第40講 一元一次方程的應(yīng)用（四） 目標導(dǎo)航 知識清單 知識點 必備公式或關(guān)系式 考點精析 例1 如圖，在數(shù)軸上有，兩個動點，為坐標原點，點，從圖中所示位置同時向數(shù)軸的負方向運動，點運動速度為每秒個單位長度，點運動速度為每秒個單位長度，運動時間為秒． （1）當時，求，兩點的距離； （2）為多少時，，兩動點相遇． 例2 如圖，已知數(shù)軸上點表示的數(shù)為，是數(shù)軸上在左側(cè)的一點，且，兩點間的距離為動點從點出發(fā)，以每秒個單位長度的速度沿數(shù)軸向左勻速運動，設(shè)運動時間為秒． （1）數(shù)軸上點表示的數(shù)是______，點表示的數(shù)是______用含的代數(shù)式表示； （2）動點從點出發(fā)，以每秒個單位長度的速度沿數(shù)軸向左勻速運動，若點、同時出發(fā)．求： ①當點運動多少秒時，點與點相遇？ ②當點運動多少秒時，點與點間的距離為個單位長度？ 變1 如圖，在數(shù)軸上點A表示的數(shù)是8，若動點P從原點O出發(fā)，以2個單位/秒的速度向左運動， 同時另一動點Q從點A出發(fā)，以4個單位/秒的速度也向左運動，到達原點后立即以原來的速度返回，向右 運動，設(shè)運動的時間為t（秒）． （1）當t＝0.5時，求點Q表示的數(shù)； （2）當t＝2.5時，求點Q表示的數(shù)； （3）當點Q到原點O的距離為4時，求點P表示的數(shù)． 變2 數(shù)軸上A在原點的左側(cè)，A表示的數(shù)是a，距離原點18個單位，B在原點右側(cè)，B所表示的數(shù)是b，距離A點24個單位． （1）______，______． （2）P，Q是數(shù)軸上的兩個動點，P點從A出發(fā)，速度2個單位每秒，同時Q點從B點出發(fā)，速度1個單位每秒，若兩點相向而行，經(jīng)過一段時間在C點相遇，求出點C表示數(shù)． （3）在（2）的條件下，經(jīng)過幾秒鐘，P，Q兩點相距6個單位長度． 例3 已知：如圖，點A、點B為數(shù)軸上兩點，點A表示的數(shù)為a，點B表示的數(shù)為b，a與b滿足．動點P從點A出發(fā)，以2個單位長度/秒的速度沿數(shù)軸向右運動，同時動點Q從點B出發(fā)，以1個單位長度/秒的速度沿數(shù)軸向右運動．若在點B處放一擋板（擋板厚度忽略不計），點P在碰到擋板后立即返回，以3個單位長度/秒的速度在數(shù)軸上向左運動，到點A停止，設(shè)點P運動的時間為t（秒）（）． （1）直接寫出a、b的值，a=_______，b=_______． （2）點P碰到擋板時，t的值為_______． （3）當時，點P表示的有理數(shù)為_______；當時，點P表示的有理數(shù)為_______； （4）試探究：點P到擋板的距離與它到原點的距離可能相等嗎？若能，直接寫出相等時的值；若不能，請說明理由． 例4 探究與發(fā)現(xiàn)：表示a與b之差的絕對值，實際上也可理解為a與b兩數(shù)在數(shù)軸上所對應(yīng)的兩點之間的距離．如的幾何意義是數(shù)軸上表示有理數(shù)x的點與表示有理數(shù)3的點之間的距離． （1）如圖，已知數(shù)軸上點A表示的數(shù)為8，B是數(shù)軸上位于點A左側(cè)一點，且，則數(shù)軸上點B 表示的數(shù) ； （2）若，則 ． （3）拓展與延伸：在（1）的基礎(chǔ)上，解決下列問題：動點P從O點出發(fā)，以每秒5個單位長度的速度沿數(shù)軸向右勻速運動，設(shè)運動時間為秒．求當t為多少秒時？A，P兩點之間的距離為2； （4）數(shù)軸上還有一點C所對應(yīng)的數(shù)為30，動點P和Q同時從點O和點B出發(fā)分別以每秒5個單位長度和每秒10個單位長度的速度向C點運動，點Q到達C點后，再立即以 同樣的速度返回，點P到達點C后，運動停止．設(shè)運動時間為秒．問當t為多少秒時？