D．
【解析】令，則，，
∴，，即，
若，則，
∴，有，
當(dāng)時(shí)，，單調(diào)遞減；當(dāng)時(shí)，，單調(diào)遞增；
∴，即的最小值為.
故選：D.
2．已知函數(shù)，，若，，則的最小值為（ ）．
A．B．C．D．
【解析】由題意，，得，
∴，即，
又，得
∵在上單調(diào)遞增，
∴綜上知：，
∴，
令，，則
∴，得；，得；
故在上單調(diào)遞減，在上單調(diào)遞增.
∴，
故選：C
3．若對(duì)任意，不等式恒成立，則實(shí)數(shù)a的最大值為（ ）
A．B．C．D．
【解析】令，，所以，
因?yàn)樾枰ＷC有意義，所以，所以在上單調(diào)遞增，
因?yàn)楫?dāng)時(shí)，，且，
所以，使得，
并且當(dāng)時(shí)，；當(dāng)時(shí)，，
所以函數(shù)在上單調(diào)遞減，在上單調(diào)遞增，
所以，且，
所以，，
所以
所以，
考慮函數(shù)，
其中，
根據(jù)復(fù)合函數(shù)單調(diào)性可得函數(shù)在上單調(diào)遞減，
因?yàn)?，所以解得到，所以?br>因?yàn)樵谏蠁握{(diào)遞增，所以，
所以的最大值為.
故選：C
4．已知函數(shù)，，若存在，使得成立，則的最小值為（ ）
A．B．C．D．
【解析】函數(shù)f（x）的定義域?yàn)椋?，+∞），，
∴當(dāng)x∈（0，e）時(shí)，f′（x）＞0，f（x）單調(diào)遞增，當(dāng)x∈（e，+∞）時(shí)，f′（x）＜0，f（x）單調(diào)遞減，又f（1）＝0，所以x∈（0，1）時(shí)，f（x）＜0；
同時(shí)，若存在，使得成立，
則且，所以，即x2＝lnx1，又所以，
故，令，k＜0，則，
令，解得，令，解得，
∴在（﹣∞，﹣3）單調(diào)遞減，在（﹣3，0）單調(diào)遞增，
∴．
故選：D
5．已知函數(shù)，若關(guān)于的方程恰有兩個(gè)不等實(shí)根，，且，則的最小值為（ ）
A．B．C．D．
【解析】作函數(shù)的大致圖象如下，結(jié)合圖象易知，使得，，，
故，
令，則，令，則，當(dāng)時(shí)，，當(dāng)時(shí)，，
故在上單調(diào)遞減，在上單調(diào)遞增，
∴，∴，
故選：D.
6．已知函數(shù).
（1）a=1時(shí),求函數(shù)f（x）的極值；
（2）若,求f（x）的最小值g（a）的取值范圍.
【解析】(1)當(dāng)a=1時(shí),,則,
令h（x）=ex﹣x,當(dāng)x∈（0,+∞）時(shí),h′（x）=ex﹣1＞0,
∴在（0,+∞）上,h（x）＞h（0）=1,即ex＞x,
令f′（x）=0,則x=1,經(jīng)檢驗(yàn),在（0,1）上,f′（x）＜0,f（x）單調(diào)遞減,在（1,+∞）上,f′（x）＞0,f（x）單調(diào)遞增,
∴當(dāng)x=1時(shí),函數(shù)y=f（x）取得極小值e﹣1,無極大值；
(2),令,
則,
由（1）知,當(dāng)x∈（0,+∞）時(shí),
ex＞x,ex（x2﹣2x+2）﹣x＞x（x2﹣2x+2）﹣x=x（x﹣1）2≥0,
∴p′（x）＞0在（0,+∞）上恒成立,
∴f′（x）在定義域上單調(diào)遞增,
∵,
∴,
∴方程f′（x）=0在（0,+∞）上有唯一解,
設(shè)方程f′（x）=0的解為x0,則在（0,x0）上f′（x）＜0,在（x0,+∞）上f′（x）＞0,且1≤x0≤2,
∴f（x）的最小值為,
由f′（x）=0得,代入g（a）得,,
令,則,
∵﹣x2+2x﹣2=﹣（x﹣1）2﹣1≤﹣1,
∴ex（﹣x2+2x﹣2）+x≤x﹣ex＜0,
∴φ（x）在[1,2]上為減函數(shù),
∴,
∴g（a）∈[ln2﹣1,e﹣1].
