（Ⅰ）求的單調(diào)區(qū)間；
（Ⅱ）設(shè)曲線與軸正半軸的交點為，曲線在點處的切線方程為，求證：對于任意的實數(shù)，都有；
（Ⅲ）若方程為實數(shù)）有兩個實數(shù)根，，且，求證：．
【解析】（Ⅰ）由，可得．
當(dāng)，即時，函數(shù)單調(diào)遞增；
當(dāng)，即時，函數(shù)單調(diào)遞減．
的單調(diào)遞增區(qū)間為，單調(diào)遞減區(qū)間為．
（Ⅱ）證明：設(shè)點的坐標(biāo)為，，則，，
曲線在點處的切線方程為，即，
令函數(shù)，即，
則．
，當(dāng)時，；當(dāng)，時，，
在上單調(diào)遞增，在，上單調(diào)遞減，
對于任意實數(shù)，，即對任意實數(shù)，都有；
（Ⅲ）證明：由（Ⅱ）知，，設(shè)方程的根為，可得．
在上單調(diào)遞減，又由（Ⅱ）知，
因此．
類似地，設(shè)曲線在原點處的切線方程為，可得，
對于任意的，有，即．
設(shè)方程的根為，可得，
在上單調(diào)遞增，且，
因此，
由此可得．
2．已知函數(shù)，．其中．．
（1）討論的單調(diào)性；
（2）設(shè)曲線與軸正半軸的交點為，曲線在點處的切線方程為，求證：對于任意的正實數(shù)，都有；
（3）設(shè)，若關(guān)于的方程為實數(shù)）有兩個正實根，，求證：．
【解析】（1）由，可得，其中，且．
下面分兩種情況討論：
①當(dāng)為奇數(shù)時，令，解得，或，
當(dāng)變化時，，的變化情況如下表：
所以，在，上單調(diào)遞減，在單調(diào)遞增；
②當(dāng)為偶數(shù)時，
當(dāng)，即時，函數(shù)單調(diào)遞增；
當(dāng)，即時，函數(shù)單調(diào)遞減；
所以，在單調(diào)遞增，在上單調(diào)遞減；
（2）證明：設(shè)點的坐標(biāo)為，，則，，
曲線在點處的切線方程為，
即，
令，即，
則．
由于在上單調(diào)遞減，故在上單調(diào)遞減，
又因為，所以當(dāng)時，，當(dāng)，時，，
所以在內(nèi)單調(diào)遞增，在，上單調(diào)遞減，
所以對應(yīng)任意的正實數(shù)，都有，
即對于任意的正實數(shù)，都有．
（3）證明：不妨設(shè)，
由（2）知，設(shè)方程的根為，
可得，由（Ⅱ）知，可得．
類似地，設(shè)曲線在原點處的切線方程為，可得，
當(dāng)，，
即對于任意的，，
設(shè)方程的根為，可得，
因為在上單調(diào)遞增，
且，因此，
由此可得：，
因為，所以，
故：．則，
所以當(dāng)時，即有．
3．已知函數(shù)，，其中，且．
（Ⅰ）討論的單調(diào)性；
（Ⅱ）設(shè)曲線與軸正半軸的交點為，曲線在點處的切線方程為，求證：對于任意的正實數(shù)，都有；
（Ⅲ）若關(guān)于的方程為實數(shù)）有兩個正實數(shù)根，，求證：．
【解析】（本題滿分為14分）
（Ⅰ）由，可得，其中，且．
下面分兩種情況討論：
（1）當(dāng)為奇數(shù)時，令，解得，或，當(dāng)變化時，，的變化情況如下表：
所以，在，上單調(diào)遞減，在單調(diào)遞增．
（2）當(dāng)為偶數(shù)時，
當(dāng)，即時，函數(shù)單調(diào)遞增；
當(dāng)，即時，函數(shù)單調(diào)遞減；
所以，在單調(diào)遞增，在上單調(diào)遞減；
（Ⅱ）證明：設(shè)點的坐標(biāo)為，，則，，
曲線在點處的切線方程為，即，
令，即，則．
