一．圓的認(rèn)識
（1）圓的定義
定義①：在一個平面內(nèi)，線段OA繞它固定的一個端點O旋轉(zhuǎn)一周，另一個端點A所形成的圖形叫做圓．固定的端點O叫做圓心，線段OA叫做半徑．以O(shè)點為圓心的圓，記作“⊙O”，讀作“圓O”．
定義②：圓可以看做是所有到定點O的距離等于定長r的點的集合．
（2）與圓有關(guān)的概念
弦、直徑、半徑、弧、半圓、優(yōu)弧、劣弧、等圓、等弧等．
連接圓上任意兩點的線段叫弦，經(jīng)過圓心的弦叫直徑，圓上任意兩點間的部分叫圓弧，簡稱弧，圓的任意一條直徑的兩個端點把圓分成兩條弧，每條弧都叫做半圓，大于半圓的弧叫做優(yōu)弧，小于半圓的弧叫做劣?。?br>（3）圓的基本性質(zhì)：①軸對稱性．②中心對稱性．
二．點與圓的位置關(guān)系
（1）點與圓的位置關(guān)系有3種．設(shè)⊙O的半徑為r，點P到圓心的距離OP＝d，則有：
①點P在圓外?d＞r
②點P在圓上?d＝r
①點P在圓內(nèi)?d＜r
（2）點的位置可以確定該點到圓心距離與半徑的關(guān)系，反過來已知點到圓心距離與半徑的關(guān)系可以確定該點與圓的位置關(guān)系．
（3）符號“?”讀作“等價于”，它表示從符號“?”的左端可以得到右端，從右端也可以得到左端．
三．確定圓的條件
不在同一直線上的三點確定一個圓．
注意：這里的“三個點”不是任意的三點，而是不在同一條直線上的三個點，而在同一直線上的三個點不能畫一個圓．“確定”一詞應(yīng)理解為“有且只有”，即過不在同一條直線上的三個點有且只有一個圓，過一點可畫無數(shù)個圓，過兩點也能畫無數(shù)個圓，過不在同一條直線上的三點能畫且只能畫一個圓．
四．三角形的外接圓與外心
（1）外接圓：經(jīng)過三角形的三個頂點的圓，叫做三角形的外接圓．
（2）外心：三角形外接圓的圓心是三角形三條邊垂直平分線的交點，叫做三角形的外心．
（3）概念說明：
①“接”是說明三角形的頂點在圓上，或者經(jīng)過三角形的三個頂點．
②銳角三角形的外心在三角形的內(nèi)部；直角三角形的外心為直角三角形斜邊的中點；鈍角三角形的外心在三角形的外部．
③找一個三角形的外心，就是找一個三角形的三條邊的垂直平分線的交點，三角形的外接圓只有一個，而一個圓的內(nèi)接三角形卻有無數(shù)個．
【考點剖析】
一．圓的認(rèn)識（共4小題）
1．（2022秋?海曙區(qū)期中）如圖，△ABC中，∠ACB＝90°，∠A＝40°，以C為圓心、CB為半徑的圓交AB于點D，則∠ACD＝ 度．
2．（2022秋?下城區(qū)校級月考）下列說法正確的是（ ）
A．直徑是圓中最長的弦，有4條
B．長度相等的弧是等弧
C．如果⊙A的周長是⊙B周長的4倍，那么⊙A的面積是⊙B面積的8倍
D．已知⊙O的半徑為8，A為平面內(nèi)的一點，且OA＝8，那么點A在⊙O上
3．（2022秋?東陽市月考）由所有到已知點O的距離大于或等于1，并且小于或等于2的點組成的圖形的面積為（ ）
A．πB．2πC．3πD．4π
4．（2022秋?椒江區(qū)校級月考）下列圖形為圓的是（ ）
A．B．C．D．
二．點與圓的位置關(guān)系（共7小題）
5．（2022秋?上城區(qū)期末）已知⊙O的面積為25π，若PO＝5.5，則點P在 ．
6．（2022秋?諸暨市期末）點P到圓O的距離為6，若點P在圓O外，則圓O的半徑r滿足（ ）
A．0＜r＜6B．0＜r≤6C．r＞6D．r≥6
7．（2022秋?拱墅區(qū)校級期中）若⊙O的半徑為5cm，平面上有一點A，OA＝6cm，則點A與⊙O的位置關(guān)系是點A在⊙O （填“內(nèi)、上、外”）
8．（2022秋?鹿城區(qū)校級月考）如圖，在6×6的正方形網(wǎng)格中（小正方形的邊長為1），有5個點，M，N，O，P，Q，以O(shè)為圓心，為半徑作圓，則在⊙O外的點是（ ）
A．MB．NC．PD．Q
