1．掌握平方差公式的推導和運用，以及對平方差公式的幾何背景的理解；(重點)


2．掌握平方差公式的應用．(重點、難點)





一、情境導入


1.教師引導學生回憶多項式與多項式相乘的法則．


學生積極舉手回答．


多項式與多項式相乘的法則：多項式與多項式相乘，先用一個多項式的每一項分別乘以另一個多項式的每一項，再把所得的積相加．


2.教師肯定學生的表現(xiàn)，并講解一種特殊形式的多項式與多項式相乘——平方差公式．


二、合作探究


探究點：平方差公式


【類型一】 直接應用平方差公式進行計算


利用平方差公式計算：


(1)(3x－5)(3x＋5)；


(2)(－2a－b)(b－2a)；


(3)(－7m＋8n)(－8n－7m)；


(4)(x－2)(x＋2)(x2＋4)．


解析：直接利用平方差公式進行計算即可．


解：(1)(3x－5)(3x＋5)＝(3x)2－52＝9x2－25；


(2)(－2a－b)(b－2a)＝(－2a)2－b2＝4a2－b2；


(3)(－7m＋8n)(－8n－7m)＝(－7m)2－(8n)2＝49m2－64n2；


(4)(x－2)(x＋2)(x2＋4)＝(x2－4)(x2＋4)＝x4－16.


方法總結：應用平方差公式計算時，應注意以下幾個問題：(1)左邊是兩個二項式相乘，并且這兩個二項式中有一項完全相同，另一項互為相反數(shù)；(2)右邊是相同項的平方減去相反項的平方；(3)公式中的a和b可以是具體的數(shù)，也可以是單項式或多項式．


【類型二】 應用平方差公式進行簡便運算


利用平方差公式計算：


(1)20eq \f(1,3)×19eq \f(2,3)； (2)13.2×12.8.


解析：(1)把20eq \f(1,3)×19eq \f(2,3)寫成(20＋eq \f(1,3))×(20－eq \f(1,3))，然后利用平方差公式進行計算；(2)把13.2×12.8寫成(13＋0.2)×(13－0.2)，然后利用平方差公式進行計算．


解：(1)20eq \f(1,3)×19eq \f(2,3)＝(20＋eq \f(1,3))×(20－eq \f(1,3))＝400－eq \f(1,9)＝399eq \f(8,9)；


(2)13.2×12.8＝(13＋0.2)×(13－0.2)＝169－0.04＝168.96.


方法總結：熟記平方差公式的結構并構造出公式結構是解題的關鍵．


【類型三】 運用平方差公式進行化簡求值


先化簡，再求值：(2x－y)(y＋2x)－(2y＋x)(2y－x)，其中x＝1，y＝2.


解析：利用平方差公式展開并合并同類項，然后把x、y的值代入進行計算即可得解．


解：(2x－y)(y＋2x)－(2y＋x)(2y－x)＝4x2－y2－(4y2－x2)＝4x2－y2－4y2＋x2＝5x2－5y2.當x＝1，y＝2時，原式＝5×12－5×22＝－15.


方法總結：利用平方差公式先化簡再求值，切忌代入數(shù)值直接計算．


【類型四】 平方差公式的幾何背景


如圖①，在邊長為a的正方形中剪去一個邊長為b的小正形(a＞b)，把剩下部分拼成一個梯形(如圖②)，利用這兩幅圖形的面積，可以驗證的乘法公式是______________．





解析：∵左圖中陰影部分的面積是a2－b2，右圖中梯形的面積是eq \f(1,2)(2a＋2b)(a－b)＝(a＋b)(a－b)，∴a2－b2＝(a＋b)(a－b)，即可以驗證的乘法公式為(a＋b)(a－b)＝a2－b2.


方法總結：通過幾何圖形面積之間的數(shù)量關系可對平方差公式做出幾何解釋．


【類型五】 平方差公式的實際應用


王大伯家把一塊邊長為a米的正方形土地租給了鄰居李大媽．今年王大伯對李大媽說：“我把這塊地一邊減少4米，另外一邊增加4米，繼續(xù)原價租給你，你看如何？”李大媽一聽，就答應了．你認為李大媽吃虧了嗎？為什么？


解析：根據(jù)題意先求出原正方形的面積，再求出改變邊長后的面積，然后比較二者的大小即可．


解：李大媽吃虧了，理由如下：原正方形的面積為a2，改變邊長后面積為(a＋4)(a－4)＝a2－16.∵a2＞a2－16，∴李大媽吃虧了．


方法總結：解決實際問題的關鍵是根據(jù)題意列出算式，然后根據(jù)公式化簡解決問題．


三、板書設計


1．平方差公式


兩數(shù)和與這兩數(shù)差的積，等于它們的平方差．即(a＋b)(a－b)＝a2－b2.


2．平方差公式的運用





學生通過“做一做”發(fā)現(xiàn)平方差公式，同時通過“試一試”用幾何方法證明公式的正確性．通過這兩種方式的演算，讓學生理解平方差公式．本節(jié)教學內容較多，因此教材中的練習可以讓學生在課后完成

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初中數(shù)學滬科版七年級下冊電子課本 舊教材

8.3 完全平方公式與平方差公式

版本： 滬科版

年級： 七年級下冊

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