（Ⅰ）若是定義域上的單調(diào)函數(shù)，求實數(shù)的取值范圍；
（Ⅱ）若在定義域上有兩個極值點，，證明：．
【解析】（Ⅰ），
令則△
，對稱軸
①當(dāng)時，△，，
，故在單調(diào)遞減．
②當(dāng)時，△，
方程有兩個不相等的正根，
不妨設(shè)，則當(dāng)，時，，
當(dāng)，時，，這時不是單調(diào)函數(shù)．
綜上，的取值范圍是．
（Ⅱ）由（Ⅰ）知，當(dāng)，有極小值點和極大值，
且，，
，
令，
則當(dāng)時，，
（a）在單調(diào)遞減，
所以，
故．
2．已知函數(shù)
（1）若，求的圖象在，（1）處的切線方程；
（2）若在定義域上是單調(diào)函數(shù)，求的取值范圍；
（3）若存在兩個極值點，，求證：．
【解析】（1），函數(shù)，
可得，
（1），
切線方程為；
（2）依題意有或在上恒成立，
即或在上恒成立，
顯然不可能恒成立，
，
解得；
（3）由，得，即，是的兩根，
，，
，
由已知，，
，
．
3．設(shè)函數(shù)．
（1）若在定義域上為單調(diào)函數(shù)，求的取值范圍；
（2）設(shè)，為函數(shù)的兩個極值點，求的最小值．
【解析】（1）
設(shè)．
①△，即時，恒成立，，
在上為減函數(shù)；
②△，即時，在上有兩相異實根，
在上不是單調(diào)函數(shù)，不合題意，
綜上，；
（2）由（1）知，，為的兩根，，
．
設(shè)（a），則（a），
（a）在，上單調(diào)遞減，在上單調(diào)遞增，
（a）（4），
的最小值為．
4．已知函數(shù)為常數(shù)）．
（1）若是定義域上的單調(diào)函數(shù)，求的取值范圍；
（2）若存在兩個極值點，，且，求的取值范圍．
【解析】（1），
，
設(shè)，，
是定義域上的單調(diào)函數(shù)，函數(shù)的圖象為開口向上的拋物線，
在定義域上恒成立，即在上恒成立．
又二次函數(shù)圖象的對稱軸為，且圖象過定點，
或，解得：．
實數(shù)的取值范圍為，；
（2）由（1）知的兩個極值點，滿足，
所以，，
不妨設(shè)，則在，上是減函數(shù)，
，
，
令，則，又，
即，解得，．
設(shè)，
則，在，上單調(diào)遞增，
（2），（4），，，
即，，
所以的取值范圍為，．
5．已知函數(shù)，．
（Ⅰ）若函數(shù)為定義域上的單調(diào)函數(shù)，求實數(shù)的取值范圍；
（Ⅱ）若函數(shù)存在兩個極值點，，且．證明：．
【解析】（Ⅰ）函數(shù)的定義域為，求導(dǎo)：，，
令，則△，
當(dāng)時，即，則恒成立，
則在上單調(diào)減函數(shù)，
當(dāng)時，即，則的兩個根為，，
當(dāng)時，，函數(shù)單調(diào)遞減，
當(dāng)，，，函數(shù)單調(diào)遞增，不符合題意，
綜上可知：函數(shù)為定義域上的單調(diào)函數(shù)，則實數(shù)的取值范圍，；
（Ⅱ）證明：由函數(shù)有兩個極值點，則，在上有兩個不等的實根，
即，在有兩個不等式的實根，，，
由，則，且，，，
則，
同理可得：，
則，
，
令，，，
求導(dǎo)，，，，
由，，則，則，
則在，，上單調(diào)遞增，
則，
則，
成立．
6．已知函數(shù)．
（1）若曲線在點， （2）處的切線與直線平行，求實數(shù)的值．
