浙教版（2024）九年級上冊3.1 圓課后作業(yè)題-試卷下載-教習(xí)網(wǎng)

一、正多邊形的相關(guān)計算
1.正多邊形的中心：正多邊形的外接圓的圓心．外接圓的半徑叫做正多邊形的半徑，正多邊形每一邊所對的圓心角叫做正多邊形的中心角，中心到正多邊形的一邊的距離叫做正多邊形的邊心距．作相等的圓心角就可以等分圓周，從而得到相應(yīng)正多邊形．
2.每個正多邊形都有一個外接圓和一個內(nèi)切圓，正多邊形的邊心距就是內(nèi)切圓的半徑．研究正多邊形往往構(gòu)造等腰三角形，并結(jié)合勾股定理、三角函數(shù)等解決．
二、弧長的計算
在半徑為R的圓中，n°的圓心角所對的弧長l的計算公式為：l＝eq \f(nπR,180)．
三、與扇形有關(guān)的面積計算
在半徑為R的圓中，n°的圓心角所對的扇形(弧長為l)面積的計算公式為：S扇形＝eq \f(nπR2,360)＝eq \f(1,2)lR.
考點精講
一．正多邊形和圓（共5小題）
1．（2022?鄞州區(qū)一模）如圖，正六邊形ABCDEF中，點P是邊AF上的點，記圖中各三角形的面積依次為S1，S2，S3，S4，S5，則下列判斷正確的是（）
A．S1+S2＝2S3B．S1+S4＝S3C．S2+S4＝2S3D．S1+S5＝S3
【分析】正六邊形ABCDEF中，點P是邊AF上的點，記圖中各三角形的面積依次為S1，S2，S3，S4，S5，則有S3＝S正六邊形ABCDEF，S1+S4＝S2+S5＝S正六邊形ABCDEF，由此即可判斷．
【解答】解：正六邊形ABCDEF中，點P是邊AF上的點，記圖中各三角形的面積依次為S1，S2，S3，S4，S5，
則有S3＝S正六邊形ABCDEF，S1+S4＝S2+S5＝S正六邊形ABCDEF，
∴S3＝S1+S4＝S2+S5，
故選：B．
【點評】本題考查正多邊形與圓，三角形的面積等知識，解題的關(guān)鍵是理解題意，靈活運用所學(xué)知識解決問題．
2．（2021秋?新昌縣期末）如圖，圓的半徑為4，則圖中陰影部分的周長是（）
A．B．C．24D．
【分析】根據(jù)正六邊形的性質(zhì)即可解決問題．
【解答】解：如圖，連接OA，OB，過點O作OC⊥AB于C，
根據(jù)圖形可知：
∠OCB＝90°，∠OBA＝30°，圓的半徑OB＝4，
∴OC＝2，
∴BC＝2，
∴AB＝2BC＝4，
∴圖中陰影部分的周長＝6×4＝24．
故選：D．
【點評】本題考查了正多邊形和圓，解決本題的關(guān)鍵是掌握正六邊形的性質(zhì)．
3．（2022?金東區(qū)三模）如圖，正五邊形ABCDE和正方形AFGH內(nèi)接于圓O，連結(jié)EF交AH于點M，則∠AME的度數(shù)為 126° ．
【分析】根據(jù)正五邊形ABCDE和正方形AFGH內(nèi)接于圓O求出∠AEF＝45°，∠HAE＝9°，再根據(jù)三角形內(nèi)角和解答即可．
【解答】解：∵正方形AFGH內(nèi)接于圓O，
∴∠AOF＝∠AOH＝90°，
∴∠AEF＝45°，
∵OA＝OH，
∴∠OAH＝45°，
∵正五邊形ABCDE內(nèi)接于圓O，
∴∠AOE＝72°，
∵OA＝OE，
∴∠OEA＝∠OAE＝54°，
∴∠HAE＝54°﹣45°＝9°，
∴∠AME＝180°﹣∠MEA﹣∠MAE＝126°，
故答案為：126°．
【點評】本題主要考查了正多邊形和圓，等腰三角形的性質(zhì)，圓周角定理，三角形內(nèi)角和，熟練掌握相關(guān)性質(zhì)定理是解決本題的關(guān)鍵．
4．（2022?金東區(qū)一模）蜂巢的構(gòu)造非常美麗、科學(xué)，如圖是由7個形狀、大小完全相同的正六邊形組成的網(wǎng)格，正六邊形的頂點稱為格點，△ABC的頂點都在格點上．設(shè)定AB邊如圖所示，當△ABC是直角三角形時，點C的個數(shù)為 10 ．
【分析】根據(jù)正六邊形的性質(zhì)，分AB是直角邊和斜邊兩種情況確定出點C的位置．
【解答】解：如圖，AB是直角邊時，點C共有6個位置，
即，有6個直角三角形，
AB是斜邊時，點C共有4個位置，
即有4個直角三角形，
綜上所述當△ABC是直角三角形時，點C的個數(shù)為10個．
故答案為：10．
【點評】本題考查了正多邊形和圓，難點在于分AB是直角邊和斜邊兩種情況討論，熟練掌握正六邊形的性質(zhì)是解題的關(guān)鍵，作出圖形更形象直觀．
5．（2020秋?武漢期末）如圖，正方形ABCD內(nèi)接于⊙O，E是的中點，連接AE，DE，CE．
（1）求證：AE＝DE；
（2）若CE＝1，求四邊形AECD的面積．
【分析】（1）欲證明AE＝DE，只要證明＝．
（2）連接BD，過點D作DF⊥DE交EC的延長線于F．證明△ADE≌△CDF（AAS），推出AE＝CF，推出S△ADE＝S△CDF，推出S四邊形AECD＝S△DEF，再利用等腰三角形的性質(zhì)構(gòu)建方程求出DE，即可解決問題．
【解答】（1）證明：∵四邊形ABCD是正方形，
∴AB＝CD，
∴＝，
∵E是的中點，
∴＝，
∴+＝+，即＝，
∴AE＝DE．
（2）解：連接BD，AO，過點D作DF⊥DE交EC的延長線于F．
∵四邊形ABCD是正方形，
∴∠DBC＝∠DEC＝45°，DA＝DC，
∵∠EDF＝90°，
∴∠F＝∠EDF﹣∠DEF＝90°﹣45°＝45°，
∴DE＝DF，
∵∠AED＝∠AOD＝45°，
∴∠AED＝∠F＝45°，
∵∠ADC＝∠EDF＝90°，
∴∠ADE+∠EDC＝∠CDF+∠EDC＝90°，
∴∠ADE＝∠CDF
在△ADE和△CDF中，
，
∴△ADE≌△CDF（AAS），
∴AE＝CF，
∴S△ADE＝S△CDF，
∴S四邊形AECD＝S△DEF，
∵EF＝DE＝EC+DE，EC＝1，
∴1+DE＝DE，
∴DE＝+1，
∴S四邊形AECD＝S△DEF＝DE2＝+．
【點評】本題考查正多邊形與圓，正方形的性質(zhì)，全等三角形的判定和性質(zhì)，等腰直角三角形的判定和性質(zhì)等知識，解題的關(guān)鍵是學(xué)會添加常用輔助線，構(gòu)造全等三角形解決問題，屬于中考?？碱}型．
