1.結合作差法，了解基本不等式的證明過程，凸顯邏輯推理的核心素養(yǎng)．
2．結合求函數(shù)最值問題，考查靈活運用基本不等式解決問題的能力，凸顯數(shù)學運算的核心素養(yǎng)．
3．結合實際應用問題，考查利用基本不等式求最值問題，凸顯數(shù)學建模的核心素養(yǎng)．
[理清主干知識]
1．基本不等式：eq \r(ab)≤eq \f(a＋b,2)
(1)基本不等式成立的條件：a>0，b>0.
(2)等號成立的條件：當且僅當a＝b時取等號．
2．幾個重要的不等式
eq \b\lc\ \rc\}(\a\vs4\al\c1(?1?a2＋b2≥2ab，a，b∈R；,?2?\f(b,a)＋\f(a,b)≥2，ab>0；,?3?ab≤\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(a＋b,2)))2，a，b∈R；,?4?\f(a2＋b2,2)≥\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(a＋b,2)))2，a，b∈R))eq \a\vs4\al(當且僅當a＝b時,等號成立.)
3．算術平均數(shù)與幾何平均數(shù)
設a>0，b>0，則a，b的算術平均數(shù)為eq \f(a＋b,2)，幾何平均數(shù)為eq \r(ab)，基本不等式可敘述為：兩個正數(shù)的算術平均數(shù)不小于它們的幾何平均數(shù)．
4．利用基本不等式求最值問題
已知x>0，y>0，則：
(1)如果積xy是定值p，那么當且僅當x＝y(tǒng)時，x＋y有最小值是2eq \r(p).(簡記：積定和最小)
(2)如果和x＋y是定值p，那么當且僅當x＝y(tǒng)時，xy有最大值是eq \f(p2,4).(簡記：和定積最大)
[澄清盲點誤點]
一、關鍵點練明
1．已知x>0，y>0，xy＝16，則x＋y的最小值為( )
A．32 B．24 C．4eq \r(2) D．8
2．若x>0，y>0，且2(x＋y)＝36，則eq \r(xy)的最大值為( )
A．9 B．18 C．36 D．81
3．若x0，b>0，且ab＝1，則eq \f(1,2a)＋eq \f(1,2b)＋eq \f(8,a＋b)的最小值為________．
[方法技巧]
1．拼湊法求最值
拼湊法就是將相關代數(shù)式進行適當?shù)淖冃危ㄟ^添項、拆項等方法湊成和為定值或積為定值的形式，然后利用基本不等式求解最值的方法．拼湊法的實質在于代數(shù)式的靈活變形，拼系數(shù)、湊常數(shù)是關鍵．
2．拼湊法求解最值應注意的問題
(1)拼湊的技巧，以整式為基礎，注意利用系數(shù)的變化以及等式中常數(shù)的調整，做到等價變形；
(2)代數(shù)式的變形以拼湊出和或積的定值為目標；
(3)拆項、添項時應注意檢驗利用基本不等式的條件．
考法(二) 常數(shù)代換法求最值
[例2] (1)已知函數(shù)y＝lga(x－1)＋2(a>0且a≠1)的圖象恒過定點A.若直線mx＋ny＝2過點A，其中m，n是正實數(shù)，則eq \f(1,m)＋eq \f(2,n)的最小值是( )
A．3＋eq \r(2) B．3＋2eq \r(2) C.eq \f(9,2) D．5
(2)已知a>0，b>0,3a＋b＝2ab，則a＋b的最小值為________．
[方法技巧]
1．常數(shù)代換法求最值的步驟
(1)根據(jù)已知條件或其變形確定定值(常數(shù))；
(2)把確定的定值(常數(shù))變形為1；
(3)把“1”的表達式與所求最值的表達式相乘或相除，進而構造和或積的形式；
(4)利用基本不等式求解最值．
2．常數(shù)代換法求解最值應注意的問題
(1)條件的靈活變形，確定或分離出常數(shù)是基礎；
(2)已知等式化成“1”的表達式，是代數(shù)式等價變形的關鍵；
(3)利用基本不等式求最值時注意基本不等式的前提條件．
考法(三) 消元法求最值
[例3] 已知正實數(shù)a，b，c滿足a2－ab＋4b2－c＝0，當eq \f(c,ab)取最小值時，a＋b－c的最大值為( )
A．2 B.eq \f(3,4) C.eq \f(3,8) D.eq \f(1,4)
[方法技巧]
通過消元法求最值的方法
消元法，即根據(jù)條件建立兩個量之間的函數(shù)關系，然后代入代數(shù)式轉化為函數(shù)的最值求解．有時會出現(xiàn)多元的問題，解決方法是消元后利用基本不等式求解．
考法(四) 放縮法求最值
[例4] (1)已知正數(shù)a，b滿足ab＝a＋b＋3，則ab的最小值是________．
(2)已知x>0，y>0，x＋3y＋xy＝9，則x＋3y的最小值為________．
[方法技巧]
放縮法解不等式求最值的方法
將所給代數(shù)式，利用基本不等式放大或縮小，構造出所求最值的代數(shù)式的結構，然后通過解不等式求出代數(shù)式范圍，從而求出代數(shù)式的最值．
考點二 基本不等式在實際問題中的應用
[典例] 如圖，一個鋁合金窗分為上、下兩欄，四周框架和中間隔擋的材料為鋁合金，寬均為6 cm，上欄與下欄的框內高度(不含鋁合金部分)的比為1∶2，此鋁合金窗占用的墻面面積為28 800 cm2，設該鋁合金窗的寬和高分別為a cm，b cm，鋁合金窗的透光部分的面積為S cm2.
