（寒假）人教A版高二數(shù)學寒假培優(yōu)講義+隨堂檢測+課后練習第03講數(shù)列求和方法（2份，原卷版+教師版）-試卷下載-教習網(wǎng)

一．公式法：直接利用等差數(shù)列、等比數(shù)列的前n項和公式求和．
1.等差數(shù)列的前n項和公式Sn＝ eq \f(n（a1＋an）,2) ＝na1＋ eq \f(n（n－1）,2) d．
2.等比數(shù)列的前n項和公式Sn＝ eq \b\lc\{(\a\vs4\al\c1(na1，q＝1，,\f(a1（1－qn）,1－q)＝\f(a1－anq,1－q)，q≠1.))
二．裂項相消法
1.通項特征
（1）分式：分為可拆成偶數(shù)個同類因式相乘
（2）根式：利用平方差公式進行有理化
2.解題思路
三．錯位相減法
1.通項特征
或
2.解題思路
四．分組轉(zhuǎn)化求和法
1.通項特征
(1)若an＝bn±cn，且{bn}，{cn}為等差或等比數(shù)列，可采用分組求和法求{an}的前n項和．
(2)若an＝ eq \b\lc\{(\a\vs4\al\c1(bn，n為奇數(shù)，,cn，n為偶數(shù)，)) 且數(shù)列{bn}，{cn}是等比數(shù)列或等差數(shù)列，可采用分組求和法求和．
2.解題思路
五．并項求和法：一個數(shù)列的前n項和中，可兩兩結(jié)合求解，則稱之為并項求和
1.通項特征
形如an＝(－1)nf(n)類型，可采用兩項合并求解．
2.解題思路
五．倒序相加法
如果一個數(shù)列{an}的前n項中，與首末兩端等“距離”的兩項的和相等，那么求這個數(shù)列的前n項和即可用倒序相加法求解
1．并項求和時不能準確分組；
2．用錯位相減法求和時易出現(xiàn)符號錯誤，不能準確“錯項對齊”；
3．在應用裂項相消法求和時，要注意消項的規(guī)律具有對稱性，即前面剩多少項，后面就剩多少項，且前后對應項的符號相反．
考法一裂項相消求和
【例1-1】已知等差數(shù)列的公差為正數(shù)，且，若分別是等比數(shù)列的前三項．
(1)分別求數(shù)列、的通項公式；
(2)求數(shù)列的前項之和．
【答案】(1)(2)
【解析】（1）設(shè)等差數(shù)列的公差為，因為，，是等比數(shù)列的前三項，
所以，即，
化簡得，又，所以．得．
由（1），可得數(shù)列的前三項分別為，，，
顯然該等比數(shù)列的公比為3，首項為3．
所以．綜上，兩數(shù)列的通項公式分別為．
（2）．
則
【例1-2】已知數(shù)列的前項和為，且.
(1)求數(shù)列的通項公式;
(2)若，求數(shù)列的前項和.
【答案】(1)(2)
【解析】（1）因為，當時，，
當時，，所以，即，
又因為，滿足上式，所以是以為首項，為公比的等比數(shù)列，則.
（2）因為，
所以.
【一隅三反】
1．定義：對于任意一個有窮數(shù)列，第一次在其每相鄰的兩項間都插人這兩項的和，得到的新數(shù)列稱之為一階和數(shù)列，如果在一階和數(shù)列的基礎(chǔ)上再在其相鄰的兩項間插入這兩項的和稱之為二階和數(shù)列，以此類推可以得到n階和數(shù)列，如的一階和數(shù)列是，設(shè)它的n階和數(shù)列各項和為．
(1)試求的二階和數(shù)列各項和與三階和數(shù)列各項和，并猜想的通項公式（無需證明）；
(2)若，求的前n項和，并證明：．
【答案】(1)，，；(2)，證明見解析
【解析】（1）由題意得，，，
，
，…
，
由等比數(shù)列的前n項和公式可得，，所以的通項公式．
（2）由于，所以，
則，因為，所以，所以，
又隨n的增大而減小，所以當時，取得最大值，故．
2．已知數(shù)列滿足．
(1)證明為等差數(shù)列，并的通項公式；
(2)設(shè)，求數(shù)列的前項和．
【答案】(1)證明見解析，；(2)
【解析】（1）證明：因為，所以，即
所以是以為首項，為公差的等差數(shù)列，則，所以；
（2）
.