二．弧長的計算（共11小題）
6．（2022?麗水）某仿古墻上原有一個矩形的門洞，現(xiàn)要將它改為一個圓弧形的門洞，圓弧所在的圓外接于矩形，如圖．已知矩形的寬為2m，高為2m，則改建后門洞的圓弧長是（）
A．mB．mC．mD．（+2）m
【分析】先作出合適的輔助線，然后根據(jù)題意和圖形，可以求得優(yōu)弧所對的圓心角的度數(shù)和所在圓的半徑，然后根據(jù)弧長公式計算即可．
【解答】解：連接AC，BD，AC和BD相交于點O，則O為圓心，如圖所示，
由題意可得，CD＝2m，AD＝2m，∠ADC＝90°，
∴tan∠DCA＝＝＝，AC＝＝4（m），
∴∠ACD＝60°，OA＝OC＝2m，
∴∠ACB＝30°，
∴∠AOB＝60°，
∴優(yōu)弧ADCB所對的圓心角為300°，
∴改建后門洞的圓弧長是：＝（m），
故選：C．
【點評】本題考查弧長公式、勾股定理、圓周角定理、矩形的性質(zhì)，解答本題的關(guān)鍵是求出優(yōu)弧所對的圓心角的度數(shù)和所在圓的半徑．
7．（2022?西湖區(qū)校級二模）已知扇形的半徑為6，圓心角為120°，則它的弧長是（）
A．2πB．4πC．6πD．8π
【分析】根據(jù)弧長的計算方法進行計算即可．
【解答】解：由弧長公式可知，
l＝＝4π，
故選：B．
【點評】本題考查弧長的計算，掌握弧長的計算方法是正確計算的關(guān)鍵．
8．（2022?鄞州區(qū)校級開學(xué)）如圖，在每個小正方形的邊長均為1的網(wǎng)格圖中，一段圓弧經(jīng)過格點A，B，C，格點C，D的連線交于點E，則的長為．
【分析】連接AE、AC、AD，由∠ABC＝90°，可知AC是直徑且值為，可知∠AEC＝90°，根據(jù)勾股定理逆定理可判斷出△ACD是等腰直角三角形，求出∠ACE＝∠CAE＝45°，可知的長是圓周長的，利用圓周長公式求解即可．
【解答】解：如圖所示：連接AE、AC、AD，
∵∠ABC＝90°，
∴AC是直徑，
∴∠ABC＝∠AEC＝90°，
根據(jù)網(wǎng)格圖形可知：，，
∴AC2+AD2＝CD2＝26，
∴△ACD是等腰直角三角形，
∴∠CAD＝90°，∠ACE＝45°，
∴∠EAC＝45°，
∴所對的圓心角是90°，
∴的長為以AC為直徑的圓周長的，
即．
故答案為：．
【點評】本題考查了勾股定理逆定理、圓周角定理及其推論、弧長的計算公式、利用網(wǎng)格求線段長等知識，準確的作出輔助線構(gòu)造出直角三角形和正確的計算是解決本題的關(guān)鍵．
9．（2022?金華模擬）已知扇形的圓心角為60°，半徑為18cm，則此扇形的弧長為 6π cm．
【分析】根據(jù)弧長公式代入即可．
【解答】解：根據(jù)扇形的弧長公式可得：l＝＝6πcm，
故答案為：6π．
【點評】本題主要考查了扇形的弧長公式，熟記弧長公式l＝是解題的關(guān)鍵．
10．（2022?柯城區(qū)二模）如圖，在平面直角坐標系中，四邊形ABOC是正方形，點A的坐標為（1，1），是以點B為圓心，BA為半徑的圓弧；是以點O為圓心，OA1為半徑的圓弧，是以點C為圓心，CA2為半徑的圓弧，是以點A為圓心，AA3為半徑的圓弧，繼續(xù)以點B、O、C、A為圓心按上述作法得到的曲線AA1A2A3A4A5…稱為正方形的“漸開線”，那么點A5的坐標是（1，9），點A2022的坐標是（0，﹣2022）．
【分析】根據(jù)題意分別寫出A1…A8的坐標，根據(jù)規(guī)律解答．
【解答】解：觀察，找規(guī)律：A（1，1），A1（2，0），A2（0，﹣2），A3（﹣3，1），A4（1，5），A5（6，0），A6（0，﹣6），A7（﹣7，1），A8（1，9）…，
∴A4n＝（1，4n+1），A4n+1＝（4n+2，0），A4n+2＝（0，﹣（4n+2）），A4n+3＝（﹣（4n+3），1）．
∵2022＝505×4+2，
∴A2022的坐標為（0，﹣2022）．
故答案為：（1，9），（0，﹣2022）．
【點評】本題考查了規(guī)律型中的點的坐標，根據(jù)題意找出“A4n（1，4n+1），A4n+1（4n+2，0），A4n+2（0，﹣（4n+2）），A4n+3（﹣（4n+3），1）”這一規(guī)律，解決該題型題目時，結(jié)合畫弧的方法以及部分點的坐標尋找出來點的排布規(guī)律是關(guān)鍵．
11．（2021秋?鹿城區(qū)校級月考）如圖，△ABC中，CA＝CB，以AB為直徑的⊙O分別交CA，CB于點D，E．
（1）求證：＝；
（2）若∠C＝50°，半徑OA＝3，求的長．
【分析】（1）由CA＝CB，推出∠A＝∠B，推出＝，可得結(jié)論；
（2）求出圓心角∠DOE＝80°，再利用弧長公式求解．
【解答】（1）證明：∵CA＝CB，
∴∠A＝∠B，
∴＝，
∴+＝+，
∴＝．
（2）解：∵CA＝CB，
∴∠A＝∠B＝（180°﹣∠C）＝65°，
∵OA＝OD＝OB＝OE，
∴∠ADO＝∠A＝65°，∠B＝∠OEB＝65°．
∴∠AOD＝∠EOB＝180°﹣2×65°＝50°，
∴∠DOE＝180°﹣2×50°＝80°，
∴的長＝＝π．
【點評】本題考查弧長的計算，等腰三角形的性質(zhì)，圓周角定理等知識，解題的關(guān)鍵是熟練掌握基本知識，記住弧長公式l＝．
12．（2021秋?長興縣月考）如圖，⊙O的內(nèi)接四邊形ABCD兩組對邊的延長線分別相交于點E，F(xiàn)，∠E＝∠F．
（1）求證：AC是直徑；
（2）若⊙O的半徑為1，∠E＝40°，求的長度．
【分析】（1）連接AC，根據(jù)已知條件得到∠ADC＝∠ABC，推出∠ADC＝∠ABC＝90°，根據(jù)圓周角定理得到AC是直徑；
（2）連接OB，OD，根據(jù)三角形的內(nèi)角和定理得到∠EAB＝50°，求得∠DOB＝2∠EAB＝100°，根據(jù)弧長公式即可得到結(jié)論．
