第14講 四邊形的復(fù)習(xí) 本章節(jié)的內(nèi)容相對綜合，主要考察了多邊形的概念，平行四邊形的判定和性質(zhì)，特殊的平行四邊形的判定和性質(zhì)以及梯形的相關(guān)概念和性質(zhì)，最后一節(jié)講解到了平面向量的相關(guān)基礎(chǔ)，靈活性比較強(qiáng)，綜合性也較高，是在三角形的基礎(chǔ)上對幾何圖形更高的把控，對學(xué)生的邏輯思維能力及空間想象能力的要求都較高，也是初中階段對于幾何證明及計算的重難點(diǎn)，是非常重要的章節(jié)．本節(jié)課就常出現(xiàn)的題型做一總結(jié)，幫助學(xué)生能夠更好的掌握本章的內(nèi)容． 一、選擇題 1．（2020·上海楊浦區(qū)·八年級期末）若一個多邊形的外角和與它的內(nèi)角和相等，則這個多邊形是（ ） A．三角形 B．四邊形 C．五邊形 D．六邊形 2．（2019·上海金山區(qū)·八年級期中）如圖，一輛汽車由點(diǎn)出發(fā)向前行駛100米到處，向左轉(zhuǎn)45度，繼續(xù)向前行駛同樣的路程到處，再向左轉(zhuǎn)45度，按這樣的行駛方法，回到點(diǎn)總共行駛了（ ） A．600米 B．700米 C．800米 D．900米 3．（2018·上海市民辦揚(yáng)波中學(xué)八年級期末）在平行四邊形ABCD中，AC=10，BD=6，則邊長AB，AD的可能取值為（ 　 ）． A．AB=4，AD=4 B．AB=4，AD=7 C．AB=9，AD=2 D．AB=6，AD=2 4．（2018·上海市文來中學(xué)八年級月考）如圖，E 是平行四邊形 ABCD 中的邊 AB 的中點(diǎn)，AC 和 DE 相交于點(diǎn) F，則圖中面積等于平行四邊形ABCD 面積一半的三角形共有（ ）個 A．1 B．2 C．3 D．4 5．（2019·上海市西延安中學(xué)八年級期中）一個多邊形的內(nèi)角和是外角和的1.5倍，則這個多邊形是（　?。?A．四邊形 B．五邊形 C．六邊形 D．八邊形 6．（2019·上海浦東新區(qū)·八年級期中）如果多邊形的每一個內(nèi)角都是150°，那么這個多邊形的邊數(shù)是（ ） A．8 B．10 C．12 D．16 7．（2019·上海）過一個多邊形的一個頂點(diǎn)的所有對角線把多邊形分成6個三角形，則這個多邊形的邊數(shù)為（ ） A．5 B．6 C．7 D．8 8．（2020·上海市靜安區(qū)實(shí)驗(yàn)中學(xué)八年級課時練習(xí)）若多邊形的邊數(shù)由3增加到n（n為整數(shù)，且n＞3）則其外角和的度數(shù)（ ） A．增加 B．不變 C．減少 D．不能確定 9.若一個多邊形的內(nèi)角和是外角和的5倍，則這個多邊形的邊數(shù)是（ ） A．9 B．10 C．11 D．12 10.下列條件中不能判斷四邊形ABCD不是平行四邊形的是（ ） A．∠A=∠C；∠B=∠D B．AB∥CD；AB=CD C．AB=CD；AD∥BC D．AB∥CD；AD∥BC 11.已知菱形ABCD的兩條對角線之和為l，面積為S，則它的邊長為 （ ） A． B． C． D． 12.下列命題中是假命題的是 （ ） A．對角線互相平分的四邊形是平行四邊形 B．對角線相等的四邊形是矩形 C．對角線互相垂直的平行四邊形是菱形 D．對角線相等的菱形是正方形 13.下列性質(zhì)中，正方形具有而菱形不具有的性質(zhì)（ ） A．對角線互相垂直平分 B．內(nèi)角之和為360° C．對角線平分內(nèi)角 D．對角線相等 14.下列條件中能判定一個四邊形是矩形的條件是（ ） A．四邊形的對角線互相平分 B．四邊形的對角線相等且垂直 C．四邊形的對角線相等且互相平分 D．四邊形的對角線互相垂直且平分 15.下列命題中錯誤的是 （ ） A．零向量與任何向量都是平行的 B．若∥ C．兩個起點(diǎn)相同的向量不相等，其終點(diǎn)也有可能是相同的 D．如果兩個向量所在的直線重合，這兩個向量一定平行 16.在平行四邊形中，下列等式成立的是（ ） A． B． C． D． 17.已知平面上不共線的四點(diǎn)A、B、C、D滿足，則下列命題正確的是（ ） A．四邊形ABCD是平行四邊形 B．四邊形ABDC是平行四邊形 C．四邊形ADBC是平行四邊形 D．四邊形ACDB是平行四邊形 18.已知四邊形ABCD，過點(diǎn)A、C分別作BD的平行線，過B、D分別作AC的平行線，如果所作的四條直線圍成一個菱形，則四邊形ABCD必須是 （ ） A．矩形 B．菱形 C．AC=BD的任意四邊形 D．平行四邊形 19.用兩個全等的直角三角形拼成下列圖形①平行四邊形；②矩形；③菱形；④正方形；⑤等腰三角形；⑥等邊三角形，一定可以拼成的圖形是 （ ） A．①④⑤ B．②⑤⑥ C．①②③ D．①②⑤ 20.如果順次連接四邊形四邊的中點(diǎn)所得的四邊形是菱形，那么這個四邊形是 （ ） A．菱形 B．矩形 C．正方形 D．不一定是以上圖形 21.在正三角形、矩形、直角梯形、平行四邊形中，不是軸對稱圖形，但是中心對稱圖形的有（ ） A．0 B．1 C． 2 D．3 22.等腰梯形的兩條對角線互相垂直，中位線長為4，則該梯形的面積為（ ） A．16 B．32 C．64 D．512 23.如圖，梯形ABCD中，AD∥BC，F(xiàn)、E分別是AC、BD的中點(diǎn)，AD=2，BC=10，則EF的長為（ ） A．3 B．4 C．6 D．12 24.如圖，正方形的面積為256，點(diǎn)在上，點(diǎn)在的延長線上，的面積為200，則的值是( ) A．15 B．12 C．11 D．10 二、填空題 25．（2021·上海八年級期中）如果一個多邊形的內(nèi)角和為1260°，那么這個多邊形的一個頂點(diǎn)有____條對角線． 26．（2020·上海浦東新區(qū)·八年級月考）已知平行四邊形ABCD的周長為56cm，AB：BC＝2：5，那么AD＝_____cm． 27．（2018·上海虹口區(qū)·八年級期中）如圖，平行四邊形ABCD中，點(diǎn)E在邊AD上，以BE為折痕，將△ABE向上翻折，點(diǎn)A正好落在邊CD上的點(diǎn)F處，若△DEF的周長為8，△CBF的周長為18，則FC的長為_____． 28．（2021·上海八年級期中）八邊形的內(nèi)角和為________度． 29．（2020·上海市靜安區(qū)實(shí)驗(yàn)中學(xué)八年級課時練習(xí)）如果直角三角形的斜邊長為36，那么這條邊上的中線長=___________． 30．（2020·上海嘉定區(qū)·）已知四邊形，點(diǎn)是對角線與的交點(diǎn)，且，請再添加一個條件，使得四邊形成為平行四邊形，那么添加的條件可以是_____________．（用數(shù)學(xué)符號語言表達(dá)） 31．（2018·上海金山區(qū)·八年級期中）如圖，已知的周長是，和相交于點(diǎn)，的周長比的周長小，那么________． 32．（2018·上海金山區(qū)·八年級期中）如果一個多邊形的內(nèi)角和是，那么這個多邊形的邊數(shù)是_________． 33．（2019·上海市市西初級中學(xué)八年級期中）的對角線，相交于點(diǎn)，，，，則的周長是________． 34．（2019·上海普陀區(qū)·八年級期中）已知梯形的中位線長為，上底長，那么下底的長是_________． 35．