（1）求函數(shù)在區(qū)間，上的最小值；
（2）令，，，，是函數(shù)圖象上任意兩點(diǎn)，且滿足，求實(shí)數(shù)的取值范圍；
（3）若，，使成立，求實(shí)數(shù)的最大值．
【解析】（1），令，則，
當(dāng)時(shí)，在，上單調(diào)遞增，的最小值為；（1分）
當(dāng)時(shí)，在區(qū)間上為減函數(shù)，在區(qū)間上為增函數(shù)，的最小值為（1）．
綜上，當(dāng)時(shí)，；當(dāng)時(shí)，．（3分）
（2），對(duì)于任意的，，不妨取，則，
則由，可得，
變形得恒成立，（5分）
令，
則在上單調(diào)遞增，
故在恒成立，（7分）
在恒成立．
，當(dāng)且僅當(dāng)時(shí)取“”， ；（10分）
（3），．
，，，，
，使得成立．
令，則，（12分）
令，則由，可得或（舍．
當(dāng)時(shí)，，則在上單調(diào)遞減；
當(dāng)時(shí)，，則在上單調(diào)遞增．
，在，上恒成立．
在，上單調(diào)遞增．則（1），即．（15分）
實(shí)數(shù)的最大值為1．（16分）
2．已知函數(shù)，．
（Ⅰ）求在，上的最小值；
（Ⅱ）若存在，是常數(shù)，使不等式成立，求實(shí)數(shù)的取值范圍；
（Ⅲ）證明對(duì)一切都有成立．
【解析】（Ⅰ），當(dāng)，，單調(diào)遞減，
當(dāng)，，，單調(diào)遞增．
①，無解；
②，即時(shí)，；
③，即時(shí)，在，上單調(diào)遞增，；
．
（Ⅱ）由題意知，則，
設(shè)，則，
，，，單調(diào)遞減，，，，單調(diào)遞增，
所以，（e）
因?yàn)榇嬖冢?，恒成立，所以?br>因?yàn)?，（e），
所以（e），
所以；
（Ⅲ） 問題等價(jià)于證明，
由（Ⅰ）知，的最小值是，當(dāng)且僅當(dāng)時(shí)取到
設(shè)，則，（1），
當(dāng)且僅當(dāng)時(shí)取到，從而對(duì)一切，都有成立．
3．已知函數(shù)，
（Ⅰ）求函數(shù)在，上的最小值；
（Ⅱ）若函數(shù)有兩個(gè)不同的極值點(diǎn)，且，求實(shí)數(shù)的取值范圍．
【解析】（Ⅰ）由，可得，
①，時(shí)，函數(shù)在上單調(diào)遞減，在，上單調(diào)遞增，
函數(shù)在，上的最小值為，
②當(dāng)時(shí)，在，上單調(diào)遞增，
，
；
（Ⅱ），則
題意即為有兩個(gè)不同的實(shí)根，，
即有兩個(gè)不同的實(shí)根，，
等價(jià)于直線與函數(shù)的圖象有兩個(gè)不同的交點(diǎn)
，在上單調(diào)遞減，在，上單調(diào)遞增，
畫出函數(shù)圖象的大致形狀（如右圖），
由圖象知，當(dāng)時(shí)，，存在，且的值隨著的增大而增大而當(dāng)時(shí)，由題意，
兩式相減可得
代入上述方程可得，
此時(shí)，
所以，實(shí)數(shù)的取值范圍為；
4．已知函數(shù)，為常數(shù)）．
（1）函數(shù)的圖象在點(diǎn)，（1）處的切線與函數(shù)的圖象相切，求實(shí)數(shù)的值；
（2）若，，、，使得成立，求滿足上述條件的最大整數(shù)；
（3）當(dāng)時(shí)，若對(duì)于區(qū)間，內(nèi)的任意兩個(gè)不相等的實(shí)數(shù)，，都有成立，求的取值范圍．
【解析】（1），，（1），
函數(shù)的圖象在點(diǎn)，（1）處的切線方程為，（2分）
直線與函數(shù)的圖象相切，由 消去得，
則△，解得或（4分）
（2）當(dāng)時(shí)，，
，（5分）
當(dāng)，時(shí)，，在，上單調(diào)遞減，
（1），（2），（7分）
則，
，故滿足條件的最大整數(shù)是．（9分）
（3）不妨設(shè)，函數(shù)在區(qū)間，上是增函數(shù)，，
函數(shù)圖象的對(duì)稱軸為，且，函數(shù)在區(qū)間，上是減函數(shù)，
，（10分）
等價(jià)于，
即，（11分）
等價(jià)于 在區(qū)間，上是增函數(shù)，
等價(jià)于在區(qū)間，上恒成立，（12分）
等價(jià)于在區(qū)間，上恒成立，
，又，．（14分）
5．設(shè)函數(shù)，，其中，為自然對(duì)數(shù)的底數(shù)．
（1）討論的單調(diào)性；
（2）證明：當(dāng)時(shí)，；
（3）確定的所有可能取值，使得在區(qū)間內(nèi)恒成立．
【解析】（Ⅰ）由，得，
當(dāng)時(shí)，在成立，則為上的減函數(shù)；
當(dāng)時(shí)，由，得，
當(dāng)時(shí)，，當(dāng)，時(shí)，，
則在上為減函數(shù)，在，上為增函數(shù)；
綜上，當(dāng)時(shí)，為上的減函數(shù)，當(dāng)時(shí)，在上為減函數(shù)，在，上為增函數(shù)；
