理解十字相乘法的含義，能運用十字相乘法對形如x2+(p+q)x+pq的二次三項式進行因式分解
能運用十字相乘法對形如x2+(p+q)xy+pqy2的二次三項式進行因式分解
二次項系數(shù)為1十字相乘法
Q1：乘法運算：(1)(x+p)(x+q)=________________；(2)(x-p)(x-q)=________________。
x2+(p+q)x+pq
x2-(p+q)x+pq
Q2：將上述兩個式子左右顛倒，并說明顛倒后的運算屬于什么運算。
(x+p)(x+q)=x2+(p+q)x+pq
x2+(p+q)x+pq=(x+p)(x+q)
(x-p)(x-q)=x2-(p+q)x+pq
x2-(p+q)x+pq=(x-p)(x-q)
Q3：對上述兩個式子的結(jié)構(gòu)特征進行分析。
①原多項式的二次項x2拆成兩個x之積；②原多項式的常數(shù)項pq拆成p、q這兩個數(shù)之積；③兩個x與p、q這兩個數(shù)交叉相乘后的和應為原多項式的一次項。
【十字相乘法】借助畫十字交叉線分解二次項與常數(shù)項，從而幫助我們把二次三項式分解因式的方法，叫做十字相乘法。
【注意點】十字相乘法主要適用于二次三項式。
分解因式：x2+3x+2。
2=(-1)×(-2)或2=1×2
檢驗：-2x-x=-3x≠3x
【x2+(p+q)x+pq型的十字相乘】(1)結(jié)構(gòu)特征：①原式是一元二次三項式，②二次項系數(shù)是1，③常數(shù)項可看作兩個數(shù)的積，一次項系數(shù)可看作這兩個數(shù)的和；(2)因式分解：(x+p)(x+q)。
分解因式：(1)x2+5x+6；
【分析】(1)∵兩數(shù)之積是6，∴這兩數(shù)要么同正，要么同負，又∵這兩數(shù)之和是5，∴這兩數(shù)同正，分別為2和3。
分解因式：(2)x2-5x+6；
(2)∵兩數(shù)之積是6，∴這兩數(shù)要么同正，要么同負，又∵這兩數(shù)之和是-5，∴這兩數(shù)同負，分別為-2和-3。
分解因式：(3)x2-5x-6；
(3)∵兩數(shù)之積是-6，∴這兩數(shù)一正一負，又∵這兩數(shù)之和是-5，∴負數(shù)的絕對值大，∴這兩數(shù)分別為1和-6。
分解因式：(4)x2+5x-6。
(4)∵兩數(shù)之積是-6，∴這兩數(shù)一正一負，又∵這兩數(shù)之和是5，∴正數(shù)的絕對值大，∴這兩數(shù)分別為-1和6。
例1、分解因式：-x2-3x+54。
【分析】通常，當二次項的系數(shù)為負數(shù)時，把“-”號作為公因式的符號寫在括號外，使括號內(nèi)第一項的系數(shù)為正數(shù)，原式=-(x2+3x-54)，
∵兩數(shù)之積為-54，兩數(shù)之和為3，∴這兩數(shù)分別為-6和9，
∴x2+3x-54=(x-6)(x+9)，∴原式=-(x-6)(x+9)。
例2、若x-3是多項式x2+mx-24（m為系數(shù)）的一個因式，則m的值是________。
【分析】∵x-3是多項式x2+mx-24（m為系數(shù)）的一個因式，∴x2+mx-24=(x-3)(x+8)，∴x2+mx-24=x2+5x-24，∴m=5。
例3、如果二次三項式x2-ax-8（a為整數(shù)）在整數(shù)范圍內(nèi)可以分解因式，那么a的值為________。
【分析】①當-8=-8×1時，-a=-8+1，∴a=7；②當-8=-4×2時，-a=-4+2，∴a=2；③當-8=-2×4時，-a=-2+4，∴a=-2；④當-8=-1×8時，-a=-1+8，∴a=-7；綜上，a的值為±2或±7。
分解因式：x2+3xy+2y2。
多了一個字母y，怎么辦？
【分析】①先遮擋所有的字母y，則原式=x2+3x+2=(x+1)(x+2)，②再將y還原，則原式=(x+y)(x+2y)。
x2+3xy+2y2。
能不能直接用十字相乘呢？
檢驗：2xy+xy=3xy
(x+y)(x+2y)
【拓展：x2+(p+q)xy+pqy2型的十字相乘】(1)結(jié)構(gòu)特征：①原式為二元二次三項式；②x2的系數(shù)是1；③pqy2的系數(shù)可看作兩個數(shù)的積，(p+q)xy的系數(shù)可看作這兩個數(shù)的和；(2)因式分解：(x+py)(x+qy)。
分解因式：(1)a2+8ab+7b2；
【分析】(1)∵兩數(shù)之積是7，∴這兩數(shù)要么同正，要么同負，又∵這兩數(shù)之和是8，∴這兩數(shù)同正，分別為1和7。
分解因式：(2)x2+2xy-63y2；
(2)∵兩數(shù)之積是-63，∴這兩數(shù)一正一負，又∵這兩數(shù)之和是2，∴正數(shù)的絕對值大，∴這兩數(shù)分別為-7和9。
例、分解因式：-a2-7ab+60b2。
【分析】把“-”號作為公因式的符號寫在括號外，使括號內(nèi)第一項的系數(shù)為正數(shù)，原式=-(a2+7ab-60b2)，
∵兩數(shù)之積為-60，兩數(shù)之和為7，∴這兩數(shù)分別為-5和12，
∴a2+7ab-60b2=(a-5b)(a+12b)，∴原式=-(a-5b)(a+12b)。
【十字相乘法】借助畫十字交叉線分解二次項與常數(shù)項，從而幫助我們把二次三項式分解因式的方法，叫做十字相乘法?！咀⒁恻c】十字相乘法主要適用于二次三項式。

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9.5 多項式的因式分解

版本： 蘇科版

年級： 七年級下冊

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