【解答】（1）證明：連接AC，
∵∠E＝∠F，∠ADC＝180°﹣∠DAF﹣∠F，∠ABC＝180°﹣∠BAE﹣∠E，
∴∠ADC＝∠ABC，
∵∠ADC+∠ABC＝180°，
∴∠ADC＝∠ABC＝90°，
∴AC是直徑；
（2）解：連接OB，OD，
∵∠E＝40°，
∴∠EAB＝50°，
∴∠DOB＝2∠EAB＝100°，
∵⊙O的半徑為1，
∴的長度＝＝．
【點評】本題考查了弧長公式：弧長公式：l＝（弧長為l，圓心角度數(shù)為n，圓的半徑為R）．也考查了圓內(nèi)接四邊形的性質(zhì)．
13．（2021秋?淳安縣期中）已知，如圖，在△ABC中，AB＝AC，以腰AB為直徑作半圓O，分別交BC，AC于點D、E．
（1）求證：BD＝DC；
（2）若∠BAC＝40°，AB＝AC＝8，求弧BE的長．
【分析】（1）連接AD，根據(jù)等腰三角形的性質(zhì)即可得到結(jié)論；
（2）連接OE，根據(jù)圓周角定理求出∠BOE＝80°，然后根據(jù)弧長公式計算即可．
【解答】（1）證明：連接AD，
∵AB是圓的直徑，
∴∠ADB＝90°，即AD⊥CB，
∴BD＝CD，
（2）解：連接OE，
∵∠BAC＝40°，
∴∠BOE＝80°，
∵AB＝8，
∴OB＝4，
∴弧BE的長為：＝π．
【點評】本題考查了圓周角定理，等腰三角形的性質(zhì)的應(yīng)用，主要考查了學(xué)生的推理能力和計算能力，注意：在同圓或等圓中，圓周角的度數(shù)等于它所夾弧所對的圓心角度數(shù)的一半．
14．（2021秋?鹿城區(qū)校級期中）如圖，在⊙O中，弦AC，BD相交于點E，連結(jié)AD，已知AC＝BD．
（1）求證：∠A＝∠D；
（2）若AC⊥BD，⊙O的半徑為6，求的長．
【分析】（1）根據(jù)弧、弦之間的關(guān)系定理得到＝，進而得出＝，根據(jù)圓周角定理證明即可；
（2）連接OC、OD，根據(jù)圓周角定理求出∠COD，根據(jù)弧長公式計算，得到答案．
【解答】（1）證明：∵AC＝BD，
∴＝，
∴﹣＝﹣，即＝，
∴∠A＝∠D；
（2）連接OC、OD，
∵AC⊥BD，∠A＝∠D，
∴∠A＝45°，
由圓周角定理得：∠COD＝2∠A＝90°，
∴的長＝＝3π．
【點評】本題考查的是弧長的計算、圓心角、弧、弦之間的關(guān)系定理、圓周角定理，熟記弧長公式是解題的關(guān)鍵．
15．（2021秋?鄞州區(qū)期中）如圖，已知AB是半圓O的直徑，C、D是半圓O上的兩點，且OD∥BC，OD與AC交于點E，∠D＝65°．
（1）求∠CAD的度數(shù)；
（2）若AB＝4，求的長．
【分析】（1）根據(jù)等腰三角形的性質(zhì)和三角形內(nèi)角和定理可求出∠AOD＝50°，再根據(jù)平行線的性質(zhì)和等腰三角形的性質(zhì)可求出∠AOD＝∠OBC＝∠OCB＝∠COD＝50°，由圓周角定理可得答案；
（2）根據(jù)弧長公式進行計算即可．
【解答】解：（1）如圖，連接OC，
∵OA＝OD，
∴∠OAD＝∠ODA＝65°，
∴∠AOD＝180°﹣65°﹣65°＝50°，
∵OD∥BC，OB＝OC，
∴∠AOD＝∠OBC＝∠OCB＝∠COD＝50°，
∴∠CAD＝∠COD＝25°；
（2）由AB＝4可得半徑為2，∠BOC＝180°﹣50°﹣50°＝80°，
因此的長為＝．
【點評】本題考查等腰三角形的性質(zhì)，平行線的性質(zhì)，三角形內(nèi)角和定理以及圓周角定理，掌握等腰三角形的性質(zhì)，平行線的性質(zhì)，三角形內(nèi)角和定理以及圓周角定理是正確解答的前提．
16．（2021秋?上城區(qū)校級期中）如圖，AB是⊙O的直徑，BD是⊙O的弦，延長BD到點C，使DC＝BD，連結(jié)AC交⊙O于點F．
（1）AB與AC的大小有什么關(guān)系？請說明理由；
（2）若AB＝8，∠BAC＝45°，求：圖中的長．
【分析】（1）由三角形中位線的性質(zhì)、平行線的性質(zhì)以及等腰三角形的性質(zhì)可得∠OBD＝∠ACB，進而求出答案；
（2）根據(jù)弧長的計算公式進行計算即可．
【解答】解：（1）AB＝AC，理由如下：
如圖，連接OD，
∵OA＝OB，BD＝CD，
∴OD是△ABC的中位線，
∴OD∥AC，
∴∠ACB＝∠ODB，
又∵OB＝OD，
∴∠ODB＝∠OBD，
∴∠OBD＝∠ACB，
∴AB＝AC；
（2）∵OD∥AC，∠BAC＝45°，
∴∠BOD＝∠BAC＝45°，
由AB＝8，可得半徑為4，
所以的長為＝π．
【點評】本題考查弧長的計算，圓周角定理，掌握弧長的計算公式，圓周角定理以及平行線的性質(zhì)是正確解答的前提．
三．扇形面積的計算（共13小題）
17．（2022?臺州）一個垃圾填埋場，它在地面上的形狀為長80m，寬60m的矩形，有污水從該矩形的四周邊界向外滲透了3m，則該垃圾填埋場外圍受污染土地的面積為（）
A．（840+6π）m2B．（840+9π）m2C．840m2D．876m2
【分析】直接根據(jù)圖形中外圍面積和可得結(jié)論．
【解答】解：如圖，
該垃圾填埋場外圍受污染土地的面積＝80×3×2+60×3×2+32π
＝（840+9π）m2．
故選：B．
【點評】本題考查了矩形和扇形的面積，掌握扇形的面積公式是解本題的關(guān)鍵．
18．（2022?上城區(qū)二模）已知半徑為6的扇形的面積為12π，則扇形的弧長為（）
A．4B．2C．4πD．2π
【分析】根據(jù)扇形面積的計算公式即可求出答案．
【解答】解：設(shè)扇形的弧長為l，由扇形面積公式可得，
＝12π，
解得l＝4π，
故選：C．
【點評】本題考查扇形面積的計算，掌握扇形面積的計算公式是正確解答的關(guān)鍵．
19．（2022?鄞州區(qū)一模）如圖，⊙O的半徑為6，直徑AB垂直平分圓內(nèi)的線段CD，∠CAO＝30°，OC＝3，以點O為圓心OC為半徑畫扇形，則以下說法正確的是（）
A．∠COD是120°B．線段AD的長為6+
C．的長是5πD．陰影部分的面積是7.5π