（2019·上海嘉定區(qū)·上外附中八年級月考）如果一個多邊形的邊數(shù)是12，那么這個多邊形的外角和為________ 36．（2019·上海上外附中八年級月考）梯形的上，下底分別為，，一條腰長，則另一條腰的長度的范圍是__________ 37．（2019·上海上外附中八年級月考）如圖，平行四邊形中，對角線，且，，則和之間的距離是________ 38．（2019·上海上外附中八年級月考）平行四邊形周長為，對角線的交點(diǎn)為，的周長比的周長大，則_________ 39．（2019·上海上外附中八年級月考）邊形的內(nèi)角和是外角和的三倍，則_________ 40．（2018·上海虹口區(qū)·八年級期中）在平行四邊形ABCD中，兩鄰角的度數(shù)比是7：2，那么較小角的度數(shù)為______度． 41．（2017·上海閔行區(qū)·八年級期末）一個多邊形的內(nèi)角和是 1440°，則這個多邊形是__________邊形． 42．（2019·上海上外附中八年級期中）如果一個多邊形的內(nèi)角和為，那么這個多邊形的邊數(shù)是__________，它的對角線有__________條． 43．（2019·上海民辦張江集團(tuán)學(xué)校八年級月考）一個多邊形的每個外角都是，那么這個多邊形的邊數(shù)是_________________． 44．（2019·上海民辦張江集團(tuán)學(xué)校八年級月考）在四邊形中，如果，那么這個四邊形__________是平行四邊形，(填“一定”或“一定”或“一定不”) 45．（2018·上海市西南模范中學(xué)八年級期中）已知平行四邊形相鄰兩個內(nèi)角相差40°，則該平行四邊形中較小內(nèi)角的度數(shù)是_____． 46．（2019·上海浦東新區(qū)·八年級期末）在五邊形中，若，則__________. 47．（2021·上海八年級期中）如圖，□的周長為，，相交于點(diǎn)，交于，則的周長為__________． 48．（2018·上海靜安區(qū)·八年級期末）已知一個多邊形的每個內(nèi)角都是，則這個多邊形的邊數(shù)是_______. 49．（2018·上海市民辦揚(yáng)波中學(xué)八年級期末）?ABCD的周長是30，AC、BD相交于點(diǎn)O，△OAB的周長比△OBC的周長大3，則AB＝_____． 50．（2018·上海八年級期中）若一個多邊形的內(nèi)角和是其外角和的3倍，則這個多邊形的邊數(shù)是______． 51．（2019·上海市民辦新和中學(xué)八年級月考）一個n邊形的內(nèi)角和為1080°，則n=________. 52.一個多邊形每一個內(nèi)角等于144°，那么這個多邊形是______邊形，有_______條對角線，外角和是______，每個外角是________． 53.梯形的上底長為3cm，中位線長為5cm，則它的下底長為_______cm． 54.平行四邊形ABCD中，∠A-∠B=40°，則∠C=________度． 55.矩形ABCD中，AC與BD交于點(diǎn)O，AC=10cm，BC=8cm，則△ABO的周長為_________cm． 56.直角梯形的兩底分別為3和7，斜腰與底邊的夾角為60°，則該梯形的面積是_______． 57.菱形的兩個內(nèi)角的度數(shù)之比為1:5，菱形的高為2cm，則這個菱形的周長是________cm． 58.菱形的周長是24cm，一條較短的對角線是6cm，則該菱形的面積是______． 59.等腰梯形兩底差為12cm，高為6cm，則該梯形的底角的度數(shù)分別是_______． 60.（1） ； （2），方向向西，，方向向東，則= ． 61.如右圖，梯形中，，點(diǎn)在上，，則 ． 62.已知平行四邊形ABCD的周長是28，自頂點(diǎn)A分別作于點(diǎn)E、F，若AE=3，AF=4，則CD-CB=_______． 63.如圖，正方形ABCD中，AC、BD交于點(diǎn)O，，OE//AD，判斷OE與AB的數(shù)量和位置關(guān)系分別是__________． 64.如圖，矩形ABCD沿AE折疊使點(diǎn)D落在BC邊上的F處，如果，那么=______． 65.如圖，正方形ABCD的邊長為，E是AD的中點(diǎn)，BM⊥EC于點(diǎn)M，則BM的長為__________． 66.如圖，菱形ABCD的邊長為4 cm，且∠ABC＝60°，E是BC的中點(diǎn)，P點(diǎn)在BD上，則PE+PC的最小值為________． 67.如圖，在等腰梯形ABCD中，AB//CD，∠A＝，∠1＝∠2，且梯形的周長為30cm，則這個等腰梯形的腰長為______________． 三、解答題 68.在梯形ABCD中，AB∥DC，P是AB上一點(diǎn)，，，． （1）用表示和； （2）在圖中作出． 一艘船要過河，它總是走最短的路線，又知道河水由上游往下游流，速度為3km/h． （1）若船頭向上游偏45°，則船速要為多少? （2）若船頭向上游偏30°，則船速要為多少? （3）若船頭正對著岸，問：船也沒有可能走最短路線? 如圖，矩形ABCD中，AC與BD交于點(diǎn)O，E在AD上，CE=AE，F(xiàn)是AE的中點(diǎn)，AD=8，DC=4． （1）求線段DE的長； （2）求線段OF的長． 71.如圖所示，已知菱形中在上，且，交于，試說明． 72.如圖，已知長方形，過點(diǎn)引的平分線的垂線，垂足為，交于，連接． （1）求證：；（2）求證：． 73.如圖，等腰三角形ABC中，AB＝AC，點(diǎn)E、F分別是AB、AC的中點(diǎn)，CE⊥BF于點(diǎn)O． 求證：（1）四邊形EBCF是等腰梯形； （2）． 74.已知：如圖，在平行四邊形ABCD中，AB=BC=6，∠B=60°，點(diǎn)P、Q分別是射線BC、CD上的一個動點(diǎn)，且∠PAQ =60°，設(shè)PB=x，PQ=y． （1）求證：△APQ是等邊三角形． （2）求y關(guān)于x的函數(shù)解析式及定義域； （3）如果PD⊥AQ，求BP的值． 75.如圖，點(diǎn)M、N分別在正方形ABCD的邊CD、BC上，已知的周長等于正方形ABCD周長的一半，求的度數(shù)． 76.如圖，在平面直角坐標(biāo)系中，四邊形是等腰梯形，∥，，，，動點(diǎn)從點(diǎn)出發(fā)，在梯形的邊上運(yùn)動，路徑為，到達(dá)點(diǎn)時停止，作直線． （1）求梯形的面積； （2）當(dāng)直線把梯形的面積分成相等的兩部分時，求直線的解析式； （3）當(dāng)△是等腰三角形時，請寫出點(diǎn)的坐標(biāo)． 第14講 四邊形的復(fù)習(xí) 本章節(jié)的內(nèi)容相對綜合，主要考察了多邊形的概念，平行四邊形的判定和性質(zhì)，特殊的平行四邊形的判定和性質(zhì)以及梯形的相關(guān)概念和性質(zhì)，最后一節(jié)講解到了平面向量的相關(guān)基礎(chǔ)，靈活性比較強(qiáng)，綜合性也較高，是在三角形的基礎(chǔ)上對幾何圖形更高的把控，對學(xué)生的邏輯思維能力及空間想象能力的要求都較高，也是初中階段對于幾何證明及計算的重難點(diǎn)，是非常重要的章節(jié)．本節(jié)課就常出現(xiàn)的題型做一總結(jié)，幫助學(xué)生能夠更好的掌握本章的內(nèi)容． 一、選擇題 1．