P，Q之間的距離為4 變3 如圖，A、B分別為數(shù)軸上的兩點，A點對應(yīng)的數(shù)為，B點對應(yīng)的數(shù)為4． （1）A、B間的距離是______；若數(shù)軸上點M到點B的距離是4，則點M對應(yīng)的數(shù)為______； （2）若點N也是數(shù)軸上的點，點N到點A的距離是點N到原點的距離的，求點N對應(yīng)的數(shù)； （3）若動點P從B點出發(fā)，以2個單位長度/秒的速度在數(shù)軸上運動，同時另一動點Q從A點出發(fā)，以4個單位長度/秒的速度在數(shù)軸上運動，若兩動點經(jīng)過t秒時，，求此時點P對應(yīng)的數(shù)是多少？ 變4 如圖，在數(shù)軸上點A表示的數(shù)是；點B在點A的右側(cè)，且到點A的距離是6；點C在點A與點B之間，且到點B的距離是到點A距離的2倍． （1）點B表示的數(shù)是________；點C表示的數(shù)是________； （2）若點P從點A出發(fā)，沿數(shù)軸以每秒2個單位長度的速度向右勻速運動；同時，點Q從點B出發(fā)，沿數(shù)軸以每秒1個單位長度的速度向左勻速運動．設(shè)運動時間為t秒、在運動過程中．當t為何值時點P與點Q之間的距離為2? （3）在（2）的條件下，若點P與點C之間的距離表示為，點Q與點B之間的距離表示為．在運動過程中，是否存在某一時刻使得?若存在，請求出此時點P表示的數(shù)；若不存在，誚說明理由． 變5 動點A從原點出發(fā)向數(shù)軸負方向運動，同時，動點B也從原點出發(fā)向數(shù)軸正方向運動，4秒后兩點相距16個單位長度．已知動點A、B的速度比是1：3（速度單位：單位長度/秒）． （1）求出兩個動點運動的速度，并在數(shù)軸上標出A、B兩點從原點出發(fā)運動4秒時的位置； （2）若A、B兩點從（1）中的位置同時向數(shù)軸負方向運動，幾秒后原點恰好處在兩個動點正中間； （3）在（2）中A、B兩點繼續(xù)同時向數(shù)軸負方向運動時，另一動點C同時從B點位置出發(fā)向A運動，當遇到A后，立即返回向B點運動，遇到B點后立即返回向A點運動，如此往返，直到B追上A時，C立即停止運動，若點C一直以25個單位長度/秒的速度勻速運動，那么點C從開始到停止運動，運動的路程是多少單位長度？ 例5 已知數(shù)軸上有A、B、C三個點，分別表示有理數(shù)，，10，動點P從A出發(fā)，以每秒1個單位的速度向終點C移動，設(shè)移動時間為t秒． （1）用含t的代數(shù)式表示P到點A和點C的距離：PA=_____，PC=_____． （2）當點P運動到B點時，點Q從A點出發(fā)，以每秒3個單位的速度向C點運動，Q點到達C點后，再立即以同樣的速度返回，運動到終點A，則點P出發(fā)17秒后=_____，=_____． （3）在點Q開始運動后， P、Q兩點之間的距離能否為2個單位？如果能，請求出此時點P表示的數(shù)；如果不能，請說明理由． 例6 如圖，A，B（A在B的左側(cè)）是數(shù)軸上的兩點，點A對應(yīng)的數(shù)為-4，且，動點P從點A出發(fā)，以每秒3個單位長度的速度沿數(shù)軸向左運動，同時動點Q從點B出發(fā)，以每秒5個單位長度的速度沿數(shù)軸向左運動，在點P，Q的運動過程中，M，N始終為，的中點，設(shè)運動時間為t（）秒． （1）當P，Q重合時，求t的值； （2）當MN=AB時，求t的值； （3）當時，點P，Q停止運動，此時點M，N也隨之停止運動，將線段沿數(shù)軸以每秒2個單位長度的速度滑動，從此刻開始，經(jīng)過t秒后滿足時，求t的值． 變6 已知，如圖、分別為數(shù)軸上的兩點，點對應(yīng)的數(shù)為，點對應(yīng)的數(shù)為90． （1）與、兩點距離相等的點對應(yīng)的數(shù)是________； （2）現(xiàn)在有一只電子螞蟻從點出發(fā)時，以3個單位/秒的速度向左運動，同時另一只電子螞蟻恰好從點出發(fā)，以2個單位/秒的速度向右運動，設(shè)兩只電子螞蟻在數(shù)軸上的點相遇，則點對應(yīng)的數(shù)是 ________； （3）若當電子螞蟻從點出發(fā)，以8個單位/秒的速度向左運動，當點到達點時，立即返回向右運動，到達點停止．同時另一只電子螞蟻恰好從點出發(fā)，以2個單位/秒的速度向右運動到達點停止，直接寫出經(jīng)過多長的時間兩只電子螞蟻在數(shù)軸上相距10個單位長度？ 