7．已知函數(shù)（，為自然對(duì)數(shù)的底數(shù)），且在點(diǎn)處的切線的斜率為，函數(shù).
（1）求的單調(diào)區(qū)間和極值；
（2）若，求的最大值.
【解析】（1）由已知得，在點(diǎn)處的切線的斜率為，
所以，從而，.
因?yàn)?，在上遞增，且，
所以當(dāng)時(shí)，；時(shí)，，
的單調(diào)減區(qū)間為，單調(diào)增區(qū)間為，
所以，無極大值.
（2）
令，得，
①當(dāng)時(shí)，
在上單調(diào)遞增，
當(dāng)時(shí)，，與相矛盾；
②當(dāng)時(shí)，
，此時(shí)；
③當(dāng)時(shí)，
，得，
所以在，為減函數(shù)，在，為增函數(shù).
當(dāng)時(shí)，，
即，
所以（其中）.
令，則，
∴，，
所以在，為增函數(shù)，在，為減函數(shù).
當(dāng)時(shí)，，
即：當(dāng)時(shí)，的最大值為，
所以的最大值為.
綜上所述：的最大值為.
8．已知函數(shù).
（1）討論函數(shù)的單調(diào)性；
（2）當(dāng)時(shí)，記函數(shù)在區(qū)間的最大值為.最小值為，求的取值范圍.
【解析】（1）函數(shù)的定義域?yàn)?
.
當(dāng)時(shí)，恒成立，函數(shù)的增區(qū)間為，無單調(diào)減區(qū)間；
當(dāng)時(shí)，令可得；令可得，
函數(shù)的增區(qū)間為，減區(qū)間為.
綜上，當(dāng)時(shí)，函數(shù)的增區(qū)間為，無單調(diào)減區(qū)間；
當(dāng)時(shí)， 函數(shù)的增區(qū)間為，減區(qū)間為.
（2）當(dāng)時(shí)，由（1）可得函數(shù)在區(qū)間單調(diào)遞減，在區(qū)間單調(diào)遞增.
，，.
由.
①當(dāng)時(shí)，，有.
記，則，
函數(shù)在單調(diào)遞減，，
即.
此時(shí)的取值范圍為.
②當(dāng)時(shí)，，有.
記，則，
函數(shù)在單調(diào)遞增，，
即.
此時(shí)的取值范圍為.
綜上，的取值范圍為.
9．已知函數(shù)兩個(gè)極值點(diǎn).
（1）當(dāng)時(shí)，求；
（2）當(dāng)時(shí)，求的最大值.
【解析】（1） （）
當(dāng)時(shí)，（）
由，得或；由，得
∴在及上單調(diào)遞增，在上單調(diào)遞減，
∴，
∴
（2）的兩個(gè)極值點(diǎn)，是即方程的兩個(gè)根，QQ群416652117
∴，
又，
∴，
∴
（）
令，，則
∵
∴
∴即
∴即
∴又
∴
∵在上單調(diào)遞減
∴的最大值為
∴的最大值
10．已知函數(shù).
（1）當(dāng)時(shí)，求的最大值；
（2）對(duì)任意的，不等式恒成立，求實(shí)數(shù)的取值范圍.
【解析】（1）當(dāng)時(shí)，
則，
，時(shí)，；
時(shí)，，
在上為增函數(shù)，在上為減函數(shù)
（2）對(duì)任意的，不等式恒成立，
在上恒成立，
令，則
令，則，
在上為增函數(shù)，
又，，
，使得，即，
時(shí)，，
，在上單調(diào)遞減，
時(shí)，，
，在上單調(diào)遞增，
由可得
令，則
又，
在上單調(diào)遞增，
，，，，
，，
綜上所述，滿足條件的的取值范圍是
11．已知函數(shù)（其中為自然對(duì)數(shù)的底數(shù)）.
（1）求函數(shù)的最小值；
（2）求證：.