(1)試用a，b表示S；
(2)若要使S最大，則鋁合金窗的寬和高分別為多少？
[方法技巧]
利用基本不等式求解實際應用題的方法
(1)此類型題目的題干往往較長，解題時需認真閱讀，從中提煉出有用信息，建立數(shù)學模型，轉化為數(shù)學問題求解．
(2)當運用基本不等式求最值時，若等號成立的自變量不在定義域內時，就不能使用基本不等式求解，此時可根據(jù)變量的范圍用對應函數(shù)的單調性求解．
[針對訓練]
經調查測算，某產品的年銷售量(即該廠的年產量)x萬件與年促銷費用m萬元(m≥0)滿足x＝3－eq \f(k,m＋1)(k為常數(shù))，如果不搞促銷活動，則該產品的年銷售量只能是1萬件．已知2021年生產該產品的固定投入為8萬元，每生產1萬件該產品需要再投入16萬元，廠家將每件產品的銷售價格定為每件產品平均成本的1.5倍(產品成本包括固定投入和再投入兩部分資金)．
(1)將2021年該產品的利潤y萬元表示為年促銷費用m萬元的函數(shù)；
(2)該廠家2021年的促銷費用投入多少萬元時，廠家的利潤最大？
[典例] (1)如圖，在△ABC中，eq \(CM,\s\up7(―→))＝2eq \(MB,\s\up7(―→))，過點M的直線分別交射線AB，AC于不同的兩點P，Q，若eq \(AP,\s\up7(―→))＝meq \(AB,\s\up7(―→))，eq \(AQ,\s\up7(―→))＝neq \(AC,\s\up7(―→))，則mn＋m的最小值為( )
A．2 B．2eq \r(3) C．6 D．6eq \r(3)
(2)已知x>0，y>0，且eq \f(xy,2y＋3x)＝1，不等式eq \f(x,2)＋eq \f(y,3)≥m恒成立，則實數(shù)m的取值范圍是________．
[方法技巧]
基本不等式的應用非常廣泛，它可以和數(shù)學的其他知識交匯考查，解決這類問題的策略是：
(1)先根據(jù)所交匯的知識進行變形，通過換元、配湊、巧換“1”等手段把最值問題轉化為用基本不等式求解，這是難點；
(2)要有利用基本不等式求最值的意識，善于把條件轉化為能利用基本不等式的形式；
(3)檢驗等號是否成立，完成后續(xù)問題．
[針對訓練]
1.如圖，三棱錐P-ABC中，PA，PB，PC兩兩垂直，PA＝PB＝PC＝2，設點K是△ABC內一點，現(xiàn)定義f(K)＝(x，y，z)，其中x，y，z分別是三棱錐K-PAB，K-PBC，K-PAC的體積，若f(K)＝(a，eq \f(1,3)，b)，則eq \f(3a＋b,ab)的最小值為________．
2．在△ABC中，角A，B，C所對的邊分別為a，b，c，∠ABC＝120°，∠ABC的平分線交AC于點D，且BD＝1，則4a＋c的最小值為________．
一、創(chuàng)新思維角度——融會貫通學妙法
“1的代換”的妙用
1．若正實數(shù)x，y滿足x＋y＝1，則eq \f(y,x)＋eq \f(4,y)的最小值是________．
2．已知a＞0，b＞0，且eq \f(1,a)＋eq \f(1,b)＝1，則3a＋2b＋eq \f(b,a)的最小值為________．
3．計算(1＋tan 20°)(1＋tan 25°)＝________.
