“同位角”的性質(zhì) “內(nèi)錯(cuò)角”的性質(zhì) “同旁?xún)?nèi)角”的性質(zhì)
2021/4/27 7:12
試一試 如圖，翻開(kāi)你的練習(xí)本，每一頁(yè)上都有許多互相平行的橫線條，隨意畫(huà)一條斜線與這些橫線條相交， 找出其中任意一對(duì)同位角.觀察或用量角器度量這兩個(gè) 同位角，你有什么發(fā)現(xiàn)？
“同位角”的性質(zhì)：兩條平行線被第三條直線所截，同位角相等．簡(jiǎn)稱(chēng)：兩直線平行，同位角相等．表達(dá)方式：如圖，∵a∥b(已知)，∴∠1＝∠2(兩直線平行，同位角相等)．
例1 如圖，直線a∥b，直線c與a，b相交，∠1＝ 70°，則∠2的大小是(　　) A．20°　 B．50° 　C．70°　 D．110°導(dǎo)引：觀察圖形可以把求∠2轉(zhuǎn)化為求∠2的對(duì)頂角 來(lái)解，∵∠2的對(duì)頂角與∠1是同位角，而直 線a∥b，∴∠2＝∠1＝70°.
例2 如圖，若AB∥CD，且∠1＝∠2，試判斷AM 與CN的位置關(guān)系，并說(shuō)明 理由．導(dǎo)引：AM與CN的位置關(guān)系很顯然 是平行，要說(shuō)明AM∥CN， 可考慮說(shuō)明∠EAM＝∠ECN. ∵∠1＝∠2， ∴只需說(shuō)明∠BAE＝∠ACD即可，∵“兩直線 平行，同位角相等”，∴根據(jù) AB∥CD即可得 出∠BAE＝∠ACD.
解：AM∥CN. 理由：∵AB∥CD(已知)， ∴∠BAE＝∠ACD(兩直線平行，同位角相等)． 又∵∠1＝∠2(已知)， ∴∠EAM＝∠ECN(等式性質(zhì))． ∴AM∥CN(同位角相等，兩直線平行)．
平行線和角的大小關(guān)系是緊密聯(lián)系在一起的，由平行線可以得到相等的角，反過(guò)來(lái)又可以由相等的角得到新的一組平行線，這種角的大小關(guān)系與直線的位置關(guān)系的相互轉(zhuǎn)化在解題中會(huì)經(jīng)常涉及．當(dāng)題目已知條件中出現(xiàn)兩直線平行時(shí)，要考慮是否出現(xiàn)了相等的角．
(中考?荊州)如圖，直線l1∥l2，直線l3與l1、l2分別交于A、B兩點(diǎn)，若∠1＝70°，則∠2＝(　　)A．70° B．80° C．110° D．120°(中考?咸寧)如圖，把一塊直角三角板的直角頂點(diǎn)放在直尺的一邊上，若∠1＝50°，則∠2的度數(shù)為(　　)A．50° B．40° C．30° D．25°
(中考?隨州)如圖，AB∥CD，∠A＝50°，則∠1的大小是(　　)A．50° B．120° C．130° D．150°如圖，直線a∥b，∠1＝60°，∠2＝40°，則∠3等于(　　)A．40° B．60° C．80° D．100°
“內(nèi)錯(cuò)角”的性質(zhì)：兩條平行線被第三條直線所截，內(nèi)錯(cuò)角相等．簡(jiǎn)稱(chēng)：兩直線平行，內(nèi)錯(cuò)角相等．表達(dá)方式：如圖，∵a∥b(已知)，∴∠1＝∠2(兩直線平行，內(nèi)錯(cuò)角相等)．
例3 如圖，已知直線a//b，∠1 =50°，求∠2的 度數(shù). 解：∵a //b(已知)， ∴∠2 =∠1(兩直線平行， 內(nèi)錯(cuò)角相等). ∵∠1 = 50°(已知)， ∴∠2 = 50°(等量代換).
