解一元二次方程 知識定位 掌握一元二次方程的四種解法； 掌握和熟練運用因式分解的四種方法； 學會用公式法分解二次三項式的方法步驟； 知識梳理 1 一元二次方程的定義及 4 種解法：1、因式分解法 ①移項：使方程右邊為 0 適用能因式分解 ②因式分解：將方程左邊因式分解； 方法：一提，二套，三十字，四分組 a a ③由 A?B=0，則 A=0 或 B=0，解兩個一元一次方程 2、直接開平方法 x2 ? a (a ? 0) x1 ? x2 ? ? 適用無一次項的 ?x ? b?2 ? a (xa??b0?) ? a 解兩個一元一次方程 3、配方法 ①移項：左邊只留二次項和一次項，右邊為常數(shù)項 （移．項．要．變．號．） ②同除：方程兩邊同除二次項系（每．項．都．要．除．） ③配方：方程兩邊加上一次項系．數(shù)．一．半．的．平．方． ④開平方：注意別忘根號和正負 ⑤解方程：解兩個一元一次方程 4、公式法 ① 將方程化為一般式 ② 寫出 a、b、c ③ 求出b 2 ? 4ac ， ④ 若 b2-4ac＜0，則原方程無實數(shù)解 ?b ? b2 ? 4ac ⑤ 若 b2-4ac＞0，則原方程有兩個不相等的實數(shù)根，代入公式 x= ⑥ 若 b2-4ac＝0，則原方程有兩個相等的實數(shù)根，代入公式 x ?? b 2a 求解 2a 求解。 知識梳理 2 一元二次方程的應用題步驟： 審題：讀懂題目,審清題意,明確哪些是已知量,哪些是未知量,以及它們之間的關系 設元：就是設未知數(shù),根據(jù)題意,選擇適當?shù)奈粗?,并用字母（X)表示出來,設元又分直接設元和間接設元 列方程：根據(jù)題目中給出的等量關系,列出符合題意的一元二次方程 解方程：求出所列方程的解 驗根：檢驗未知數(shù)的值是否符合題意 寫出答案 【題目】解下列方程． （1）2x2+x=0 （2）3x2+6x=0 1 【答案】 （1）x1=0，x2=- 2 ．（2）x1=0，x2=-2． 【解析】上面兩個方程中都沒有常數(shù)項；左邊都可以因式分解: 2x2+x=x（2x+1），3x2+6x=3x（x+2） 因此，上面兩個方程都可以寫成： （1）x（2x+1）=0 （2）3x（x+2）=0 因為兩個因式乘積要等于 0，至少其中一個因式要等于 0，也就是： 1 （1）x=0 或 2x+1=0，所以 x1=0，x2=- 2 ． （2）3x=0 或 x+2=0，所以 x1=0，x2=-2． #對應知識梳理 1 【知識點】解一元二次方程 【適用場合】當堂例題 【難度系數(shù)】2 【題目】當 a b c 是實數(shù)時，求證：方程 x2 ? (a ? b)x ? (ab ? c2 ) ? 0 必有兩個實數(shù)根，并求兩根相等的條件． 【答案】見解析 【解析】： ? ? [?(a ? b)]2 ? 4(ab ? c2 ) ? a2 ? 2ab ? b2 ? 4ab ? 4c2 ? a2 ? 2ab ? b2 ? 4c2 ? (a ? b)2 ? 4c2 , ?(a ? b)2 ? 0,4c2 ? 0,?? ? 0, ．‘．方程 x2 ? (a ? b)x ? (ab ? c2 ) ? 0 必有兩個實數(shù)根， 當方程兩根相等時， ? ? (a ? b)2 ? 4c2 ? 0, ?(a ? b)2 ? 0 且4c2 ? 0,?a ? b 且c ? ? ．。．原方程兩根相等的條件是 a ? b 且c ? 0. #對應知識梳理 1 【知識點】解一元二次方程 【適用場合】當堂例題 【難度系數(shù)】2 【題目】解方程 （1）4x2=11x （2）（x-2）2=2x-4 11 【答案】（1） x1=0，x2= 4 （2）x1=2，x2=4 【解析】 （1）移項，得：4x2-11x=0 因式分解，得：x（4x-11）=0 于是，得：x=0 或 4x-11=0 11 x1=0，x2= 4 （2）移項，得（x-2）2-2x+4=0 （x-2）2-2（x-2）=0 因式分解，得：（x-2）（x-2-2）=0 整理，得：（x-2）（x-4）=0 于是，得 x-2=0 或 x-4=0 x1=2，x2=4 #對應知識梳理 