（1）若函數(shù)在區(qū)間上單調(diào)遞增，求實數(shù)的取值范圍；
（2）當(dāng)時，討論函數(shù)的零點個數(shù)，并給予證明．
【解析】（1）
由題意得，即在區(qū)間上恒成立．
當(dāng)時，，所以，
故實數(shù)的取值范圍為．
（2）由已知得，
則．
當(dāng)時，，函數(shù)單調(diào)遞減，
又，，故函數(shù)有且只有一個零點．
當(dāng)時，令，得，函數(shù)單調(diào)遞減，
令，得，函數(shù)單調(diào)遞增，
而，，
（在上恒成立）
由于，所以，所以在上存在一個零點．
又，且，
設(shè)，則在上恒成立，
故在上單調(diào)遞增．
而，所以在上恒成立，所以，
所以在上存在一個零點．
綜上所述，當(dāng)時，函數(shù)有且只有一個零點；
當(dāng)時，函數(shù)有兩個零點．
2．已知函數(shù).(是自然對數(shù)的底數(shù))
（1）求的單調(diào)區(qū)間；
（2）記，，試討論在上的零點個數(shù).(參考數(shù)據(jù)：)
【解析】（1）由題意，函數(shù)，其定義域為，
可得，
令，即，解得
解得.
令，即，解得
解得.
所以的減區(qū)間為，增區(qū)間為.
（2）由，可得，
令，則，
因為，當(dāng)時，；當(dāng)時，，
所以在上單調(diào)遞增，在上單調(diào)遞減，
即在上單調(diào)遞增，在上單調(diào)遞減，
因為，，，
①當(dāng)時，即時，，
所以，使得，所以當(dāng)時，；
當(dāng)時，，所以在上單調(diào)遞增，上單調(diào)遞減，
所以，所以，
又因為，由零點存在性定理可得，此時在上僅有一個零點.
②若時，，
又因為在上單調(diào)遞增，在上單調(diào)遞減，
而，所以，，使得，，
且當(dāng)?時，；當(dāng)時，，
所以在和上單調(diào)遞減，在上單調(diào)遞增.
因為，所以，
因為，所以.
又因為，
由零點存在性定理可得，在和內(nèi)各有一個零點，
即此時在上有兩個零點.
綜上所述，當(dāng)時，在上僅有一個零點；
當(dāng)時，在上有兩個零點.
3．已知函數(shù)，其中，為自然對數(shù)的底數(shù).
（1）當(dāng)時，求函數(shù)的單調(diào)區(qū)間；
（2）討論函數(shù)的零點個數(shù).
【解析】（1）當(dāng)時，，函數(shù)的定義域為
所以，設(shè)，則
所以函數(shù)在上單調(diào)遞增.
又，所以當(dāng)時，；當(dāng)時，
所以當(dāng)時，函數(shù)的單調(diào)遞減區(qū)間是，單調(diào)遞增區(qū)間是.
（2）當(dāng)時，由（1）可知，函數(shù)的單調(diào)遞減區(qū)間是，單調(diào)遞增區(qū)間是，
所以，所以函數(shù)有且僅有一個零點.
當(dāng)時，，所以函數(shù)沒有零點.
當(dāng)時，，設(shè)，則，
所以函數(shù)在上單調(diào)遞增，
又，，所以存在，使得，
當(dāng)時，；當(dāng)時，，
所以函數(shù)在上單調(diào)遞減，在上單調(diào)遞增.
又且，所以，，所以.
令，則且.
令，則且.
下面先證：，令，則
故函數(shù)在上單調(diào)遞增，所以，所以
所以.
令，則
所以函數(shù)在上單調(diào)遞減，所以
所以，所以函數(shù)在和內(nèi)各有一個零點，所以函數(shù)有兩個零點
綜上，當(dāng)時，函數(shù)沒有零點；當(dāng)時，函數(shù)有且僅有一個零點；當(dāng)時，函數(shù)有兩個零點.
4．已知函數(shù)，其中，.
（1）當(dāng)時，證明不等式恒成立；
（2）若()，證明有且僅有兩個零點.
【解析】（1）令，則，
當(dāng)時，，∴在上單調(diào)遞減，
∴，即不等式恒成立；
（2）的定義城為，且，
令，，則在上單調(diào)遞增，
當(dāng)時，，∴，
，
故在上有唯一解，從而在上有唯一解，
不妨設(shè)為，則，
當(dāng)時，，∴在上單調(diào)遞減，
當(dāng)時，，∴在上單調(diào)遞增，
因此是唯一極值點，
∵，∴，即在上有唯一零點，
，
∵，由（1）可知，∴，
即在上有唯一零點，
綜上，在上有且僅有兩個零點.
