2024年高考數(shù)學(xué)第二輪專題復(fù)習(xí)專題1：切線問題12頁-試卷下載-教習(xí)網(wǎng)

A．B．C．D．
1．A
【解析】設(shè)公切線與函數(shù)切于點(diǎn)，則切線方程為；設(shè)公切線與函數(shù)切于點(diǎn)，則切線方程為，所以有∵，∴．
又，令，∴．
設(shè)，則，∴在(0，2)上為減函數(shù)，則，∴，故選A．
2．已知直線與曲線相切，則的最大值為（）
A．B．C．D．
2．C
【解析】設(shè)切點(diǎn)，則由得，
又由，得，則，
有，令，則，
故當(dāng)時；當(dāng)時，故當(dāng)時取得極大值也即最大值.
故選：C.
3．已知是曲線：上任意一點(diǎn)，點(diǎn)是曲線：上任意一點(diǎn)，則的最小值是（）
A．B．
C．2D．
3．D
【解析】（1）曲線：，求導(dǎo)得，易知在點(diǎn)處切線方程為.
下面證明恒成立：
構(gòu)造函數(shù)，求導(dǎo)得，則時，，單調(diào)遞減；時，，單調(diào)遞增.
故函數(shù)，即恒成立，有為下凸曲線
（2）曲線：，求導(dǎo)得，當(dāng)時，，且過點(diǎn)
故在點(diǎn)處的切線方程為.
下面證明在上恒成立：
令，則，
當(dāng)時，，單調(diào)遞減；當(dāng)時，，單調(diào)遞增，
所以，即，
則，即在上恒成立，有為上凸曲線
（3）由在處切線與在B處的切線，知：它們相互平行
又直線AB的斜率k = -1，即可知：直線AB與兩條切線同時垂直
∴綜上，知：最小時，A即為P點(diǎn)，B即為Q點(diǎn)，故
∴
故選：D
4．若曲線y＝ax+2csx上存在兩條切線相互垂直，則實(shí)數(shù)a的取值范圍是（）
A．[，]B．[﹣1，1]C．（﹣∞，1]D．[，1]
4．A
【解析】，要使曲線上存在兩條切線相互垂直，
只需切線斜率最小時，其負(fù)倒數(shù)仍在導(dǎo)函數(shù)值域內(nèi)取值，即，顯然，
故只需，
因?yàn)樽钚≈禐?，最大值為?br>所以，即，
解得．
故選：A．
5．已知關(guān)于不等式對任意和正數(shù)恒成立，則的最小值為（）
A．B．1C．D．2
5．B
【解析】設(shè)，，
若，對任意和正數(shù)恒成立，
則，對任意和正數(shù)恒成立，
如圖，
時，，對任意和正數(shù)不恒成立；
如圖，
時，
，則，
設(shè)，解得，且，
∴當(dāng)?shù)那芯€斜率為1時，切點(diǎn)坐標(biāo)為，
由直線的點(diǎn)斜式方程可得切線方程為，
即，
若，對任意和正數(shù)恒成立，則
∴
∴，
設(shè)，
，
∴，，，
∴，
∴
故選：B.
6．若存在實(shí)數(shù)，使不等式對一切正數(shù)都成立（其中為自然對數(shù)的底數(shù)），則實(shí)數(shù)的最大值是（）
A．B．C．D．
6．C
【解析】存在實(shí)數(shù)，使不等式對一切正數(shù)都成立，要求的最大值，臨界條件即為直線恰為函數(shù)的公切線.
設(shè)的切點(diǎn)為，.
設(shè)的切點(diǎn)為，,
所以.
由題得.
設(shè)，
所以，
所以函數(shù)在上單調(diào)遞減，在單調(diào)遞增.
又，
當(dāng)時，，
所以方程另外一個零點(diǎn)一定大于.
所以方程小的零點(diǎn)為，
所以.
故選：C
7．若對函數(shù)的圖象上任意一點(diǎn)處的切線，函數(shù)的圖象上總存在一點(diǎn)處的切線，使得，則的取值范圍是（）
A．B．
C．D．
7．D
【解析】由，得，所以，
由，得.