【分析】過點O作OH⊥AC于H，根據(jù)直角三角形的性質(zhì)求出CH＝3，AH＝3，AC＝3+3，可得∠OCH＝45°，∠OCD＝15°，可得出AD＝AC＝3+3，∠OCD＝∠ODC＝15°，即可得∠COD＝150°，再根據(jù)弧長公式和扇形面積公式即可解答．
【解答】解：過點O作OH⊥AC于H，
∵∠CAO＝30°，OC＝3，⊙O的半徑為6，
∴OH＝AO＝3，∠ACD＝60°，
∴CH＝＝＝3，AH＝3，
∴OH＝CH，AC＝3+3，
∴∠OCH＝45°，
∴∠OCD＝15°，
∵直徑AB垂直平分圓內(nèi)的線段CD，
∴OC＝OD，AD＝AC＝3+3，故B錯誤，不合題意；
∴∠OCD＝∠ODC＝15°，
∴∠COD＝180°﹣15°﹣15°＝150°，故A錯誤，不合題意；
∴的長是：＝π，故C錯誤，不合題意；
陰影部分的面積是：×π×3＝7.5π，故D正確，符合題意；
故選：D．
【點評】本題考查了直角三角形的性質(zhì)，弧長和扇形的面積計算，能熟記弧長公式和扇形的面積公式是解此題的關(guān)鍵．
20．（2022?上城區(qū)一模）如圖是2022年杭州亞運會徽標的示意圖，若AO＝5，BO＝2，∠AOD＝120°，則陰影部分面積為（）
A．14πB．7πC．D．2π
【分析】根據(jù)S陰影＝S扇形AOD﹣S扇形BOC，求解即可．
【解答】解：S陰影＝S扇形AOD﹣S扇形BOC
＝﹣
＝
＝7π，
故選：B．
【點評】本題考查扇形的面積，解題的關(guān)鍵是熟記扇形面積計算公式：設(shè)圓心角是n°，圓的半徑為R的扇形面積為S，則S扇形＝πR2或S扇形＝lR（其中l(wèi)為扇形的弧長）．
21．（2022?鹿城區(qū)校級三模）已知一個扇形的半徑為2cm，弧長是，則它的面積為 cm2．
【分析】根據(jù)扇形的面積公式s＝lr，求解即可．
【解答】解：扇形的面積＝××2＝（cm2）．
故答案為：．
【點評】本題考查扇形的面積，解題的關(guān)鍵是記住扇形的面積公式S＝lr＝．
22．（2022?嘉興一模）弧度是表示角度大小的一種單位，我們把長度等于半徑長的弧所對的圓心角叫做弧度角，記作1rad．若圓半徑r＝2，圓心角α＝2rad，則圓心角為α的扇形面積是 4 ．
【分析】利用扇形的面積公式：S＝lr即可得解．
【解答】解：∵圓半徑r＝2，圓心角α＝2rad，
∴扇形的弧長為4，
∴扇形的面積為S＝lr＝×4×2＝4．
故答案為：4，
【點評】本題主要考查了扇形的弧長公式，面積公式的應(yīng)用，屬于基本知識的考查，
23．（2022?溫州模擬）若扇形的圓心角為100°，半徑為6，則該扇形的面積為 10π ．
【分析】直接根據(jù)扇形的面積公式計算即可．
【解答】解：由題意得，n＝100°，r＝6，
故可得扇形的面積S＝＝＝10π．
故答案為：10π．
【點評】此題考查了扇形的面積計算，屬于基礎(chǔ)題，解答本題的關(guān)鍵是掌握扇形的面積公式，難度一般．
24．（2022?瑞安市一模）已知扇形的面積為4π，圓心角為90°，則它的半徑為 4 ．
【分析】利用扇形的面積公式求解即可．
【解答】解：設(shè)扇形的半徑為R．
則有＝4π，
∴R＝4（負根已經(jīng)舍去），
故答案為：4．
【點評】本題考查扇形的面積，解題的關(guān)鍵是記住扇形面積S＝．
25．（2022?衢州）如圖，C，D是以AB為直徑的半圓上的兩點，∠CAB＝∠DBA，連結(jié)BC，CD．
（1）求證：CD∥AB．
（2）若AB＝4，∠ACD＝30°，求陰影部分的面積．
【分析】（1）根據(jù)圓周角定理可得，∠ACD＝∠DBA，由已知條件可得∠CAB＝∠ACD，再根據(jù)平行線的判定方法即可得出答案；
（2）連結(jié)OD，過點D作DE⊥AB，垂足為E．由∠ACD＝30°，可得∠ACD＝∠CAB＝30°，根據(jù)圓周角定理可得∠AOD＝∠COB＝60°，即可得出∠COD＝180°﹣∠AOD﹣∠COB＝60°，∠BOD＝180°﹣∠AOD＝120°，即可算出S扇形BOD＝的面積，在Rt△ODE中，根據(jù)三角函數(shù)可算出DE＝cs30°OD的長度，即可算出S△BOD＝的面積，根據(jù)S陰影＝S扇形BOD﹣S△BOD代入計算即可得出答案．
【解答】（1）證明：∵＝，
∴∠ACD＝∠DBA，
又∵∠CAB＝∠DBA，
∴∠CAB＝∠ACD，
∴CD∥AB．
（2）如圖，連結(jié)OD，過點D作DE⊥AB，垂足為E．
∵∠ACD＝30°，
∴∠ACD＝∠CAB＝30°，
∴∠AOD＝∠COB＝60°，
∴∠COD＝180°﹣∠AOD﹣∠COB＝60°，
∴∠BOD＝180°﹣∠AOD＝120°，
∴S扇形BOD＝．
在Rt△ODE中，
∵DE＝cs30°OD＝＝，
∴S△BOD＝＝＝，
∴S陰影＝S扇形BOD﹣S△BOD，＝．
∴S陰影＝．
【點評】本題主要考查了扇形面積的計算，平行線的性質(zhì)與判定及圓周角定理，熟練掌握扇形面積的計算，平行線的性質(zhì)與判定及圓周角定理進行求解是解決本題的關(guān)鍵．
26．（2021秋?開化縣期末）如圖，已知AB是⊙O直徑，且AB＝8．C，D是⊙O上的點，OC∥BD，交AD于點E，連結(jié)BC，∠CBD＝30°．
（1）求∠COA的度數(shù)．
（2）求出CE的長度．
（3）求出圖中陰影部分的面積（結(jié)果保留π）．
【分析】（1）根據(jù)平行線的性質(zhì)得到∠OCB＝∠CBD＝30°，根據(jù)等腰三角形的性質(zhì)得到∠OCB＝∠OBC＝30°，即可求得∠COA＝60°；
（2）根據(jù)平行線的性質(zhì)得到∠AEO＝∠ADB＝90°，由∠AOC＝60°，求得∠A＝30°，即可得到OE＝OA＝OC，即可求得CE＝＝2；
（3）根據(jù)扇形和三角形的面積公式即可得到結(jié)論．
【解答】解：（1）∵OC∥BD，
∴∠OCB＝∠CBD＝30°，
∵OC＝OB，
∴∠OCB＝∠OBC＝30°，
∴∠COA＝∠OCB+∠OBC＝60°；