（2）若在定義域上是增函數(shù)，求實數(shù)的取值范圍．
（3）設(shè)、，且，求證：．
【解析】（1），（2分）
在點， （2）處的切線與直線平行，
（4分）
（2）證：由得：
在定義域上是增函數(shù)，在上恒成立
，即恒成立（6分）
當(dāng)且僅當(dāng)時，等號成立
，即的取值范圍是，（8分）
（3）證：不妨設(shè)，則
要證，即證，即（10分）
設(shè)
由（2）知 在上遞增， （1）
故，成立（12分）
7．已知函數(shù)．
（1）若曲線在點，（2）處的切線與直線平行，求的值；
（2）求證函數(shù)在上為單調(diào)增函數(shù)；
（3）設(shè)，，且，求證：．
【解析】（1），，
曲線在點，（2）處的切線與直線平行，
，解得；
（2）證明：，
，
函數(shù)在上為單調(diào)增函數(shù)；
（3）不妨設(shè)，則，
要證，
即證，
只需證，即證，
只需證，
設(shè)，
由（2）得，在上是單調(diào)增函數(shù)，
，（1），
即，
即．
不等式成立．
8．已知函數(shù)在點，處的切線方程為．
（Ⅰ）求函數(shù)的解析式；
（Ⅱ）設(shè)，求證：在，上恒成立；
（Ⅲ）已知，求證：．
【解析】（Ⅰ）將代入切線方程得
，
化簡得
解得：，．
．
（Ⅱ）由已知得在，上恒成立
化簡
即在，上恒成立
設(shè)，
，
即
在，上單調(diào)遞增，（1）
在，上恒成立
（Ⅲ）
，
由（Ⅱ）知有
整理得
當(dāng)時，．
9．已知函數(shù)為常數(shù)）．
（1）討論函數(shù)的單調(diào)區(qū)間；
（2）當(dāng)時，設(shè)的兩個極值點，恰為的零點，求的最小值．
【解析】（1），，
當(dāng)時，由，解得，
即當(dāng)時，，單調(diào)遞增；
由解得，即當(dāng)時，，單調(diào)遞減；
當(dāng)時，，即在上單調(diào)遞增；
當(dāng)時，，故，即在上單調(diào)遞增．
所以當(dāng)時，的單調(diào)遞增區(qū)間為，單調(diào)遞減區(qū)間為；
當(dāng)時，的單調(diào)遞增區(qū)間為．
（2）由得，
由已知有兩個互異實根，，
由根與系數(shù)的關(guān)系得，，
因為，是的兩個零點，
故①②
由②①得：，
解得，
因為，得，
將代入得：
，
所以，
設(shè)，因為，
所以，所以，
所以，所以．
構(gòu)造，得，
則在，上是增函數(shù)，
所以，即的最小值為．
10．已知函數(shù)．
（Ⅰ）討論函數(shù)的單調(diào)區(qū)間；
（Ⅱ）當(dāng)時，設(shè)的兩個極值點，恰為的零點，求的最小值．
【解析】函數(shù)，，；
當(dāng)時，由解得，
即當(dāng)時，，單調(diào)遞增；
由解得，即當(dāng)時，，單調(diào)遞減；
當(dāng)時，，即在上單調(diào)遞增；
當(dāng)時，，故，即在上單調(diào)遞增；
當(dāng)時，的單調(diào)遞增區(qū)間為，單調(diào)遞減區(qū)間為，；
當(dāng)時， 的單調(diào)遞增區(qū)間為； （5分）
，則，
的兩根，即為方程的兩根；
又，
△，，； （7分）
又，為的零點，
，，
兩式相減得，
得，
而，
，（10分）
令，
由得，
因為，兩邊同時除以，得，
，故，解得或，；（12分）
設(shè)，
，則在，上是減函數(shù)，
，
即的最小值為． （14分

