A級——基礎(chǔ)過關(guān)練
1．根據(jù)斜二測畫法的規(guī)則畫直觀圖時，把Ox，Oy，Oz軸畫成對應(yīng)的O′x′，O′y′，O′z′，則∠x′O′y′與∠x′O′z′的度數(shù)分別為( )
A．90°，90° B．45°，90°
C．135°，90° D．45°或135°，90°
【答案】D
【解析】根據(jù)斜二測畫法的規(guī)則，∠x′O′y′的度數(shù)應(yīng)為45°或135°，∠x′O′z′指的是畫立體圖形時的O′x′與O′z′的夾角，所以度數(shù)為90°．
2．(2023年福州月考)若用斜二測畫法畫一個水平放置的平面圖形為如圖的一個正方形，則原來圖形是( )
eq \(\s\up7(),\s\d5(A)) eq \(\s\up7(),\s\d5(B)) eq \(\s\up7(),\s\d5(C)) eq \(\s\up7(),\s\d5(D))
【答案】A
【解析】由斜二測畫法知，平行或與x軸重合的線段長度不變，平行關(guān)系不變，平行或與y軸重合的線段長度減半，平行關(guān)系不變．故選A．
3．(多選)(2023年太原期中)用斜二測畫法畫水平放置的平面圖形的直觀圖時，下列結(jié)論正確的有( )
A．三角形的直觀圖是三角形
B．平行四邊形的直觀圖是平行四邊形
C．正方形的直觀圖是正方形
D．菱形的直觀圖是菱形
【答案】AB
【解析】由斜二測直觀圖的畫法規(guī)則可知三角形的直觀圖還是三角形，故A正確；平行四邊形的直觀圖是平行四邊形，所以B正確；長方形跟正方形的直觀圖是平行四邊形，故C錯誤；菱形的直觀圖是平行四邊形，故D錯誤．故選AB．
4．如圖，某四邊形的直觀圖是上底為2，下底為4，高為1的等腰梯形，則原四邊形的面積為( )
A．4 B．4 eq \r(2)
C．6 D．6 eq \r(2)
【答案】D
【解析】原圖形的面積等于“斜二測圖形”面積乘2 eq \r(2)，由該四邊形的“斜二測圖形”面積為 eq \f(1,2)×(2＋4)×1＝3，所以原圖形面積為3×2 eq \r(2)＝6 eq \r(2)．故選D．
5．已知△ABC的平面直觀圖△A′B′C′是斜邊長為4的等腰直角三角形，那么△ABC的面積為( )
A．8 B．8 eq \r(2)
C．16 eq \r(2) D．16 eq \r(3)
【答案】B
【解析】△A′B′C′是斜邊長為4的等腰直角三角形，則直角邊的長為2 eq \r(2)，故面積為 eq \f(1,2)×2 eq \r(2)×2 eq \r(2)＝4．所以△ABC的面積為4×2 eq \r(2)＝8 eq \r(2)．故選B．
6．(2023年眉山模擬)用斜二測畫法畫水平放置的△ABC的直觀圖，得到如圖所示的等腰直角三角形A′B′C′．已知O′是斜邊B′C′的中點，且A′O′＝1，則△ABC的邊BC邊上的高為( )
A．1B．2
C． eq \r(2)D．2 eq \r(2)
【答案】D
【解析】∵直觀圖是等腰直角三角形A′B′C′，∠B′A′C′＝90°，A′O′＝1，∴A′C′＝ eq \r(2)．根據(jù)直觀圖中平行于y軸的長度變?yōu)樵瓉淼囊话?，得△ABC的邊BC上的高AC＝2A′C′＝2 eq \r(2)．故選D．
7．(2023年銀川月考)用斜二測畫法畫一個水平放置的平面圖形的直觀圖為如圖所示的直角梯形，其中BC＝AB＝1，則原平面圖形的面積為( )
A． eq \f(3\r(2),8)B． eq \f(3\r(2),4)
C．3 eq \r(2)D．6 eq \r(2)
【答案】C
【解析】在直觀圖中，∠ADC＝45°，AB＝BC＝1，DC⊥BC，∴AD＝ eq \r(2)，DC＝2．∴原來的平面圖形上底長為1，下底為2，高為2 eq \r(2)．∴該平面圖形的面積為(1＋2)×2 eq \r(2)× eq \f(1,2)＝3 eq \r(2)．故選C．
8．有一個長為4 cm，寬為3 cm的矩形，則其直觀圖的面積為__________cm2．
【答案】3 eq \r(2)
【解析】該矩形的面積為S＝4×3＝12(cm2)，由平面圖形的面積與直觀圖的面積間的關(guān)系，可得直觀圖的面積為S′＝ eq \f(\r(2),4)S＝3 eq \r(2)(cm2)．
9．如圖，矩形O′A′B′C′是水平放置的一個平面圖形的直觀圖，其中O′A′＝6，O′C′＝3，B′C′∥x′軸，則原平面圖形的面積為__________．
【答案】36 eq \r(2)