變7 在如圖所示的不完整的數(shù)軸上，相距30個單位長度的點A和點B表示的數(shù)互為相反數(shù)，將點B 向右移動15個單位長度，得到點C，點P是該數(shù)軸上的一個動點，從點C出發(fā)，以每秒3個單位長度的速 度勻速向左運動至點A，然后立即返回以每秒5個單位長度的速度勻速向右運動．設(shè)點P的運動時間為t 秒． （1）點A表示的數(shù)是 　﹣15　，點C表示的數(shù)是 　15?。?（2）當點P與點A的距離是點P與點C的距離的2倍時，求點P表示的數(shù)及對應(yīng)t的值； （3）點Q為該數(shù)軸上的另一動點，與點P同時開始，以每秒2個單位長度的速度從點A出發(fā)勻速向右運動，直接寫出P，Q兩點之間距離為5個單位長度時的t的值（不寫計算過程）． 課后強化 1.如圖，點P、Q在數(shù)軸上表示的數(shù)分別是、，點P以每秒2個單位的速度沿數(shù)軸向右運動，點Q以每秒1個單位的速度沿數(shù)軸向右運動．設(shè)點P、Q同時出發(fā)． （1）運動2秒時，則點P表示的數(shù)為_______，點Q表示的數(shù)為_______點P、Q之間的距離是_____ _個單位； （2）運動時間為t秒時，點P表示的數(shù)為 ；點Q表示的數(shù)為 ； （3）經(jīng)過________秒后，點P、Q重合； （4）試探究：經(jīng)過 秒后（直接寫出答案），點P、Q兩點間的距離為4個單位． 2.如圖，點A、B和線段都在數(shù)軸上，點A、M、N、B對應(yīng)的數(shù)字分別為、0、2、11． 線段沿數(shù)軸的正方向以每秒1個單位的速度移動，移動時間為t秒． （1）用含有t的代數(shù)式表示的長為 ． （2）當時，求t的值； （3）若點A、B與線段同時移動，點A以每秒2個單位速度向數(shù)軸的正方向移動，點B以每秒1個單位的速度向數(shù)軸的負方向移動，在移動過程，和可能相等嗎?若相等，請求出t的值，若不相等，請說明理由． 3.已知：數(shù)軸上點A，C對應(yīng)的數(shù)分別為a，c，且滿足|a+7|+|c﹣2|＝0，點B對應(yīng)的數(shù)為﹣3． （1）a＝　 　，c＝　 ?。?（2）若在數(shù)軸上有兩動點P、Q分別從A，B同時出發(fā)向右運動，點P的速度為2個單位長度/秒，點Q的速度為1個單位長度/秒，求經(jīng)過多長時間P，Q兩點的距離為3． （3）若在數(shù)軸上找一個點P，使得點P到點A和點C的距離之和為15，請求出點P所對應(yīng)的值．（要求寫詳細解答過程） 4.已知：b是最小的正整數(shù)，且a、b滿足（c-5）2+|a+b|=0，請回答問題： （1）請直接寫出a、b、c的值：a=　 　，b=　 　，c=　 ?。?（2）在（1）的條件下，數(shù)a，b，c分別在數(shù)軸上對應(yīng)的點A，B，C，有兩只電子螞蟻甲、乙分別從A，C兩點同時出發(fā)相向而行，甲的速度為2個單位/秒，乙的速度為4個單位/秒點，當兩只電子螞蟻在數(shù)軸上點M處相遇時，求點M表示的數(shù) 　1　； （3）在（1）的條件下，點a，b，c分別對應(yīng)點A、B、C開始在數(shù)軸上運動，若點A以每秒1個單位長度的速度向左運動．同時，點B和點C分別以每秒2個單位長度和5個單位長度的速度向右運動，假設(shè)t秒鐘過后，若點B與點C之間的距離表示為BC，點A與點B之間的距離表示為AB．請問：BC﹣AB的值是否隨著時間t的變化而改變？若變化，請說明理由；若不變，請求其值． 5.已知數(shù)軸上兩點A，B對應(yīng)的數(shù)分別為a、b，且a、b滿足|a+4|+（b﹣8）2＝0． （1）如圖1，如果點P和點Q分別從點A，B同時出發(fā)，都沿數(shù)軸負方向運動，點P的運動速度為每秒2個單位，點Q的運動速度為每秒6個單位，設(shè)運動的時間為t（秒）． ①當BP＝3AP時，t的值為　 ??； ②當P、Q之間的距離為4時，求點Q對應(yīng)的數(shù)． （2）如圖2，如果點P從點A出發(fā)沿數(shù)軸的正方向以每秒2個單位的速度運動，點M、N分別是線段AP、BP的中點，在運動過程中，線段MN的長度是否為定值．