核心素養(yǎng)立意下的命題導(dǎo)向
1.與基本初等函數(shù)相結(jié)合考查函數(shù)導(dǎo)數(shù)的計算，凸顯數(shù)學(xué)運算的核心素養(yǎng)．
2．與曲線方程相結(jié)合考查導(dǎo)數(shù)的幾何意義，凸顯數(shù)學(xué)運算、直觀想象的核心素養(yǎng)．
[理清主干知識]
1．導(dǎo)數(shù)的概念
函數(shù)y＝f(x)在x＝x0處的瞬時變化率lieq \(m,\s\d4(Δx→0)) eq \f(Δy,Δx)＝lieq \(m,\s\d4(Δx→0)) eq \f(f?x0＋Δx?－f?x0?,Δx)為函數(shù)y＝f(x)在x＝x0處的導(dǎo)數(shù)，記作f′(x0)或y′|x＝x0，即f′(x0)＝lieq \(m,\s\d4(Δx→0)) eq \f(Δy,Δx)＝lieq \(m,\s\d4(Δx→0)) eq \f(f?x0＋Δx?－f?x0?,Δx).稱函數(shù)f′(x)＝lieq \(m,\s\d4(Δx→0)) eq \f(f?x＋Δx?－f?x?,Δx)為f(x)的導(dǎo)函數(shù)．
2．基本初等函數(shù)的導(dǎo)數(shù)公式
3．導(dǎo)數(shù)運算法則
(1)[f(x)±g(x)]′＝f′(x)±g′(x)；
(2)[f(x)·g(x)]′＝f′(x)g(x)＋f(x)g′(x)；
(3)[]′＝eq \f(f′?x?g?x?－f?x?g′?x?,[g?x?]2)(g(x)≠0)．
4．導(dǎo)數(shù)的幾何意義
函數(shù)f(x)在點x0處的導(dǎo)數(shù)f′(x0)的幾何意義是在曲線y＝f(x)上點P(x0，y0)處的切線的斜率．相應(yīng)地，切線方程為y﹣y0＝f′(x0)(x﹣x0)．特別地，如果曲線y＝f(x)在點(x0，y0)處的切線垂直于x軸，則此時導(dǎo)數(shù)f′(x0)不存在，由切線定義可知，切線方程為x＝x0.
5．復(fù)合函數(shù)的導(dǎo)數(shù)
復(fù)合函數(shù)y＝f(g(x))的導(dǎo)數(shù)和函數(shù)y＝f(u)，u＝g(x)的導(dǎo)數(shù)間的關(guān)系為yx′＝y(tǒng)u′·ux′，即y對x的導(dǎo)數(shù)等于y對u的導(dǎo)數(shù)與u對x的導(dǎo)數(shù)的乘積．
[澄清盲點誤點]
一、關(guān)鍵點練明
1．若函數(shù)f(x)＝eq \f(x,ex)(e是自然對數(shù)的底數(shù))，則其導(dǎo)函數(shù)f′(x)＝( )
A.eq \f(1＋x,ex) B.eq \f(1－x,ex) C．1＋x D．1﹣x
2．已知f(x)＝13﹣8x＋2x2，f′(x0)＝4，則x0＝________.
3．曲線y＝lg2x在點(1,0)處的切線與坐標(biāo)軸所圍成三角形的面積等于________．
4．已知函數(shù)f(x)＝axln x＋b(a，b∈R)，若f(x)的圖象在x＝1處的切線方程為2x﹣y＝0，則a＋b＝________.
二、易錯點練清
1．(多選)下列導(dǎo)數(shù)的運算中正確的是( )
A．(3x)′＝3xln 3 B．(x2ln x)′＝2xln x＋x
C.()′＝eq \f(xsin x－cs x,x2) D．(sin xcs x)′＝cs 2x
2．函數(shù)f(x)＝x2＋eq \f(1,x)的圖象在點(1，f(1))處的切線方程為( )
A．x﹣y＋1＝0 B．3x﹣y﹣1＝0
C．x﹣y﹣1＝0 D．3x﹣y＋1＝0
考點一 導(dǎo)數(shù)的運算
[典題例析]
(1)設(shè)f(x)＝x(2 022＋ln x)，若f′(x0)＝2 023，則x0等于( )
A．e2 B．1 C．ln 2 D．e
(2))已知函數(shù)f(x)的導(dǎo)函數(shù)為f′(x)，且滿足f(x)＝2xf′(1)＋ln x，則f′(1)＝( )
A．﹣e B．1 C．﹣1 D．e
(3)函數(shù)f(x)＝xsin(2x+eq \f(π,2))cs(2x+eq \f(π,2)，則其導(dǎo)函數(shù)f′(x)＝________________.
