【方法總結(jié)】
導(dǎo)數(shù)法求給定區(qū)間上函數(shù)的最值問題的一般步驟
(1)求函數(shù)f(x)的導(dǎo)數(shù)f′(x)；
(2)求f(x)在給定區(qū)間上的單調(diào)性和極值；
(3)求f(x)在給定區(qū)間上的端點(diǎn)值；
(4)將f(x)的各極值與f(x)的端點(diǎn)值進(jìn)行比較，確定f(x)的最大值與最小值；
(5)反思回顧，查看關(guān)鍵點(diǎn)，易錯(cuò)點(diǎn)和解題規(guī)范．
【例題選講】
[例1](1)函數(shù)f(x)＝lnx－x在區(qū)間(0，e]上的最大值為________．
答案 －1 解析 f′(x)＝eq \f(1,x)－1，令f′(x)＝0得x＝1．當(dāng)x∈(0，1)時(shí)，f′(x)＞0；當(dāng)x∈(1，e]時(shí)，f′(x)＜0．∴當(dāng)x＝1時(shí)，f(x)取得最大值，且f(x)max＝f(1)＝ln 1－1＝－1．
(2)函數(shù)f(x)＝eq \f(1,2)x2＋x－2lnx的最小值為 ．
答案 eq \f(3,2) 解析 因?yàn)閒′(x)＝x＋1－eq \f(2,x)＝eq \f((x＋2)(x－1),x)(x＞0)，所以f(x)在(0，1)上單調(diào)遞減，在(1，＋∞)上單調(diào)遞增，所以f(x)min＝f(1)＝eq \f(1,2)＋1＝eq \f(3,2)．
(3)已知函數(shù)f(x)＝eq \f(1,3)x3＋mx2＋nx＋2，其導(dǎo)函數(shù)f′(x)為偶函數(shù)，f(1)＝－eq \f(2,3)，則函數(shù)g(x)＝f′(x)ex在區(qū)間[0，2]上的最小值為 ．
答案 －2e 解析 由題意可得f′(x)＝x2＋2mx＋n，∵f′(x)為偶函數(shù)，∴m＝0，故 f(x)＝eq \f(1,3)x3＋nx＋2，∵f(1)＝eq \f(1,3)＋n＋2＝－eq \f(2,3)，∴n＝－3．∴f(x)＝eq \f(1,3)x3－3x＋2，則f′(x)＝x2－3．故g(x)＝ex(x2－3)，則g′(x)＝ex(x2－3＋2x)＝ex(x－1)·(x＋3)，據(jù)此可知函數(shù)g(x)在區(qū)間[0，1)上單調(diào)遞減，在區(qū)間(1，2]上單調(diào)遞增，故函數(shù)g(x)的極小值，即最小值為g(1)＝e1·(12－3)＝－2e．
(4)已知函數(shù)f(x)＝2sinx＋sin2x，則f(x)的最小值是________．
答案 －eq \f(3\r(3),2) 解析 ∵f(x)的最小正周期T＝2π，∴求f(x)的最小值相當(dāng)于求f(x)在[0，2π]上的最小值．f′(x)＝2csx＋2cs2x＝2csx＋2(2cs2x－1)＝4cs2x＋2csx－2＝2(2csx－1)(csx＋1)．令f′(x)＝0，解得csx＝eq \f(1,2)或csx＝－1，x∈[0，2π]．∴由csx＝－1，得x＝π；由csx＝eq \f(1,2)，得x＝eq \f(5,3)π或x＝eq \f(π,3)．∵函數(shù)的最值只能在導(dǎo)數(shù)值為0的點(diǎn)或區(qū)間端點(diǎn)處取到，f(π)＝2sinπ＋sin2π＝0，f eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(π,3)))＝2sineq \f(π,3)＋sineq \f(2π,3)＝eq \f(3\r(3),2)，f eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(5,3)π))＝－eq \f(3\r(3),2)，f(0)＝0，f(2π)＝0，∴f(x)的最小值為－eq \f(3\r(3),2)．
(5)設(shè)正實(shí)數(shù)x，則f(x)＝eq \f(ln2 x,xln x)的值域?yàn)開_______．
答案 eq \b\lc\[\rc\](\a\vs4\al\c1(0，\f(1,e))) 解析 令ln x＝t，則x＝et，∴g(t)＝eq \f(t2,et2)，令t2＝m，m≥0，∴h(m)＝eq \f(m,em)，∴h′(m)＝eq \f(em(1－m),e2m)，令h′(m)＝0，解得m＝1，當(dāng)0≤m0，函數(shù)h(m)單調(diào)遞增，當(dāng)m≥1時(shí)，h′(m)0．令h(x)＝x－eln x＋1(x>0)，則h′(x)＝1－eq \f(e,x)＝eq \f(x－e,x)．當(dāng)x>e時(shí)，h′(x)>0，當(dāng)0

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