要判定兩條直線互相平行，我們無法依據(jù)它的定義，判斷這兩條直線在無限延長的過程中是否永遠不相交.那么從畫平行線的過程，我們可以得到什么啟示呢？
在如圖所示的畫平行線的過程中，三角尺沿著直尺的方向由原來的位置移動到另一個位置，三角尺緊靠直尺的一邊和直線a所成的角在移動前的位置與移動后的位置構(gòu)成了一對同位角，其大小始終沒變.因此，只要保持同位角相等，就可以保證畫出的直線與已知直線的方向一致，即平行于已知直線.
兩條直線被第三條直線所截，如果同位角相等，那么這兩條直線平行.簡單地說，就是：同位角相等，兩直線平行.
如右圖，直線a,b被直線l所截，如果∠1=∠2，那么a//b.
除了同位角， 能否依據(jù)內(nèi)錯角或同旁內(nèi)角判定兩直線平行呢？
在右圖中，由于∠1=∠3，如果給出∠2=∠3，便可以得到_________.根據(jù)“同位角相等，兩直線平行”，可得________.
兩條直線被第三條直線所截，如果內(nèi)錯角相等，那么這兩條直線平行.簡單地說，就是：___________________________.
內(nèi)錯角相等，兩直線平行
同樣地，還可以得到：同旁內(nèi)角互補，兩直線平行.
1.同位角相等，兩直線平行；2.內(nèi)錯角相等，兩直線平行；3.同旁內(nèi)角互補，兩直線平行.
1.如圖，已知∠1＝∠2，則下列結(jié)論正確的是(　　)A．AD∥BC　　　　B．AB∥CDC．AD∥EF　　 D．EF∥BC
解析：要判定哪兩條直線平行，就是要確定∠1，∠2是哪兩條直線被第三條直線截得到的同位角, 即找出∠1，∠2除公共邊所在直線外的另兩邊所在直線．
利用同位角相等來判定兩直線平行的方法： 首先要找出這對同位角是哪兩條直線被第三條直線所截形成的；再根據(jù)“同位角相等，兩直線平行”推導(dǎo)出這兩條直線平行．
2.如圖，∠AEF＝∠EFC，則下列結(jié)論中正確的是(　 　)A．AD∥BC　　　B．AB∥CDC．AD∥EF　D．EF∥BC　
解析：∠AEF和∠EFC是直線AB,CD被直線EF所截得到的內(nèi)錯角，根據(jù)“內(nèi)錯角相等，兩直線平行”可知，AB∥CD.
利用內(nèi)錯角相等來判定兩直線平行的方法：(1)看兩角是不是兩直線被第三條直線截得的角；(2)看兩角是不是由上述直線形成的內(nèi)錯角，若是， 看其是否相等．若相等，則兩條直線平行．
3.如圖，直線AE，CD相交于點O，如果∠A=110°，∠1=70°，就可以說明AB∥CD，這是為什么？
解：∵∠1=∠AOD(對頂角相等)，∠1=70°， ∴∠AOD=70°. 又∵∠A=110°， ∴∠A＋∠AOD=180°． ∴AB∥CD(同旁內(nèi)角互補，兩直線平行)．
1．本題運用數(shù)形結(jié)合思想．平行線的判定是由角之間的數(shù)量關(guān)系到“形”的判定．要判定兩直線平行，可圍繞截線找同位角、內(nèi)錯角或同旁內(nèi)角，若同位角相等、內(nèi)錯角相等或同旁內(nèi)角互補，則兩直線平行．2．用同位角相等、內(nèi)錯角相等或同旁內(nèi)角互補中的一個方法說明兩直線平行時，一般都要通過結(jié)合對頂角、 鄰補角等知識來說明．
例1 如圖所示，直線a,b被直線l所截，∠1=115°，∠2=115°，直線a,b平行嗎？為什么？
分析：由已知條件可得∠1=∠2.根據(jù)內(nèi)錯角相等，兩直線平行，可知a//b.
解：∵∠1=115°，∠2=115°(已知)，∴∠1=∠2(等量代換)，∴a//b(內(nèi)錯角相等，兩直線平行).
符號“∵”“∴”分別表示“因為”、“所以”.
括號里所寫的就是括號前這一結(jié)論成立的理由.
等量代換以及等式的性質(zhì)是我們常用的推理依據(jù).“推理”是數(shù)學的一種基本思想，包括歸納推理和演繹推理.歸納推理是一種從特殊到一般的推理，我們經(jīng)過一些探索、操作，得到某些猜想就是這樣的過程，數(shù)與代數(shù)中一些具體的結(jié)果，歸納得到一般的結(jié)論也是這樣的推理.演繹推理是一種從一般到特殊的推理，它借助于一些公認的基本事實及由此推導(dǎo)得到的結(jié)論，通過推斷，說明最后結(jié)論的正確.
例2 如圖所示，在四邊形ABCD中，已知∠B=60°，∠C=120°，AB與CD平行嗎？AD與BC平行嗎？
解：∵∠B=60°，∠C=120°(已知)，∴∠B+∠C=180°(等式的性質(zhì))，∴AB//CD(同旁內(nèi)角互補，兩直線平行).
本題中，根據(jù)已知條件，無法判斷AD與BC是否平行.
例3 如圖所示，在同一平面內(nèi)，直線CD、EF均與直線AB垂直，D、F為垂足.試判斷CD與EF是否平行.
解：∵CD⊥AB,EF⊥AB(已知)，∴∠ADC=∠AFE=90°，∴CD//EF(同位角相等，兩直線平行).
此例告訴我們：在同一平面內(nèi)，垂直于同一條直線的兩條直線平行.
1.如圖，若∠1＝100°，∠4＝80°，則__________，理由是___________________________ ；若∠3＝70°，則∠2＝________時，也可推出AB∥CD.
同旁內(nèi)角互補，兩直線平行
2.如圖，已知直線AB，CD被直線EF所截，∠1＋∠2＝180°.AB與CD平行嗎？請說明理由．
解： AB∥CD.理由如下： ∵∠1＋∠2＝180°， ∠2＋∠3＝180°(鄰補角定義)， 　∴∠1＝∠3(同角的補角相等)． ∴AB∥CD(同位角相等，兩直線平行)．
3.如圖，AB⊥EF于B，CD⊥EF于D，∠1＝∠2.(1)請說明AB∥CD的理由；(2)試問BM與DN是否平行？為什么？
解： (1)∵AB⊥EF，CD⊥EF，∴AB∥CD(在同一平面內(nèi)，垂直于同一條直線的 兩條直線平行)．(2)BM∥DN.理由如下：∵AB⊥EF，CD⊥EF，∴∠ABE=∠CDE=90°.又∵∠1=∠2，∴∠ABE-∠1=∠CDE-∠2(等式的性質(zhì))，即∠MBE=∠NDE，∴BM∥DN(同位角相等，兩直線平行)．

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3 平行線的性質(zhì)

版本： 華師大版

年級： 七年級上冊

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