3.設(shè)為數(shù)列的前項和，已知，且滿足．
(1)求數(shù)列的通項公式；
(2)設(shè)為數(shù)列的前項和，當時，．若對于任意，有，求取值范圍．
【答案】(1)(2)
【解析】（1），
∴，，
∴,∴當時，；當時，也符合上式，
∴．
（2），
∵，∴，
當時，滿足，
當時，存在，（其中，表示不超過的最大整數(shù)），
使得，則，∴，不滿足條件，∴．
考法二錯位相減求和
【例2】已知數(shù)列滿足，（）.記
(1)求證：是等比數(shù)列；
(2)設(shè)，求數(shù)列的前項和.
【答案】(1)證明見解析；(2)
【解析】（1）由已知，∵，∴，
∵，∴，
又∵，∴，
∴易知數(shù)列中任意一項不為，∴，∴數(shù)列是首項為，公比為的等比數(shù)列.
（2）由第（1）問，，∴，∴設(shè)數(shù)列的前項和為，則
①，
①得，②，
①②得，，
∴，∴.
∴數(shù)列的前項和為.
【一隅三反】
1．（2023·河北滄州·滄縣中學?？寄M預測）已知數(shù)列的前項和為，且.
(1)求數(shù)列的通項公式；
(2)設(shè)，求數(shù)列的前項和.
【答案】(1)；(2)
【解析】（1）因為，所以當時，，所以，
又當時，，解得，所以，所以，
所以是首項為?公比為的等比數(shù)列，所以的通項公式為.
（2）由（1）知，所以，
所以，兩式相減，得
，
所以.
2.記正項數(shù)列的前項和為，已知點在函數(shù)的圖象上，且，數(shù)列滿足，．
(1)求數(shù)列，的通項公式；
(2)設(shè)，求數(shù)列的前項和．
【答案】(1)；；(2)
【解析】（1）因為點在函數(shù)的圖象上，
所以，
當時，，所以，解得或，
因為，所以，當時，，，
兩式相減得：，即，
因為，所以，所以數(shù)列是首項為，公差為的等差數(shù)列，
所以；
由知，是以為公比的等比數(shù)列，又，所以.①
（2）因為，
，
，
兩式相減可得
所以.
考法三分組轉(zhuǎn)化求和
【例3-1】已知等差數(shù)列滿足，．
(1)求；
(2)數(shù)列滿足，為數(shù)列的前項和，求．
【答案】(1)；(2)
【解析】（1）設(shè)等差數(shù)列的公差為d，
因為，．則，解得，
所以．
（2）由（1）可得，
則
，所以.
【一隅三反】
1．設(shè)為公差不為0的等差數(shù)列的前項和，若成等比數(shù)列，.
(1)求數(shù)列的通項公式；
(2)設(shè)，求數(shù)列的前項和.
【答案】(1)；(2)
【解析】（1）設(shè)等差數(shù)列的公差為由成等比數(shù)列可得，所以，所以，
因為，所以.①又，所以，②所以，
聯(lián)立①②得，所以數(shù)列的通項公式.
（2）由（1）知，所以
.
2．已知是等差數(shù)列，，，且，，成等比數(shù)列.
(1)求數(shù)列的通項公式；
(2)令，記，求.
【答案】(1)；(2)
【解析】（1）因為是等差數(shù)列，，，且，，成等比數(shù)列，
所以，即，解得或（舍去），所以．
（2）由題意知，，
所以．
當為偶數(shù)時，
，
當為奇數(shù)時，．
綜上．
考法四并項求和
【例4-1】在數(shù)列中，，當時，
(1)求證：數(shù)列是等差數(shù)列；
(2)設(shè)，數(shù)列的前n項和為，求
【答案】(1)證明見解析；(2)
【解析】（1）因為，
所以，兩邊同除以，得，
所以是以為首項，1為公差的等差數(shù)列.
（2）由（1）知，，整理得：，
則，
當n為偶數(shù)時，，
當n為奇數(shù)時，，
所以.
【例4-2】已知數(shù)列是公差不為0的等差數(shù)列，，且成等比數(shù)列.
(1)求數(shù)列的通項公式；
(2)設(shè)，求數(shù)列的前2023項和.
【答案】(1)；(2)1012
【解析】（1）設(shè)等差數(shù)列的公差為，由題意可知，
即解得，所以；
（2）由（1）可知，，
對于任意，有，所以，
故數(shù)列的前2023項和為
.
【一隅三反】
1．已知數(shù)列的前項和，其中，且.
(1)求的通項公式；
(2)設(shè)，求數(shù)列的前2023項和.
【答案】(1)；(2)
【解析】（1）因為，則，由，可得，
當時，則，整理得，即；
當時，則，可得，
整理得，
因為，則，可得，即，
故數(shù)列是以首項為1，公差為2的等差數(shù)列，所以.
