滬教版數(shù)學(xué)八年級下冊第22章四邊形（單元提升卷）含解析答案-試卷下載-教習(xí)網(wǎng)

?第22章?四邊形（單元提升卷）
學(xué)校:___________姓名：___________班級：___________考號：___________

評卷人
得分

一、單選題
1．在ABCD中，AC，BD是對角線，如果添加一個條件，即可推出ABCD是矩形，那么這個條件是（）
A．AB=BC B．AC=BD C．AC⊥BD D．AB⊥BD
2．如圖，菱形ABCD的對角線AC，BD相交于點(diǎn)O，E，F(xiàn)分別是AB，BC邊上的中點(diǎn)，連接EF.若，BD=4，則菱形ABCD的周長為（ ??)

A．4 B． C． D．28
3．如圖，在四邊形ABCD中，對角線AC、BD相交于點(diǎn)O，下列條件不能判定四邊形ABCD為平行四邊形的是（　?。?br />
A．ABCD，ADBC B．OA＝OC，OB＝OD
C．AD＝BC，ABCD D．AB＝CD，AD＝BC
4．如圖，把矩形ABCD沿EF翻折，點(diǎn)B恰好落在AD邊的B′處，若AE=2，DE=6，∠EFB=60°，則矩形ABCD的面積是（）

A．12 B．24 C．12 D．16
5．如圖，點(diǎn)E是矩形ABCD的邊CD上一點(diǎn)，把△ADE沿AE對折，點(diǎn)D的對稱點(diǎn)F恰好落在BC上，已知折痕AE=10cm，且tan∠EFC=，那么該矩形的周長為（??）

A．72cm B．36cm C．20cm D．16cm
6．如圖，平行四邊形ABCD中，AB∶BC=3∶2，∠DAB=60°，E在AB上，且AE∶EB=1∶2，F(xiàn)是BC的中點(diǎn)，過D分別作DP⊥AF于P，DQ⊥CE于Q，則DP∶DQ等于（??）

A．3∶4 B．∶ C．∶ D．∶

評卷人
得分

二、填空題
7．順次連接矩形四邊中點(diǎn)所形成的四邊形是．學(xué)校的一塊菱形花園兩對角線的長分別是6m和8m，則這個花園的面積為．
8．如圖，□ABCD與□DCFE的周長相等，且∠BAD=60°，∠F=110°，則∠DAE的度數(shù)為 °．

9．已知正方形ABCD的對角線AC＝，則正方形ABCD的周長為．
10．如圖，點(diǎn)G是正方形ABCD對角線CA的延長線上任意一點(diǎn)，以線段AG為邊作一個正方形AEFG，線段EB和GD相交于點(diǎn)H．若AB=，AG=1，則EB= ．

11．一個平行四邊形的一條邊長為3，兩條對角線的長分別為4和，則它的面積為 .
12．如圖，分別以直角△ABC的斜邊AB，直角邊AC為邊向△ABC外作等邊△ABD和等邊△ACE，F(xiàn)為AB的中點(diǎn)，DE與AB交于點(diǎn)G，EF與AC交于點(diǎn)H，∠ACB=90°，∠BAC=30°．給出如下結(jié)論：
①EF⊥AC；②四邊形ADFE為菱形；③AD=4AG；④FH=BD
其中正確結(jié)論的為（請將所有正確的序號都填上）．

13．如圖，在△ABC中，∠ABC=90°，BD為AC的中線，過點(diǎn)C作CE⊥BD于點(diǎn)E，過點(diǎn)A作BD的平行線，交CE的延長線于點(diǎn)F，在AF的延長線上截取FG=BD，連接BG、DF．若AG=13，CF=6，則四邊形BDFG的周長為．

14．如圖，P為平行四邊形ABCD邊AD上一點(diǎn)，E、F分別為PB、PC的中點(diǎn)， PEF、PDC、PAB的面積分別為S、S1、S2．若S=2，則S1+S2= ．

15．如圖，?ABCD中，對角線AC與BD相交于點(diǎn)E，∠AEB=450，BD=2，將△ABC沿AC所在直線翻折180°到其原來所在的同一平面內(nèi)，若點(diǎn)B的落點(diǎn)記為B′，則DB′的長為．