（2）∵AB是⊙O直徑，
∴∠ADB＝90°，
∵OC∥BD，
∴∠AEO＝∠ADB＝90°，
∵∠AOC＝60°，
∴∠OAE＝30°，
∴OE＝OA，
∴CE＝OC＝＝2；
（3）連接OD，
∵∠CBD＝∠OBC＝30°，
∴∠BOD＝60°，
∵OB＝OD，
∴△BOD是等邊三角形，
∴S陰影＝S扇形BOD﹣S△BOD＝﹣＝π﹣4．
【點評】本題考查了扇形的面積的計算，圓周角定理，解直角三角形，正確地作出輔助線是解題的關(guān)鍵．
27．（2021秋?余姚市期末）如圖，已知AB是⊙O的直徑，弦AC與半徑OD平行．
（1）求證：點D是的中點．
（2）若AC＝OD＝6，求陰影部分（弓形AC）的面積．
【分析】（1）連接BC交OD于E，根據(jù)圓周角定理得出∠ACB＝90°，根據(jù)平行線的性質(zhì)得出∠OEB＝∠ACB＝90°，求出OD⊥BC，根據(jù)垂徑定理得出即可；
（2）連接OC，過O作OF⊥AC于F，根據(jù)等邊三角形的判定得出△AOC是等邊三角形，根據(jù)等邊三角形的性質(zhì)得出∠AOC＝60°，解直角三角形求出OF，再分別求出扇形AOC和△AOC的面積即可．
【解答】（1）證明：連接BC交OD于E，
∵AB是⊙O的直徑，
∴∠ACB＝90°，
∵AC∥OD，
∴∠OEB＝∠ACB＝90°，
即OD⊥BC，
∵OD過圓心O，
∴＝，
即點D是的中點；
（2）解：連接OC，過O作OF⊥AC于F，
∵AC＝OD＝6，
∴OC＝OA＝AC＝6，
∴△AOC是等邊三角形，
∴∠AOC＝60°，
∵OC＝OA，OF⊥AC，
∴∠COF＝AOC＝30°，
∴CF＝OC＝＝3，
由勾股定理得：OF＝＝＝3，
∴陰影部分的面積S＝S扇形AOC﹣S△AOC＝﹣＝6π﹣9．
【點評】本題考查了等邊三角形的性質(zhì)和判定，解直角三角形，圓周角定理，扇形的面積計算等知識點，能熟記垂徑定理和扇形的面積公式是解此題的關(guān)鍵．
28．（2022?南安市一模）如圖：在平面直角坐標系中，已知⊙M經(jīng)過坐標原點，與x軸，y軸分別交于A、B兩點，點B的坐標為（0，2），OC與⊙M相交于點C，且∠OCA＝30°，求圖中陰影部分的面積．
【分析】從圖中明確S陰＝S半﹣S△，然后依公式計算即可．
【解答】解：∵∠AOB＝90°，
∴AB是直徑，
連接AB，
根據(jù)同弧對的圓周角相等得∠OBA＝∠C＝30°，
由題意知，OB＝2，
∴OA＝OBtan∠ABO＝OBtan30°＝2×＝2，AB＝AO÷sin30°＝4
即圓的半徑為2，
∴陰影部分的面積等于半圓的面積減去△ABO的面積，
S陰＝S半﹣S△＝﹣×2×2＝2π﹣2．
【點評】本題考查了扇形的面積的計算，利用了：①同弧對的圓周角相等；②90°的圓周角對的弦是直徑；③銳角三角函數(shù)的概念；④圓、直角三角形的面積分式．
29．（2021?婺城區(qū)校級開學(xué)）如圖，AB是⊙O的直徑，弦CD⊥AB，垂足為點P，若AB＝4，AC＝2，求：
（1）弦CD的長度；
（2）弧BC的長；
（3）弓形CBD的面積．
【分析】（1）連接CB，AC，由AB是⊙O的直徑，得到∠ACB＝90°；解直角三角形即可得到結(jié)論；
（2）解直角三角形得到CP＝AC＝，根據(jù)垂徑定理即可得到結(jié)論；
（3）連接CO，OD，根據(jù)圓周角定理得到∠COD＝120°，求得S扇形COD＝＝π，S△COD＝CD?OP＝，于是得到結(jié)論．
【解答】解：（1）連接CB，
∵AB是⊙O的直徑，
∴∠ACB＝90°
∴CB2＝AB2﹣AC2＝42﹣（2√3）2＝16﹣12＝4，
∴CB＝2＝AB，
∴∠A＝30°，
∵CD⊥AB，
∴CP＝AC＝，
∴CD＝2CP＝2；
（2）連接OC．
∵∠A＝30°，
∴∠BOC＝60°，
∴的長＝＝；
（3）連接CO，OD，
∵CO＝AO，
∴∠A＝∠ACO＝30°，∠COB＝2∠A＝60°，
∴∠COD＝120°，
∴S扇形COD＝＝π，
∵OP＝OC＝1，
∴S△COD＝CD?OP＝，
∴弓形CBD的面積＝S扇形COD﹣S△COD＝π﹣．
【點評】此題考查了垂徑定理、勾股定理以及扇形的面積的計算，注意掌握數(shù)形結(jié)合思想的應(yīng)用．
一、單選題
1．（2021·浙江杭州·九年級期中）半徑為6，圓心角為的扇形面積為（）
A．B．C．D．
【答案】B
【分析】利用扇形的面積公式計算即可．
【詳解】解：扇形的面積==6π，
故選B．
【點睛】本題考查扇形的面積，解題的關(guān)鍵是記住扇形的面積公式．
2．（2021·浙江溫州市·九年級期末）已知一個扇形的半徑長是，圓心角為，則這個扇形的面積為（）
A．B．
C．D．
【答案】B
【分析】根據(jù)扇形的面積公式直接求解即可．
【詳解】解：由扇形的面積公式可得，這個扇形的面積為
故選B
【點睛】此題考查了扇形面積的計算，掌握扇形面積的計算公式是解題的關(guān)鍵．
3．（2020·衢州市實驗學(xué)校教育集團（衢州學(xué)院附屬學(xué)校教育集團）九年級期末）如圖，在△ABC中，∠BAC＝90°，AB＝AC＝4，以點C為中心，把△ABC逆時針旋轉(zhuǎn)45°，得到△A′B′C，則圖中陰影部分的面積為（）
A．2B．2πC．4D．4π
【答案】D
【分析】根據(jù)陰影部分的面積是（扇形CBB'的面積?△CA'B'的面積）＋（△ABC的面積?扇形CAA'的面積），代入數(shù)值解答即可．
【詳解】解：∵在△ABC中，∠BAC＝90°，AB＝AC＝4，
∴BC＝，∠ACB＝∠A'CB'＝45°，
∴陰影部分的面積＝＝4π，
故選：D．
【點睛】本題考查了扇形面積公式的應(yīng)用，注意：圓心角為n°，半徑為r的扇形的面積為S＝．
4．（2020·浙江杭州市·九年級期末）下列說法錯誤的是（）
A．平分弦的直徑垂直于弦B．圓內(nèi)接四邊形的對角互補
C．任意三角形都有一個外接圓D．正n邊形的中心角等于
【答案】A