1 【知識點】解一元二次方程 【適用場合】當堂練習題 【難度系數(shù)】2 【題目】 我們知道 x2-（a+b）x+ab=（x-a）（x-b），那么 x2-（a+b）x+ab=0 就可轉化為（x-a）（x-b）=0，請你用上面的方法解下列方程． （1）x2-3x-4=0 （2）x2-7x+6=0 （3）x2+4x-5=0 【答案】（1）x1=4，x2=-1（2）x1=6，x2=1（3）x1=-5，x2=1 【解析】解（1）∵x2-3x-4=（x-4）（x+1） ∴（x-4）（x+1）=0 ∴x-4=0 或 x+1=0 ∴x1=4，x2=-1 （2）∵x2-7x+6=（x-6）（x-1） ∴（x-6）（x-1）=0 ∴x-6=0 或 x-1=0 ∴x1=6，x2=1 （3）∵x2+4x-5=（x+5）（x-1） ∴（x+5）（x-1）=0 ∴x+5=0 或 x-1=0 ∴x1=-5，x2=1 #對應知識梳理 1 【知識點】解一元二次方程 【適用場合】當堂練習題 【難度系數(shù)】2 【題目】解方程x 2 ? 3x ? 2 ? 0 【答案】1,2 【解析】 解法一： x 2 ? 3x ? 2 ? 0 ， (x－2)(x－1)＝0， x－2＝0，x－1＝0， ∴ x1 ?1，x 2 ? 2 ． #對應知識梳理 2 【知識點】解一元二次方程 【適用場合】當堂例題 【難度系數(shù)】2 【題目】解關于 x 的方程x 2 ? m(3x ? 2m ? n) ? n 2 ? 0 【答案】 ． x1 ? 2m ? n，x 2 ? m ? n 【解析】把原方程左邊展開，整理，得 x 2 ? 3mx ? (2m2 ? mn ? n 2 ) ? 0 ． ∵a＝1，b＝－3m， c ? 2m2 ? mn ? n 2 ， ∴ b2 ? 4ac ? (?3m)2 ? 4 ?1? (2m2 ? mn ? n 2 ) ? m2 ? 4mn ? 4n 2 ? (m ? 2n)2 ? 0 ． 3m ? (m ? 2n)2 x ? ∴ 2 ? 3m ? (m ? 2n) 2 ． ∴ x1 ? 2m ? n，x 2 ? m ? n ． #對應知識梳理 2 【知識點】解一元二次方程 【適用場合】當堂例題 【難度系數(shù)】2 【題目】已知方程 2x 2 ? 4x ? m ? 0 的兩根平方和是 34，求 m 的值 【答案】-30 m 【解析】設方程的兩根為x1、x 2 ，則 x1 ? x 2 ? ?2，x1 ? x 2 ? 2 ． x2 ? x2 ? (x ? x )2 ? 2x x ∵ 1 2 1 2 1 2 ， ∴ 2x1x 2 ? (x1 ? x 2 )2 ? (x 2 ? x 2 ) 1 2 ? (?2)2 ? 34 ＝－30． m x1x 2 ? ∵ 2 ， ∴m＝－30． #對應知識梳理 2 【知識點】解一元二次方程 【適用場合】當堂練習題 【難度系數(shù)】2 【題目】 求一個一元二次方程，使它的兩個根是 2、10 【答案】 x 2 ?12x ? 20 ? 0 【解析】 設所求的方程為x 2 ? px ? q ? 0 ． ∵2＋10＝－p，2×10＝q， ∴p＝－12，q＝20． ∴所求的方程為x 2 ?12x ? 20 ? 0 #對應知識梳理 2 【知識點】解一元二次方程 【適用場合】當堂練習題 【難度系數(shù)】2 習題演練 7 【題目】已知兩個數(shù)的和等于 8，積等于 9，求這兩個數(shù) 【答案】 4 ? 7和4 ? 【解析】設這兩個數(shù)為 x1、x  2 ，以這兩個數(shù)為根的一元二次方程為 x 2 ? px ? q ? 0 ． ∵ x1 ? x 2 ? 8 ? ?p，x1 ? x 2 ? q ， 7 ∴方程為x 2 ? 8x ? 9 ? 0 ． 7 解這個方程得x1 ? 4 ? 7，x 2 ? 4 ? ， ∴這兩個數(shù)為 4 ? 7和4 ? ． 【知識點】解一元二次方程 【適用場合】隨堂課后練習 【難度系數(shù)】2 【題目】下列方程中是一元二次方程的序號是 ． ①x2 ? 4 ②2x2 ? y ? 5 ③ 33x ? x2 ?1 ? 0 ④5x2 ? 0 ⑤3x 2 ? x ? 