16．如圖，是以的對角線為邊的等邊三角形，點(diǎn)與點(diǎn)關(guān)于軸對稱．若點(diǎn)的坐標(biāo)是，則點(diǎn)的坐標(biāo)是．

17．如圖，正方形ABCD的邊長是1，點(diǎn)M，N分別在BC，CD上，使得△CMN的周長為2，則△MAN的面積最小值為．

18．如圖，在正方形中，為對角線，點(diǎn)E在邊上，于點(diǎn)F，連接，，的周長為12，則的長為．

評卷人
得分

三、解答題
19．如圖所示,在正方形ABCD中,點(diǎn)M是對角線BD上的一點(diǎn),過點(diǎn)M作ME∥CD交BC于點(diǎn)E,作MF∥BC交CD于點(diǎn)F.求證AM＝EF.

20．如圖，在?ABCD中，E，F(xiàn)分別為BC，AB中點(diǎn)，連接FC，AE，且AE與FC交于點(diǎn)G，AE的延長線與DC的延長線交于點(diǎn)N．
（1）求證：△ABE≌△NCE；
（2）若AB=3n，F(xiàn)B=GE，試用含n的式子表示線段AN的長．

21．如圖，在等腰梯形ABCD中，已知ADBC，AB=DC，AC與BD交于點(diǎn)O，延長BC到E，使得CE=AD，連接DE．

(1)求證：BD=DE．
(2)若ACBD，AD=3，S等腰梯形ABCD=16，求AB的長．

22．如圖，在直角梯形ABCD中，AD∥BC，AD⊥DC，點(diǎn)A關(guān)于對角線BD的對稱點(diǎn)F剛好落在腰DC上，連接AF交BD于點(diǎn)E，AF的延長線與BC的延長線交于點(diǎn)G，M，N分別是BG，DF的中點(diǎn)．

（1）求證：四邊形EMCN是矩形；
（2）若AD=2，S梯形ABCD=，求矩形EMCN的長和寬．

23．已知，如圖，正方形ABCD，BM，DN分別平分正方形的兩個外角，且滿足∠MAN＝45°，連接MN．

（1）若正方形的邊長為a，求BM·DN的值；
（2）若以BM，DN，MN為三邊圍成三角形，試猜想三角形的形狀，并證明你的結(jié)論．

24．如圖，在正方形ABCD中，AD=2，E是AB的中點(diǎn)，將△BEC繞點(diǎn)B逆時針旋轉(zhuǎn)90°后，點(diǎn)E落在CB的延長線上點(diǎn)F處，點(diǎn)C落在點(diǎn)A處．再將線段AF繞點(diǎn)F順時針旋轉(zhuǎn)90°得線段FG，連接EF，CG．
（1）求證：EF//CG；
（2）求點(diǎn)C，點(diǎn)A在旋轉(zhuǎn)過程中形成的，與線段CG所圍成的陰影部分的面積．

25．分別以平行四邊形ABCD（∠CDA≠90°）的三邊AB，CD，DA為斜邊作等腰直角三角形，△ABE，△CDG，△ADF．

（1）如圖1，當(dāng)三個等腰直角三角形都在該平行四邊形外部時，連接GF，EF．請判斷GF與EF的數(shù)量關(guān)系和位置關(guān)系（只寫結(jié)論，不需證明）；
（2）如圖2，當(dāng)三個等腰直角三角形都在該平行四邊形內(nèi)部時，連接GF，EF，（1）中結(jié)論還成立嗎？若成立，給出證明；若不成立，說明理由．

參考答案：
1．B
【詳解】解：根據(jù)對角線相等的平行四邊形是矩形的判定可知：
添加條件AC=BD，即可推出ABCD是矩形.
故選：B.
2．C
【分析】首先利用三角形的中位線定理得出AC，進(jìn)一步利用菱形的性質(zhì)和勾股定理求得邊長，得出周長即可．
【詳解】解：∵E，F(xiàn)分別是AB，BC邊上的中點(diǎn)，EF=，
∴AC=2EF=2，
∵四邊形ABCD是菱形，
∴AC⊥BD，OA=AC=，OB=BD=2，
∴AB==，
∴菱形ABCD的周長為4．
故選C．