【分析】根據(jù)垂徑定理、圓內(nèi)接四邊形的性質(zhì)、正多邊形的性質(zhì)分別對各個選項進行判斷即可．
【詳解】解：A、∵平分弦（不是直徑）的直徑垂直于弦，
∴選項A符合題意；
B、∵圓內(nèi)接四邊形的對角互補，
∴選項B不符合題意；
C、∵任意三角形都有一個外接圓，
∴選項C不符合題意；
D、∵正n邊形的中心角等于，
∴選項D不符合題意；
故選：A．
【點睛】本題考查了正多邊形和圓、垂徑定理、圓內(nèi)接四邊形的性質(zhì)等知識；熟記有關(guān)性質(zhì)是解題的關(guān)鍵．
5．（2021·浙江九年級期末）一個圓的內(nèi)接正多邊形中，一條邊所對的圓心角為，則該正多邊形的邊數(shù)是（）
A．3B．4C．5D．6
【答案】C
【分析】根據(jù)正多邊形的中心角=計算即可．
【詳解】解：設(shè)正多邊形的邊數(shù)為n．
由題意=72°，
∴n=5，
故選：C．
【點睛】本題考查正多邊形的有關(guān)知識，解題的關(guān)鍵是記住正多邊形的中心角=．
6．（2021·浙江金華市·）將正方形紙片按圖①方式依次對折得圖②的，點D是邊上一點，沿線段剪開，展開后得到一個正八邊形，則點D應(yīng)滿足（）
A．B．C．D．
【答案】B
【分析】根據(jù)折疊的性質(zhì)易得∠BAC=45°，然后由正多邊形的性質(zhì)可進行排除選項．
【詳解】解：由題意得：∠BAC=45°，
∴沿線段BD剪開，展開圖即為八邊形，
若使展開后得到的是一個正八邊形，則需滿足以點A為圓心，AD、AB為半徑即可，
∴；
故選B．
【點睛】本題主要考查正多邊形和圓、正方形的性質(zhì)及折疊的性質(zhì)，熟練掌握正多邊形和圓、正方形的性質(zhì)及折疊的性質(zhì)是解題的關(guān)鍵．
7．（2021·浙江九年級期末）已知，正六邊形的邊長為2，則的長為（）
A．B．C．4D．5
【答案】C
【分析】連接，交于點，先根據(jù)正六邊形的性質(zhì)可得，再根據(jù)等邊三角形的判定與性質(zhì)可得，然后根據(jù)線段的和差即可得．
【詳解】解：如圖，連接，交于點，
正六邊形的邊長為2，
，
是等邊三角形，
，
同理可得：，
，
故選：C．
【點睛】本題考查了正六邊形的性質(zhì)、等邊三角形的判定與性質(zhì)，熟練掌握正六邊形的性質(zhì)是解題關(guān)鍵．
8．（2021·浙江浙江省·九年級期末）如圖，六邊形是正六邊形，點是邊的中點，，分別與交于點，，則的值為（）．
A．B．C．D．
【答案】D
【分析】設(shè)正六邊形的邊長為a，MN是△PCD的中位線，求出△PBM和△PCD的面積即可．
【詳解】解：設(shè)正六邊形的邊長為a，連接AC交BE于H點，如下圖所示：
正六邊形六邊均相等，且每個內(nèi)角為120°，
∴△ABC為30°，30°，120°等腰三角形，
∴BE⊥AC，且，且，
∵AF∥CD，P為AF上一點，
∴，
MN為△PCD的中位線，
∴，
由正六邊形的對稱性可知：，
∴，
∴，
∴，
故選：D．
【點睛】本題考查正多邊形與圓，三角形的面積，三角形的中位線定理，等邊三角形的性質(zhì)等知識，解題的關(guān)鍵是熟練掌握基本知識，屬于常考題型．
二、填空題
9．（2021·浙江）圓心角為120°，半徑為4的扇形的面積是__________________．
【答案】π
【分析】直接根據(jù)扇形的面積公式計算即可．
【詳解】解：由題意得，n＝120°，R＝4，
故可得扇形的面積S＝＝＝π．
故答案為：π．
【點睛】此題考查了扇形的面積計算，解答本題的關(guān)鍵是掌握扇形的面積公式．
10．（2021·浙江溫州市·九年級期末）如圖，在的內(nèi)接正六邊形中，______°．
【答案】
【分析】首先求出正六邊形的內(nèi)角和，然后根據(jù)正六邊形每個內(nèi)角都相等即可求出的度數(shù)．
【詳解】解：∵多邊形是正六邊形，
∴正六邊形的內(nèi)角和為，
∴正六邊形的每個內(nèi)角度數(shù)為．
∴．
故答案為：．
【點睛】此題考查了正六邊形的內(nèi)角度數(shù)，解題的關(guān)鍵是熟知多邊形內(nèi)角和公式．多邊形內(nèi)角和=．
11．（2021·浙江九年級）已知圓錐的底面半徑為4cm，母線長為5cm，則圓錐的側(cè)面積為____________cm2．
【答案】
【分析】圓錐的側(cè)面積＝×底面半徑×母線長，把相應(yīng)數(shù)值代入即可求解．
【詳解】∵圓錐的底面半徑長為4cm，母線長為5cm，
∴圓錐的側(cè)面積＝×4×5＝20cm2，
故答案為：．
【點睛】本題考查圓錐側(cè)面積的求法，掌握相應(yīng)公式是解題的關(guān)鍵．
12．（2020·衢州市實驗學(xué)校教育集團（衢州學(xué)院附屬學(xué)校教育集團）九年級期末）如圖，扇形紙扇完全打開后，外側(cè)兩竹條AB，AC夾角為150°，AB的長為18cm，則弧BC的長為 ___cm．
【答案】
【分析】直接利用弧長公式計算得出答案．
【詳解】解：弧BC的長為
故答案為．
【點睛】考查了弧長公式計算，正確應(yīng)用弧長公式是解題關(guān)鍵．
13．（2021·浙江九年級期末）如圖，CD為⊙O的直徑，CD⊥AB于點F，AE⊥BC于點E，且AE經(jīng)過圓心O．若OA＝3．則圖中陰影部分的面積為___．
【答案】
【分析】連接、，得到為等邊三角形，求得扇形的面積減去的面積即可．
【詳解】解：連接、，如下圖：
∵CD為⊙O的直徑，CD⊥AB
∴，，
∴
又∵AE⊥BC，AE經(jīng)過圓心O
∴
∴
∴為等邊三角形
∴，
∴
∴
在中，，，∴
由勾股定理得
故答案為：
【點睛】此題考查了垂徑定理，等邊三角形的判定與性質(zhì)，勾股定理，扇形面積計算，熟練掌握相關(guān)基本知識是解題的關(guān)鍵．