（2020·上海楊浦區(qū)·八年級期末）若一個多邊形的外角和與它的內(nèi)角和相等，則這個多邊形是（ ） A．三角形 B．四邊形 C．五邊形 D．六邊形 【答案】B 【分析】任意多邊形的外角和為360°，然后利用多邊形的內(nèi)角和公式計算即可． 【詳解】解：設(shè)多邊形的邊數(shù)為n． 根據(jù)題意得：（n-2）×180°=360°， 解得：n=4．故選：B． 【點(diǎn)睛】本題主要考查的是多邊形的內(nèi)角和和外角和，掌握任意多邊形的外角和為360°和多邊形的內(nèi)角和公式是解題的關(guān)鍵． 2．（2019·上海金山區(qū)·八年級期中）如圖，一輛汽車由點(diǎn)出發(fā)向前行駛100米到處，向左轉(zhuǎn)45度，繼續(xù)向前行駛同樣的路程到處，再向左轉(zhuǎn)45度，按這樣的行駛方法，回到點(diǎn)總共行駛了（ ） A．600米 B．700米 C．800米 D．900米 【答案】C 【分析】根據(jù)題意可知該汽車所走的路程正好是一個外角為45°的多邊形的周長，求出多邊形的周長即可． 【詳解】解：根據(jù)題意得：360°÷45°＝8， 則他走回點(diǎn)A時共走的路程是8×100＝800米． 故回到A點(diǎn)共走了800米． 故選：C． 【點(diǎn)睛】本題主要考查多邊形的外角和定理，即任意多邊形的外角和都是360°． 3．（2018·上海市民辦揚(yáng)波中學(xué)八年級期末）在平行四邊形ABCD中，AC=10，BD=6，則邊長AB，AD的可能取值為（ 　 ）． A．AB=4，AD=4 B．AB=4，AD=7 C．AB=9，AD=2 D．AB=6，AD=2 【答案】B 【分析】利用平行四邊形的性質(zhì)知，平行四邊形的對角線互相平分，再結(jié)合三角形三邊關(guān)系分別進(jìn)行分析即可． 【詳解】解：因?yàn)椋浩叫兴倪呅蜛BCD，AC=10，BD=6，所以：OA=OC=5，OB=OD=3， 所以：，所以：C，D錯誤， 又因?yàn)椋核倪呅蜛BCD是平行四邊形， ∴AD=BC、∵AD=4， ∴BC=4， ∵AB=4，AC=10， ∴AB+BC＜AC，∴不能組成三角形，故此選此選項錯誤； 因?yàn)椋篈B=4，AD=7，所以： 三角形存在． 故選B． 【點(diǎn)睛】本題考查平行四邊形的性質(zhì)及三角形的三邊關(guān)系，掌握平行四邊形的性質(zhì)和三角形三邊關(guān)系是解題關(guān)鍵． 4．（2018·上海市文來中學(xué)八年級月考）如圖，E 是平行四邊形 ABCD 中的邊 AB 的中點(diǎn)，AC 和 DE 相交于點(diǎn) F，則圖中面積等于平行四邊形ABCD 面積一半的三角形共有（ ）個 A．1 B．2 C．3 D．4 【答案】C 【分析】根據(jù)平行四邊形及三角形的面積的求法即可解答． 【詳解】解：圖中面積等于平行四邊形ABCD 面積一半的三角形有△ABC，△ADC，△DEC，共3個，故答案為：C． 【點(diǎn)睛】本題考查了平行四邊形與三角形的面積的關(guān)系，解題的關(guān)鍵是熟知平行四邊形的性質(zhì)． 5．（2019·上海市西延安中學(xué)八年級期中）一個多邊形的內(nèi)角和是外角和的1.5倍，則這個多邊形是（　?。?A．四邊形 B．五邊形 C．六邊形 D．八邊形 【答案】B 【分析】多邊形的外角和是360°，則內(nèi)角和是1.5×360°=540°．設(shè)這個多邊形是n邊形，內(nèi)角和是（n-2）?180°，這樣就得到一個關(guān)于n的方程組，從而求出邊數(shù)n的值． 【詳解】解：設(shè)這個多邊形是n邊形，根據(jù)題意，得（n-2）×180°=1.5×360°， 解得：n=5．即這個多邊形為五邊形．故選：B． 【點(diǎn)睛】本題考查多邊形的內(nèi)角和與外角和、方程的思想．關(guān)鍵是記住內(nèi)角和的公式與外角和的特征：任何多邊形的外角和都等于360°，n邊形的內(nèi)角和為（n-2）?180°． 6．（2019·上海浦東新區(qū)·八年級期中）如果多邊形的每一個內(nèi)角都是150°，那么這個多邊形的邊數(shù)是（ ） A．8 B．10 C．12 D．16 【答案】C 【分析】設(shè)這個多邊形的邊數(shù)為n，根據(jù)多邊形的外角和是360度求出n的值即可． 【詳解】解：∵多邊形的各個內(nèi)角都等于150°，∴每個外角為30°， 設(shè)這個多邊形的邊數(shù)為n，則30°×n＝360°，解得n＝12．故選：C． 【點(diǎn)睛】本題考查的是多邊形的內(nèi)角與外角，解答此類問題時要找到不變量，即多邊形的外角和是360°這一關(guān)鍵． 7．（2019·上海）過一個多邊形的一個頂點(diǎn)的所有對角線把多邊形分成6個三角形，則這個多邊形的邊數(shù)為（ ） A．5 B．6 C．7 D．8 【答案】D 試題分析：根據(jù)n邊形從一個頂點(diǎn)出發(fā)可引出（n-3）條對角線，可組成（n-2）個三角形，依此可得n的值． 解：從n邊形的一個頂點(diǎn)出發(fā)可引出（n-3）條對角線，可組成（n-2）個三角形， 即可得n-2=6，解得：n=8．故選D． 考點(diǎn)：多邊形的對角線． 8．（2020·上海市靜安區(qū)實(shí)驗(yàn)中學(xué)八年級課時練習(xí)）若多邊形的邊數(shù)由3增加到n（n為整數(shù)，且n＞3）則其外角和的度數(shù)（ ） A．增加 B．不變 C．減少 D．不能確定 【答案】B 【分析】本題主要考查了多邊形的外角和定理，利用多邊形的外角和特征即可得到結(jié)果． 【詳解】因?yàn)槿我舛噙呅蔚耐饨呛途鶠椋?故選B. 【點(diǎn)睛】本題考查多邊形外角和，熟記任意多邊形外角和為360度是關(guān)鍵. 9.若一個多邊形的內(nèi)角和是外角和的5倍，則這個多邊形的邊數(shù)是（ ） A．9 B．10 C．11 D．12 【難度】★ 【答案】D 【解析】設(shè)n邊形，由題意可得，解得：n=12． 【總結(jié)】本題考查n邊形內(nèi)角和與外角和公式的運(yùn)用． 10.下列條件中不能判斷四邊形ABCD不是平行四邊形的是（ ） A．∠A=∠C；∠B=∠D B．AB∥CD；AB=CD C．AB=CD；AD∥BC D．AB∥CD；AD∥BC 【難度】★ 【答案】C 【解析】A：兩組對角分別相等的四邊形是平行四邊形 B：一組對邊平行且相等的四邊形是平行四邊形 C：平行四邊形或梯形 D：兩組對邊分別平行的四邊形是平行四邊形 【總結(jié)】本題考查平行四邊形的判定定理的運(yùn)用． 11.已知菱形ABCD的兩條對角線之和為l，面積為S，則它的邊長為 （ ） A． B． C． D． 【難度】★ 【答案】D 【解析】設(shè)兩條對角線的一半分別是x和y，則可得， 則，故選D． 【總結(jié)】本題考查菱形對角線性質(zhì)與完全平方公式的應(yīng)用． 12.下列命題中是假命題的是 （ ） A．對角線互相平分的四邊形是平行四邊形 B．對角線相等的四邊形是矩形 C．對角線互相垂直的平行四邊形是菱形 D．對角線相等的菱形是正方形 【難度】★ 【答案】B 【解析】對角線相等的平行四邊形是矩形． 【總結(jié)】本題主要考查平行四邊形與特殊平行四邊形的判定方法． 13.下列性質(zhì)中，正方形具有而菱形不具有的性質(zhì)（ ） A．對角線互相垂直平分 B．內(nèi)角之和為360° C．對角線平分內(nèi)角 D．