[方法技巧]
1．導(dǎo)數(shù)運算的常見形式及其求解方法
2．解決解析式中含有導(dǎo)數(shù)值問題的策略
解決解析式中含有導(dǎo)數(shù)值的函數(shù)，即解析式類似f(x)＝f′(x0)g(x)＋h(x)(x0為常數(shù))的函數(shù)問題的關(guān)鍵是恰當(dāng)賦值，然后活用方程思想求解，即先求導(dǎo)數(shù)f′(x)，然后令x＝x0，即可得到f′(x0)的值，進而得到函數(shù)解析式，最后求得所求導(dǎo)數(shù)值．
[針對訓(xùn)練]
1．已知函數(shù)f(x)＝ln(ax﹣1)的導(dǎo)函數(shù)為f′(x)，若f′(2)＝2，則實數(shù)a的值為( )
A.eq \f(1,2) B．eq \f(2,3) C.eq \f(3,4) D．1
2．等比數(shù)列{an}中，a1＝2，a8＝4，函數(shù)f(x)＝x(x﹣a1)(x﹣a2)…(x﹣a8)，則f′(0)＝( )
A．26 B．29 C．212 D．215
3．已知f(x)＝x2＋2xf′(1)，則f′(0)＝________.
考點二 導(dǎo)數(shù)的幾何意義
考法(一) 求切線方程
[例1] 已知函數(shù)f(x)＝x2.
(1)求曲線f(x)在點(1，f(1))處的切線方程；
(2)求經(jīng)過點P(﹣1,0)的曲線f(x)的切線方程．
[方法技巧]
求切線方程問題的2種類型及方法
(1)求“在”曲線y＝f(x)上一點P(x0，y0)處的切線方程：
點P(x0，y0)為切點，切線斜率為k＝f′(x0)，有唯一的一條切線，對應(yīng)的切線方程為y﹣y0＝f′(x0)(x﹣x0)．
(2)求“過”曲線y＝f(x)上一點P(x0，y0)的切線方程：
切線經(jīng)過點P，點P可能是切點，也可能不是切點，這樣的直線可能有多條．解決問題的關(guān)鍵是設(shè)切點，利用“待定切點法”求解，即：
①設(shè)切點A(x1，y1)，則以A為切點的切線方程為y﹣y1＝f′(x1)(x﹣x1)；
②根據(jù)題意知點P(x0，y0)在切線上，點A(x1，y1)在曲線y＝f(x)上，得到方程組eq \b\lc\{\rc\ (\a\vs4\al\c1(y1＝f?x1?，,y0－y1＝f′?x1??x0－x1?，))求出切點A(x1，y1)，代入方程y﹣y1＝f′(x1)(x﹣x1)，化簡即得所求的切線方程．
考法(二) 求參數(shù)值或范圍
[例2] 已知曲線f(x)＝e2x﹣2ex＋ax﹣1存在兩條斜率為3的切線，則實數(shù)a的取值范圍是( )
A.(3，eq \f(7,2)) B．(3，＋∞) C.(-∞，eq \f(7,2)) D．(0,3)
[方法技巧]
利用導(dǎo)數(shù)的幾何意義求參數(shù)的基本方法
利用切點的坐標(biāo)、切線的斜率、切線的方程等得到關(guān)于參數(shù)的方程(組)或者參數(shù)滿足的不等式(組)，進而求出參數(shù)的值或取值范圍．
[提醒] (1)注意曲線上橫坐標(biāo)的取值范圍；
(2)謹記切點既在切線上又在曲線上．
考法(三) 導(dǎo)數(shù)的幾何意義與函數(shù)圖象
[例3] 已知y＝f(x)是可導(dǎo)函數(shù)，如圖，直線y＝kx＋2是曲線y＝f(x)在x＝3處的切線，令g(x)＝xf(x)，g′(x)是g(x)的導(dǎo)函數(shù)，則g′(3)＝________.
