A級(jí)——基礎(chǔ)過(guò)關(guān)練
1．正方體的表面積為96，則正方體的體積為( )
A．48 eq \r(6)B．64
C．16D．96
【答案】B
【解析】設(shè)正方體的棱長(zhǎng)為a，則6a2＝96，∴a＝4，故V＝a3＝43＝64．
2．棱錐的一個(gè)平行于底面的截面把棱錐的高分成1∶2(從頂點(diǎn)到截面與從截面到底面)兩部分，那么這個(gè)截面把棱錐的側(cè)面分成兩部分的面積之比等于( )
A．1∶3B．1∶4
C．1∶8D．1∶9
【答案】C
【解析】?jī)蓚€(gè)錐體的側(cè)面積之比為1∶9，小錐體與臺(tái)體的側(cè)面積之比為1∶8．
3．將邊長(zhǎng)為1的正方形以其一邊所在直線為旋轉(zhuǎn)軸旋轉(zhuǎn)一周，所得幾何體的側(cè)面積是( )
A．4π B．3π
C．2π D．π
【答案】C
【解析】底面圓半徑為1，高為1，側(cè)面積S＝2πrh＝2π×1×1＝2π．故選C．
4．(2023年重慶月考)若一個(gè)圓錐的側(cè)面展開(kāi)圖是圓心角為120°且面積為3π的扇形，則該圓錐的高為( )
A． eq \r(2)B．2 eq \r(2)
C．2 eq \r(3)D．3 eq \r(2)
【答案】B
【解析】設(shè)圓錐的底面圓半徑為r，母線長(zhǎng)為l，則圓錐側(cè)面展開(kāi)圖的面積為 eq \f(120,360)×πl(wèi)2＝3π，解得l＝3，所以2πr＝ eq \f(2π,3)×3，解得r＝1，所以圓錐的高為h＝ eq \r(l2－r2)＝ eq \r(32－12)＝2 eq \r(2)．故選B．
5．如果軸截面為正方形的圓柱的側(cè)面積是4π，那么圓柱的體積等于( )
A．π B．2π
C．4π D．8π
【答案】B
【解析】設(shè)圓柱的底面半徑為r，則圓柱的母線長(zhǎng)為2r，由題意得S圓柱側(cè)＝2πr×2r＝4πr2＝4π，解得r＝1，所以V圓柱＝πr2×2r＝2πr3＝2π．故選B．
6．(多選)用邊長(zhǎng)分別為2與4的矩形作圓柱的側(cè)面，則這個(gè)圓柱的體積可能為( )
A． eq \f(4,π) B． eq \f(6,π)
C． eq \f(8,π) D． eq \f(10,π)
【答案】AC
【解析】圓柱的側(cè)面展開(kāi)圖是邊長(zhǎng)為2與4的矩形，當(dāng)母線為2時(shí)，圓柱的底面半徑是 eq \f(4,2π)＝ eq \f(2,π)，此時(shí)圓柱體積是π× eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(2,π))) eq \s\up12(2)×2＝ eq \f(8,π)；當(dāng)母線為4時(shí)，圓柱的底面半徑是 eq \f(1,π)，此時(shí)圓柱的體積是π× eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(1,π))) eq \s\up12(2)×4＝ eq \f(4,π)．綜上，所求圓柱的體積是 eq \f(4,π)或 eq \f(8,π)．
7．(2023年溫州期中)羽毛球運(yùn)動(dòng)是一項(xiàng)全民喜愛(ài)的體育運(yùn)動(dòng)，標(biāo)準(zhǔn)的羽毛球由16根羽毛固定在球托上，測(cè)得每根羽毛在球托之外的長(zhǎng)為8 cm，球托之外由羽毛圍成的部分可看成一個(gè)圓臺(tái)的側(cè)面，測(cè)得頂璃所圍成圓的直徑是6 cm，底部所圍成圓的直徑是2 cm，據(jù)此可估算球托之外羽毛球所在曲面的展開(kāi)圖的圓心角為( )
A． eq \f(2π,3)B． eq \f(3π,4)
C． eq \f(π,2)D． eq \f(π,3)
【答案】C
【解析】將圓臺(tái)補(bǔ)成圓錐，如圖所示，則羽毛所在曲面的面積為大、小圓錐的側(cè)面積之差．設(shè)小圓錐母線長(zhǎng)為x，則大圓錐母線長(zhǎng)為x＋8，由相似得 eq \f(x,x＋8)＝ eq \f(2,6)，解得x＝4，所以估算球托之外羽毛所在的曲面展開(kāi)圖圓心角為α＝ eq \f(2π×1,4)＝ eq \f(π,2)．故選C．
8．如圖，ABC－A′B′C′是體積為1的棱柱，則四棱錐C－AA′B′B的體積是__________．
【答案】 eq \f(2,3)
【解析】因?yàn)閂C－A′B′C′＝ eq \f(1,3)VABC－A′B′C′＝ eq \f(1,3)，所以VC－AA′B′B＝1－ eq \f(1,3)＝ eq \f(2,3)．
9．圓臺(tái)的上、下底面半徑和高的比為1∶4∶4，若母線長(zhǎng)為10，則圓臺(tái)的表面積為_(kāi)_________．
【答案】168π
【解析】先畫(huà)軸截面，再利用上、下底面半徑和高的比求解．圓臺(tái)的軸截面如圖所示，設(shè)上底面半徑為r，下底面半徑為R，則它的母線長(zhǎng)為l＝ eq \r(h2＋(R－r)2)＝ eq \r((4r)2＋(3r)2)＝5r＝10，所以r＝2，R＝8．故S側(cè)＝π(R＋r)l＝π(8＋2)×10＝100π，S表＝S側(cè)＋πr2＋πR2＝100π＋4π＋64π＝168π．