如果變化，請說明理由；如果不變，請直接寫出線段MN的長度． 6.如圖，在數(shù)軸上A點表示數(shù)a，B點表示數(shù)b，C點表示數(shù)c，且a、c滿足|a+3|+|c﹣9|＝0．若點A與點B之間的距離表示為AB＝|a﹣b|，點B與點C之間的距離表示為BC＝|b﹣c|，點B在點A、C之間，且滿足BC＝2AB． （1）a=　 　，b=　 　，c=　 ??； （2）若點P為數(shù)軸上一動點，其對應(yīng)的數(shù)為x，當|x-a|=3時，x=　 　；當代數(shù)式|x-a|+|x-c|取得最小值時，此時最小值為　 ?。?（3）動點M從B點位置出發(fā)，沿數(shù)軸以每秒1個單位的速度向終點C運動，同時動點N從A點出發(fā)，以每秒2個單位的速度沿數(shù)軸向C點運動，設(shè)運動時間為t秒．問：當t為何值時，M，N兩點之間的距離為2個單位？ 7.如圖，已知數(shù)軸上有A，B，C三點，分別表示有理數(shù)，動點P從點A出發(fā)，以每秒1個單位的速度向終點C移動，當點P運動到B點時，點Q從A點出發(fā)，以每秒3個單位的速度向C點運動． （1）Q點出發(fā)3秒后所到的點表示的數(shù)為_____，此時P、Q兩點的距離為_____； （2）問當點Q從點A點出發(fā)幾秒鐘時，能追上點P？ （3）問當點Q從點A點出發(fā)幾秒鐘時，點P和點Q相距2個單位長度？直接寫出此時點Q在數(shù)軸上表示的有理數(shù)． 8.如圖，數(shù)軸上有A、B、C、D四點，點D對應(yīng)的數(shù)為x，已知，，，P、Q兩點同時從原點O出發(fā)，沿著數(shù)軸正方向分別以每秒鐘a和b個單位長度的速度運動，且．點Q到點D后立即朝數(shù)軸的負方向運動，速度不變，在點C處與點P相遇，相遇后點P也立即朝著數(shù)軸的負方向運動,且P點的速度變?yōu)?，Q點的速度不變. （1）P、Q兩點相遇時，點P前進的路程為 ；Q、P兩點相遇前的速度比 ；（用含有x的式子表示） （2）若點B為線段的中點，①此時，點D表示的數(shù)x= ； ②相遇后，當點P到達點A處時，點Q在原點O的 (填“左”或“右”)側(cè)，并求出此時點Q在數(shù)軸上所表示的數(shù)字； （3）在（2）的條件下，當點P到達點A處時，立即掉頭朝數(shù)軸的正方向運動，速度變?yōu)?a，點Q的速度始終不變，這兩點在點M處第二次相遇，則點M在數(shù)軸上所表示的數(shù)字為 . 9.已知數(shù)軸上點表示的數(shù)為，是數(shù)軸上在左側(cè)的一點，且，兩點間的距離為動點從點出發(fā)，以每秒個單位長度的速度沿數(shù)軸向左勻速運動，設(shè)運動時間為秒． （1）數(shù)軸上點表示的數(shù)是______，點表示的數(shù)是______用含的代數(shù)式表示； （2）動點從點出發(fā)，以每秒個單位長度的速度沿數(shù)軸向左勻速運動，若點、同時出發(fā)．求：當點運動多少秒時，點與點間的距離為個單位長度？ （3）若點為中點，點為中點，在點運動過程中，線段的長度是否發(fā)生變化？若變化，請說明理由；若不變，請求出線段的長． 10.如圖，已知在數(shù)軸上有三個點A、B、C，O是原點，滿足OA＝AB＝BC＝20cm，動點P從點O出發(fā)向 右以每秒2cm的速度勻速運動；同時，動點Q從點C出發(fā)，在數(shù)軸上向左勻速運動，速度為v（v＞1）； 運動時間為t． （1）求：點P從點O運動到點C時，運動時間t的值． （2）若Q的速度v為每秒3cm，那么經(jīng)過多長時間P，Q兩點相距30cm？此時|QB﹣QC|是多少？ （3）當|PA+PB|＝2|QB﹣QC|＝24時，請直接寫出點Q的速度v的值． 課程標準1.掌握數(shù)軸上兩點間的距離及重點的計算方法； 2.能夠運用行程問題解決數(shù)軸上的動點問題.類型公式或關(guān)系式數(shù)軸上兩點的距離右-左或兩數(shù)差的絕對值數(shù)軸上兩點的中點兩數(shù)相加÷2

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