對角線相等 【難度】★ 【答案】D 【解析】正方形對角線互相平分且相等，菱形對角線垂直互相平分． 【總結(jié)】本題考查正方形和菱形對角線的性質(zhì)． 14.下列條件中能判定一個四邊形是矩形的條件是（ ） A．四邊形的對角線互相平分 B．四邊形的對角線相等且垂直 C．四邊形的對角線相等且互相平分 D．四邊形的對角線互相垂直且平分 【難度】★ 【答案】C 【解析】對角線互相平分且相等的四邊形是矩形． 【總結(jié)】本題考查矩形的判定方法． 15.下列命題中錯誤的是 （ ） A．零向量與任何向量都是平行的 B．若∥ C．兩個起點(diǎn)相同的向量不相等，其終點(diǎn)也有可能是相同的 D．如果兩個向量所在的直線重合，這兩個向量一定平行 【難度】★ 【答案】C 【解析】兩個向量不相等，起點(diǎn)相同，終點(diǎn)不同． 【總結(jié)】本題考查向量的基本性質(zhì)． 16.在平行四邊形中，下列等式成立的是（ ） A． B． C． D． 【難度】★ 【答案】D 【解析】方向相反，大小相等的向量和為零向量． 【總結(jié)】本題考查向量的基本運(yùn)算． 17.已知平面上不共線的四點(diǎn)A、B、C、D滿足，則下列命題正確的是（ ） A．四邊形ABCD是平行四邊形 B．四邊形ABDC是平行四邊形 C．四邊形ADBC是平行四邊形 D．四邊形ACDB是平行四邊形 【難度】★★ 【答案】C 【解析】由題意知，線段AD=BC，AD//BC，故四邊形ADBC是平行四邊形，選C． 【總結(jié)】本題考查相等向量與平行四邊形判定方法的綜合運(yùn)用． 18.已知四邊形ABCD，過點(diǎn)A、C分別作BD的平行線，過B、D分別作AC的平行線，如果所作的四條直線圍成一個菱形，則四邊形ABCD必須是 （ ） A．矩形 B．菱形 C．AC=BD的任意四邊形 D．平行四邊形 【難度】★★ 【答案】C 【解析】由平行四邊形性質(zhì)可得AC、BD分別與菱形邊長相等，∴AC=BD 【總結(jié)】本題考查菱形性質(zhì)，解得本題的關(guān)鍵是注意鄰邊相等． 19.用兩個全等的直角三角形拼成下列圖形①平行四邊形；②矩形；③菱形；④正方形；⑤等腰三角形；⑥等邊三角形，一定可以拼成的圖形是 （ ） A．①④⑤ B．②⑤⑥ C．①②③ D．①②⑤ 【難度】★★ 【答案】D 【解析】畫圖即可 【總結(jié)】本題考查了全等三角形的拼接問題，理解全等三角形的性質(zhì)和特殊三角形，特殊四 邊形的判定，會解決一些簡單的拼接計算問題，可用三角板動手操作． 20.如果順次連接四邊形四邊的中點(diǎn)所得的四邊形是菱形，那么這個四邊形是 （ ） A．菱形 B．矩形 C．正方形 D．不一定是以上圖形 【難度】★★ 【答案】D 【解析】利用中位線知識可得這個四邊形對角線相等即可． 【總結(jié)】本題考查特殊四邊形判定方法，中位線定理的運(yùn)用． 21.在正三角形、矩形、直角梯形、平行四邊形中，不是軸對稱圖形，但是中心對稱圖形的有（ ） A．0 B．1 C． 2 D．3 【難度】★★ 【答案】B 【解析】平行四邊形是中心對稱，不是軸對稱；正三角形是軸對稱，不是中心對稱； 矩形既是軸對稱又是中心對稱． 【總結(jié)】本題考查特殊四邊形的對稱性． 22.等腰梯形的兩條對角線互相垂直，中位線長為4，則該梯形的面積為（ ） A．16 B．32 C．64 D．512 【難度】★★ 【答案】A 【解析】平移一條對角線，形成等腰直角三角形，從而將等腰梯形的面積轉(zhuǎn)化為等腰直角三 角形的面積，即可求出面積為16． 【總結(jié)】本題考查梯形輔助線—平移對角線的添加及運(yùn)用． 23.如圖，梯形ABCD中，AD∥BC，F(xiàn)、E分別是AC、BD的中點(diǎn)，AD=2，BC=10，則EF的長為（ ） A．3 B．4 C．6 D．12 【難度】★★ 【答案】B 【解析】取CD中點(diǎn)G，連接EG、FG ∵F、E分別是AC、BD的中點(diǎn)， ∴，，，． ∴EF=EGGF=4． 【總結(jié)】本題考查梯形性質(zhì)與中位線定理的綜合運(yùn)用． 24.如圖，正方形的面積為256，點(diǎn)在上，點(diǎn)在的延長線上，的面積為200，則的值是( ) A．15 B．12 C．11 D．10 【難度】★★ 【答案】B 【解析】∵FCE=90°，∴DCF=ECB， ∵正方形ABCD， ∴BC=DC，． ∴△CFD≌△CBE，∴CF=20，CD=16，∴DF=BE=12，故選B． 【總結(jié)】本題考查正方形性質(zhì)與全等三角形的綜合運(yùn)用． 二、填空題 25．（2021·上海八年級期中）如果一個多邊形的內(nèi)角和為1260°，那么這個多邊形的一個頂點(diǎn)有____條對角線． 【答案】6 【分析】首先根據(jù)多邊形內(nèi)角和公式可得多邊形的邊數(shù)，再計算出對角線的條數(shù)． 【詳解】解：設(shè)此多邊形的邊數(shù)為x，由題意得：（x-2）×180=1260， 解得；x=9， 從這個多邊形的一個頂點(diǎn)出發(fā)所畫的對角線條數(shù)：9-3=6，故答案為：6． 【點(diǎn)睛】此題主要考查了多邊形的內(nèi)角和計算公式求多邊形的邊數(shù)，關(guān)鍵是掌握多邊形的內(nèi)角和公式180（n-2）． 26．（2020·上海浦東新區(qū)·八年級月考）已知平行四邊形ABCD的周長為56cm，AB：BC＝2：5，那么AD＝_____cm． 【答案】20 【分析】由?ABCD的周長為56cm，根據(jù)平行四邊形的性質(zhì)，即可求得AB+BC＝28cm，又由AB：BC＝2：5，即可求得答案． 【詳解】解：∵?ABCD的周長為56cm，∴AB+BC＝28cm， ∵AB：BC＝2：5，∴AD＝BC＝×28＝20（cm）；故答案為：20． 【點(diǎn)睛】此題考查了平行四邊形的性質(zhì)．此題比較簡單，注意掌握平行四邊形的對邊相等的性質(zhì)的應(yīng)用是解此題的關(guān)鍵． 27．（2018·上海虹口區(qū)·八年級期中）如圖，平行四邊形ABCD中，點(diǎn)E在邊AD上，以BE為折痕，將△ABE向上翻折，點(diǎn)A正好落在邊CD上的點(diǎn)F處，若△DEF的周長為8，△CBF的周長為18，則FC的長為_____． 【答案】5 【分析】分析題意，△FBE為△ABE的翻折后的三角形，則△FBE≌△ABE，利用全等三角形各對應(yīng)邊相等、平行四邊形的性質(zhì)及線段間的等量關(guān)系可求解FC的長． 【詳解】解：根據(jù)題意得△FBE≌△ABE，∴EF＝AE，BF＝AB． ∵平行四邊形ABCD，∴AD＝BC，AB＝DC． ∵△FDE的周長為8，即DF+DE+EF＝8，∴DF+DE+AE＝8，即DF+AD＝8． ∵△FCB的周長為18，即FC+BC+BF＝18，∴FC+AD+DC＝18，即2FC+AD+DF＝18． ∴2FC+8＝18，∴FC＝5．故答案為5． 【點(diǎn)睛】本題主要考查了折疊問題，已知折疊問題就是已知圖形的全等，折疊是一種對稱變換，它屬于軸對稱，根據(jù)軸對稱的性質(zhì)，折疊前后圖形的形狀和大小不變，只是位置發(fā)生了變化． 28．（2021·上海八年級期中）八邊形的內(nèi)角和為________度． 【答案】1080 【詳解】解：八邊形的內(nèi)角和= 29．