14．（2020·浙江杭州·）請判斷：①任意三點可以確定一個圓：②平分弦的直徑垂直于弦，并且平分弦所對的弧；③在同圓或等圓中，相等的弦所對的弧也相等；④同弧或等弧所對的圓周角相等；⑤每個內(nèi)角都是的六邊形是正六邊形，⑥圓內(nèi)接平行四邊形是矩形；以上其中正確的結(jié)論是_______．
【答案】④⑤⑥
【分析】利用確定圓的條件、垂徑定理、圓的有關(guān)定義及性質(zhì)等知識分別判斷后即可確定正確的選項．
【詳解】解：①不在同一直線上的任意三點可以確定一個圓，故原命題錯誤，不符合題意；
②平分弦（不是直徑）的直徑垂直于弦，并且平分弦所對的弧，故原命題錯誤，不符合題意；
③在同圓或等圓中，相等的弦所對的優(yōu)弧或劣弧相等，故不符合題意；
④同弧或等弧所對的圓周角相等，正確，符合題意；
⑤每個內(nèi)角都是120°的六邊形是正六邊形，正確，符合題意；
⑥因為矩形的對角互補，符合圓內(nèi)接四邊形的性質(zhì)；故圓的內(nèi)接平行四邊形是矩形正確，
此選項正確，符合題意；
正確的有④⑤⑥，
故答案為：④⑤⑥．
【點睛】此題主要考查了確定圓的性質(zhì)以及圓周角定理和圓內(nèi)接四邊形的性質(zhì)等知識，熟練利用相關(guān)知識是解題關(guān)鍵．
15．（2020·浙江溫州·九年級期末）如圖，已知點A、B、C、D為一個正多邊形的頂點，O為正多邊形的中心，若，則這個正多邊形的邊數(shù)為________．
【答案】12
【分析】連接OA，OB，根據(jù)圓周角定理得到∠AOB=2∠ADB=30°，于是得到結(jié)論．
【詳解】解：連接OA，OB，
∵A、B、C、D為一個正多邊形的頂點，O為正多邊形的中心，
∴點A、B、C、D在以點O為圓心，OA為半徑的同一個圓上，
∵∠ADB=15°，
∴∠AOB=2∠ADB=30°，
∴這個正多邊形的邊數(shù)==12，
故答案為：12．
【點睛】本題考查了正多邊形與圓，圓周角定理，正確的理解題意是解題的關(guān)鍵．
16．（2021·浙江九年級）如圖所示，在扇形OAB中，∠AOB＝90°，OA＝2，長為2的線段CD的兩個端點分別在線段OA、OB上滑動，E為CD的中點，點F在弧AB上，連接EF、BE．若AF的長是，當線段EF的值最小時圖中陰影部分的面積是___．
【答案】
【分析】連接OF，令弧AF所對圓心角為，根據(jù)弧長公式即可求得，根據(jù)直角三角形斜邊上的中線等于斜邊的一半即可求得OE的值，從而得出E在以O(shè)為圓心，1為半徑的圓上，得出EF的值；過點E作于點M，在直角三角形OEM中即可得出EM的值，最后根據(jù)S陰影=S扇形OBF-S△BOE及扇形公式即可得出答案．
【詳解】解：連接OF，令弧AF所對圓心角為
，E為CD中點
E在以O(shè)為圓心，1為半徑的圓上，
OF與CD交點即為所求E點
此時EF最短，EF=OF-OE=1
過點E作于點M
，
S陰影=S扇形OBF-S△BOE
故答案為：．
【點睛】本題考查了弧長公式、直角三角形斜邊上的中線定理，熟練掌握弧長公式并靈活運用是解題的關(guān)鍵．
17．（2021·浙江杭州·）如圖，在每個小正方形的邊長為1的網(wǎng)格中，的頂點A，B，C均在格點上，點P是邊上任意一點，以點C為旋轉(zhuǎn)中心．把按逆時針方向旋轉(zhuǎn)，則在旋轉(zhuǎn)過程中，點P運動的最短路徑長為_________．
【答案】
【分析】畫出旋轉(zhuǎn)圖形，求出△ABC的三邊，根據(jù)垂線段最短，判斷出CP⊥AB時，點P的運動路徑最短，求出此時CP的長，再利用弧長公式計算．
【詳解】解：畫出旋轉(zhuǎn)圖形如圖：
∵AC2=32+32=18，BC2=42+42=32，AB2=72+12=50，
而點P是AB邊上任意一點，
∴當CP⊥AB時，點P的運動路徑最短，
此時CP===，
∴點P的最短運動路徑為=，
故答案為：．
【點睛】本題考查了作圖-旋轉(zhuǎn)變換，求弧長，垂線段最短，根據(jù)旋轉(zhuǎn)的性質(zhì)可知，對應(yīng)角都相等都等于旋轉(zhuǎn)角，對應(yīng)線段也相等，由此可以通過作相等的角，在角的邊上截取相等的線段的方法，找到對應(yīng)點，順次連接得出旋轉(zhuǎn)后的圖形．
三、解答題
18．（2021·浙江杭州·九年級期末）根據(jù)題意求各圖中陰影部分的面積．
（1）如圖1，在中，，，以A為頂點，為半徑畫弧，交于D點．
（2）如圖2，已知扇形的圓心角為，半徑為2．
（3）如圖3，是的直徑，弦，，．
（4）如圖4，半徑為，圓心角為的扇形中、分別以、為直徑作半圓．
【答案】（1）；（2）；（3）；（4）cm2
【分析】（1）陰影部分的面積等于三角形的面積-扇形的面積，根據(jù)面積公式計算即可．
（2）陰影部分的面積等于扇形的面積-三角形的面積，根據(jù)面積公式計算即可．
（3）首先證明OE=OC=OB，則可以證得△OEC≌△BED，則S陰影=S扇形OCB，利用扇形的面積公式即可求解．
（4）假設(shè)出扇形半徑，再表示出半圓面積，以及扇形面積，進而即可表示出兩部分P，Q面積相等．連接AB，OD，根據(jù)兩半圓的直徑相等可知∠AOD=∠BOD=45°，故可得出M部分的面積=S△AOD，利用陰影部分Q的面積為：S扇形AOB-S半圓-SM，故可得出結(jié)論．
【詳解】解：（1）在Rt△ABC中，∵∠ABC=90°，AB=BC=2，
∴∠A=45°，
∴陰影部分的面積==；
（2）過點O作OC⊥AB，垂足為C，
∵∠AOB=60°，OA=OB=2，
∴△OAB為等邊三角形，
∴AB=2，
∴AC=BC=1，OC=，
∴陰影部分的面積==；
（3）如圖，記交于
∵∠COB=2∠CDB=60°，
又∵CD⊥AB，
∴∠OCE=30°，CE=DE=，

∴OE=OC=OB=，
∴OE=BE，
則在△OEC和△BED中，
，
∴△OEC≌△BED（SAS），
∴陰影部分的面積=扇形OCB的面積=
（4）設(shè)整個圖形分割成P，Q，M，M四個部分，面積分別為SP，SQ，SM，SM．
∵扇形OAB的圓心角為90°，扇形半徑為2，
∴扇形面積為（cm2），半圓面積為：（cm2），