(1)當(dāng)時，導(dǎo)函數(shù)單調(diào)遞增，，
由題意得
故，解得；
(2)當(dāng)時，導(dǎo)函數(shù)單調(diào)遞減，，同理可得，與矛盾，舍去；
（3）當(dāng)時，不符合題意.
綜上所述：的取值范圍為.
故選：.
8．若過點(diǎn)可以作三條直線與曲線相切，則m的取值范圍是（）
A．B．C．D．
8．A
【解析】設(shè)切點(diǎn)為，∵，∴，
∴M處的切線斜率，則過點(diǎn)P的切線方程為，
代入點(diǎn)P的坐標(biāo)，化簡得，
∵過點(diǎn)可以作三條直線與曲線相切，
∴方程有三個不等實(shí)根.
令，求導(dǎo)得到，
可知在上單調(diào)遞減，在上單調(diào)遞增，在上單調(diào)遞減，
如圖所示，故，即.
故選：A.
9．已知是函數(shù)的切線，則的最小值為______．
9．
【解析】根據(jù)題意，直線y＝kx+b與函數(shù)f（x）＝lnx+x相切，設(shè)切點(diǎn)為（m，lnm+m），
函數(shù)f（x）＝lnx+x，其導(dǎo)數(shù)f′（x）1，則f′（m）1，
則切線的方程為：y﹣（lnm+m）＝（1）（x﹣m），變形可得y＝（1）x+lnm﹣1，
又由切線的方程為y＝kx+b，
則k1，b＝lnm﹣1，
則2k+b2+lnm﹣1＝lnm1，
設(shè)g（m）＝lnm1，其導(dǎo)數(shù)g′（m），
在區(qū)間（0，2）上，g′（m）＜0，則g（m）＝lnm1為減函數(shù)，
在（2，+∞）上，g′（m）＞0，則g（m）＝lnm1為增函數(shù)，
則g（m）min＝g（2）＝ln2+2，即2k+b的最小值為ln2+2；
故答案為ln2+2．
10．存在使對任意的恒成立，則的最小值為________.
10．
【解析】存在使對任意的恒成立，
則等價于等價于存在，，在的上方.
直線過定點(diǎn)，即定點(diǎn)在直線上，
設(shè)直線與相切于點(diǎn)，
，所以，
由得，
化簡得，故.
構(gòu)造函數(shù)，
則，
所以當(dāng)時，，函數(shù)遞減，
當(dāng)時，，函數(shù)遞增，
所以.所以的最小值為.
故答案為：
11．若直線是曲線的切線，也是曲線的切線，則_____．
11．或
【解析】設(shè)與和，分別切于點(diǎn)，，
由導(dǎo)數(shù)的幾何意義可得：，即，①
則切線方程為，即，
或，即，②
將①代入②得，
又直線是曲線的切線，也是曲線的切線，
則，
即，
則或，
即或，
故答案為：或.
12．已知直線與函數(shù)的圖像相切于點(diǎn)，與函數(shù)的圖像相切于點(diǎn)，若，且，，則__________．
12．4
【解析】依題意，可得，整理得
令，則在單調(diào)遞增
且，∴存在唯一實(shí)數(shù)，使
，，，
，，∴，故.
13．若直線既是曲線的切線，又是曲線的切線，則______.
13．或
【解析】令，，則，.
設(shè)切點(diǎn)分別，，
則切線方程為，即；
，即，
∴，即，
∴，∴或.
當(dāng)時，切線方程為，∴；
當(dāng)時，切線方程為，∴.
綜上所述，或.
故答案為: 或
14．已知實(shí)數(shù) ，滿足，那么的最小值為_________．
14．
【解析】由可知，點(diǎn)在函數(shù)上，由知，點(diǎn)在直線上，則，所以當(dāng)點(diǎn)處的切線與直線平行時，點(diǎn)到直線的距離的平方就是的最小值.
由得，，所以，
所以，所以，
故答案為.
15．若直線與曲線相切于點(diǎn)，與曲線相切于點(diǎn)，則=_________.
15．
【解析】設(shè)直線與相切與點(diǎn)，此時斜率為，由點(diǎn)斜式得切線方程為，即.對于曲線，其導(dǎo)數(shù)，令，得，故切點(diǎn)坐標(biāo)為，代入切線方程得，解得，故.