[方法技巧]
函數(shù)圖象與導(dǎo)數(shù)的關(guān)系
(1)導(dǎo)數(shù)的幾何意義：切線的斜率就是函數(shù)在切點處的導(dǎo)數(shù)．
(2)切線斜率的變化對函數(shù)圖象的影響：函數(shù)圖象在每一點處的切線斜率的變化情況反映函數(shù)圖象在相應(yīng)點處的變化情況，|f′(x)|越大，曲線f(x)的形狀越陡，f′(x)＞0，曲線上升；f′(x)＜0，曲線下降．
[針對訓(xùn)練]
1．若曲線y＝ex在x＝0處的切線也是曲線y＝ln x＋b的切線，則b＝( )
A．﹣1 B．1 C．2 D．e
2．(多選)若直線y＝eq \f(1,2)x＋b是函數(shù)f(x)圖象的一條切線，則函數(shù)f(x)可以是( )
A．f(x)＝eq \f(1,x) B．f(x)＝x4 C．f(x)＝sin x D．f(x)＝ex
3．已知直線y＝kx＋1與曲線y＝x3＋ax＋b相切于點A(1,3)，則2a＋b＝________.
4.已知f′(x)，g′(x)分別是二次函數(shù)f(x)和三次函數(shù)g(x)的導(dǎo)函數(shù)，且它們在同一直角坐標(biāo)系內(nèi)的圖象如圖所示．
(1)若f(1)＝1，則f(﹣1)＝________.
(2)設(shè)函數(shù)h(x)＝f(x)﹣g(x)，則h(﹣1)，h(0)，h(1)的大小關(guān)系為____________(用“＜”連接)．
一、創(chuàng)新命題視角——學(xué)通學(xué)活巧遷移
導(dǎo)數(shù)的幾何意義與其他知識相交匯
題型(一) 與圓相交匯
[例1] 曲線f(x)＝﹣x3＋3x2在點(1，f(1))處的切線截圓x2＋(y＋1)2＝4所得的弦長為( )
A．4 B．2eq \r(2) C．2 D.eq \r(2)
[名師微點]
求解曲線的切線與圓相交匯問題的關(guān)鍵
一是求切線方程，即利用導(dǎo)數(shù)的幾何意義求曲線的切線的斜率，再利用直線的點斜式方程，求出切線的方程；
二是活用公式，即利用點到直線的距離公式求出弦心距，再利用弦長公式l＝2eq \r(r2－d2)(其中r為圓的半徑，d為弦心距)求出弦長．
題型(二) 與距離最值問題相交匯
[例2] 設(shè)點P，Q分別是曲線f(x)＝x2﹣ln x和直線x﹣y﹣2＝0上的動點，則P，Q兩點間距離的最小值為________．
[名師微點]
求解曲線上動點與直線上動點距離的最值問題的關(guān)鍵
一是會轉(zhuǎn)化，把所求的兩動點距離的最值問題轉(zhuǎn)化為兩平行直線間的距離問題；
二是會求切線方程，即利用導(dǎo)數(shù)的幾何意義求曲線的切線的斜率，再利用直線的點斜式方程，求出切線方程；
三是活用公式，即會利用兩平行直線的距離公式求出兩平行直線間的距離．
題型(三) 零點個數(shù)問題
[例3] 已知函數(shù)f(x)＝eq \b\lc\{\rc\ (\a\vs4\al\c1(\f(1,4)x＋1，x≤1，,ln x，x＞1，))若關(guān)于x的方程f(x)＝ax恰有兩個不同的實數(shù)根，則實數(shù)a的取值范圍是________．
[名師微點]
解答此題時，可直接說明當(dāng)0＜a＜eq \f(1,e)時，y＝ax與函數(shù)f(x)＝ln x(x＞1)的圖象一定有兩個交點，因為本題為填空題，此處直接說明，原因是對數(shù)函數(shù)f(x)＝ln x和一次函數(shù)的圖象是我們非常熟悉的、能夠明確作出的圖形，并且我們知道對數(shù)函數(shù)f(x)＝ln x的增速是越來越慢的，圖象越來越趨近于平緩，而一次函數(shù)的圖象的增速保持不變，能夠“想象”出當(dāng)0＜a＜eq \f(1,e)時，y＝ax的圖象一定能“穿過”f(x)＝ln x(x＞1)的圖象．實際上這也是能夠證明出來的，而本題是小題，不宜“小題大做”，在明知正確的前提下可省略步驟．
二、創(chuàng)新考查方式——領(lǐng)悟高考新動向
1．在橋梁設(shè)計中，橋墩一般設(shè)計成圓柱形，因為其各向受力均衡，而且在相同截面下，澆筑用模最省．假設(shè)一橋梁施工隊在澆筑橋墩時，采用由內(nèi)向外擴張式澆筑，即保持圓柱高度不變，截面半徑逐漸增大，設(shè)圓柱半徑關(guān)于時間變化的函數(shù)為R(t)．若圓柱的體積以均勻速度c增長，則圓柱的側(cè)面積的增長速度與圓柱半徑( )
A．成正比，比例系數(shù)為c B．成正比，比例系數(shù)為c2
C．成反比，比例系數(shù)為c D．成反比，比例系數(shù)為c2
2．對于三次函數(shù)f(x)＝ax3＋bx2＋cx＋d(a≠0)，給出定義：設(shè)f′(x)是y＝f(x)的導(dǎo)數(shù)，f″(x)是f′(x)的導(dǎo)數(shù)，若方程f″(x)＝0有實數(shù)解x0，則稱點(x0，f(x0))為曲線y＝f(x)的“拐點”．某同學(xué)經(jīng)過探究發(fā)現(xiàn)：任何一個三次函數(shù)圖象都有“拐點”，任何一個三次函數(shù)圖象都有對稱中心，且“拐點”就是對稱中心．設(shè)函數(shù)g(x)＝eq \f(1,3)x3﹣eq \f(1,2)x2＋3x﹣eq \f(5,12)，則g()＋g()＋…＋g()＝________.