9．（2023?紹興模擬）已知點P（x0，y0）和直線y＝kx+b，求點P到直線y＝kx+b的距離d可用公式d＝計算．根據(jù)以上材料解決下面問題：如圖，⊙C的圓心C的坐標(biāo)為（1，1），半徑為1，直線l的表達(dá)式為y＝﹣2x+6，P是直線l上的動點，Q是⊙C上的動點，則PQ的最小值是 ．
10．（2023?平湖市一模）平面直角坐標(biāo)系xOy中，⊙O的半徑為2，點M在⊙O上，點N在線段OM上，設(shè)ON＝t（1＜t＜2），點P的坐標(biāo)為（﹣4，0）．將點P沿OM方向平移2個單位，得到點P'，再將點P'作關(guān)于點N的對稱點Q，連接PQ．當(dāng)點M在⊙O上運動時，PQ長度的最大值與最小值的差為 ．（用含t的式子表示）
11．（2022秋?柯橋區(qū)月考）如圖，在平面直角坐標(biāo)系中，A、B、C是⊙M上的三個點，A（0，4）、B（4，4）、C（6，2）．
（1）圓心M的坐標(biāo)為 ；
（2）判斷點D（4，﹣3）與⊙M的位置關(guān)系．
三．確定圓的條件（共4小題）
12．（2022秋?永康市校級月考）小明不慎把家里的圓形鏡子打碎了，其中四塊碎片如圖所示，為了配到與原來大小一樣的圓形鏡子，小明帶到商店去的一塊碎片應(yīng)該是（ ）
A．第一塊B．第二塊C．第三塊D．第四塊
13．（2022?江岸區(qū)模擬）如圖，已知平面直角坐標(biāo)系內(nèi)三點A（3，0）、B（5，0）、C（0，4），⊙P經(jīng)過點A、B、C，則點P的坐標(biāo)為（ ）
A．（6，8）B．（4，5）C．（4，）D．（4，）
14．（2022秋?西湖區(qū)校級月考）平面直角坐標(biāo)系內(nèi)的三個點A（1，0）、B（0，﹣3）、C（2，﹣3） 確定一個圓（填“能”或“不能”）．
15．（2021秋?秀洲區(qū)校級期中）將圖中的破輪子復(fù)原，已知弧上三點A，B，C．
（1）畫出該輪的圓心；
（2）若△ABC是等腰三角形，底邊BC＝16cm，腰AB＝10cm，求圓片的半徑R．
四．三角形的外接圓與外心（共7小題）
16．（2022秋?西湖區(qū)校級月考）如圖，△ABC是⊙O的內(nèi)接三角形，∠C＝30°，⊙O的半徑為2cm，若點P是⊙O上的一點，PB＝AB，則PA的長為（ ）
A．2cmB．2cmC．cmD．2cm
17．（2022秋?越城區(qū)期末）已知直角三角形兩條直角邊為3，4，則它的外接圓半徑為（ ）
A．1.5B．2C．2.5D．5
18．（2023?濱江區(qū)校級模擬）如圖，在每個小正方形邊長都為1的5×5網(wǎng)格中，有四個點A，B，C，D，以其中任意三點為頂點的三角形的外接圓半徑長是 ．
19．（2022?海曙區(qū)校級開學(xué)）已知：如圖，圓O是△ABC的外接圓，AO平分∠BAC．
（1）求證：△ABC是等腰三角形；
（2）當(dāng)OA＝4，AB＝6，求邊BC的長．
20．（2022秋?蓮都區(qū)期中）如圖所示，在△ABC中，AB＝AC，⊙O是△ABC的外接圓，BO的延長線交邊AC于點D．
（1）若∠ACB＝60°，BC＝8，求⊙O的半徑；
（2）當(dāng)△BCD是等腰三角形時，求∠BCD的大?。?br>21．（2022秋?西湖區(qū)校級月考）如圖，△ABC內(nèi)接于⊙O，高AD經(jīng)過圓心O．
（1）求證：AB＝AC；
（2）若BC＝8，⊙O的半徑為5，求△ABC的面積．
22．（2022?鄞州區(qū)校級開學(xué)）如圖所示，已知A，B兩點的坐標(biāo)分別為（2，0），（0，2），點P是△AOB外接圓上一點，且∠AOP＝45°，OP與AB交于C點．
（1）求∠BAO的度數(shù)；
（2）求OC及AC的長；
（3）求OP的長及點P的坐標(biāo)．
【過關(guān)檢測】
一、單選題
1．（2022秋·浙江臺州·九年級統(tǒng)考期末）已知點A在半徑為2cm的圓內(nèi)，則點A到圓心的距離可能是（ ）
A．1cmB．2cmC．3cmD．4 cm
2．（2023秋·浙江·九年級期末）已知點P到圓心O的距離為3，若點P在圓外，則的半徑可能為（ ）