3．C
【分析】根據(jù)平行四邊形的判定定理分別進(jìn)行分析即可．
【詳解】解：A、根據(jù)兩組對邊分別平行的四邊形是平行四邊形可判定四邊形ABCD為平行四邊形，故此選項不合題意；
B、根據(jù)對角線互相平分的四邊形是平行四邊形可判定四邊形ABCD為平行四邊形，故此選項不合題意；
C、不能判定四邊形ABCD是平行四邊形，故此選項符合題意；
D、根據(jù)兩組對邊分別相等的四邊形是平行四邊形可判定四邊形ABCD為平行四邊形，故此選項不合題意；
故選：C．
【點(diǎn)睛】此題主要考查了平行四邊形的判定，關(guān)鍵是掌握（1）兩組對邊分別平行的四邊形是平行四邊形．（2）兩組對邊分別相等的四邊形是平行四邊形．（3）一組對邊平行且相等的四邊形是平行四邊形．（4）兩組對角分別相等的四邊形是平行四邊形．（5）對角線互相平分的四邊形是平行四邊形．
4．D
【詳解】解：如圖，連接BE，
∵在矩形ABCD中，AD∥BC，∠EFB=60°，

∴∠AEF=180°-∠EFB=180°－60°=120°，∠DEF=∠EFB=60°．
∵把矩形ABCD沿EF翻折點(diǎn)B恰好落在AD邊的B′處，
∴∠BEF=∠DEF=60°．
∴∠AEB=∠AEF-∠BEF=120°－60°=60°．
在Rt△ABE中，AB=AE?tan∠AEB=2tan60°=2．
∵AE=2，DE=6，∴AD=AE+DE=2+6=8．
∴矩形ABCD的面積=AB?AD=2×8=16．
故選D．
5．A
【詳解】在矩形ABCD中，AB=CD，AD=BC，∠B=∠D=90°，
∵△ADE沿AE對折，點(diǎn)D的對稱點(diǎn)F恰好落在BC上，∴∠AFE=∠D=90°，AD=AF．
∵∠EFC+∠AFB=180°﹣90°=90°，∠BAF+∠AFB=90°，∴∠BAF=∠EFC．
∵tan∠EFC=，∴tan∠BAF =．∴設(shè)BF=3x、AB=4x．
在Rt△ABF中，根據(jù)勾股定理可得AF=5x，∴AD=BC=5x．∴CF=BC﹣BF=5x﹣3x=2x．
∵tan∠EFC=，∴CE=CF?tan∠EFC=2x?=x．∴DE=CD﹣CE=4x﹣x=x．
在Rt△ADE中，AD2+DE2=AE2，即（5x）2+（x）2=（10）2，整理得，x2=16，解得x=4．
∴AB=4×4=16cm，AD=5×4=20cm，矩形的周長=2（16+20）=72cm．故選A．
考點(diǎn)：翻折變換（折疊問題），矩形的性質(zhì)，勾股定理，銳角三角函數(shù)定義．
6．B
【分析】連接DE、DF，過F作FN⊥AB于N，過C作CM⊥AB于M，根據(jù)三角形的面積是平行四邊形面積的一半，可推出AF×DP=CE×DQ，根據(jù)線段比例關(guān)系設(shè)出AB=3a，BC=2a，然后在Rt△AFN和Rt△CEM中，利用勾股定理計算出AF、CE，再代入AF×DP=CE×DQ可得結(jié)果.
【詳解】連接DE、DF，過F作FN⊥AB于N，過C作CM⊥AB于M，