10．若圓錐的表面積是15π，側(cè)面展開(kāi)圖的圓心角是60°，求圓錐的體積．
解：設(shè)圓錐的底面半徑為r，母線為l，
則2πr＝ eq \f(1,3)πl(wèi)，得l＝6r．
又因?yàn)镾錐＝πr2＋πr·6r＝7πr2＝15π，解得r＝ eq \r(\f(15,7))，
所以圓錐的高h(yuǎn)＝ eq \r(l2－r2)＝ eq \r(35r2)＝ eq \r(35×\f(15,7))＝5 eq \r(3)．
所以V＝ eq \f(1,3)πr2h＝ eq \f(1,3)π× eq \f(15,7)×5 eq \r(3)＝ eq \f(25\r(3),7)π．
B級(jí)——能力提升練
11．(2023年天津模擬)側(cè)棱長(zhǎng)為2的正三棱錐，若其底面周長(zhǎng)為9，則該正三棱錐的體積是( )
A． eq \f(9\r(3),2)B． eq \f(3\r(3),4)
C． eq \f(3\r(3),2)D． eq \f(9\r(3),4)
【答案】B
【解析】如圖，取AB中點(diǎn)D，連接CD，過(guò)點(diǎn)S作SO⊥平面ABC交CD于點(diǎn)O．∵S－ABC為正三棱錐，∴S在平面ABC上的射影為△ABC的中心O．SC＝2，底面△ABC的周長(zhǎng)為9，∴AB＝3．∴CD＝ eq \f(3\r(3),2)，CO＝ eq \r(3)．∴三棱錐的高SO＝ eq \r(SC2－CO2)＝1．∴VS－ABC＝ eq \f(1,3)S△ABC×SO＝ eq \f(1,3)× eq \f(1,2)×3× eq \f(3\r(3),2)×1＝ eq \f(3\r(3),4)．故選B．
12．(2023年包頭二模)正多面體共有5種，統(tǒng)稱為柏拉圖體，它們分別是正四面體、正六面體(即正方體)、正八面體、正十二面體、正二十面體．若連接某正方體的相鄰面的中心，就可以得到一個(gè)正八面體，已知該正八面體的體積為36，則生成它的正方體的棱長(zhǎng)為( )
A．8B．6
C．4D．3
【答案】B
【解析】如圖，設(shè)生成它的正方體的棱長(zhǎng)為a，則AB＝ eq \f(1,2) eq \r(a2＋a2)＝ eq \f(\r(2),2)a，PQ＝a．∵該正八面體的體積為36，∴V＝ eq \f(1,3)×S正方形ABCD×PQ＝ eq \f(1,3)× eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(\r(2),2)a)) eq \s\up12(2)×a＝36，解得a＝6．故選B．
13．已知某幾何體是由兩個(gè)全等的長(zhǎng)方體和一個(gè)三棱柱組合而成，如圖所示，其中長(zhǎng)方體的長(zhǎng)、寬、高分別為4，3，3，三棱柱底面是直角邊分別為4，3的直角三角形，側(cè)棱長(zhǎng)為3，則此幾何體的體積是__________，表面積是__________．
【答案】90 138
【解析】該幾何體的體積V＝4×6×3＋ eq \f(1,2)×4×3×3＝90，表面積S＝2(4×6＋4×3＋6×3)－3×3＋ eq \f(1,2)×4×3×2＋ eq \r(32＋42)×3＋3×4＝138．
14．用一張正方形的紙把一個(gè)棱長(zhǎng)為1的正方體禮品盒完全包住，不將紙撕開(kāi)，則所需紙的最小面積是__________．
【答案】8
【解析】如圖1為棱長(zhǎng)為1的正方體禮品盒，先把正方體的表面按圖所示方式展開(kāi)成平面圖形，再把平面圖形盡可能拼成面積較小的正方形，如圖2所示，由圖知正方形的邊長(zhǎng)為2 eq \r(2)，其面積為8．
eq \(\s\up7(),\s\d5(圖1)) eq \(\s\up7(),\s\d5(圖2))
15．降水量是指水平平面上單位面積降水的深
度，現(xiàn)用上口直徑為38 cm、底面直徑為24 cm、深度為35 cm的圓臺(tái)形水桶(軸截面如圖所示)來(lái)測(cè)量降水量．如果在一次降雨過(guò)程中，此桶盛得的雨水正好是桶深的 eq \f(1,7)，求本次降雨的降水量是多少毫米．(精確到1 mm)
解：因?yàn)檫@次降雨的雨水正好是桶深的 eq \f(1,7)，所以水深為 eq \f(1,7)×35＝5(cm)．
如圖，設(shè)水面半徑為r cm，因?yàn)?eq \f(AC,A′C′)＝ eq \f(CB,C′B)，所以 eq \f(7,r－12)＝7，r＝13．所以V水＝ eq \f(1,3)×(π×122＋ eq \r(π×122×π×132)＋π×132)×5＝ eq \f(2 345,3)π(cm3)．
水桶的上口面積是S＝π×192＝361π(cm2)，
所以 eq \f(V水,S)＝ eq \f(\f(2 345,3)π,361π)×10≈2.2(cm)＝22 mm．
故此次降雨的降水量約是22 mm．

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8.3 簡(jiǎn)單幾何體的表面積與體積

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