（2020·上海市靜安區(qū)實(shí)驗(yàn)中學(xué)八年級課時練習(xí)）如果直角三角形的斜邊長為36，那么這條邊上的中線長=___________． 【答案】18 【分析】直接根據(jù)“直角三角形斜邊上的中線等于斜邊的一半”即可得答案． 【詳解】因?yàn)椤爸苯侨切涡边吷系闹芯€長是斜邊長的一半”， 所以這條邊上的中線長為18．故答案為18． 【點(diǎn)睛】本題主要考查直角三角形的性質(zhì)，熟記知識點(diǎn)是解題的關(guān)鍵． 30．（2020·上海嘉定區(qū)·）已知四邊形，點(diǎn)是對角線與的交點(diǎn)，且，請再添加一個條件，使得四邊形成為平行四邊形，那么添加的條件可以是_____________．（用數(shù)學(xué)符號語言表達(dá)） 【答案】 【分析】由題意OA=OC，即一條對角線平分，根據(jù)平行四邊形的判定方法，可以平分另一條對角線，也可以根據(jù)三角形全等，得出答案． 【詳解】解：如圖所示： ∵OA=OC， 由定理：兩條對角線互相平分的四邊形是平行四邊形， ∴可以是OB=OD（答案不唯一）． 故答案為：OB=OD（答案不唯一）． 【點(diǎn)睛】本題考查了平行四邊形的判定，一般有幾種方法： ①兩組對邊分別平行的四邊形是平行四邊形， ②一組對邊平行且相等的四邊形是平行四邊形， ③兩組對邊分別相等的四邊形是平行四邊形， ④兩條對角線互相平分的四邊形是平行四邊形， ⑤兩組對角分別相等的四邊形是平行四邊形． 31．（2018·上海金山區(qū)·八年級期中）如圖，已知的周長是，和相交于點(diǎn)，的周長比的周長小，那么________． 【答案】 【分析】根據(jù)平行四邊形性質(zhì)得出OA=OC，AB=CD，AD=BC，求出AB+BC=13，AB-BC=2，兩式相減即可求出BC，從而求得AD． 【詳解】解：∵四邊形ABCD是平行四邊形，∴OA=OC，AB=CD，AD=BC， ∵的周長是26cm，∴2AB+2BC=26，∴AB+BC=13①， ∵△OBC的周長比△OAB的周長小2cm，∴（AB+OA+OB）-（BC+OC+OB）=2，∴AB-BC=2②， ∵①-②得：2BC=11，∴AD=BC=cm．故答案為：． 【點(diǎn)睛】本題考查平行四邊形的性質(zhì)，關(guān)鍵是能根據(jù)題意得出AB+BC=13，AB-BC=2． 32．（2018·上海金山區(qū)·八年級期中）如果一個多邊形的內(nèi)角和是，那么這個多邊形的邊數(shù)是_________． 【答案】14 【分析】n邊形的內(nèi)角和可以表示成（n-2）?180°，設(shè)這個多邊形的邊數(shù)是n，就得到方程，從而求出邊數(shù)． 【詳解】解：設(shè)這個多邊形的邊數(shù)是n，則（n-2）?180°=2160°， 解得：n=14．則這個多邊形的邊數(shù)是14．故答案為：14． 【點(diǎn)睛】本題考查多邊行的內(nèi)角和定理，關(guān)鍵是根據(jù)n邊形的內(nèi)角和為（n-2）×180°解答． 33．（2019·上海市市西初級中學(xué)八年級期中）的對角線，相交于點(diǎn)，，，，則的周長是________． 【答案】19 【分析】根據(jù)題意作圖，根據(jù)平行四邊形的性質(zhì)即可求解． 【詳解】如圖，∵四邊形ABCD是平行四邊形， ∴CD=AB=5,CO=AC=6,OD=BD=8 ∴的周長為5+6+8=19 故答案為：19． 【點(diǎn)睛】此題主要考查平行四邊形的性質(zhì)，解題的關(guān)鍵是熟知平行四邊形的對角線互相平分． 34．（2019·上海普陀區(qū)·八年級期中）已知梯形的中位線長為，上底長，那么下底的長是_________． 【答案】12 【分析】根據(jù)梯形的中位線定理“梯形中位線的長等于上底與下底和的一半”，即可求解． 【詳解】根據(jù)梯形的中位線定理，得：梯形的下底=中位線的2倍-上底． 故答案為：12． 【點(diǎn)睛】本題考查了梯形的中位線定理，解題的關(guān)鍵是熟悉梯形的中位線的數(shù)量關(guān)系． 35．（2019·上海嘉定區(qū)·上外附中八年級月考）如果一個多邊形的邊數(shù)是12，那么這個多邊形的外角和為________ 【答案】360° 【分析】根據(jù)任何多邊形的外角和都是360°可得答案． 【詳解】解：任何多邊形的外角和都是360°，故答案為：360°． 【點(diǎn)睛】本題考查了多邊形的外角和定理，熟知任何多邊形的外角和都是360°是解題的關(guān)鍵． 36．（2019·上海上外附中八年級月考）梯形的上，下底分別為，，一條腰長，則另一條腰的長度的范圍是__________ 【答案】 【分析】作交于點(diǎn),則四邊形是平行四邊形，依據(jù)平行四邊形的性質(zhì)求出三角形DEC的兩條邊，依據(jù)三角形三角邊關(guān)系，求出的取值范圍. 【詳解】解：如圖梯形,,,,,, 作交于點(diǎn), 則四邊形是平行四邊形， ∴,, ∴, ∵, ∵, 故答案為：. 【點(diǎn)睛】本題考查了梯形的性質(zhì)、平行四邊形的判定與性質(zhì)、三角形三邊的大小關(guān)系，解題的關(guān)鍵是運(yùn)用三角形三邊大小關(guān)系解決求線段范圍的問題. 37．（2019·上海上外附中八年級月考）如圖，平行四邊形中，對角線，且，，則和之間的距離是________ 【答案】 【分析】設(shè)和之間的距離為x，由條件可知?ABCD的面積是的面積的2倍，建立關(guān)于x的等式并求解即可． 【詳解】解：∵平行四邊形， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， 設(shè)和之間的距離為x， 則平行四邊形ABCD的面積等于， 又∵， ∴， ， 故答案為：. 【點(diǎn)睛】本題主要考查平行四邊形的性質(zhì)、勾股定理，由條件得到四邊形ABCD的面積是的面積的2倍是解題的關(guān)鍵． 38．（2019·上海上外附中八年級月考）平行四邊形周長為，對角線的交點(diǎn)為，的周長比的周長大，則_________ 【答案】2 【分析】根據(jù)平行四邊形對邊相等可得，根據(jù)的周長比的周長大6可得，組成方程組，求解即可． 【詳解】解：平行四邊形的周長為20， ∴, ∴， ∵的周長比的周長大6， ∴， 解得：． ∴, 故答案為：2． 【點(diǎn)睛】本題主要考查的是平行四邊行的性質(zhì)：平行四邊形的兩組對邊分別相等且平行四邊形的對角線互相平分．列方程組是解題的關(guān)鍵. 39．（2019·上海上外附中八年級月考）邊形的內(nèi)角和是外角和的三倍，則_________ 【答案】8 【分析】根據(jù)“多邊形的內(nèi)角和是外角和的三倍”，結(jié)合邊形的內(nèi)角和公式和多邊形的外角和為360°，列出關(guān)于的一元一次方程，解之即可． 【詳解】解：邊形的內(nèi)角和為：(?2)×180°，邊形的外角和為：360°， 根據(jù)題意得：(?2)×180°=3×360°，解得：=8，故答案為：8． 【點(diǎn)睛】本題考查了多邊形的內(nèi)角和與外角和，正確掌握多邊形的內(nèi)角和公式和多邊形的外角和為360°是解題的關(guān)鍵． 40．（2018·上海虹口區(qū)·八年級期中）在平行四邊形ABCD中，兩鄰角的度數(shù)比是7：2，那么較小角的度數(shù)為______度． 【答案】40 【分析】本題主要依據(jù)平行四邊形的性質(zhì)，得出兩鄰角之和180°，再有兩鄰角的度數(shù)比是7：2，得出較小角的度數(shù)． 