（2）由（1）可得：，當為偶數(shù)時，則，
所以
，即.
2．記為數(shù)列的前項和，已知，且滿足.
(1)證明：數(shù)列為等差數(shù)列；
(2)設(shè)，求數(shù)列的前項和.
【答案】(1)證明見解析；(2)
【解析】（1）方法1：，時，，
累加得：，時也成立，.
，是等差數(shù)列
方法2：，，
為常數(shù)數(shù)列，，，，是等差數(shù)列.
方法3：當時，①，②，
②-①可得：，
是等差數(shù)列，因為.
（2）由（1）知，所以，方法1：并項求和
當為偶數(shù)時，，
方法2：錯位相減求和
①
②
①-②：
考法五倒序相加求和
【例5】高斯（Gauss）被認為是歷史上最重要的數(shù)學家之一，并享有“數(shù)學王子”之稱．小學進行的求和運算時，他這樣算的：，，…，，共有50組，所以，這就是著名的高斯算法，課本上推導等差數(shù)列前n項和的方法正是借助了高斯算法．已知正數(shù)數(shù)列是公比不等于1的等比數(shù)列，且，試根據(jù)以上提示探求：若，則（）
A．2023B．4046C．2022D．4044
【答案】B
【解析】根據(jù)等比數(shù)列的下標性質(zhì)由，
∵函數(shù)，∴，
令，則，
∴，∴．故選：B
【一隅三反】
1．已知函數(shù)為奇函數(shù)，且，若，則數(shù)列的前2022項和為（）
A．2023B．2022C．2021D．2020
【答案】B
【解析】由于函數(shù)為奇函數(shù)，則，
即，所以，所以，
所以
因此數(shù)列的前2022項和為．故選：B.
2．已知數(shù)列的前n項和為，且，設(shè)函數(shù)，則______．
【答案】
【解析】∵①，∴當時，②，
①－②得，∴；
當時，，∴，此時仍然成立，∴．
∴當n=1時，；當時，，
當n=1時，上式也成立，故．
由于，設(shè)
則，∴．
故答案為：．
數(shù)列章節(jié)檢測
一、單選題
1．設(shè)等差數(shù)列的前n項和為，若，則（）
A．44B．48C．55D．72
【答案】A
【分析】利用基本量法可得，故可求的值.
【詳解】設(shè)的公差為d，則，即，則，故選：A.
2．設(shè)是公差大于零的等差數(shù)列，為數(shù)列的前項和，則“”是“”的（）
A．充分不必要條件B．必要不充分條件
C．充要條件D．既不充分也不必要條件
【答案】C
【解析】由得出，再結(jié)合等差數(shù)列的性質(zhì)以及充分條件、必要條件的定義判斷即可.
【詳解】，由是公差大于零的等差數(shù)列，且，可得，即；
反之，若，則當時，，即．因此，“”是“”的充要條件.故選：C.
3．在等比數(shù)列中，公比，且，則（）
A．3B．12C．18D．24
【答案】B
【分析】根據(jù)等比數(shù)列的性質(zhì)即可求解.
【詳解】，.
故選:B.
4．已知數(shù)列各項為正數(shù)，滿足，，則（）
A．是等差數(shù)列B．是等比數(shù)列
C．是等差數(shù)列D．是等比數(shù)列
【答案】C
【分析】分析可知數(shù)列的每一項都是正數(shù)，由已知條件可得出，結(jié)合等差中項法判斷可得出結(jié)論.
【詳解】因為數(shù)列各項為正數(shù)，滿足，，故對任意的，，則，所以，數(shù)列的每一項都是正數(shù)，所以，，可得，由等差中項法可知，數(shù)列是等差數(shù)列，故選：C.
5．已知正項數(shù)列的前n項和為，且，，則（）
A． B． C． D．
【答案】C
【分析】由關(guān)系且可得，利用累加法、等比數(shù)列前n項和公式求.
【詳解】由題設(shè)，則，
又都為正項，則，故，所以，
所以，故.故選：C
6．已知函數(shù)，數(shù)列滿足，，，則（）
A．0B．1C．675D．2023
【答案】B
【分析】利用函數(shù)計算可得，再利用數(shù)列的周期性可求.
【詳解】的定義域為，且，故為上的奇函數(shù).
而，因在上為增函數(shù)，在為增函數(shù)，故為上的增函數(shù).
又即為，故，因為，故為周期數(shù)列且周期為3.因為，所以.故選：B.