5 2 ⑥ 1 ? x ? 4 x 2  ⑦3x3 ? 4x2 ?1 ? 0。。。。⑧x(x ? 5) ? x2 ? 2x 【答案】 ①, ③, ④, ⑤ 【解析】判斷一個方程是否是一元二次方程，要根據(jù)一元二次方程的定義，看是否同時符合條件 ①含有一個未知數(shù)；②未知數(shù)的最高次數(shù)是 2; ③ 整式方程．若同時符合這三個條件的就是一元 次方程，否則缺一不可．其中方程②含兩個未知數(shù)，不符合條件①；方程⑥不是整式方程，lil 不符合條件③；方程 ⑦中未知數(shù)的最高次數(shù)是 3 次，不符合條件②；方程⑧經(jīng)過整理后；次項消掉，也不符合條件②． 【知識點】解一元二次方程 【適用場合】隨堂課后練習 【難度系數(shù)】2 【題目】已知，關于 2 的方程(a ? 5)x2 ? 2ax ? 1是一元二次方程，則 a 【答案】 ?? ?5 【解析】方程(a ? 5)x2 ? 2ax ? 1既然是一元二次方程，必符合一元二次方程的定義，所以未知數(shù)的最高次數(shù)是 2，因此，二次項系數(shù) a ? 5 ?? 0, 故a ?? ?5. 【知識點】解一元二次方程 【適用場合】隨堂課后練習 【難度系數(shù)】2 【題目】方程 x2 ? 2x ? 3 ? 0 的根是 【答案】 ?1.3 1 【解析】 x2 ? 2x ? 3 ? 0, x2 ? 2x ?1 ? 4,(x ?1)2 ? 4. 所以 x  ? ?1, x2  ? 3. 【知識點】解一元二次方程 【適用場合】隨堂課后練習 【難度系數(shù)】2 【題目】不解方程，判斷一元二次方程  3x2 ?  6x ?  2x ? 2 ? 0 的根的情況是 ． ◆答案：有兩個不相等的實數(shù)根 6 【答案】有兩個不相等的實數(shù)根 【解析】原方程化為 3x2 ? ( ? 2)x ? 2 ? 0, 6 b2 ? 4ac ? [?( ? 2)]2 ? 4 ? 2 ? 8 ? 4 ? ? ? 0, 3 3 64 48 ．‘．原方程有兩個不相等的實數(shù)根． 【知識點】解一元二次方程 【適用場合】隨堂課后練習 【難度系數(shù)】2 【題目】若關于 X 的方程 x2 ? 5x ? k ? 0 有實數(shù)根，則 k 的取值范圍是 k ? 25 【答案】 4 【解析】 方程有實根， ?b2 ? 4ac ? 52 ? 4k ? 0,? k ? 25 ? 4 【知識點】解一元二次方程 【適用場合】隨堂課后練習 【難度系數(shù)】2 【題目】.若 a 的值使得 x2 ? 4x ? a ? (x ? 2)2 ?1成立，則 a 的值為( ) A．5 8．4 C．3 D．2 【答案】C 【解析】(x ? 2)2 ?1 ? x2 ? 4x ? 4 ?1 ? x2 ? 4x ? 3, ? a 的值使得 x2 ? 4x ? a ? (x ? 2)2 ?1 ? x2 ? 4x ? 3,?a ? 3, 故 C 正確． 【知識點】解一元二次方程 【適用場合】課后兩周練習 【難度系數(shù)】2 【題目】關于 X 的一元二次方程 錯誤!未找到引用源。 有兩個不相等的實數(shù)根，則 k 的取值范圍是( ) A.k ? ?1 B.k ? 1 C.k ?? 0 D.k ? ?1且k ?? 0 【答案】D ? ?k ?? 0, 【解析】由題意知?4 ? 4k ? 0. 解得 k ? ?1且 k ?? 0. 【知識點】解一元二次方程 【適用場合】隨堂課后練習 【難度系數(shù)】2 【題目】元二次方程 (1? k)x2 ? 2x ?1 ? 0 有兩個不相等的實數(shù)根，則 k 的取值范圍是( ) A.k ? 2 B.k ? 2 且 k ?? 1 C.k ? 2 D.k ? 2 且 k ?? 1 【答案】B 【解析】．‘方程有兩個不相等的實根,?b2 ? 4ac ? (?2)2 ? 4 (1 ? k) ?(?1) ? 8 ? 4k ? 0, ?k ? 2 且 k ?? 1, 故 B 正確． 【知識點】解一元二次方程 【適用場合】隨堂課后練習 【難度系數(shù)】2  (1)3x 2 ? 