【詳解】解：設(shè)兩鄰角分別為， 則， 解得：， ∴較小的角為40°． 故答案為：40． 【點(diǎn)睛】本題主要考查了平行四邊形的基本性質(zhì)，屬于基礎(chǔ)題，解答本題的關(guān)鍵是熟練掌握平行四邊形的兩鄰角之和為180°． 41．（2017·上海閔行區(qū)·八年級期末）一個多邊形的內(nèi)角和是 1440°，則這個多邊形是__________邊形． 【答案】十 【分析】利用多邊形的內(nèi)角和定理：n邊形的內(nèi)角和為 便可得. 【詳解】∵n邊形的內(nèi)角和為 ∴，. 故答案為：十邊形. 【點(diǎn)睛】本題考查多邊形的內(nèi)角和公式，掌握n邊形內(nèi)角和定理為本題的關(guān)鍵. 42．（2019·上海上外附中八年級期中）如果一個多邊形的內(nèi)角和為，那么這個多邊形的邊數(shù)是__________，它的對角線有__________條． 【答案】10； 35 【分析】根據(jù)多邊形內(nèi)角和公式、對角線相關(guān)公式進(jìn)行計算即可得解． 【詳解】解：∵邊形的內(nèi)角和為， 邊形的對角線條數(shù)為 ∴一個多邊形的內(nèi)角和為，則多邊形的邊數(shù)為10條，對角線有35條． 故答案是：（1）；（2） 【點(diǎn)睛】本題考查多邊形內(nèi)角和定理和多邊形對角線條數(shù)，難度不大，熟記公式是解題的關(guān)鍵． 43．（2019·上海民辦張江集團(tuán)學(xué)校八年級月考）一個多邊形的每個外角都是，那么這個多邊形的邊數(shù)是_________________． 【答案】360 【分析】根據(jù)多邊形的外角和是360度即可求得外角的個數(shù)，即多邊形的邊數(shù)． 【詳解】解：多邊形的邊數(shù)是：， 故答案為：360． 【點(diǎn)睛】本題主要考查了多邊形的外角和定理，掌握多邊形的外角和是360°是解題關(guān)鍵． 44．（2019·上海民辦張江集團(tuán)學(xué)校八年級月考）在四邊形中，如果，那么這個四邊形__________是平行四邊形，(填“一定”或“一定”或“一定不”) 【答案】不一定 【分析】由題意得出，對角互補(bǔ)的四邊形不一定是平行四邊形． 【詳解】解：如果，則， 那么這個四邊形不一定是平行四邊形； 故答案為：不一定． 【點(diǎn)睛】本題考查了平行四邊形的判定方法；熟練掌握平行四邊形的判定方法是解決問題的關(guān)鍵． 45．（2018·上海市西南模范中學(xué)八年級期中）已知平行四邊形相鄰兩個內(nèi)角相差40°，則該平行四邊形中較小內(nèi)角的度數(shù)是_____． 【答案】70° 【分析】由平行四邊形的性質(zhì)得出∠B+∠C=180°，由已知條件得出∠C-∠B=40°，解答即可． 【詳解】如圖所示： ∵四邊形ABCD是平行四邊形，∴AB∥CD，∴∠B+∠C=180°， ∵∠C-∠B=40°，解得：∠B=70°，故答案是：70°． 【點(diǎn)睛】考查了平行四邊形的性質(zhì)、平行線的性質(zhì)；熟練掌握平行四邊形的性質(zhì)，并能進(jìn)行推理計算是解決問題的關(guān)鍵． 46．（2019·上海浦東新區(qū)·八年級期末）在五邊形中，若，則__________. 【答案】130° 【分析】首先利用多邊形的外角和定理求得正五邊形的內(nèi)角和，然后減去已知四個角的和即可． 【詳解】解：正五邊形的內(nèi)角和為（5-2）×180°=540°， ∵∠A+∠B+∠C+∠D=410°， ∴∠E=540°-410°=130°， 故答案為：130°． 【點(diǎn)睛】本題主要考查了多邊形的內(nèi)角和公式，熟記公式是解題的關(guān)鍵． 47．（2021·上海八年級期中）如圖，□的周長為，，相交于點(diǎn)，交于，則的周長為__________． 【答案】15 【分析】根據(jù)平行四邊形的性質(zhì)，兩組對邊分別平行且相等，對角線相互平分，OE⊥AC可說明EO是線段AC的中垂線，中垂線上任意一點(diǎn)到線段兩端點(diǎn)的距離相等，則AE=CE，再利用平行四邊形ABCD的周長為30可得AD+CD=15，進(jìn)而可得△DCE的周長． 【詳解】解：∵四邊形ABCD是平行四邊形， ∴AB=CD，AD=BC，點(diǎn)O平分BD、AC，即OA=OC， 又∵OE⊥AC， ∴OE是線段AC的中垂線， ∴AE=CE， ∴AD=AE+ED=CE+ED， ∵?ABCD的周長為， ∴CD+AD=15cm， ∴的周長= CE+ED +CD=AD+CD=15cm， 故答案為15． 【點(diǎn)睛】本題考查平行四邊形的性質(zhì)，中垂線的判定及性質(zhì)，關(guān)鍵是掌握平行四邊形平行四邊形的對邊相等．平行四邊形的對角線互相平分． 48．（2018·上海靜安區(qū)·八年級期末）已知一個多邊形的每個內(nèi)角都是，則這個多邊形的邊數(shù)是_______. 【答案】18 【分析】首先計算出多邊形的外角的度數(shù)，再根據(jù)外角和÷外角度數(shù)＝邊數(shù)可得答案． 【詳解】解：多邊形每一個內(nèi)角都等于 多邊形每一個外角都等于 邊數(shù) 故答案為 【點(diǎn)睛】此題主要考查了多邊形的外角與內(nèi)角，關(guān)鍵是掌握多邊形的外角與它相鄰的內(nèi)角互補(bǔ)，外角和為360°． 49．（2018·上海市民辦揚(yáng)波中學(xué)八年級期末）?ABCD的周長是30，AC、BD相交于點(diǎn)O，△OAB的周長比△OBC的周長大3，則AB＝_____． 【答案】9． 【分析】如圖：由四邊形ABCD是平行四邊形，可得AB=CD，BC=AD，OA=OC，OB=OD；又由△OAB的周長比△OBC的周長大3，可得AB﹣BC=3，又因?yàn)?ABCD的周長是30，所以AB+BC=10；解方程組即可求得． 【詳解】解：∵四邊形ABCD是平行四邊形， ∴AB=CD，BC=AD，OA=OC，OB=OD； 又∵△OAB的周長比△OBC的周長大3， ∴AB+OA+OB﹣（BC+OB+OC）=3 ∴AB﹣BC=3， 又∵?ABCD的周長是30， ∴AB+BC=15， ∴AB=9． 故答案為9． 50．（2018·上海八年級期中）若一個多邊形的內(nèi)角和是其外角和的3倍，則這個多邊形的邊數(shù)是______． 【答案】8 【詳解】解：設(shè)邊數(shù)為n，由題意得， 180（n-2）=3603 解得n=8. 所以這個多邊形的邊數(shù)是8. 51．（2019·上海市民辦新和中學(xué)八年級月考）一個n邊形的內(nèi)角和為1080°，則n=________. 【答案】8 【分析】直接根據(jù)內(nèi)角和公式計算即可求解. 【詳解】（n﹣2）?180°=1080°，解得n=8． 故答案為8． 【點(diǎn)睛】主要考查了多邊形的內(nèi)角和公式.多邊形內(nèi)角和公式：. 52.一個多邊形每一個內(nèi)角等于144°，那么這個多邊形是______邊形，有_______條對角線，外角和是______，每個外角是________． 【難度】★ 【答案】十邊形，35，360°，36°． 【解析】每個內(nèi)角144°，則每個外角36°，所以這個多邊形是十邊形． 【總結(jié)】本題考查多邊形內(nèi)角和與外角和公式及對角線公式的綜合運(yùn)用． 