∵根據(jù)三角形的面積和平行四邊形的面積得：
，即．
∴AF×DP=CE×DQ，
∵四邊形ABCD是平行四邊形，∴AD∥BC
∵∠DAB=60°，∴∠CBN=∠DAB=60°．∴∠BFN=∠MCB=30°
∵AB：BC=3：2，∴設(shè)AB=3a，BC=2a
∵AE：EB=1：2，F(xiàn)是BC的中點(diǎn)，∴BF=a，BE=2a，BN=a，BM=a
由勾股定理得：FN=a，CM=a
∴
∴．∴，故選B．
【點(diǎn)睛】本題考查平行四邊形中勾股定理的運(yùn)用，關(guān)鍵是作出正確的輔助線，構(gòu)造直角三角形，利用勾股定理計算出AF、CE.
7．菱形 24cm2
【詳解】解：在△ABD中，∵AH=HD，AE=EB，
∴EH=BD．
同理FG=BD，HG=AC，EF=AC．
又∵在矩形ABCD中，AC=BD，
∴EH=HG=GF=FE．
∴四邊形EFGH為菱形．
∴這個花園的面積是×6×8=24m2．
故答案是：菱形，24m2．

8．
【詳解】∵□ABCD與□DCFE的周長相等，且有公共邊CD，
∴AD＝DE，∠ADE＝∠BCF＝60°＋70°＝130°．
∴．
9．4
【詳解】解：根據(jù)銳角三角函數(shù)可計算正方形的邊長=，
∵正方形四邊相等，
∴正方形的周長為1×4=4.

10．
【詳解】試題分析：連接BD交AC于O，

∵四邊形ABCD、AGFE是正方形，
∴AB=AD，AE=AG，∠DAB=∠EAG，
∴∠EAB=∠GAD，
在△AEB和△AGD中，
，
∴△EAB≌△GAD（SAS），
∴EB=GD，
∵四邊形ABCD是正方形，AB=，
∴BD⊥AC，AC=BD=AB=2，
∴∠DOG=90°，OA=OD=BD=1，
∵AG=1，
∴OG=OA+AG=2，
∴GD=，
∴EB=．
故答案是．
考點(diǎn)：1.正方形的性質(zhì)2.全等三角形的判定與性質(zhì)3.勾股定理．
11．
【詳解】如圖所示：

∵四邊形ABCD是平行四邊形

∵

即兩條對角線互相垂直，
∴這個四邊形是菱形，
∴
故答案為
12．①③④
【分析】根據(jù)已知先判斷△ABC≌△EFA，則∠AEF=∠BAC，得出EF⊥AC，由等邊三角形的性質(zhì)得出∠BDF=30°，從而證得△DBF≌△EFA，則AE=DF，再由FE=AB，得出四邊形ADFE為平行四邊形而不是菱形，根據(jù)平行四邊形的性質(zhì)得出AD=4AG，從而得到答案．
【詳解】解：∵△ACE是等邊三角形，
∴∠EAC=60°，AE=AC，
∵∠BAC=30°，
∴∠FAE=∠ACB=90°，AB=2BC，
∵F為AB的中點(diǎn)，
∴AB=2AF，
∴BC=AF，
∴△ABC≌△EFA，
∴FE=AB，
∴∠AEF=∠BAC=30°，
∴EF⊥AC，故①正確，
∵EF⊥AC，∠ACB=90°，
∴HF∥BC，
∵F是AB的中點(diǎn)，
∴HF=BC，
∵BC=AB，AB=BD，
∴HF=BD，故④說法正確；
∵AD=BD，BF=AF，
∴∠DFB=90°，∠BDF=30°，
∵∠FAE=∠BAC+∠CAE=90°，
∴∠DFB=∠EAF，
∵EF⊥AC，
∴∠AEF=30°，
∴∠BDF=∠AEF，
∴△DBF≌△EFA（AAS），
∴AE=DF，
∵FE=AB，
∴四邊形ADFE為平行四邊形，
∵AE≠EF，
∴四邊形ADFE不是菱形；
故②說法不正確；
∴AG=AF，
∴AG=AB，
∵AD=AB，
則AD=4AG，故③說法正確，
故答案為①③④．