12x ?15 ? 0; (2)2x 2 ?11x ? 5 ? 0; 【題目】用因式分解法解方程： (3)8x(2x ? 1) ? 15. 【答案】見解析 【解析】 (1)原方程化為  x2 ? 4 ? x ? 5 ? 0,(x ? 2)2 ? 9,? x  ? ?5, x2  ? 1. 1 (2)(x ? 5)(2x ?1) ? 0, x1 ? 5, x2 ? 1 ? 2 16x2 ? 8x ?15 ? 0, x2 ? 1 x ? 15 , (x ? 1)2 ? 1.x ? ? 5 , x ? 3 ? (3)原方程化為 2 16 4 1 4 2 4 【知識點】解一元二次方程 【適用場合】隨堂練練 【難度系數(shù)】3 【題目】解關于 2 的方程： (1)mx(x ? c) ? (c ? x) ? 0(m ?? 0); (2)mx2 ? (m ? n)x ? n ? 0(m ?? 0). 【答案】見解析 【解析】(1)原方程整理為 mx(x ? C) ? (x ? c) ? 0,(x ? c)(mx ?1) ? 0, x ? c ? 0或 mx ?1 ? 0, ? m ?? 0,? x1 ? c, x2 ? 1 ; m (2)原方程化為(x ?1)(mx ? n) ? 0, x ?1 ? 0 或 mx ? n ? 0, ? m ?? 0,? x1 ? 1, x2 ? ? n ? m 【知識點】解一元二次方程 【適用場合】課后兩周練習 【難度系數(shù)】3 【題目】不解方程，判別下列方程根的情況． (1)2x(x ? 3) ? 5 (2)x2 ? 2 5x ? 3 ? 0; (3)9x2 ?12x ? 4 ? 0; (4)(2y ?1)2 ? y( y ? 2) ? 0. 【答案】（1）（2）有兩個不等實根，（3）兩個相等實根（4）無實根 【解析】(1)原方程可化為 2x2 ? 6x ? 5 ? 0, b2 ? 4ac ? 62 ? 4 ? 2 ?(?5) ? 36 ? 40 ? 0,? 原方程有不相等兩實根； (2)b2 ? 4ac ? (?2 5)2 ? 4 ?1?(?3) ? 20 ?12 ? 0,?原方程有不相等兩實根； (3)b2 ? 4ac ? 122 ? 4 ? 9 ? 4 ? 144 ?144 ? 0,?原方程有相等兩實根； (4)原方程化為： 5y 2 ? 2 y ?1 ? 0, b2 ? 4ac ? (?2)2 ? 4 ? 5?1 ? 4 ? 20 ? 0,? 原方程無實根． 【知識點】解一元二次方程 【適用場合】課后一個月練習 【難度系數(shù)】3 【題目】已知關于 z 的方程 x2 ? (2k ?1)x ? k 2 ? 3 ? 0, 當 k 為何值時， (1)方程有兩個不相等的實數(shù)根? (2)方程有兩個相等的實數(shù)根? (3)方程無實根? k ? ? 13 【答案】（1) 4 (2) k ? ? 13 ; 4 k ? ? 13 (3) 4 k ? ? 13 【解析】b2 ? 4ac ? (2k ?1)2 ? 4(k 2 ? 3) ? 4k ?13. 當 b2 ? 4ac ? 4k ?13 ? 0時， 4 k ? ? 13 ; 當 b2 ? 4ac ? 4k ?13 ? 0時， 當 b2 ? 4ac ? 4k ?13 ? 0 時， k ? ? 13 4 k ? ? 13 ; 4 當 4 時，原方程有兩個不相等的實數(shù)根； k ? ? 13 當 4 時，原方程有兩個相等的實數(shù)根； k ? ? 13 當 4 時，原方程無實根． 【知識點】解一元二次方程 【適用場合】課后兩周練習 【難度系數(shù)】2 【題目】求證：關于 2 的方程 x2 ? (2m ? 3)x ? 3m ?1 ? 0 有兩個不相等的實數(shù)根 【答案】見解析 【解析】 b2 ? 4ac ? (2m ? 3)2 ? 4(3m ?1) ? 4m2 ?12m ? 9 ?12m ? 4 ? 4m2 ?13,?4m2 ? 0, ?b2 ? 4ac ? 4m2 ?13 ? 0,?原方程有兩個不相等的實數(shù)根 【知識點】解一元二次方程 【適用場合】階段測驗 【難度系數(shù)】2