eq \a\vs4\al([名師微點])
“1”的代換是通過在實際解題中，恰當運用“1”的整體性進行代換，結合相應的定理、公式，進而達到迅速解題的目的，常在不等式及三角函數(shù)中應用．
二、創(chuàng)新考查方式——領悟高考新動向
1．一家商店使用一架兩臂不等長的天平秤黃金，一位顧客到店里購買10 g黃金，售貨員先將5 g的砝碼放在天平的左盤中，取出一些黃金放在天平右盤中使天平平衡；再將5 g的砝碼放在天平右盤中，再取出一些黃金放在天平左盤中使天平平衡；最后將兩次秤得的黃金交給顧客，你認為顧客購得的黃金( )
A．大于10 g B．大于等于10 g C．小于10 g D．小于等于10 g
2．某項研究表明：在考慮行車安全的情況下，某路段車流量F(單位時間內經過測量點的車輛數(shù)，單位：輛/小時)與車流速度v(假設車輛以相同速度v行駛，單位：米/秒)、平均車長l(單位：米)的值有關，其公式為F＝eq \f(76 000v,v2＋18v＋20l).
(1)如果不限定車型，l＝6.05，則最大車流量為________輛/小時；
(2)如果限定車型，l＝5，則最大車流量比(1)中的最大車流量增加________輛/小時．
3．規(guī)定：“?”表示一種運算，即a?b＝eq \r(ab)＋a＋b(a，b為正實數(shù))．若1?k＝3，則k的值為________，此時函數(shù)f(x)＝eq \f(k?x,\r(x))的最小值為________．
4．已知eq \f(π,4)0，b>0)的最大值為1，則eq \f(1,a)＋eq \f(1,b)有( )
A．最大值9 B．最大值18
C．最小值9 D．最小值18
10．已知a>0，b>0，若直線(a－1)x＋2y－1＝0與直線x＋by＝0互相垂直，則ab的最大值是________．
11．若關于x的不等式x＋eq \f(4,x－a)≥5在x∈(a，＋∞)上恒成立，則實數(shù)a的最小值為________．
12．已知函數(shù)f(x)＝eq \f(x2＋ax＋11,x＋1)(a∈R)，若對于任意的x∈N*，f(x)≥3恒成立，則a的取值范圍是__________．
13．(1)當x＜eq \f(3,2)時，求函數(shù)y＝x＋eq \f(8,2x－3)的最大值；
(2)設0＜x＜2，求函數(shù)y＝eq \r(x?4－2x?)的最大值．
14．運貨卡車以每小時x千米的速度勻速行駛130千米，按交通法規(guī)限制50≤x≤100(單位：千米/時)．假設汽油的價格是每升2元，而汽車每小時耗油eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(2＋\f(x2,360)))升，司機的工資是每小時14元．
(1)求這次行車總費用y關于x的表達式；
(2)當x為何值時，這次行車的總費用最低，并求出最低費用的值．
三、自選練——練高考區(qū)分度
1．已知函數(shù)f(x)＝lga(x＋4)－1(a＞0且a≠1)的圖象恒過定點A，若直線eq \f(x,m)＋eq \f(y,n)＝－2(m＞0，n＞0)也經過點A，則3m＋n的最小值為( )
A．16 B．8 C．12 D．14
2．若實數(shù)x，y滿足x2y2＋x2＋y2＝8，則x2＋y2的取值范圍為( )
A．[4,8] B．[8，＋∞) C．[2,8] D．[2,4]
3.某縣一中計劃把一塊邊長為20米的等邊△ABC的邊角地開辟為植物新品種實驗基地，圖中DE需要把基地分成面積相等的兩部分，D在AB上，E在AC上．
(1)設AD＝x(x≥10)，ED＝y(tǒng)，使用x表示y的函數(shù)關系式；
(2)如果ED是灌溉輸水管道的位置，為了節(jié)約，ED的位置應該在哪里？求出最小值．

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