3．若函數(shù)f(x)＝x3＋(t﹣1)x﹣1的圖象在點(﹣1，f(﹣1))處的切線平行于x軸，則t＝______，切線方程為________．
eq \a\vs4\al([課時跟蹤檢測])
一、綜合練——練思維敏銳度
1．曲線y＝ex﹣ln x在點(1，e)處的切線方程為( )
A．(1﹣e)x﹣y＋1＝0 B．(1﹣e)x﹣y﹣1＝0
C．(e﹣1)x﹣y＋1＝0 D．(e﹣1)x﹣y﹣1＝0
2．已知函數(shù)f(x)的導(dǎo)函數(shù)為f′(x)，且滿足關(guān)系式f(x)＝x2＋3xf′(2)＋ln x，則f′(2)的值等于( )
A．﹣2 B．2 C．﹣eq \f(9,4) D．eq \f(9,4)
3．設(shè)函數(shù)f(x)＝x(x＋k)(x＋2k)(x﹣3k)，且f′(0)＝6，則k＝( )
A．0 B．﹣1 C．3 D．﹣6
4．函數(shù)y＝f(x)的圖象如圖，則導(dǎo)函數(shù)f′(x)的大致圖象為( )

5．已知f1(x)＝sin x＋cs x，fn＋1(x)是fn(x)的導(dǎo)函數(shù)，即f2(x)＝f1′(x)，f3(x)＝f2′(x)，…，fn＋1(x)＝fn′(x)，n∈N*，則f2 021(x)＝( )
A．﹣sin x﹣cs x B．sin x﹣cs x
C．﹣sin x＋cs x D．sin x＋cs x
6．已知直線y＝ax是曲線y＝ln x的切線，則實數(shù)a＝( )
A.eq \f(1,2) B．eq \f(1,2e) C.eq \f(1,e) D．eq \f(1,e2)
7．函數(shù)f(x)＝x4﹣2x3的圖象在點(1，f(1))處的切線方程為( )
A．y＝﹣2x﹣1 B．y＝﹣2x＋1 C．y＝2x﹣3 D．y＝2x＋1
8．已知曲線y＝eq \f(2x,x－1)在點P(2,4)處的切線與直線l平行且距離為2eq \r(5)，則直線l的方程為( )
A．2x＋y＋2＝0 B．2x＋y＋2＝0或2x＋y﹣18＝0
C．2x﹣y﹣18＝0 D．2x﹣y＋2＝0或2x﹣y﹣18＝0
9．過曲線y＝x2﹣2x＋3上一點P作曲線的切線，若切點P的橫坐標(biāo)的取值范圍是[1，eq \f(3,2)]，則切線的傾斜角的取值范圍是( )
A.[0，eq \f(π,2)] B．[0，eq \f(π,4)] C．[0，π) D．[eq \f(3π,4)，π)
10．若曲線y＝f(x)＝ln x＋ax2(a為常數(shù))不存在斜率為負數(shù)的切線，則實數(shù)a的取值范圍是( )
A.(-eq \f(1,2),＋∞) B．[-eq \f(1,2),＋∞) C．(0，＋∞) D．[0，＋∞)
11．(多選)已知點A(1,2)在函數(shù)f(x)＝ax3的圖象上，則過點A的曲線C：y＝f(x)的切線方程是( )
A．6x﹣y﹣4＝0 B．x﹣4y＋7＝0 C．3x﹣2y＋1＝0 D．4x﹣y＋3＝0
12．函數(shù)f(x)＝(2x﹣1)ex的圖象在點(0，f(0))處的切線的傾斜角為________．
13．曲線y＝ln(2x﹣1)上的點到直線2x﹣y＋3＝0的最短距離為________．
14．已知函數(shù)f(x)＝eq \f(1,x)，g(x)＝x2.若直線l與曲線f(x)，g(x)都相切，則直線l的斜率為________．
15．設(shè)函數(shù)f(x)＝ax﹣eq \f(b,x)，曲線y＝f(x)在點(2，f(2))處的切線方程為7x﹣4y﹣12＝0.