由于在上單調(diào)遞減，故在上單調(diào)遞減，
又因為，所以當(dāng)時，，當(dāng)，時，，
所以在內(nèi)單調(diào)遞增，在，上單調(diào)遞減，
所以對應(yīng)任意的正實數(shù)，都有，
即對于任意的正實數(shù)，都有．
（Ⅲ）證明：不妨設(shè)，
由（Ⅱ）知，
設(shè)方程的根為，可得，
由（Ⅱ）知，可得．
類似地，設(shè)曲線在原點處的切線方程為，
可得，當(dāng)，，
即對于任意的，，
設(shè)方程的根為，可得，
因為在上單調(diào)遞增，且，
因此，
由此可得：，
因為，所以，
故：．
所以：．
4．已知函數(shù)在點，處的切線方程為．
（1）求，；
（2）設(shè)曲線與軸負(fù)半軸的交點為點，曲線在點處的切線方程為，求證：對于任意的實數(shù)，都有；
（3）若關(guān)于的方程有兩個實數(shù)根，，且，證明：．
【解析】（1）將代入切線方程中，有，
所以，即，
又，
所以．
若，則，與矛盾，
故．
（2）證明：由（1）可知，
令，有或，
故曲線與軸負(fù)半軸的唯一交點為．
曲線在點處的切線方程為，
則，
令，
則，
所以，．
當(dāng)時，
若，，，
若，，在時單調(diào)遞增，．
故，在上單調(diào)遞減，
當(dāng)時，
由知在時單調(diào)遞增，，在上單調(diào)遞增．
所以，即成立．
（3）證明：，設(shè)的根為，
則，
又單調(diào)遞減，且，
所以，
設(shè)曲線在點處的切線方程為，有，
令，，
當(dāng)時，，
當(dāng)時，，
故函數(shù)在上單調(diào)遞增，
又，
所以當(dāng)時，，當(dāng)時，，
所以函數(shù)在區(qū)間上單調(diào)遞減，在區(qū)間上單調(diào)遞增，
所以，
即，
設(shè)的根為，
則，
又函數(shù)單調(diào)遞增，
故，
故．
又，
所以．
5．已知函數(shù)．
（1）求在點，處的切線方程；
（2）若，證明：在，上恒成立；
（3）若方程有兩個實數(shù)根，，且，證明：．
【解析】（1）函數(shù)，由，
由，，
所以切線方程為，
（2）當(dāng)，時，，所以．
故只需證，
構(gòu)造，
，
又在，上單調(diào)遞增，且（1），知在，上單調(diào)遞增，
故（1）．因此，得證．
（3）由（1）知在點，處的切線方程為．
構(gòu)造，，．
當(dāng)時，；當(dāng)時，；
所以在上單調(diào)遞減，在上單調(diào)遞增．
又，，，所以在上單調(diào)遞減，在上單調(diào)遞增．
所以．
設(shè)方程的根．又，由在上單調(diào)遞減，所以．
另一方面，在點處的切線方程為．
構(gòu)造．
，．
當(dāng)時，；當(dāng)時，；
所以在上單調(diào)遞減，在上單調(diào)遞增．
又，，（1），所在上單調(diào)遞減，在上單調(diào)遞增．
所以（1）．
設(shè)方程的根．
又，由在上單調(diào)遞增，
所以．
，，
，
所以，得證．
6．已知函數(shù)，曲線在原點處的切線為．
（1）證明：曲線與軸正半軸有交點；
（2）設(shè)曲線與軸正半軸的交點為，曲線在點處的切線為直線，求證：曲線上的點都不在直線的上方；
（3）若關(guān)于的方程為正實數(shù)）有不等實根，，求證：．
【解析】證明：（1）因為，由已知得：，解得，
即，所以在上單調(diào)遞增，在上單調(diào)遞減，
又，，（2），
所以，存在，使得．
即曲線與軸正半軸有交點，；
（2）曲線在點處的切線，
令，，
則，
又
當(dāng)時，，單調(diào)遞增，
當(dāng)，時，，單調(diào)遞減，