考點(diǎn)：菱形的判定；等邊三角形的性質(zhì)；含30度角的直角三角形．
13．20
【詳解】∵AG∥BD，BD=FG，∴四邊形BGFD是平行四邊形，
∵CF⊥BD，∴CF⊥AG，
又∵點(diǎn)D是AC中點(diǎn)，∴BD=DF=AC，∴四邊形BGFD是菱形，
設(shè)GF=x，則AF=13－x，AC=2x，
在Rt△ACF中，，即，
解得：x=5，
∴四邊形BDFG的周長=4GF=20
14．8

【詳解】∵E、F分別為PB、PC的中點(diǎn)，
∴EFBC．
∴ΔPEF∽ΔPBC．
∴SΔPBC=4SΔPEF=8．
又SΔPBC=S平行四邊形ABCD，
∴S1+S2=SΔPDC＋SΔPAB=S平行四邊形ABCD=8．
15．
【分析】如圖，連接BB′．根據(jù)折疊的性質(zhì)知△BB′E是等腰直角三角形，則BB′=BE．又B′E是BD的中垂線，則DB′=BB′．
【詳解】解：∵四邊形ABCD是平行四邊形，BD=2，
∴BE=BD=1．
如圖，連接BB′，

根據(jù)折疊的性質(zhì)知，∠AEB=∠AEB′=45°，BE=B′E，
∴∠BEB′=900．
∴△BB′E是等腰直角三角形，則BB′=BE=．
又∵BE=DE，B′E⊥BD，
∴DB′=BB′=．
故答案為：
【點(diǎn)睛】本題考查了平行四邊形的性質(zhì)，等腰三角形的判定與性質(zhì)以及翻折變換（折疊的性質(zhì)）．推知DB′=BB′是解題的關(guān)鍵．
16．（5，0）
【分析】設(shè)和軸交于，由對稱性可知，再根據(jù)等邊三角形的性質(zhì)可知，根據(jù)勾股定理即可求出的長，進(jìn)而求出和的長，所以可求，又因為在軸上，縱坐標(biāo)為0，問題得解．
【詳解】解：點(diǎn)與點(diǎn)關(guān)于軸對稱，點(diǎn)的坐標(biāo)是，
的坐標(biāo)為，，
，，
是以的對角線為邊的等邊三角形，
，
，
，
，
，
點(diǎn)的坐標(biāo)是，
故答案為：．
【點(diǎn)睛】本題考查了平行四邊形的性質(zhì)、等邊三角形的性質(zhì)、點(diǎn)關(guān)于軸對稱的特點(diǎn)以及勾股定理的運(yùn)用，解題的關(guān)鍵是綜合應(yīng)用以上知識點(diǎn)．
17．
【分析】如圖，延長CB至L，使BL＝DN，則Rt△ABL≌Rt△AND，故AL＝AN，進(jìn)而求證△AMN≌△AML，即可求得∠MAN＝∠MAL＝45°設(shè)CM＝x，CN＝y(tǒng)，MN＝z，根據(jù)x2+y2＝z2，和x+y+z＝2，整理根據(jù)△＝4（z﹣2）2﹣32（1﹣z）≥0可以解題．
【詳解】解：延長CB至L，使BL＝DN，

則Rt△ABL≌Rt△ADN，
故AL＝AN，
∵CM+CN+MN＝2，CN+DN+CM+BM＝1+1＝2，
∴MN＝DN+BM＝BL+BM＝ML，
∴△AMN≌△AML（SSS），
設(shè)CM＝x，CN＝y(tǒng)，MN＝z
x2+y2＝z2，
∵x+y+z＝2，
則x＝2﹣y﹣z
∴（2﹣y﹣z）2+y2＝z2，
整理得2y2+（2z﹣4）y+（4﹣4z）＝0，
∴△＝4（z﹣2）2﹣32（1﹣z）≥0，
即（z+2﹣2）（z+2+2）≥0，
又∵z＞0，
∴z≥2﹣2
此時S△AMN＝S△AML＝ML?AB＝z
因此，當(dāng)z＝2﹣2，S△AMN取到最小值為 ﹣1．
故答案為：．
【點(diǎn)睛】本題考查了勾股定理在直角三角形中的應(yīng)用，考查了正方形各邊相等，各內(nèi)角是直角的性質(zhì)，本題求證三角形全等是解題的關(guān)鍵．
18．5
【分析】證明是等腰直角三角形，可得，然后由的周長為12表示出，在中，利用勾股定理構(gòu)建方程，即可求出的長．
【詳解】解：∵四邊形是正方形，為對角線，
∴，
∵，即，
∴是等腰直角三角形，
∴，
∵的周長為12，
∴，
在中，由勾股定理得：，即，
解得：，
故答案為：5．
【點(diǎn)睛】本題考查了正方形的性質(zhì)，等腰直角三角形的判定和性質(zhì)，勾股定理等知識，學(xué)會利用勾股定理構(gòu)建方程是解答本題的關(guān)鍵．
19．證明見解析
【詳解】試題分析：過M點(diǎn)作MQ⊥AD，垂足為Q，作MP⊥AB，垂足為P，
∵四邊形ABCD是正方形，
∴四邊形MFDQ和四邊形PBEM是正方形，四邊形APMQ是矩形，
∴AP=QM=DF=MF，PM=PB=ME，
∵在△APM和△FME中，
，
∴△APM≌△FME（SAS），
∴AM=EF．