（Ⅱ）證明：要證，即，
即證，也就是證，
令，則，
在上單調(diào)遞增，則（1），
即當(dāng)時(shí)，，當(dāng)時(shí)，；
（Ⅲ）由 （Ⅱ） 知，當(dāng) 時(shí)，，
當(dāng)，時(shí)，，
故當(dāng)在區(qū)間內(nèi)恒成立時(shí)，必有，
當(dāng) 時(shí)，
由 （Ⅰ）有，而，
此時(shí) 在區(qū)間 內(nèi)不恒成立；
當(dāng) 時(shí)，令，
當(dāng) 時(shí)
，
因此 在區(qū)間上單調(diào)遞增，
又（1），當(dāng) 時(shí)，，
即 恒成立，
綜上．
6．已知函數(shù)在處的切線與直線垂直．
（Ⅰ）求實(shí)數(shù)的值；
（Ⅱ）函數(shù)，若函數(shù)存在單調(diào)遞減區(qū)間，求實(shí)數(shù)的取值范圍；
（Ⅲ）設(shè)，是函數(shù)的兩個(gè)極值點(diǎn)，若，求的最小值．
【解析】（Ⅰ）根據(jù)題意，，則，
又由切線與直線垂直，則有（1），即，
（Ⅱ）根據(jù)題意，，則，
，
由題知在上有解，
設(shè)，
而，所以要使在上有解，則只需，
即，所以的取值范圍為．
（Ⅲ），
令，得，
，是函數(shù)的兩個(gè)極值點(diǎn)，則，是的兩個(gè)根，
，，
，
令，則，
，
又，所以，所以，
整理有，解得，
，
而，所以在單調(diào)遞減，則有；
故的最小值是．
7．已知函數(shù)
（1）當(dāng)時(shí)，求在區(qū)間上的最值
（2）討論函數(shù)的單調(diào)性
（3）當(dāng)時(shí)，有恒成立，求的取值范圍．
【解析】（1）當(dāng)時(shí)，，
．
的定義域?yàn)椋?br>由得．
在區(qū)間上的最值只可能在取到，
而，．
（2）．
①當(dāng)，即時(shí)，，在單調(diào)遞減；
②當(dāng)時(shí)，，在單調(diào)遞增；
③當(dāng)時(shí)，由得，或（舍去）
在單調(diào)遞增，在上單調(diào)遞減；
綜上，當(dāng)時(shí)，在單調(diào)遞增；
當(dāng)時(shí)，在單調(diào)遞增，在上單調(diào)遞減．
當(dāng)時(shí)，在單調(diào)遞減；
（3）由（2）知，當(dāng)時(shí)，
即原不等式等價(jià)于，
即整理得
，
又，
的取值范圍為．
8．已知函數(shù)的圖象在點(diǎn)為自然對(duì)數(shù)的底數(shù)）處的切線的斜率為3．
（Ⅰ）求實(shí)數(shù)的值；
（Ⅱ）若對(duì)任意成立，求實(shí)數(shù)的取值范圍；
（Ⅲ）當(dāng)時(shí)，證明：．
【解析】（Ⅰ）求導(dǎo)數(shù)，得．
由已知，得（e），即
．
（Ⅱ）由（Ⅰ），知，
對(duì)任意成立對(duì)任意成立，
令，則問題轉(zhuǎn)化為求的最大值．
求導(dǎo)數(shù)，得，令，解得．
當(dāng)時(shí)，，在上是增函數(shù)；
當(dāng)時(shí)，，在上是減函數(shù)．
故在處取得最大值（1）．
即為所求．
（Ⅲ）證明：令，則．
由（Ⅱ），知，，
是上的增函數(shù)．
，，即，
，
即，
即，
即，
，
．
9．已知函數(shù)的最小值為0，其中．設(shè)，
（1）求的值；
（2）對(duì)任意，恒成立，求實(shí)數(shù)的取值范圍；
（3）討論方程在，上根的個(gè)數(shù)．
【解析】（1）的定義域?yàn)椋?br>由，解得．
當(dāng)變化時(shí)，，的變化情況如下表：
因此，在處取得最小值，
故由題意，所以．（4分）
（2）由知對(duì)恒成立
即是上的減函數(shù)．
對(duì)恒成立，對(duì)恒成立，
，（8分）
（3）由題意知，
由圖象知時(shí)有一個(gè)根，時(shí)無根．（12分）
或，，，
又可求得時(shí)，
在時(shí) 單調(diào)遞增．時(shí)，，時(shí)有一個(gè)根，時(shí)無根．
10．設(shè)函數(shù)．
（Ⅰ）討論：的單調(diào)性；
（Ⅱ）當(dāng)有最大值，且最大值大于時(shí)，求的取值范圍．
【解析】（Ⅰ）的定義域?yàn)椋?br>，
若，則，函數(shù)在上單調(diào)遞增，
若，則當(dāng)時(shí)，，當(dāng)，時(shí)，，所以在上單調(diào)遞增，在，上單調(diào)遞減，
（Ⅱ），由（Ⅰ）知，當(dāng)時(shí)，在上無最大值；當(dāng)時(shí)，在取得最大值，最大值為，
，
，
令（a），
（a）在單調(diào)遞增，（1），
當(dāng)時(shí)，（a），
當(dāng)時(shí)，（a），
的取值范圍為．
0
減函數(shù)
極小值
增函數(shù)

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