所以對任意實數(shù)都有，
即對任意實數(shù)都有，
故曲線上的點都不在直線的上方；
（3）因為，所以為減函數(shù)，
設(shè)方程的根為，
由（2）可知，所以
記，則，
當(dāng)時，，單調(diào)遞增，
當(dāng)時，，，單調(diào)遞減，
所以，對任意的實數(shù)，都有，即
設(shè)方程的根，則，所以
于是，
令，又，則，
所以在，上為增函數(shù)，又，
所以，，
所以．
7．已知函數(shù)，．
（Ⅰ）求函數(shù)的極值；
（Ⅱ）設(shè)曲線與軸正半軸的交點為，求曲線在點處的切線方程；
（Ⅲ）若方程為實數(shù)）有兩個實數(shù)根，且，求證：．
【解析】（Ⅰ）由已知得：由得：
又當(dāng)時，，單調(diào)遞增，
當(dāng)時，，單調(diào)遞減，
當(dāng)時取得極大值，極大值為（1），無極小值．（3分）
（Ⅱ）設(shè)，，則，，
曲線在點處的切線方程為：，
即曲線在點處的切線方程為：（6分）
（Ⅲ）設(shè)，令
即，則
由于在單調(diào)遞減，故在單調(diào)遞減，又，
當(dāng)時，當(dāng)，時，，
在單調(diào)遞增，在，單調(diào)遞減，
，，即，都有；
設(shè)方程的根為，．
在單調(diào)遞減，且
，
設(shè)曲線在點原點處的切線方程為：，則易得，
，有，即，
設(shè)方程的根為，則，
在單調(diào)遞增，且，
，
即．
8．已知函數(shù)，是的極值點．
（Ⅰ）求的值；
（Ⅱ）設(shè)曲線與軸正半軸的交點為，曲線在點處的切線為直線．求證：曲線上的點都不在直線的上方；
（Ⅲ）若關(guān)于的方程有兩個不等實根，，求證：．
【解析】（Ⅰ）；
由題意知，；
；
（Ⅱ）證明：設(shè)曲線在，處切線為直線；
令；
；
；
在上單調(diào)遞增，在，上單調(diào)遞減；
；
，即，即上的點都不在直線的上方；
（Ⅲ）由（Ⅱ）設(shè)方程的解為；
則有，解得；
由題意知，；
令，；
；
在上單調(diào)遞增；
；
的圖象不在的下方；
與交點的橫坐標(biāo)為；
則有，即；
；
關(guān)于的函數(shù)在上單調(diào)遞增；
．
9．已知函數(shù)，其中，是自然對數(shù)的底數(shù)．
設(shè)曲線與軸正半軸相交于點，，曲線在點處的切線為，求證：曲線上的點都不在直線的上方；
若關(guān)于的方程為正實數(shù)）有兩個不等實根，，求證：．
【解析】證明：由題意可得：，，．
，，
可得：曲線在點處的切線為，
令，．
，，
可得函數(shù)在上單調(diào)遞減，
在，上單調(diào)遞增．
，
因此：曲線上的點都不在直線的上方．
由可得：，解得．
．
．
曲線在點處的切線為，．
同理可得：在點處的切線為：．
與，的交點的橫坐標(biāo)分別為，．
則，．
．
下面證明：．
．
．
．
10．已知函數(shù)，，在點，（1）處的切線方程記為，令．
設(shè)函數(shù)的圖象與軸正半軸相交于，在點處的切線為，證明：曲線上的點都不在直線的上方；
關(guān)于的方程為正實數(shù)）有兩個實根，，求證：．
【解析】證明：（1），，（1）．
在點處的切線方程為：，記為，
．
由．，解得．，．
，．
在點處的切線為．
令．．
．
可得函數(shù)在上單調(diào)遞減，在，上單調(diào)遞增．
，
．
因此曲線上的點都不在直線的上方．
在點處的切線為．
同理可得：在點處的切線為：．
與，的交點的恒坐標(biāo)分別為，．
，
則，．
．
．






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