(1)求f(x)的解析式；
(2)證明曲線f(x)上任一點處的切線與直線x＝0和直線y＝x所圍成的三角形面積為定值，并求此定值．
16．已知函數(shù)f(x)＝ax3＋bx2＋cx在x＝±1處取得極值，且在x＝0處的切線的斜率為﹣3.
(1)求f(x)的解析式；
(2)若過點A(2，m)可作曲線y＝f(x)的三條切線，求實數(shù)m的取值范圍．
二、自選練——練高考區(qū)分度
1．已知函數(shù)f(x)在R上連續(xù)可導(dǎo)，f′(x)為其導(dǎo)函數(shù)，且f(x)＝ex＋e﹣x﹣f′(1)x·(ex﹣e﹣x)，則f′(2)＋f′(﹣2)﹣f′(0)f′(1)＝( )
A．4e2＋4e﹣2 B．4e2﹣4e﹣2 C．0 D．4e2
2．已知函數(shù)f(x)＝x(a﹣)，曲線y＝f(x)上存在兩個不同點，使得曲線在這兩點處的切線都與y軸垂直，則實數(shù)a的取值范圍是( )
A．(﹣e2，＋∞) B．(﹣e2,0) C.(﹣，＋∞) D．(﹣，0)
3．已知曲線y＝ex＋a與y＝x2恰好存在兩條公切線，則實數(shù)a的取值范圍是( )
A．[2ln 2﹣2，＋∞) B．(2ln 2，＋∞)
C．(﹣∞，2ln 2﹣2] D．(﹣∞，2ln 2﹣2)
4．設(shè)曲線f(x)＝2ax＋eq \f(1,3)sin x上任意一點處的切線為l，若在曲線g(x)＝ln x(x≥1)上總存在一點，使得曲線g(x)在該點處的切線平行于l，則實數(shù)a的取值范圍為( )
A.(-∞，eq \f(1,3)) B．(-∞，eq \f(1,3)] C.[eq \f(1,6)，eq \f(1,3)] D．(eq \f(1,6)，eq \f(1,3)]
基本初等函數(shù)
導(dǎo)函數(shù)
基本初等函數(shù)
導(dǎo)函數(shù)
f(x)＝c(c為常數(shù))
f′(x)＝eq \a\vs4\al(0)
f(x)＝xα(α∈Q*)
f′(x)＝αxα﹣1
f(x)＝sin x
f′(x)＝cs_x
f(x)＝cs x
f′(x)＝﹣sin_x
f(x)＝ex
f′(x)＝eq \a\vs4\al(ex)
f(x)＝ax(a>0，a≠1)
f′(x)＝axln_a
f(x)＝ln x
f′(x)＝eq \a\vs4\al(\f(1,x))
f(x)＝lgax(a>0，a≠1)
f′(x)＝eq \f(1,xln a)
連乘積形式
先展開化為多項式的形式，再求導(dǎo)
分式形式
觀察函數(shù)的結(jié)構(gòu)特征，先化為整式函數(shù)或較為簡單的分式函數(shù)，再求導(dǎo)
對數(shù)形式
先化為和、差的形式，再求導(dǎo)
根式形式
先化為分數(shù)指數(shù)冪的形式，再求導(dǎo)
三角形式
先利用三角函數(shù)公式轉(zhuǎn)化為和或差的形式，再求導(dǎo)
復(fù)合函數(shù)
確定復(fù)合關(guān)系，由外向內(nèi)逐層求導(dǎo)，必要時可換元

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(適用輔導(dǎo)班)2023-2024年高二數(shù)學(xué)寒假講義+分層練習(xí)（基礎(chǔ)班）2.7《函數(shù)與方程》 (2份打包，原卷版+教師版)：

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(適用輔導(dǎo)班)2023-2024年高二數(shù)學(xué)寒假講義+分層練習(xí)（基礎(chǔ)班）2.6《函數(shù)的圖象及其應(yīng)用》 (2份打包，原卷版+教師版)：

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(適用輔導(dǎo)班)2023-2024年高二數(shù)學(xué)寒假講義+分層練習(xí)（基礎(chǔ)班）2.5《對數(shù)與對數(shù)函數(shù)》 (2份打包，原卷版+教師版)：

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