5．已知函數(shù).
（1）當(dāng)時，求曲線在處的切線方程；
（2）討論函數(shù)的零點個數(shù).
【解析】（1）當(dāng)時，，
定義域為，，
又，，
∴曲線在處的切線方程是，
即；
（2）顯然，函數(shù)的定義域為，，
令，則，
當(dāng)時，，當(dāng)時，，
∴在上單調(diào)遞增，在上單調(diào)遞減，
∴有最大值，
當(dāng)，即時，，于是，即，
∴在上單調(diào)遞減，又，∴只有一個零點，
當(dāng)，即時，，，
令()，則，
∴在上單調(diào)遞減，，∴；
∴，
又且在上單調(diào)遞增，在上單調(diào)遞減，
∴存在，使得，存在，使得，
∴當(dāng)時，，當(dāng)時，，當(dāng)時，
即在上單調(diào)遞減，在上單調(diào)遞增，在上單調(diào)遞減，
又，且，∴在內(nèi)有唯一零點，且、，
又，，
∴在與內(nèi)均有唯一零點，
故當(dāng)時，函數(shù)有三個零點，
因此當(dāng)時，函數(shù)有一個零點，當(dāng)時，函數(shù)有三個零點.
6．已知函數(shù)，．
（1）當(dāng)時，求曲線在處的切線方程；
（2）討論函數(shù)的零點個數(shù)．
【解析】（1）當(dāng)時，，，，，
所以曲線在處的切線方程為．
（2）函數(shù)的定義域為，．
①當(dāng)時，，無零點．
②當(dāng)時，，令，得，令，
得，所以在上單調(diào)遞增，在上單調(diào)遞減，所以有最大值．
當(dāng)，即時，無零點．
當(dāng)，即時，只有一個零點．
當(dāng)，即時，，，
令，則，則在上單調(diào)遞增，在上單調(diào)遞減，
所以，所以，
因此當(dāng)時，，．
因為，所以，于是．
又在上單調(diào)遞增，，且，所以在上有唯一零點．
，
當(dāng)時，，令，其中，則，
令，，則，
所以在上單調(diào)遞增，，
所以在上單調(diào)遞增，，
故當(dāng)時，．因為，所以，即，
所以．
由，得，即，得，于是．
又，，在上單調(diào)遞減，所以在上有唯一零點．故時，有兩個零點．
③當(dāng)時，由，得，則，又當(dāng)時，，所以，無零點．
綜上可知，或時，無零點；時，只有一個零點；時，有兩個零點．
7．已知函數(shù)．
（Ⅰ）設(shè)函數(shù)，當(dāng)時，證明：當(dāng)時，；
（Ⅱ）若有兩個不同的零點，求的取值范圍.
【解析】（Ⅰ）
，
所以在上為單調(diào)遞增函數(shù)，
且，
當(dāng)時，.
（Ⅱ）設(shè)函數(shù)，則，
令，
當(dāng)時，當(dāng)時，，
當(dāng)時，，得，
所以當(dāng)時，，
在上為單調(diào)遞增函數(shù)，此時至多有一個零點，
至多一個零點不符合題意舍去.
當(dāng)時，有，
此時有兩個零點，設(shè)為，且．
又因為，，
所以.
得在，為單調(diào)遞增函數(shù)，
在上為單調(diào)遞減函數(shù)，且，
所以，，
又因為，，
且圖象連續(xù)不斷，
所以存在唯一，使得，
存在唯一，使得，
又因為，
所以，當(dāng)有兩個不同的零點時，.
8．已知函數(shù).
（1）求曲線在點處的切線方程；
（2）令，當(dāng)時，證明∶函數(shù)有2個零點.
【解析】（1）
（2）當(dāng)時，，∴是的一個零點，
由，設(shè)，則.
因為，
①當(dāng)時，，∴，∴在單調(diào)遞增，
∴，
∴在單調(diào)遞增，∴，此時在無零點
②當(dāng)時，，有，此時在無零點.
③當(dāng)時，，，∴在單調(diào)遞增，又，，
由零點存在性定理知，存在唯一，使得.