二、多選題
7．對于數(shù)列，若，，則下列說法正確的是（）
A．B．數(shù)列是等差數(shù)列
C．數(shù)列是等差數(shù)列D．
【答案】ACD
【分析】由，得，兩式相減得，結(jié)合可知數(shù)列所有奇數(shù)項和所有偶數(shù)項各自構(gòu)成等差數(shù)列，從而即可對選項進行逐一判斷.
【詳解】由，，得，，
，所以A選項正確；又，，兩式相減得，
令，可得，所以不是等差數(shù)列，是等差數(shù)列，故B選項錯誤，C正確；
同理，令，則，所以是以為首項，公差為2的等差數(shù)列，
所以，故D正確.故選：ACD
8．已知數(shù)列滿足為的前項和．則下列說法正確的是（）
A．取最大值時，B．當取最小值時，
C．當取最大值時，D．的最大值為
【答案】AD
【分析】由題意知，即可得到的取值范圍，從而得到令，即可得到，從而得到，即可判斷A、B，再利用基本不等式求出，即可判斷C、D.
【詳解】由題意知，則，因為，所以，
令，所以，所以，所以，
即或，又，故．
當取最大值時，，此時，則，，故，故A正確；
當取最小值時，，此時，則，，故，故B不正確；
由，知，即，當且僅當時取等號，故當取最大值時，，此時，故C不正確，D正確．故選：AD
三、填空題
9.已知數(shù)列滿足，數(shù)列的前項和為，則 .
【答案】
【分析】根據(jù)所給遞推關(guān)系可得，，與原式作差即可求解，注意驗證首項，再結(jié)合裂項相消法求和即可..
【詳解】因為，
所以，兩式相減，可得，即，
又當時，，不滿足，所以
所以當時，，
當時，,
所以.
故答案為：.
10．已知各項都不為0的數(shù)列的前項和滿足，其中，設(shè)數(shù)列的前項和為，若對一切，恒有成立，則能取到的最大整數(shù)是 .
【答案】
【分析】根據(jù)題意推得，利用等差數(shù)列的通項公式，求得的通項公式為，得到，令，結(jié)合，求得最小時為，根據(jù)恒成立，求得，即可求解.
【詳解】因為，當時，，
兩式相減可得，即，
因為數(shù)列的各項都不為0，所以，因為，所以，
數(shù)列的奇數(shù)項是以1為首項，公差為2的等差數(shù)列，所以；
數(shù)列的偶數(shù)項是以2為首項，公差為2的等差數(shù)列，所以，
故數(shù)列的通項公式為，可得，所以，
令，，
，則，
所以隨著的增大而增大，即在處取最小值，，
又因為對一切，恒有成立，所以，解得，故能取到的最大整數(shù)是.
故答案為：.
四、解答題
11．在①為等差數(shù)列，；②；③是等差數(shù)列，，，這三個條件中任選一個，補充在下面問題中，并加以解答.已知數(shù)列的前項和為，__________.
(1)求的通項公式；
(2)設(shè)，求數(shù)列的前項和.
【答案】(1)；(2)
【分析】（1）根據(jù)等差數(shù)列通項公式和前n項和公式以及由遞推關(guān)系求通項的方法代入即可求解；（2）兩次使用乘工筆錯位相減即可求解.
【詳解】（1）若選①，設(shè)的公差為，
由題意可得解得，所以.
若選②，當時，，解得；由題得，所以當時，，
作差得，即，又，所以，
所以是公差為2的等差數(shù)列，所以.
若選③，設(shè)的公差為，所以，
所以，
因為，所以，解得或（舍去），所以，
當時，，當時，，也滿足，所以.
（2）由（1）可得，所以.所以，①
所以，②
①-②得，令③
則，④
③-④得，所以，
所以，所以.
12．已知為數(shù)列的前項和，．
(1)求數(shù)列的通項公式；
(2)設(shè)，記的前項和為，證明：．
【答案】(1)；(2)證明見解析
【分析】（1）根據(jù)數(shù)列遞推式可得，采用兩式相減的方法可得，從而構(gòu)造數(shù)列，可求得的通項公式；
（2）由（1）的結(jié)論可得的表達式，利用裂項求和法，可得答案.
【詳解】（1）當時，，則，
因為，所以，兩式相減得：，
所以，，，，則，即也適合上式，
所以是以5為首項，公比為2的等比數(shù)列，故：，故；
（2）由（1）得，
故，
當時，，故.