考點(diǎn)：正方形的性質(zhì)；全等三角形的判定與性質(zhì)；矩形的判定與性質(zhì)．
20．（1）證明見解析
（2）6n
【分析】（1）根據(jù)平行四邊形的性質(zhì)可得AB∥CN，由此可知∠B=∠ECN，再根據(jù)全等三角形的判定方法ASA即可證明△ABE≌△NCE；
（2）因為AB∥CN，所以△AFG∽△CNG，利用相似三角形的性質(zhì)和已知條件即可得到含n的式子表示線段AN的長．
【詳解】（1）∵四邊形ABCD是平行四邊形，
∴AB∥CN，
∴∠B=∠ECN，
∵E是BC中點(diǎn)，
∴BE=CE，
又∵∠AEB=∠CEN，
∴△ABE≌△NCE
（2）∵△ABE≌△NCE，
∴AB=CN，AE=NE
∵AB∥CN，
∴△AFG∽△CNG，AF=AB
∴AF：CN=AG：GN=1：2，
∵AE+NE=AG+GN，
∴AG=2GE，EN=3GE
∵AB=3n，F(xiàn)B=GE=AB，
∴GE=n,AG=2n,EN=3n
∴AN=AG+GE+EN=6n．
考點(diǎn)：1、平行四邊形的性質(zhì)；2、全等三角形的判定與性質(zhì)；3、相似三角形的判定與性質(zhì)
21．（1）證明見解析（2）
【分析】（1）由ADBC，CE=AD，可得四邊形ACED是平行四邊形，即可證得AC=DE，又由等腰梯形的性質(zhì)，可得AC=BD，即可證得結(jié)論．
（2）作DFBC于F，可證得BDE是等腰直角三角形，由S等腰梯形ABCD=16，可求得BD的長，從而求得答案．
【詳解】（1）證明：∵ADBC，CE=AD
∴四邊形ACED是平行四邊形
∴AC=DE
∵四邊形ABCD是等腰梯形，ADBC，AB=DC
∴AC=BD
∴BD=DE
（2）解：如圖，作DFBC于F

∵四邊形ACED是平行四邊形
∴CE=AD=3，ACDE
∵ACBD
∴BDDE
∵BD=DE
∴
∴BD=
∴BE=BD=8
∴DF=BF=EF=BE=4
∴CF=EF?CE=1
在R tDFC中