當(dāng)時，，在單調(diào)遞減；當(dāng)時，，在單調(diào)遞增；
又，，所以在上有1個零點.
綜上，當(dāng)時，有2個零點．
9．已知函數(shù).
（1）討論的單調(diào)性；
（2）函數(shù)，當(dāng)時，討論零點的個數(shù).
【解析】（1）函數(shù)的定義域為，.
①當(dāng)時，，所以在上單調(diào)遞減；
②當(dāng)時，令得.
若，；
若，；
所以在單調(diào)遞減，在單調(diào)遞增.
綜上所述，當(dāng)時，在上單調(diào)遞減；
當(dāng)時，在單調(diào)遞減；在單調(diào)遞增.
（2）
設(shè)函數(shù)
因為，所以得.
當(dāng)時，，在上單調(diào)遞減.
當(dāng)時，，在上單調(diào)遞增.
所以當(dāng)時，取最小值，最小值為.
若時，，所以函數(shù)只有1個零點；
若時，，所以函數(shù)無零點；
若時，，，
，故，；
所以函數(shù)在和各有一個零點，所以函數(shù)有兩個零點.
綜上所述，當(dāng)時，函數(shù)只有1個零點；當(dāng)時，函數(shù)無零點；
當(dāng)時，函數(shù)有兩個零點
10．已知函數(shù)，．
（1）若曲線在點處的切線平行于直線，求該切線方程；
（2）若，求證：當(dāng)時，；
（3）若恰有兩個零點，求a的值．
【解析】（1）因為，所以，故．
所以．
所求切線方程為，即．
（2）當(dāng)時，，．
當(dāng)時，；當(dāng)時，．
所以在區(qū)間上單調(diào)遞減，在區(qū)間上單調(diào)遞增．
所以的最小值為．
故時，．
（3）對于函數(shù)，．
（i）當(dāng)時，，沒有零點；
（ii）當(dāng)時，．
當(dāng)時，，所以在區(qū)間上單調(diào)遞增；
當(dāng)時，，所以在區(qū)間上單調(diào)遞減；
當(dāng)時，，所以在區(qū)間上單調(diào)遞增．
所以是的極大值，是的極小值．
因為，
所以在上有且只有一個零點．
由于，
①若，即，在區(qū)間上沒有零點；
②若，即，在區(qū)間上只有一個零點；
③若，即，由于，所以在區(qū)間上有一個零點．
由（2）知，當(dāng)時，，
所以．
故在區(qū)間上有一個零點．
因此時，在區(qū)間上有兩個零點．
綜上，當(dāng)有兩個零點時，．
11．已知函數(shù)．
（1）若，求函數(shù)的單調(diào)性；
（2）若函數(shù)有兩個零點，求實數(shù)的取值范圍．
【解析】（1），，
設(shè)，在上恒成立，
所以函數(shù)在上單調(diào)遞增，
又，故時，，即在區(qū)間單調(diào)遞減，
當(dāng)時，，即在區(qū)間單調(diào)遞增．
所以當(dāng)時，單調(diào)遞減，時，單調(diào)遞增；
（2）函數(shù)的定義域為．
由．
①當(dāng)時，，此時單調(diào)遞增，最多只有一個零點；
②當(dāng)時，令．
由，可知函數(shù)單調(diào)遞增，
又，，
可得存在，使得，
有，可知函數(shù)的減區(qū)間為，增區(qū)間為．
若函數(shù)有兩個零點，必有
，
得．
又由．
令，有，
令，可得，
故函數(shù)的增區(qū)間為，減區(qū)間為，有．
當(dāng)時，，．
可得此時函數(shù)有兩個零點．
由上可知，若函數(shù)有兩個零點，則實數(shù)的取值范圍是．
12．已知函數(shù).
（1）求函數(shù)的定義域；
（2）求函數(shù)的零點個數(shù).
【解析】（1）要使函數(shù)有意義，則，可得，所以函數(shù)的定義域為；
（2）求得．
對函數(shù)求導(dǎo)得，
是增函數(shù)，
若，則有下表
在定義域上有且只有0一個零點；
若，在是增函數(shù)，
且，
存在唯一的，使得，
則有下表
，
所以在有且僅有1個零點；
令，則，
，，
，
，
所以在有且僅有1個零點；
則在定義域上有且只有兩個零點，
綜上，時有1個零點，時有2個零點
0
0
0
極小值為0
0
0
極小值
0
0
極小值為=0

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