公因式的確定方法：1.系數(shù)：取各項系數(shù)的最大公因數(shù)(如果 多項式的首項為負，一般要先提出負號). 2.字母：取各項都 含有的字母. 3.指數(shù)：取相同字母的最低次數(shù).注意：公因式 可以是單項式，也可以是多項式.當(dāng)分解因式提“－”號時， 括號內(nèi)的各項系數(shù)都要改變符號，當(dāng)公因式與多項式某一項 相同時，提公因式后剩余項為1，不要漏項.
知識點1 公因式的定義1.[2023·永州]2a2與4ab的公因式為 ?.
2.式子15a3b3(a－b)，5a2b(b－a)的公因式是(　C　)
3.多項式8xmyn－1－12x3myn各項的公因式是(　D　)
8xmyn－1與－12x3myn這兩項的系數(shù)是8與－12，它們的最 大公因數(shù)是4；兩項的字母部分xmyn－1與x3myn都含有字母x和 y，其中x的最低次數(shù)為m，y的最低次數(shù)為n－1，所以4xmyn－ 1是所求公因式.
4.多項式4a2b(a－b)－6ab2(b－a)中，各項的公因式是(　D　)
5.觀察下列各組式子：①2a＋b和a＋b；②5m(a－b)和－a＋b；③3(a＋b)和－a－b；④x2－y2和x2＋y2.其中有公因式的是(　B　)
①中無公因式，②中公因式為a－b，③中公因式為a＋ b，④中無公因式.故選B.
6.(x＋y－z)(x－y＋z)與(y＋z－x)(z－x－y)的公因式是(　A　)
因為(y＋z－x)(z－x－y)＝[－(x－y－z)]·[－(x＋y－z)]＝ (x－y－z)(x＋y－z)，
所以(x＋y－z)(x－y＋z)與(y＋z－x)(z－x－y)的公因式是x＋y －z.
知識點2 用提公因式法分解因式7.[2023·溫州]分解因式：2a2－2a＝ ?.
8.[2022·柳州]把多項式a2＋2a分解因式得(　A　)
9.[2022·青海]下列運算正確的是(　D　)
A.3x2與4x3不是同類項不能加減，故選項A不正確；B.(x ＋y)2＝x2＋2xy＋y2，故選項B不正確；C.(2＋3x)(2－3x)＝4 －9x2，故選項C不正確；D.2xy＋4xy2＝2xy(1＋2y)，故選項 D正確.
10.用提公因式法分解因式：(1)9x2－6xy＋3x；
【解】原式＝3x·3x－3x·2y＋3x·1＝3x(3x－2y＋1).
(2)(a－b)3－(a－b)2.
原式＝(a－b)2(a－b－1).
知識點3 變形后提公因式分解因式11.因式分解：x(x－2)－x＋2＝ ?.
(x－2)(x－1)　
12.多項式(x＋2)(2x－1)－x－2可以因式分解成2(x＋m)(x＋ n)，則m－n的值是(　C　)
因為(x＋2)(2x－1)－x－2＝(x＋2)(2x－1)－(x＋2)＝(x＋ 2)(2x－1－1)＝2(x＋2)(x－1)，
所以2(x＋m)(x＋n)＝2(x＋2)(x－1).
所以m＝2，n＝－1或m＝－1，n＝2.
13.[2023·清華附中模擬]三角形ABC的三邊長分別為a，b， c，且a＋2ab＝c＋2bc，則三角形ABC是(　B　)
因為a＋2ab＝c＋2bc，所以a－c＋2b(a－c)＝0，即(a－ c)(2b＋1)＝0.易知a－c＝0，所以a＝c.故三角形ABC為等腰三 角形.
14.若m－n＝－1，則(m－n)2－2m＋2n的值是(　A　)
因為m－n＝－1，所以(m－n)2－2m＋2n＝(m－n)2－ 2(m－n)＝(－1)2－2×(－1)＝1＋2＝3.
易錯點 提公因式后因符號問題或漏項而出錯15.下列因式分解正確的有(　B　)①3x2－6xy＋x＝x(3x－6y)＝3x(x－2y)；②－5x＋5xy＝－5x(1＋y)；③4x3－2x2y＝2x2(2x－y)；④6a3b3＋4a2b2＋2ab＝2ab(3a2b2＋2ab).
提公因式后，可以利用整式乘法檢查結(jié)果是否正確. 此外，當(dāng)提取的公因式有“－”號時，應(yīng)注意括號內(nèi)各 項要變號.
利用提公因式法分解因式的應(yīng)用
16.[2022·南充改編]先化簡，再求值：(x＋2)·(3x－2)－2x(x＋ 2)，其中x＝－1.
【解】原式＝(x＋2)(3x－2－2x)＝(x＋2)(x－2)＝x2－4.當(dāng)x＝－1時，原式＝(－1)2－4＝－3.
17.利用簡便方法計算：(1)3.2×202.4＋4.7×202.4＋2.1×202.4；
【解】原式＝202.4×(3.2＋4.7＋2.1)＝202.4×10＝2 024.
利用變形后提公因式法分解因式解應(yīng)用問題
18.[2022·岳陽]已知a2－2a＋1＝0，求代數(shù)式a(a－4)＋(a＋ 1)(a－1)＋1的值.
【解】a(a－4)＋(a＋1)(a－1)＋1＝a2－4a＋a2－1＋1＝2a2－4a＝2(a2－2a).因為a2－2a＋1＝0，所以a2－2a＝－1.所以原式＝2×(－1)＝－2.
19.已知a，b，c為三角形ABC的三邊長，且a3－a2b＋5ac－ 5bc＝0，試判斷三角形ABC的形狀.
【解】因為a3－a2b＋5ac－5bc＝0，所以a2(a－b)＋5c(a－b)＝0，所以(a－b)(a2＋5c)＝0.因為a，b，c為三角形ABC的三邊長，所以a2＋5c≠0，所以a－b＝0，所以a＝b，所以三角形ABC是等腰三角形.
利用提公因式法將多項式分組分解
20. [新考法 選擇閱讀法]閱讀下面因式分解的過程：把多項式am＋an＋bm＋bn因式分解.解法一：am＋an＋bm＋bn＝(am＋an)＋(bm＋bn)＝a(m ＋n)＋b(m＋n)＝(m＋n)(a＋b)；解法二：am＋an＋bm＋bn＝(am＋bm)＋(an＋bn)＝m(a ＋b)＋n(a＋b)＝(a＋b)(m＋n).請你選擇一種解法把下列多項式因式分解：
(1)mx－my＋nx－ny；
【解】mx－my＋nx－ny＝(mx－my)＋(nx－ny)＝m(x－y)＋n(x－y)＝(x－y)(m＋n).
(2)2a＋4b－3ma－6mb.
【解】2a＋4b－3ma－6mb＝(2a－3ma)＋(4b－6mb)＝a(2－3m)＋2b(2－3m)＝(2－3m)(a＋2b).
利用提公因式法探究分解因式的規(guī)律
21. [新考法 類比閱讀法]先閱讀下列分解因式的過程，再回 答所提出的問題：　1＋x＋x(x＋1)＋x(x＋1)2＝(1＋x)[1＋x＋x(x＋1)]＝(1＋x)2(1＋x)＝(1＋x)3.(1)上述分解因式的方法是 ?，共應(yīng)用 了 ?次；

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初中數(shù)學(xué)滬科版七年級下冊電子課本 舊教材

8.4 因式分解

版本： 滬科版

年級： 七年級下冊

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