【解析】在直觀圖中，設(shè)B′C′與y′軸的交點為D′，則易得O′D′＝3 eq \r(2)，所以原平面圖形為一邊長為6，高為6 eq \r(2)的平行四邊形，所以其面積為6×6 eq \r(2)＝36 eq \r(2)．
10．如圖，正方形O′A′B′C′的邊長為1 cm，它是水平放置的一個平面圖形OABC的直觀圖．請畫出原來的平面圖形，并求原圖形的周長與面積．
解：如圖，建立直角坐標(biāo)系xOy，在x軸上取OA＝O′A′＝1 cm；
在y軸上取OB＝2O′B′＝2 eq \r(2)(cm)；
在過點B的與x軸平行的直線上取
BC＝B′C′＝1 cm．連接O，A，B，C各點，即得到了原圖形．
由作法可知OABC為平行四邊形，OC＝ eq \r(OB2＋BC2)＝ eq \r(8＋1)＝3(cm)，∴平行四邊形OABC的周長為(3＋1)×2＝8(cm)，面積為S＝1×2 eq \r(2)＝2 eq \r(2)(cm2)．
B級——能力提升練
11．(多選)(2023年建平月考)如圖，△A′B′C′是水平放置的△ABC的斜二測直觀圖，其中O′C′＝O′A′＝2O′B′＝2，則以下說法正確的有( )
A．△ABC是鈍角三角形
B．△ABC的面積是△A′B′C′的面積的2倍
C．△ABC是等腰直角三角形
D．△ABC的周長是4＋4 eq \r(2)
【答案】CD
【解析】根據(jù)斜二測畫法可知，在原圖形中，O為CA的中點，AC⊥OB，因為O′C′＝O′A′＝2O′B′＝2，所以CO＝AO＝2，AC＝4，OB＝2，則△ABC是斜邊為4的等腰直角三角形，如圖所示，所以△ABC的周長是4＋4 eq \r(2)，面積是4，故A錯誤，C，D正確．由斜二測畫法可知，△ABC的面積是△A′B′C′的面積的2 eq \r(2)倍，故B錯誤．故選CD．
12．(2023年衡水月考)水平放置的△ABC的直觀圖如圖所示，其中B′O′＝C′O′＝1，A′O′＝ eq \f(\r(3),2)，那么△ABC的面積等于( )
A． eq \r(2)B． eq \r(3)
C．2 eq \r(2)D．2 eq \r(3)
【答案】B
【解析】由已知中△ABC的直觀圖中B′O′＝C′O′＝1，A′O′＝ eq \f(\r(3),2)，∴在△ABC中，BO＝CO＝1，AO＝ eq \r(3)，則△ABC的面積為 eq \f(1,2)BC·AO＝ eq \f(1,2)(1＋1)× eq \r(3)＝ eq \r(3)．
13．如圖所示的水平放置的三角形的直觀圖，D′是△A′B′C′中B′C′邊的中點，且A′D′平行于y′軸，那么A′B′，A′D′，A′C′三條線段對應(yīng)原圖形中的線段AB，AD，AC中，最長的是__________，最短的是__________．
【答案】AB和AC AD
【解析】因為A′D′∥y′軸，所以在△ABC中，AD⊥BC，又因為D′是B′C′的中點，所以D是BC中點，所以AB＝AC＞AD．
14．如圖所示，△A′O′B′表示水平放置的△AOB的直觀圖，點B′在x′軸上，A′O′與x′軸垂直，且A′O′＝2，則△AOB的邊OB上的高為__________．
【答案】4 eq \r(2)
【解析】設(shè)△AOB的邊OB上的高為h，由直觀圖中邊O′B′與原圖形中邊OB的長度相等，及S原圖＝2 eq \r(2)S直觀圖，得 eq \f(1,2)OB×h＝2 eq \r(2)× eq \f(1,2)×A′O′×O′B′，則h＝4 eq \r(2)．故△AOB的邊OB上的高為4 eq \r(2)．
15．如圖是一個邊長為1的正方形A′B′C′D′，已知該正方形是某個水平放置的四邊形用斜二測畫法畫出的直觀圖，試畫出該四邊形的原圖形并求出其面積．
解：四邊形A′B′C′D′的原圖形如圖所示．因為A′C′在水平位置，四邊形A′B′C′D′為正方形，所以∠D′A′C′＝∠A′C′B′＝45°，所以在原四邊形ABCD中，AD⊥AC，AC⊥BC．
因為AD＝2D′A′＝2，AC＝A′C′＝ eq \r(2)，
所以S四邊形ABCD＝AC·AD＝2 eq \r(2)．

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高中數(shù)學(xué)人教A版 (2019)必修 第二冊電子課本

8.2 立體圖形的直觀圖

版本： 人教A版 (2019)

年級： 必修 第二冊

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