53.梯形的上底長為3cm，中位線長為5cm，則它的下底長為_______cm． 【難度】★ 【答案】7． 【解析】梯形中位線=（上底+下底）÷2． 【總結(jié)】本題考查梯形中位線定理的運(yùn)用． 54.平行四邊形ABCD中，∠A-∠B=40°，則∠C=________度． 【難度】★ 【答案】110． 【解析】∵平行四邊形ABCD中，∠A+∠B=180°，∠A-∠B=40°， ∴∠B=70°，∠A=110°，∴∠C=∠A=110°． 【總結(jié)】本題考查平行四邊形性質(zhì)的運(yùn)用． 55.矩形ABCD中，AC與BD交于點(diǎn)O，AC=10cm，BC=8cm，則△ABO的周長為_________cm． 【難度】★ 【答案】16 【解析】矩形ABCD中，AC=BD=10，∴OA=OC=5． 直角△ABC中，AB=6，∴△ABO的周長=OA+OB+AB=16cm． 【總結(jié)】本題主要考查矩形的性質(zhì)的運(yùn)用． 56.直角梯形的兩底分別為3和7，斜腰與底邊的夾角為60°，則該梯形的面積是_______． 【難度】★ 【答案】． 【解析】設(shè)直角梯形ABCD中，AB//CD，∠A=∠D=90°，∠C=60°，AB=3，CD=7 過點(diǎn)B作BE⊥CD，則矩形ABED中，AB=ED=3，CE=4 ∴BC=8，BE==AD， ∴． 【總結(jié)】本題考查直角梯形性質(zhì)的運(yùn)用． 57.菱形的兩個內(nèi)角的度數(shù)之比為1:5，菱形的高為2cm，則這個菱形的周長是________cm． 【難度】★ 【答案】16． 【解析】設(shè)菱形ABCD中，AE⊥BC，且AE=2 ∵B：A=1:5，A+B=180°，∴B=30°， ∴AB=2AE=4．∴菱形周長=16． 【總結(jié)】本題考查菱形性質(zhì)與直角三角形性質(zhì)的綜合運(yùn)用． 58.菱形的周長是24cm，一條較短的對角線是6cm，則該菱形的面積是______． 【難度】★ 【答案】． 【解析】∵菱形周長是24，∴菱形邊長是6，∴另一條對角線長． ∴菱形面積=對角線乘積的一半=． 【總結(jié)】本題考查菱形面積公式的運(yùn)用． 59.等腰梯形兩底差為12cm，高為6cm，則該梯形的底角的度數(shù)分別是_______． 【難度】★ 【答案】45°，135°，45°，135°． 【解析】設(shè)等腰梯形ABCD，AD=BC，AB//CD，AB＜CD 作AE⊥CD，BF⊥CD，在矩形ABFE中，AB=EF ∵CD-AB=12，∴CD-EF=DE+CF=12，∵等腰梯形ABCD，∴DE=CF=6． 又∵AE=BF=6，∴等腰直角△ADE中，∠D=45° ∴等腰梯形四個底角分別是45°，135°，45°，135°． 【總結(jié)】本題考查等腰梯形性質(zhì)的運(yùn)用． 60.（1） ； （2），方向向西，，方向向東，則= ． 【難度】★ 【答案】（1）；（2）3． 【解析】（1）． 【總結(jié)】本題考查向量方向和模長的相關(guān)概念． 61.如右圖，梯形中，，點(diǎn)在上，，則 ． 【難度】★ 【答案】． 【解析】． 62.已知平行四邊形ABCD的周長是28，自頂點(diǎn)A分別作于點(diǎn)E、F，若AE=3，AF=4，則CD-CB=_______． 【難度】★★ 【答案】2． 【解析】設(shè)CD=x，BC=y， ∵，AE=3，AF=4， ∴平行四邊形面積3x4y． 由題意得，解得：，∴CDCBxy2． 【總結(jié)】本題考查平行四邊形面積公式的運(yùn)用． 63.如圖，正方形ABCD中，AC、BD交于點(diǎn)O，，OE//AD，判斷OE與AB的數(shù)量和位置關(guān)系分別是__________． 【難度】★★ 【答案】垂直且相等． 【解析】∵AC⊥CE，∴ACD=DCE=45° ∵OE//AD//BC，∴COE=OCB=45° ∴OE⊥CD，OE⊥AB 等腰直角△OCE中， ∴OE=AB，∴OE與AB垂直且相等 【總結(jié)】本題考查正方形性質(zhì)的綜合運(yùn)用． 64.如圖，矩形ABCD沿AE折疊使點(diǎn)D落在BC邊上的F處，如果，那么=______． 【難度】★★ 【答案】15°． 【解析】∵BAF=60° ∴FAD=30° ∵△AFE≌△ADE ∴FAE=EAD=15° 【總結(jié)】本題考查翻折性質(zhì)與矩形性質(zhì)的綜合運(yùn)用． 65.如圖，正方形ABCD的邊長為，E是AD的中點(diǎn)，BM⊥EC于點(diǎn)M，則BM的長為__________． 【難度】★★ 【答案】． 【解析】聯(lián)結(jié)BE 由△BEC面積可得 ∵E是AD中點(diǎn)，∴，∴． 【總結(jié)】本題考查正方形性質(zhì)與等積法的綜合運(yùn)用． 66.如圖，菱形ABCD的邊長為4 cm，且∠ABC＝60°，E是BC的中點(diǎn)，P點(diǎn)在BD上，則PE+PC的最小值為________． 【難度】★★ 【答案】． 【解析】作點(diǎn)E關(guān)于直線BD的對稱點(diǎn)E′，連接CE′交BD于點(diǎn)P， 則CE′的長即為PE﹢PC的最小值，∵四邊形ABCD是菱形，∴BD是∠ABC的平分線， ∴E′在AB上，由圖形對稱的性質(zhì)可知，BE=BE′= ∵BE=BE′=，∴△BCE′是直角三角形，∴CE′=．∴PE+PC的最小值是． 【總結(jié)】本題考查軸對稱—最短路線問題及菱形性質(zhì)，直角三角形的判定定理，根據(jù)軸對稱的性質(zhì)做出圖形是解答此題的關(guān)鍵． 67.如圖，在等腰梯形ABCD中，AB//CD，∠A＝，∠1＝∠2，且梯形的周長為30cm，則這個等腰梯形的腰長為______________． 【難度】★★ 【答案】6cm． 【解析】等腰梯形ABCD中，∠A=∠CBA=60°． ∵∠1=∠2，∴∠CDB=∠DBA=∠CBD=30°，∴CD=CB． 設(shè)AD=CD=BC=x 在直角△ABD中，AB=2x，∴x+x+x+2x=30，解得：x=6． ∴等腰梯形腰長6cm 【總結(jié)】本題考查等腰梯形性質(zhì)與直角三角形性質(zhì)的綜合運(yùn)用． 三、解答題 68.在梯形ABCD中，AB∥DC，P是AB上一點(diǎn)，，，． （1）用表示和； （2）在圖中作出． 【難度】★★ 【答案】（1），；（2）見圖． 【解析】（1）∵，， ∴； （2）∵，∴為所求作的向量． 【總結(jié)】本題考查向量的加法，注意法則的運(yùn)用． 一艘船要過河，它總是走最短的路線，又知道河水由上游往下游流，速度為3km/h． （1）若船頭向上游偏45°，則船速要為多少? （2）若船頭向上游偏30°，則船速要為多少? （3）若船頭正對著岸，問：船也沒有可能走最短路線? 【難度】★★ 【答案】（1）；（2）6；（3）沒有可能． 【解析】（1）若船頭向上游偏45°，則船速為km/h； （2）若船頭向上游偏30°，則船速為6km/h； （3）若船頭正對著對岸，則船沒有可能走最短路線． 【總結(jié)】本題考查向量的應(yīng)用，結(jié)合圖形與向量可求解． 如圖，矩形ABCD中，AC與BD交于點(diǎn)O，E在AD上，CE=AE，F(xiàn)是AE的中點(diǎn)，AD=8，DC=4． （1）求線段DE的長； （2）求線段OF的長． 【難度】★★ 【答案】（1）DE=3；（2）OF=2.5． 