英語朗讀寶
相關資料 更多
資料下載及使用幫助
版權申訴
版權申訴
若您為此資料的原創(chuàng)作者，認為該資料內容侵犯了您的知識產(chǎn)權，請掃碼添加我們的相關工作人員，我們盡可能的保護您的合法權益。
入駐教習網(wǎng)，可獲得資源免費推廣曝光，還可獲得多重現(xiàn)金獎勵，申請 精品資源制作， 工作室入駐。
版權申訴二維碼
初中數(shù)學人教版九年級上冊電子課本

本節(jié)綜合與測試

版本： 人教版

年級： 九年級上冊

切換課文
  • 課件
  • 教案
  • 試卷
  • 學案
  • 更多
所有DOC左下方推薦
歡迎來到教習網(wǎng)
  • 900萬優(yōu)選資源，讓備課更輕松
  • 600萬優(yōu)選試題，支持自由組卷
  • 高質量可編輯，日均更新2000+
  • 百萬教師選擇，專業(yè)更值得信賴
微信掃碼注冊
qrcode
二維碼已過期
刷新

微信掃碼，快速注冊

手機號注冊
手機號碼

手機號格式錯誤

手機驗證碼 獲取驗證碼

手機驗證碼已經(jīng)成功發(fā)送，5分鐘內有效

設置密碼

6-20個字符，數(shù)字、字母或符號

注冊即視為同意教習網(wǎng)「注冊協(xié)議」及「隱私條款」
QQ注冊
手機號注冊
微信注冊

注冊成功

返回
頂部