∴AB=DC=
【點(diǎn)睛】本題考查了等腰梯形的性質(zhì)，等腰直角三角形的性質(zhì)和判定，平行四邊形的判定與性質(zhì)以及勾股定理．掌握輔助線的作法，注意數(shù)形結(jié)合思想是解題的關(guān)鍵．
22．（1）詳見解析（2）長：2，寬：1
【分析】（1）根據(jù)軸對稱的性質(zhì)可得AD=DF，DE⊥AF，判斷出△ADF、△DEF是等腰直角三角形，根據(jù)等腰直角三角形的性質(zhì)求出∠DAF=∠EDF=45°，根據(jù)兩直線平行，內(nèi)錯角相等求出∠BCE=45°，然后判斷出△BGE是等腰直角三角形，根據(jù)等腰直角三角形的性質(zhì)可得EM⊥BC，EN⊥CD，再根據(jù)矩形的判定證明即可．
（2）判斷出△BCD是等腰直角三角形，然后根據(jù)梯形的面積求出CD的長，再根據(jù)等腰直角三角形的性質(zhì)求出DN，即可得解．
【詳解】解：（1）證明：∵點(diǎn)A、F關(guān)于BD對稱，
∴AD=DF，DE⊥AF．
又∵AD⊥DC，
∴△ADF、△DEF是等腰直角三角形．
∴∠DAF=∠EDF=45°．
∵AD∥BC，∴∠G=∠GAF=45°．
∴△BGE是等腰直角三角形．
∵M(jìn)，N分別是BG，DF的中點(diǎn)，
∴EM⊥BC，EN⊥CD．
又∵AD∥BC，AD⊥DC，
∴BC⊥CD．
∴四邊形EMCN是矩形．
（2）由（1）可知，∠EDF=45°，BC⊥CD，
∴△BCD是等腰直角三角形．∴BC=CD，
∴S梯形ABCD=（AD+BC）?CD=（2+CD）?CD=，
即CD2+2CD﹣15=0，
解得CD=3，CD=﹣5（舍去）．
∵△ADF、△DEF是等腰直角三角形，
∴DF=AD=2．
∵N是DF的中點(diǎn)，
∴EN=DN=DF=×2=1，
∴CN=CD﹣DN=3﹣1=2，
∴矩形EMCN的長和寬分別為2，1．
23．（1）BM·ND＝a2；（2）直角三角形，理由見解析
【詳解】（1）∵四邊形ABCD是正方形，BM平分∠PBC，DN平分∠CDQ，
∴∠MBA＝∠ADN＝135°．
∴∠BMA＋∠BAM＝45°．
∵∠MAN＝45°，∠BAD＝90°，
∴∠BAM＋∠NAD＝45°．
∴∠BMA＝∠NAD，∴△ABM∽△NDA．
∴．
又∵AB＝AD＝a，
∴BM·ND＝AD·AB＝a2．
（2）以BM，MN，DN為三邊圍成的三角形是直角三角形．
證明：如圖，將△ABM繞點(diǎn)A逆時針旋轉(zhuǎn)90°到△ADE的位置，連接NE，則AE＝AM，BM＝DE，∠DAE＝∠BAM，∠ADE＝∠ABM＝135°．
∴∠NAE＝∠NAD＋∠DAE＝∠NAD＋∠BAM＝90°－∠MAN＝90°－45°＝45°．
∴∠NAE＝∠MAN．
又∵AM＝AE，AN＝AN．
∴△AMN≌△AEN．
∴NE＝MN．
∵∠NDE＝360°－∠NDA－∠EDA＝360°－135°－135°＝90°，
∴ND2＋DE2＝NE2．
∴ND2＋BM2＝MN2．
∴以BM，MN，DN為三邊圍成的三角形是直角三角形．