13．已知數(shù)列中，，，（），，，，成等差數(shù)列．
(1)求k的值和的通項公式；
(2)設(shè)，求數(shù)列的前n項和．
【答案】(1)，；(2)
【分析】（1）由，，成等差數(shù)列，可求得，即可求出值和通項公式.
（2）由（1）可求出的通項公式，分類討論即可求出數(shù)列的前n項和．
【詳解】（1）解：，，成等差數(shù)列，所以，
得，得，因為，所以，
所以，得．
（2）由（1）知，
當n為偶數(shù)時，設(shè)n＝2k，
可得
，即；
當n為奇數(shù)時，設(shè)n＝2k－1，
可得
，即．
綜上所述，.
數(shù)列求和隨堂檢測
1.已知等差數(shù)列與等差數(shù)列的前項和分別為和，且，那么的值為（）
A．B．C．D．
【答案】C
【分析】設(shè)等差數(shù)列、的公差分別為、,由題意利用等差數(shù)列的性質(zhì)求出它們的首項、公差之間的關(guān)系,可得結(jié)論.
【詳解】設(shè)等差數(shù)列的公差分別為和
,即 ,即 ①
,即 ② 由①②解得
故選：C
2.在數(shù)列中，，數(shù)列是公比為2的等比數(shù)列，設(shè)為的前n項和，則（）
A． B． C．數(shù)列為遞減數(shù)列 D．
【答案】ACD
【分析】由已知結(jié)合等比數(shù)列通項公式可求，進而可求，然后結(jié)合單調(diào)性定義及數(shù)列的求和分別檢驗各選項即可判斷和選擇.
【詳解】因為，數(shù)列是公比為2的等比數(shù)列，所以所以，故正確，錯誤；因為是單調(diào)增函數(shù)，故是單調(diào)減函數(shù)，故數(shù)列是減數(shù)列，故正確；，故正確.
故選：.
3.已知數(shù)列滿足，，則數(shù)列的通項公式為．
【答案】
【分析】對已知遞推關(guān)系的等式兩邊同時除以，利用累加法，結(jié)合裂項求和法即可求得結(jié)果.
【詳解】，兩邊同除得：，
所以，即，
化簡得，∵，∴．故答案為：.
4.已知數(shù)列是等差數(shù)列，，．
(1)求數(shù)列的通項公式；
(2)若，求數(shù)列的前n項和．
【答案】(1)；(2)
【解析】（1），故，故.
（2），
.
5.已知數(shù)列的前項和為，．
(1)證明：是等差數(shù)列；
(2)求數(shù)列的前項積．
【答案】(1)證明見解析；(2)
【分析】（1）根據(jù)與的關(guān)系化簡，可得，由等差數(shù)列的定義得證；
（2）由（1）求出，再由累乘法求解.
【詳解】（1）由，得．所以，
即，整理得，上式兩邊同時除以，得．
又，所以，即，所以是首項為2，公差為1的等差數(shù)列．
（2）由（1）知，．所以．
所以．
5.已知數(shù)列的前項和為，且，，．
(1)求數(shù)列的通項公式；
(2)設(shè)，數(shù)列的前項和，求證：．
【答案】(1)(2)證明見解析
【解析】（1）因為，所以，
因為，所以，即，所以．
即，又，所以數(shù)列是首項為，公比為的等比數(shù)列．所以.
（2），
故數(shù)列的前項和，
因為，所以，所以．
6.數(shù)列中，
(1)求數(shù)列的通項公式；
(2)設(shè)，數(shù)列的前項和為，證明.
【答案】(1)；(2)證明見解析
【解析】（1）因為，即，
所以當時，，
將以上各式相加，得，則，
當時也符合上式，故.
（2）由題意.
所以
7.已知正項數(shù)列的前項和為，滿足，數(shù)列的前項積為!.
(1)求數(shù)列的通項公式；
(2)令，求數(shù)列的前項和.
【答案】(1)，；(2)
【解析】（1）因為，①
當時，可得，當時，，②
由①②得，
因為，所以，所以為常數(shù)，
所以是首項為2，公比為2的等比數(shù)列，所以；
由于數(shù)列的前項的乘積為!，
當時，得；當時，得.
又因為符合通項，所以.
（2）由（1）可知，，
則，①
即，②
則①-②得：，
即.
8.已知數(shù)列的前項和滿足，且．
(1)求的通項公式；
(2)若，求數(shù)列的前項和．
【答案】(1)；(2)
【解析】（1）因為，當時，
所以，即，所以，
所以，即是常數(shù)數(shù)列，又，所以，則.
（2）因為，
當為偶數(shù)時，
；
當為奇數(shù)時，
；
綜上可得.

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