（1）判斷函數(shù)零點的個數(shù)，并說明理由；
（2）記，討論的單調(diào)性；
（3）若在恒成立，求實數(shù)的取值范圍．
【解析】（1）由題意得：，
，
故在遞增；
又（1），（e），
故函數(shù)在內(nèi)存在零點，
的零點個數(shù)是1；
（2），
，
當時，，在遞減，
當時，由，解得：（舍取負值），
時，，遞減，
，時，，遞增，
綜上，時，在遞減，
時，在遞減，在，遞增；
（3）由題意得：，
問題等價于在恒成立，
設(shè)，
若記，則，
時，，
在遞增，
（1），即，
若，由于，
故，故，
即當在恒成立時，必有，
當時，設(shè)，
①若，即時，
由（2）得，遞減，，，遞增，
故（1），而，
即存在，使得，
故時，不恒成立；
②若，即時，
設(shè)，
，
由于，且，
即，故，
因此，
故在遞增，
故（1），
即時，在恒成立，
綜上，，時，在恒成立．
2．設(shè)函數(shù)，證明．
【解析】證明： ，
從而等價于 ．
設(shè)函數(shù) ，
則 ，
所以當時，；
當，時，．
故在上單調(diào)遞減，在，上單調(diào)遞增，
從而在上的最小值為．
設(shè)函數(shù)，則．
所以當時，；
當時，．
故在上單調(diào)遞增，在上單調(diào)遞減，
從而在上的最大值為（1）；
因為（1），
所以當時，，即．
3．設(shè)函數(shù)．
（1）當時，求的極值；
（2）當時，證明：在上恒成立．
【解析】（1）當時，，
當時，；當時，．
在上單調(diào)遞增，在上單調(diào)遞減；
在處取得極大值（2），無極小值；
（2）當時，，
下面證，即證，
設(shè)，則，
在上，，是減函數(shù)；在上，，是增函數(shù)．
所以，
設(shè)，則，
在上，，是增函數(shù)；在上，，是減函數(shù)，
所以，
所以，即，所以，即，
即在上恒成立．
4．已知函數(shù)．
（Ⅰ）當時，求的單調(diào)區(qū)間與極值；
（Ⅱ）當時，證明：．
【解析】（Ⅰ）時，，，
注意到與都是增函數(shù)，于是在上遞增，
又，故時，；故時，，
所以在上單調(diào)遞減，在上單調(diào)遞增，
當時，取得極小值1，無極大值．（6分）
（Ⅱ）方法一：當，時，，，
，，
故只需證明當時，．
當時，在上單增，
又，，
故在上有唯一零點．
當時，；當，時，．
從而時，取得最小值．
由得：，，
故，
綜上，當時，．（12分）
方法二：先證不等式與，
設(shè)，則，
可得在上單減，在上單增，
，即；
設(shè)，則，
可得在上單增，在上單減，
（1），即．
于是，當時，，
注意到以上三個不等號的取等條件分別為：、、，它們無法同時取等，
所以，當時，，即．（12分）
5．設(shè)函數(shù)，，其中，，是自然對數(shù)的底數(shù)．
（1）設(shè)，當時，求的最小值；
（2）證明：當，時，總存在兩條直線與曲線與都相切；
（3）當時，證明：．
【解析】（1），，
當時，，單調(diào)遞減，
當時，，單調(diào)遞增，
故時，取得最小值；
（2），
在處的切線方程為，
，
在點處的切線方程為，
由題意得，則，
令，則，
由（1）得時，單調(diào)遞減，且，
當時，單調(diào)遞增，又（1），時，，
當時，，單調(diào)遞減；當時，，單調(diào)遞減，
由（1）得，
又，
（1），所以函數(shù)在和內(nèi)各有一個零點，
故當時，總存在兩條直線與曲線與都相切；
（3）證明：，
令，以下證明當時，的最小值大于0，
求導的，
①當時，，（1），
②當時，，令，
，又（2），
，又（2）
取且使，即，
則，
（2），故存在唯一零點，
即有唯一的極值點，又，
且，即，故，
，故是上的減函數(shù)，
（2），所以，
綜上所求，當時，．
6．設(shè)函數(shù)．
（1）當時，求函數(shù)的極值點；
（2）當時，證明：在上恒成立．
【解析】（1）由題意得，
當時，，在上為增函數(shù)；
當時，，在上為減函數(shù)；
所以是的極大值點，無極小值點
（2）證明：令，
則，
令，則因為，
所以函數(shù)在上單調(diào)遞增，在上最多有一個零點，
又因為，（1），所以存在唯一的使得（c），
且當時，；當時，，
即當時，；當時，，
所以在上單調(diào)遞減，在上單調(diào)遞增，從而（c），
由（c）得即，兩邊取對數(shù)得：，
所以（c），（c），從而證得

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