例4 如圖，MN，EF表示兩面互相平行的鏡面，一 束光線AB照射到鏡面MN上，反射光線為BC， 此時(shí)∠1＝∠2，光線BC經(jīng)過(guò)鏡面EF反射后的 光線為CD，此時(shí)∠3＝∠4，試判斷AB與CD的 位置關(guān)系，并說(shuō)明理由．
導(dǎo)引：要判斷AB與CD的位置關(guān)系，應(yīng)從兩直線的 位置關(guān)系的特殊情況，如平行或垂直方面 思考問(wèn)題，觀察圖可知，AB與CD沒(méi)有交點(diǎn)， ∴可猜想AB∥CD，要說(shuō)明AB∥CD，只要 說(shuō)明∠ABC＝∠BCD即可．
解：AB∥CD，理由如下： ∵M(jìn)N∥EF， ∴∠2＝∠3(兩直線平行，內(nèi)錯(cuò)角相等)． ∵∠1＝∠2，∠2＝∠3，∠3＝∠4， ∴∠1＋∠2＝∠3＋∠4.　　 ∵∠1＋∠ABC＋∠2＝180°， ∠3＋∠BCD＋∠4＝180°， ∴∠ABC＝∠BCD. ∴AB∥CD(內(nèi)錯(cuò)角相等，兩直線平行)．
(1)利用平行線的性質(zhì)解決實(shí)際問(wèn)題時(shí)，其關(guān)鍵是根 據(jù)實(shí)際問(wèn)題建立數(shù)學(xué)模型；(2)判斷兩直線的位置關(guān)系時(shí)，一般都從兩直線平行 或垂直這兩種特殊情況去思考．
(中考?邵陽(yáng))將直尺和直角三角板按如圖方式擺放，已知∠1＝30°，則∠2的大小是(　　)A．30° B．45° C．60° D．65°
(中考?荊門(mén))如圖，m∥n，直線l分別交m，n于點(diǎn)A，點(diǎn)B，AC⊥AB，AC交直線n于點(diǎn)C，若∠1＝35°，則∠2等于(　　)A．35° B．45° C．55° D．65°
如圖，已知AB∥EF∥DC，EG∥BD，則圖中與∠1相等的角共有(　　)A．6個(gè) B．5個(gè) C．4個(gè) D．2個(gè)
“同旁?xún)?nèi)角”的性質(zhì)：兩條平行線被第三條直線所截，同旁?xún)?nèi)角互補(bǔ)．簡(jiǎn)稱(chēng)：兩直線平行，同旁?xún)?nèi)角互補(bǔ)．表達(dá)方式：如圖，∵a∥b(已知)，∴∠1＋∠2＝180°(兩直線平行，同旁?xún)?nèi)角互補(bǔ))．
例5 如圖，如果AB∥DF，DE∥BC，且∠1＝ 65°，那么你能說(shuō)出∠2，∠3，∠4的度數(shù)嗎？ 為什么？導(dǎo)引：由DE∥BC，可得∠1＝∠4，∠1＋∠2＝ 180°；由DF∥AB，可得∠3＝∠2，從而得 ∠2，∠3，∠4的度數(shù)．
解：∵DE∥BC(已知)， ∴∠4＝∠1＝65°(兩直線平行，內(nèi)錯(cuò)角相等)， ∠2＋∠1＝180°(兩直線平行，同旁?xún)?nèi)角互補(bǔ))． ∴∠2＝180°－∠1＝180°－65°＝115°. 又∵DF∥AB(已知)， ∴∠3＝∠2(兩直線平行，同位角相等)． ∴∠3＝115°(等量代換)．
1.求角的度數(shù)的基本思路：根據(jù)平行線的判定由角的數(shù)量 關(guān)系得到直線的位置關(guān)系，根據(jù)平行線的性質(zhì)由直線的 位置關(guān)系得到角的數(shù)量關(guān)系，通過(guò)上述相互轉(zhuǎn)化，從而 找到所求角與已知角之間的關(guān)系．2.兩直線平行時(shí)，應(yīng)聯(lián)想到平行線的三個(gè)性質(zhì)，由兩條直 線平行的位置關(guān)系得到兩個(gè)相關(guān)角的數(shù)量關(guān)系，由角的 關(guān)系求相應(yīng)角的度數(shù)．
如圖，把一塊直角三角板的直角頂點(diǎn)放在直尺的一邊上，如果∠1＝21°，那么∠2＝________．(中考·北京)如圖，直線l1，l2，l3交于一點(diǎn)，直線l4∥l1，若∠1＝124°，∠2＝88°，則∠3的度數(shù)為(　　)A．26° B．36° C．46° D．56°
如圖，小明在操場(chǎng)上從A點(diǎn)出發(fā)，先沿南偏東30°方向走到B點(diǎn)，再沿南偏東60°方向走到C點(diǎn)，這時(shí)，∠ABC的度數(shù)是(　　)A．120° B．135° C．150° D．160°

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3 平行線的性質(zhì)

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