相關(guān)試卷

高考數(shù)學(xué)二輪專題導(dǎo)數(shù)復(fù)習(xí)——1.同構(gòu)型雙變量問題：

這是一份高考數(shù)學(xué)二輪專題導(dǎo)數(shù)復(fù)習(xí)——1.同構(gòu)型雙變量問題，共2頁。試卷主要包含了已知函數(shù)，，已知函數(shù)，證明，若函數(shù)，證明等內(nèi)容，歡迎下載使用。

高考數(shù)學(xué)二輪專題復(fù)習(xí)——同構(gòu)型雙變量問題：

這是一份高考數(shù)學(xué)二輪專題復(fù)習(xí)——同構(gòu)型雙變量問題，共4頁。試卷主要包含了已知函數(shù)，，已知函數(shù)，證明，若函數(shù)，證明等內(nèi)容，歡迎下載使用。

2024年高考數(shù)學(xué)第二輪復(fù)習(xí) 專題10 利用導(dǎo)數(shù)研究雙變量問題（全題型壓軸題）（學(xué)生版+教師版）：

這是一份2024年高考數(shù)學(xué)第二輪復(fù)習(xí) 專題10 利用導(dǎo)數(shù)研究雙變量問題（全題型壓軸題）（學(xué)生版+教師版），文件包含2024年高考數(shù)學(xué)第二輪復(fù)習(xí)專題10利用導(dǎo)數(shù)研究雙變量問題全題型壓軸題教師版docx、2024年高考數(shù)學(xué)第二輪復(fù)習(xí)專題10利用導(dǎo)數(shù)研究雙變量問題全題型壓軸題學(xué)生版docx等2份試卷配套教學(xué)資源，其中試卷共27頁， 歡迎下載使用。

英語朗讀寶

相關(guān)試卷 更多

高中數(shù)學(xué)高考專題24 利用導(dǎo)數(shù)解決雙變量問題(原卷版)

高中數(shù)學(xué)高考專題24 利用導(dǎo)數(shù)解決雙變量問題(原卷版)
高考數(shù)學(xué)二輪專題復(fù)習(xí) 導(dǎo)數(shù)處理雙變量問題和雙變量不等式(2份打包，解析版+原卷版，可預(yù)覽)

高考數(shù)學(xué)二輪專題復(fù)習(xí) 導(dǎo)數(shù)處理雙變量問題和雙變量不等式(2份打包，解析版+原卷版，可預(yù)覽)
（新高考專用）2021年新高考數(shù)學(xué)難點：專題24 利用導(dǎo)數(shù)解決雙變量問題

（新高考專用）2021年新高考數(shù)學(xué)難點：專題24 利用導(dǎo)數(shù)解決雙變量問題
（新高考專用）2021年新高考數(shù)學(xué)難點：專題24 利用導(dǎo)數(shù)解決雙變量問題

（新高考專用）2021年新高考數(shù)學(xué)難點：專題24 利用導(dǎo)數(shù)解決雙變量問題
資料下載及使用幫助
版權(quán)申訴
版權(quán)申訴
若您為此資料的原創(chuàng)作者，認(rèn)為該資料內(nèi)容侵犯了您的知識產(chǎn)權(quán)，請掃碼添加我們的相關(guān)工作人員，我們盡可能的保護(hù)您的合法權(quán)益。
入駐教習(xí)網(wǎng)，可獲得資源免費推廣曝光，還可獲得多重現(xiàn)金獎勵，申請 精品資源制作， 工作室入駐。
版權(quán)申訴二維碼
高考專區(qū)
歡迎來到教習(xí)網(wǎng)
  • 900萬優(yōu)選資源，讓備課更輕松
  • 600萬優(yōu)選試題，支持自由組卷
  • 高質(zhì)量可編輯，日均更新2000+
  • 百萬教師選擇，專業(yè)更值得信賴
微信掃碼注冊
qrcode
二維碼已過期
刷新

微信掃碼，快速注冊

手機號注冊
手機號碼

手機號格式錯誤

手機驗證碼 獲取驗證碼

手機驗證碼已經(jīng)成功發(fā)送，5分鐘內(nèi)有效

設(shè)置密碼

6-20個字符，數(shù)字、字母或符號

注冊即視為同意教習(xí)網(wǎng)「注冊協(xié)議」及「隱私條款」
QQ注冊
手機號注冊
微信注冊

注冊成功

返回
頂部