∴SQ+SM=SM+SP=（cm2），
∴SQ=SP，
連接AB，OD，
∵兩半圓的直徑相等，
∴∠AOD=∠BOD=45°，
∴SM=S△AOD=×2×1=1（cm2），
∴陰影部分Q的面積為：S扇形AOB-S半圓-SM=（cm2）．
【點睛】本題考查的是扇形面積的計算，全等三角形的判定和性質(zhì)，等腰直角三角形的性質(zhì)，熟知三角形及扇形的面積公式是解答此題的關(guān)鍵．
19．（2021·浙江杭州·九年級期中）已知：如圖，D是外接圓上一點，且滿足，連接．
（1）求證：是的外角的平分線．
（2）若，求劣弧的長度．
【答案】（1）見解析；（2）
【分析】（1）根據(jù)圓的內(nèi)接四邊形的性質(zhì)得∠EAD=∠DCB，再根據(jù)弦相等得圓周角相等、等弧所對圓周角相等即可得證．
（2）根據(jù)圓周角定理得到∠COB=2∠CAB=60°，∠CDB=∠CAB=30°，得到△COB為等邊三角形，求出OC，∠COD，根據(jù)弧長公式計算．
【詳解】解：（1）證明：∵DB=DC，
∴∠DBC=∠DCB，
∵∠DAE是圓內(nèi)接四邊形ABCD的外角，
∴∠DAE=∠DCB，
∴∠DAE=∠DBC，
∵∠DBC=∠DAC，
∴∠DAE=∠DAC，
∴AD是△ABC的外角∠EAC的平分線；
（2）連接OB，OC，OD，
由圓周角定理得，∠COB=2∠CAB=60°，∠CDB=∠CAB=30°，
∴△COB為等邊三角形，
∴OC=BC=4，
∵DC=DB，∠CDB=30°，
∴∠DCB=75°，
∴∠DCO=15°，
∴∠COD=150°，
則劣弧的長=．
【點睛】本題考查了三角形的外接圓與外心，掌握圓周角定理，圓內(nèi)接四邊形的性質(zhì)，弧長公式是解題的關(guān)鍵．
20．（2021·浙江九年級期末）如圖，AB是⊙O的直徑，點C是⊙O上一點，連接BC，AC，點E是BC的中點，連結(jié)并延長OE交圓于點D．
（1）求證：ODAC．
（2）若DE＝2，BE＝2，求陰影部分的面積．
【答案】（1）見解析；（2）
【分析】（1）連接OC，利用三線合一和直徑所對的圓周角是直角進行求證即可；
（2）連接OC，先求出∠EBO=30°，得到∠COA=60°，然后利用扇形面積公式和三角形面積公式求解即可．
【詳解】解：（1）如圖連接OC，
∵OC=OB，點E為BC的中點，
∴OE⊥BC，
∴∠BEO=90°，
∵AB為圓的直徑，
∴∠ACB=∠BEO=90°，
∴OD∥AC；
（2）連接OC，設(shè)圓的半徑為r，則OE=r-2，
∵，
∴，
解得，
∴，
∴∠ABC=30°，
∴∠COA=60°，
由（1）可得，
∴，
∴，
∵△BOC與△AOC等底同高，
∴，
∴．
【點睛】本題主要考查了，平行線的判定，三線合一定理，直徑所對的圓周角是直角，含30度角的直角三角形，扇形面積公式等等，解題的關(guān)鍵在于能夠熟練掌握相關(guān)知識進行求解．
21．（2021·浙江溫州市·九年級期末）如圖，在中，，以底邊為直徑的交兩腰于點，．
（1）求證：；
（2）當是等邊三角形，且時，求的長．
【答案】（1）見解析；（2）
【分析】（1）根據(jù)等腰三角形的性質(zhì)得到∠B=∠C，再由弧、弦、圓周角之間的關(guān)系證得，即可得到結(jié)論；
（2）連接OD、OE，根據(jù)等邊三角形的性質(zhì)及圓周角定理求出∠DOE，利用弧長公式計算即可．
【詳解】解：（1）證明：∵，
∴，
∴，
∴，
∴；
（2）連接OD、OE，
∵是等邊三角形，
∴，
∴，，
∴，
∴，
∵，
∴的半徑為，
∴的長．
【點睛】本題考查了等腰三角形、等邊三角形的性質(zhì)，弧、弦、圓周角之間的關(guān)系，圓周角定理，弧長公式，熟記各性質(zhì)定理及弧長公式是解題的關(guān)鍵．
22．（2021·浙江）在中，．將邊繞點C順時針旋轉(zhuǎn)到，記，連結(jié)，取的中點F，射線，交于點A．
（1）填表：如圖1，當時，根據(jù)下表中的值，分別計算的度數(shù)．
（2）猜想與的數(shù)量關(guān)系，并說明理由．
（3）應(yīng)用：如圖2，當時，請求出從逐漸增加到的過程中，點A所經(jīng)過的路徑長．
【答案】（1）填表見解析；（2）當時，；當時，；答案見解析；（3）．
【分析】（1）當時，根據(jù)等腰三角形的性質(zhì)，得和是等腰三角形，則可求得，，利用，最后根據(jù)三角形內(nèi)角和求得：；當時，，，，利用三角形外角性質(zhì)得；
（2）當時，同（1）可求得：，，得，則；當時，，，，利用三角形外角性質(zhì)得；
（3）由（2）可得：則，可知點A所經(jīng)過的路徑是一條弧，以為邊畫等邊三角形，則點O是弧的圓心，根據(jù)同弧所對圓心角等于圓周角的2倍，求得：再證是等邊三角形，則可以得到，則可得，即可得：．
【詳解】解：（1）如圖:
當，時，
∵邊繞點C順時針旋轉(zhuǎn)到
∴
∴
∵
∴
∵點F是的中點
∴
∴
∴
綜上所述，當，時，
同理，當，時，
當，時，
∵邊繞點C順時針旋轉(zhuǎn)到
∴
∴
∵
∴
∵點F是的中點
∴
∴
∴
故：
（2）當時，如圖：
∵邊繞點C順時針旋轉(zhuǎn)到
∴
∴
∵
∴
∵點F是的中點
∴
∴
∴
即：當時，，
當時，如圖所示：
∵邊繞點C順時針旋轉(zhuǎn)到
∴
∴
∵
∴
∵點F是的中點
∴
∴
∴
即：當時，
綜上所述：當時，；當時，
（3）由（2）可得：∵
∴
∴點A所經(jīng)過的路徑是一條弧
如圖，以為邊畫等邊三角形，
則點O是弧的圓心
當時，，則
∵
∴是等邊三角形
∴
∴
∵
∴．
【點睛】本題考查了旋轉(zhuǎn)、等腰三角形、圓的性質(zhì)、弧長、內(nèi)角和和外角性質(zhì)的綜合應(yīng)用，解答此題的關(guān)鍵利用性質(zhì)找到角與角之間關(guān)系，此題綜合性較強，屬于較難的題型．

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