【解析】（1）設(shè)DE=x，則AE=8-x ∵EC=EA=8-x，∴在Rt△CED中， 即，解得：x=3 ∴DE=3； （2）∵F是AE中點(diǎn)，O是AC中點(diǎn)， ∴OF是△AEC中位線 在△CDE中，DE=3，CD=4 ∴CE=5，∴OF=2.5 【總結(jié)】本題考查矩形性質(zhì)與勾股定理的綜合應(yīng)用． 71.如圖所示，已知菱形中在上，且，交于，試說明． 【難度】★★ 【解析】∵AB=AE，AD//BC， ∴∠ABE=∠AEB=∠EAD ∵∠BAE=∠EAD， ∴∠EAD=2∠BAE ∴5∠BAE=180°， ∴∠BAE=36°，∠ABE=∠AEB=∠EAD=72° ∵菱形ABCD，∴∠ABD=∠DBC=36°=∠BAE 即∠ABD=∠BAE ， ∴AM =BM △BME中，∠BME=∠BEM=72° ∴BM=BE， ∴AM=BE 【總結(jié)】本題考查菱形性質(zhì)與三角形內(nèi)角和的應(yīng)用． 72.如圖，已知長方形，過點(diǎn)引的平分線的垂線，垂足為，交于，連接． （1）求證：；（2）求證：． 【難度】★★ 【解析】（1）∵AM平分∠BAD，∠BAD=90° ∴∠BAE=45°，∴△BAE為等腰直角三角形， ∴AB = BE 又∵AB=DC，∴BE=DC； （2）由CM⊥AM易得∠EMC=90° 又∵∠BAE=45°，∠BEA=45°，∴∠MEC=45° ∴△MEC為等腰直角三角形 ∴ME=CM且∠MEC=∠MCE=45°，∴∠BEM=∠DCM=135° 又BE=DC，∴△BEM≌△DCM， ∴∠MBE=∠MDC 【總結(jié)】本題考查矩形性質(zhì)，等腰直角三角形性質(zhì)的綜合運(yùn)用，注意認(rèn)真分析． 73.如圖，等腰三角形ABC中，AB＝AC，點(diǎn)E、F分別是AB、AC的中點(diǎn)，CE⊥BF于點(diǎn)O． 求證：（1）四邊形EBCF是等腰梯形； （2）． 【難度】★★ 【解析】（1）∵E、F分別是AB、AC中點(diǎn) ∴EF//BC，， 又∵BE與CF相交于點(diǎn)A， ∴四邊形BEFC是等腰梯形； （2）∵EC⊥BF， ∴， ∴ ∴． 【總結(jié)】本題考查等腰梯形判定方法，勾股定理及中位線性質(zhì)的綜合運(yùn)用，第（2）小問注 意利用觀察線段間的關(guān)系． 74.已知：如圖，在平行四邊形ABCD中，AB=BC=6，∠B=60°，點(diǎn)P、Q分別是射線BC、CD上的一個動點(diǎn)，且∠PAQ =60°，設(shè)PB=x，PQ=y． （1）求證：△APQ是等邊三角形． （2）求y關(guān)于x的函數(shù)解析式及定義域； （3）如果PD⊥AQ，求BP的值． 【難度】★★ 【答案】（1）見解析；（2）； （3）BP的值為0或12． 【解析】（1）在平行四邊形ABCD中 ∵AB=BC，∴四邊形ABCD為菱形 ∵在菱形ABCD中，B=60°， ∴△ABC是等邊三角形 ∴AB=AC=BC， ∴AC=CD ∵PAQ=60°，∴CAP=DAQ ∴△ACP≌△ADQ， ∴AP=AQ ∴△PAQ是等邊三角形； （2）作AH⊥BC于H ∵ABH=60°，AB=6， ∴BH=3，HA= ∵PB=x，∴ HP=|x-3|， ∵PQ=y，∴AP=y 故在Rt△AHP中，由勾股定理可得：， ∴函數(shù)解析式； （3）當(dāng)P在BC延長線時 ∵△APQ是等邊三角形，∴當(dāng)PD⊥AQ時，PD平分ADQ ∵AD//BC，∴ADQ=BCQ=120° ∴DPC=60°，∵DPA=30° ∴APC=30°，∴BP=2BA=12； 當(dāng)P在線段BC上時 易得PQ為菱形ABCD一條對角線，所以B，P重合， 此時BP=0， 綜上如果PD⊥AQ，BP的值為0或12． 【總結(jié)】本題考查平行四邊形性質(zhì)及菱形性質(zhì)和判定方法，注意數(shù)形結(jié)合思想與分類討論思 想的綜合運(yùn)用． 75.如圖，點(diǎn)M、N分別在正方形ABCD的邊CD、BC上，已知的周長等于正方形ABCD周長的一半，求的度數(shù)． 【難度】★★ 【答案】45°． 【解析】把△ADM繞著點(diǎn)A按順時針方向旋轉(zhuǎn)90°后，得到△ABE， ∴AE=AM，BE=DM，∠ABE=∠D=90°，∠MAE=90° ∵∠ABC=90°， ∴點(diǎn)N、B、E共線 ∴NE=BE+BN=DM+BN ∵△MCN的周長等于正方形ABCD周長的一半 ∴MN+NC+MC=DC+BC=DM+MC+NC+BN ∴MN=DM+BN， ∴MN=NE ∵在△MAN和△MAE中，△EAN≌△MAN（SSS）， ∴∠NAM=∠EAN=45°． 【總結(jié)】本題考查旋轉(zhuǎn)的性質(zhì)，也考查了三角形全等的判定性質(zhì)以及正方形的性質(zhì)，注意正 方形背景下的輔助線的添加方法． 76.如圖，在平面直角坐標(biāo)系中，四邊形是等腰梯形，∥，，，，動點(diǎn)從點(diǎn)出發(fā)，在梯形的邊上運(yùn)動，路徑為，到達(dá)點(diǎn)時停止，作直線． （1）求梯形的面積； （2）當(dāng)直線把梯形的面積分成相等的兩部分時，求直線的解析式； （3）當(dāng)△是等腰三角形時，請寫出點(diǎn)的坐標(biāo)． 【難度】★★★ 【答案】（1）；（2）；（3）見解析． 【解析】過點(diǎn)C作CE⊥OA于E，過點(diǎn)B作BF⊥OA于F， ∵CB∥OA，∴∠CEF=∠BFE=∠ECB=90°，∴四邊形CEFB是矩形，∴EF=BC=6，BF=CE， ∵∠COA=45°，，∴CE=OE= ∵四邊形OABC是等腰梯形，∴∠BAO=∠COA=45°， 同理可得：BF=AF=， ∴OA=OE+EF+AF=． ∴； （2）∵直線CP把梯形OABC的面積分成相等的兩部分，∴， ∵， ∴OP=．∴P（，0），C（，） 利用待定系數(shù)法可得直線CP解析式是：； （3）①當(dāng)P在OA上時， 若OP=OC時，OP=4，即點(diǎn)P的坐標(biāo)為（4，0）； 若OC=CP時，則OE=PE=，即OP=，∴點(diǎn)P的坐標(biāo)為（，0）； 若CP=OP時，∵∠COA=45°，∴∠PCO=∠COA=45°，∴∠OPC=90°，∴OP=， ∴點(diǎn)P的坐標(biāo)為（，0） ②當(dāng)P在AB上時，OP＞OB，PC＜AC， ∵OB=AC，∴OP＞PC， ∵PC＞BC＞OC，∴OP＞PC＞OC， ∴此時不存在點(diǎn)P使得△OCP是等腰三角形； ③當(dāng)點(diǎn)P在CB上時， 若CP=OC，則點(diǎn)P的坐標(biāo)為（+4，）． 綜上點(diǎn)P的坐標(biāo)為：（4，0）或（，0）或（，0）或（+4，）． 【總結(jié)】本題考查等腰梯形的性質(zhì)，等腰直角三角形的性質(zhì)以及等腰三角形的性質(zhì)的綜合運(yùn) 用，注意掌握數(shù)形結(jié)合，分類討論與方程思想的應(yīng)用，綜合性較強(qiáng)．

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初中數(shù)學(xué)滬教版（五四制）（2024）八年級下冊電子課本

章節(jié)綜合與測試

版本： 滬教版（五四制）（2024）

年級： 八年級下冊

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