【解析】（1）因?yàn)?，所?br>當(dāng)時(shí)，，單調(diào)遞減
當(dāng)時(shí)，，單調(diào)遞增
所以
（2）證明：要證，
只需證明：對(duì)于恒成立，
令，則，
當(dāng)時(shí)，令，則，在上單調(diào)遞增，即在上為增函數(shù)
又因?yàn)椋?br>所以存在使得
由
得即即即
所以當(dāng)時(shí)，，單調(diào)遞減
當(dāng)時(shí)，，單調(diào)遞增
所以，
令，
則
所以在上單調(diào)遞增，所以，
所以，所以，
即．
12．已知函數(shù)（a、）.
（1）當(dāng)，時(shí)，求的單調(diào)區(qū)間；
（2）當(dāng)，時(shí)，求的最小值.
【解析】（1）當(dāng)，時(shí)，（）.
，
令得，或（舍去）.
當(dāng)時(shí)，，單調(diào)遞減，
當(dāng)時(shí)，，單調(diào)遞增，
單調(diào)遞增區(qū)間為，單調(diào)遞減區(qū)間為.
（2）.
設(shè)（），，
1）當(dāng)時(shí)，，則在上單調(diào)遞減，且，
，在上單調(diào)遞增，
.
2）當(dāng)時(shí)，，
設(shè)，，有兩根，.
，，不妨令，
當(dāng)時(shí)，，即，在上單調(diào)遞減，
當(dāng)時(shí)，，即，在上單調(diào)遞增.
①當(dāng)，即時(shí)，，在上單調(diào)遞增.
又，，
.
②當(dāng)，即時(shí)，，在上單調(diào)遞減，在上單調(diào)遞增.
又，，
，
存在使得，
.
綜上可得
13．已知函數(shù)，.
（1）若直線是曲線的切線，求的最大值；
（2）設(shè)，若函數(shù)有兩個(gè)極值點(diǎn)與，且，求的取值范圍.
【解析】（1）因?yàn)椋忠驗(yàn)槭乔€的切線，即
故，因?yàn)椋?br>即，故，
所以，即
所以單調(diào)遞減，故，
綜上，的最大值是0.
（2）因?yàn)椋?，是的兩根?br>即，故，
所以，
因?yàn)椋睿?br>即單調(diào)遞減，且，
所以在單調(diào)遞增，故，
綜上，的取值范圍是.
14．已知函數(shù)．
（1）求的極值；
（2）求在上的最大值．
【解析】（1）函數(shù)的定義域?yàn)椋?br>，
當(dāng)時(shí)，恒成立，則在上是減函數(shù)，無極值；
當(dāng)時(shí)，令，解得，
則在上是減函數(shù)，在上是增函數(shù)，
所以當(dāng)時(shí)，有極小值，，無極大值，
綜上，當(dāng)時(shí)，無極值，當(dāng)時(shí)，有極小值，無極大值；
（2）①當(dāng)時(shí)，由（1）知在上是減函數(shù)，
所以當(dāng)時(shí)，有最大值；
②當(dāng)時(shí)，由（1）知在上是減函數(shù)，在上是增函數(shù)，
（i）當(dāng)，即時(shí)，在上是增函數(shù)，
所以當(dāng)時(shí)，有最大值；
（ii）當(dāng)即時(shí)，在上是減函數(shù)，在上是增函數(shù).
若，即時(shí)，有最大值；
若，即時(shí)，有最大值；
（ⅲ）當(dāng)即時(shí)，在上是減函數(shù)，
所以當(dāng)時(shí)，有最大值，
綜上所述，當(dāng)時(shí)，有最大值；
當(dāng)時(shí)，有最大值.
15．已知函數(shù).
（1）當(dāng)時(shí)，求證：；
（2）設(shè)，記在區(qū)間上的最大值為當(dāng)最小時(shí)，求的值.
【解析】證明：欲證，只需證，
令，則，
可知在為正，在為負(fù)，在為正，
在上單調(diào)遞增，在上單調(diào)遞減，在上單調(diào)遞增，
又，，
；
由（1）可得，，
在上，，
令，則問題轉(zhuǎn)化為當(dāng)時(shí)，的最大值的問題了，
①當(dāng)時(shí)，，此時(shí)
②當(dāng)時(shí)，，
③當(dāng)時(shí)，，
綜上，當(dāng)取最小值時(shí)a的值為

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