能根據(jù)多項式的乘法法則推導(dǎo)出平方差公式，理解平方差公式的結(jié)構(gòu)特征，并能正確運用公式進行計算.在利用幾何圖形的面積驗證公式的過程中，了解平方差公式的幾何意義，感知數(shù)形結(jié)合的思想.在探索平方差公式的過程中，感悟從一般到特殊、從具體到抽象地研究問題的方法.在探究過程中發(fā)現(xiàn)規(guī)律，并能用符號表示，感受數(shù)學(xué)的嚴謹性，體會數(shù)學(xué)的簡潔美.
先用一個多項式的每一項乘另一個多項式的每一項，再把所得的積相加.
=ap+aq+bp+bq
多項式與多項式相乘的法則
計算下列多項式的積，看誰算得又快又對？
(x+1)(x?1)= ； (m+2)(m?2)= ； (2x+1)(2x?1)= .
觀察上面的等式，你能發(fā)現(xiàn)什么規(guī)律？
下列問題中相乘的兩個多項式有什么共同點？
均為相同的兩個數(shù)的和、兩個數(shù)的差的形式.
相乘的兩個多項式的各項與它們積中的各項又有什么關(guān)系呢？
兩個多項式的積恰好是這兩個多項式中相同的兩個數(shù)的平方差.
根據(jù)發(fā)現(xiàn)的規(guī)律你能得出什么結(jié)論嗎？用式子表示出來.
(a+b)(a?b)=a2?b2
你能對發(fā)現(xiàn)的規(guī)律進行推導(dǎo)嗎？
(a+b)(a?b)=a2?ab+ab?b2=a2?b2
兩個數(shù)的和與這兩個數(shù)的差的積，等于這兩個數(shù)的平方差.
你能根據(jù)圖中的圖形面積說明平方差公式嗎？
=(a+b)(a?b)
(相同項)2?(相反項)2
等號左邊是兩個二項式的積，且這兩個二項式中有一項為相同項，另一項為相反項.
等號右邊是相同項的平方減去相反項的平方.
公式中的字母可以表示具體的數(shù)，也可以表示單項式或多項式等式子.
判斷下列式子是否能用平方差公式計算：
(1) (a+2b)(?a?2b)(2) (a?2b)(2b?a) (3) (2a?b)(?b+2a)(4) ?(a?3b)(a+3b) (5) (?2x+3y)(3y?2x)
??a2?(3b)2 ?
符合平方差公式的特征才能運用平方差公式計算.
【例1】利用乘法公式計算：
(1) 1999×2001； (2) (x+3)(x?3)(x2+9).
(1) 1999×2001=(2000?1)×(2000+1)=20002 ?12=3 999 999
(2) (x+3)(x?3)(x2+9)=(x2?9)(x2+9)=x4?81.
【例2】計算：
(1) (a+b+c)2 ； (2) (a?b)3.
(1) (a+b+c)2 =[(a+b)+c]2=(a+b)2+2(a+b)c+c2=a2+2ab+b2+2ac+2bc+c2=a2+b2+c2+2ab+2ac+2bc.
(2) (a?b)3 =(a?b) (a?b)2 =(a?b)(a2?2ab+b2)=a3?2a2b+ab2?a2b+2ab2?b3 =a3?3a2b+3ab2?b3.
1. 利用乘法公式計算：
(1) (2a+5b)(2a?5b)； (2) ( x?3)( x+3)； (3) (y?2x)(?2x?y)； (4) (xy+1)(xy?1).
(1) (2a+5b)(2a?5b)=(2a)2?(5b)2=4a2?25b2
(2) ( x?3)( x+3) =( x)2?9= x2?9
(3)(y?2x)(?2x?y) =(?2x)2?y2=4x2?y2
(4) (xy+1)(xy?1)=(xy)2?1=x2y2?1
2. 利用乘法公式計算：
(1) 598×602； (2) 9992.
(1) 598×602 =(600?2)× (600+2)=6002?22=359 996
(2) 9992 =(1000?1)2=10002?2000+12=998 001
(1) (a+b)3 ； (2) (x?5)3.
(1) (a+b)3 =(a+b) (a+b)2 =(a+b)(a2+2ab+b2)=a3+2a2b+ab2+a2b+2ab2+b3 =a3+3a2b+3ab2+b3.
(2) (x?5)3=(x?5) (x?5)2=(x?5)(x2?10x+25)=x3?10x2+25x?5x2+50x?125 =x3?15x2+75x?125.
4. 計算：(a?b?c)2
(a?b?c)2=[(a?b)?c]2=(a?b)2?2(a?b)c+c2=a2?2ab+b2?2ac+2bc+c2=a2+b2+c2?2ab?2ac+2bc.

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初中數(shù)學(xué)滬科版七年級下冊電子課本 舊教材

8.3 完全平方公式與平方差公式

版本： 滬科版

年級： 七年級下冊

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