24．(1)證明見解析；(2) S陰影＝．
【分析】（1）根據(jù)正方形的性質(zhì)可得AB=BC=AD=2，∠ABC=90°，再根據(jù)旋轉(zhuǎn)變化只改變圖形的位置不改變圖形的形狀可得△ABF和△CBE全等，根據(jù)全等三角形對應(yīng)角相等可得∠FAB=∠ECB，∠ABF=∠CBE=90°，全等三角形對應(yīng)邊相等可得AF=EC，然后求出∠AFB+∠FAB=90°，再求出∠CFG=∠FAB=∠ECB，根據(jù)內(nèi)錯角相等，兩直線平行可得EC∥FG，再根據(jù)一組對邊平行且相等的四邊形是平行四邊形判斷出四邊形EFGC是平行四邊形，然后根據(jù)平行四邊形的對邊平行證明；
（2）求出FE、BE的長，再利用勾股定理列式求出AF的長，根據(jù)平行四邊形的性質(zhì)可得△FEC和△CGF全等，從而得到S△FEC=S△CGF，再根據(jù)S陰影=S扇形BAC+S△ABF+S△FGC﹣S扇形FAG列式計算即可得解．
【詳解】解：（1）證明：在正方形ABCD中，AB=BC=AD=2，∠ABC=90°．
∵△BEC繞點(diǎn)B逆時針旋轉(zhuǎn)90°得到△ABF，
∴△ABF≌△CBE，
∴∠FAB=∠ECB，∠ABF=∠CBE=90°，AF=CE，
∴∠AFB+∠FAB=90°．
∵線段AF繞點(diǎn)F順時針旋轉(zhuǎn)90°得線段FG，
∴∠AFB+∠CFG=∠AFG=90°，∴∠CFG=∠FAB=∠ECB，
∴EC//FG．∵AF=CE，AF=FG，
∴EC=FG，
∴四邊形EFGC是平行四邊形，
∴EF//CG；
（2）解：∵AD=2，E是AB的中點(diǎn)，
∴BF=BE=AB=×2=1，
∴AF===，由平行四邊形的性質(zhì)，△FEC≌△CGF，
∴S△FEC=S△CGF，
∴S陰影=S扇形BAC+S△ABF+S△FGC﹣S扇形FAG
=
=．
【點(diǎn)睛】本題考查了正方形的性質(zhì)，全等三角形的判定與性質(zhì)，旋轉(zhuǎn)變換的性質(zhì)，勾股定理的應(yīng)用，扇形的面積計算，綜合題，但難度不大，熟記各性質(zhì)并準(zhǔn)確識圖是解題的關(guān)鍵．
25．（1）GF⊥EF，GF=EF；（2）成立，詳見解析
【分析】（1）根據(jù)等腰直角三角形的性質(zhì)以及平行四邊形的性質(zhì)得出∠FDG=∠EAF，進(jìn)而得出△EAF≌△GDF即可得出答案；
（2）根據(jù)等腰直角三角形的性質(zhì)以及平行四邊形的性質(zhì)得出∠FDG=∠EAF，進(jìn)而得出△EAF≌△GDF即可得出答案．
【詳解】解：（1）如圖1，∵四邊形ABCD是平行四邊形，
∴AB=CD，∠DAB+∠ADC=180°，
∵△ABE，△CDG，△ADF都是等腰直角三角形，
∴DG=CG=AE=BE，DF=AF，∠CDG=∠ADF=∠BAE=45°，
∴∠GDF=∠GDC+∠CDA+∠ADF=90°+∠CDA，
∠EAF=360°-∠BAE-∠DAF-∠BAD=270°-（180°-∠CDA）=90°+∠CDA，
∴∠FDG=∠EAF，
∵在△EAF和△GDF中，

∴△EAF≌△GDF（SAS），
∴EF=FG，∠EFA=∠DFG，即∠GFD+∠GFA=∠EFA+∠GFA，
∴∠GFE=90°，
∴GF⊥EF，GF=EF；
（2）GF⊥EF，GF=EF成立；
∵四邊形ABCD是平行四邊形
∴AB=DC，且AB∥DC．
又∵△ABE、△CDG是等腰三角形
∴AE=BE=DG=CG，∠CDG=∠BAE=45°
又∵△AFD是等腰三角形，
∴AF=DF，∠FDA=∠DAF=45°，∠AFD=90°
又∵AB∥DC
∴∠CDA+∠DAB=180°
又∵∠CDA=90°-∠FDG；∠DAB=90°+∠FAE
∴90°-∠FDG+90°+∠FAE=180°
∴∠FDG=∠FAE
∴△FDG≌△FAE（SAS）．
∴EF=FG，∠EFA=∠DFG，即∠GFD+∠GFA=∠EFA+∠GFA，
∴∠GFE=90°，
∴GF⊥EF，GF=EF．
【點(diǎn)睛】此題主要考查了平行四邊形的性質(zhì)以及全等三角形的判定與性質(zhì)和等腰直角三角形的性質(zhì)等知識，根據(jù)已知得出△EAF≌△GDF是解題關(guān)鍵