A．2B．3C．4D．5
3．（2022秋·浙江·九年級專題練習(xí)）、是半徑為的上兩個不同的點，則弦的取值范圍是（ ）
A．B．C．D．
4．（2022·浙江·九年級專題練習(xí)）已知M（1，2），N（3，﹣3），P（x，y）三點可以確定一個圓，則以下P點坐標(biāo)不滿足要求的是（ ）
A．（3，5）B．（﹣3，5）C．（1，2）D．（1，﹣2）
5．（2022秋·浙江金華·九年級義烏市繡湖中學(xué)教育集團?？茧A段練習(xí)）的外心在三角形的一邊上，則是（ ）
A．銳角三角形B．直角三角形C．鈍角三角形D．無法判斷
6．（2023秋·浙江紹興·九年級統(tǒng)考期末）已知直角三角形兩條直角邊為3，4，則它的外接圓半徑為（ ）
A．1.5B．2C．2.5D．5
7．（2023·浙江·模擬預(yù)測）如圖，是的外接圓，則點O是的（ ）
A．三條高線的交點B．三條邊的垂直平分線的交點
C．三條中線的交點D．三角形三內(nèi)角角平分線的交點
8．（2023春·浙江·九年級開學(xué)考試）下列命題中，是真命題的是（ ）
A．長度相等的兩條弧是等弧
B．順次連接平行四邊形四邊中點所組成的圖形是菱形
C．正八邊形既是軸對稱圖形又是中心對稱圖形
D．三角形的內(nèi)心到這個三角形三個頂點的距離相等
9．（2020秋·浙江溫州·九年級期末）已知點是數(shù)軸上一定點，點是數(shù)軸上一動點，點表示的實數(shù)為，點所表示的實數(shù)為，作以為圓心，為半徑的，若點在外，則的值可能是（）.
A．B．C．D．
10．（2022秋·浙江紹興·九年級校聯(lián)考期中）如圖，在中，，，，是斜邊上的中線，以為直徑作，設(shè)線段的中點為P，則點P與的位置關(guān)系是（ ）
A．點P在內(nèi)B．點P在上
C．點P在外D．點P不在內(nèi)
二、填空題
11．（2022秋·九年級單元測試）下列說法中正確的有__（填序號）．
（1）直徑是圓中最大的弦；（2）長度相等的兩條弧一定是等?。唬?）半徑相等的兩個圓是等圓；（4）面積相等的兩個圓是等圓；（5）同一條弦所對的兩條弧一定是等?。?br>12．（2022秋·九年級單元測試）如圖，在平面直角坐標(biāo)系中，點，，的橫、縱坐標(biāo)都為整數(shù)，過這三個點作一條圓弧，則此圓弧的圓心坐標(biāo)為_______．
13．（2023春·浙江·九年級專題練習(xí)）如圖，點A，B的坐標(biāo)分別為，C為坐標(biāo)平面內(nèi)一點，，點M為線段的中點，連接的最大值為 _____．
14．（2023·浙江紹興·統(tǒng)考一模）如圖，在菱形中，，，延長至點，使，現(xiàn)以點為圓心，以為半經(jīng)畫弧，與直線交于點，則的長為______．
15．（2022秋·浙江紹興·九年級統(tǒng)考期末）如圖，在中，，，以點B為圓心，長為半徑作弧，交直線于點P，連結(jié)，則的度數(shù)是______．
16．（2023春·浙江·九年級階段練習(xí)）如圖，點A，B，C在⊙O上，，，則_____．
17．（2023·浙江臺州·統(tǒng)考一模）如圖，是半圓O的直徑，P是上的動點，交半圓于點C，已知，則的最大值是______．

18．（2021秋·浙江金華·九年級統(tǒng)考期中）如圖所示，在平面直角坐標(biāo)系xOy中，點P是鈍角的外心，點A、B、P的坐標(biāo)分別為，，，若第一象限的點C橫坐標(biāo)、縱坐標(biāo)均為整數(shù)，則點C的坐標(biāo)為______．
三、解答題
19．（2022秋·浙江杭州·九年級校考階段練習(xí)）如圖，是的直徑，，交于點，且，求弧的度數(shù)．
20．（2022秋·浙江溫州·九年級校考階段練習(xí)）以下各圖均是由邊長為1的小正方形組成的3×3網(wǎng)格，的頂點均在格點上．利用網(wǎng)格和無刻度的直尺作圖，保留痕跡，不寫作法．
(1)在圖①中，作出的重心G．
(2)在圖②中，作出的外心O．
21．（2022秋·浙江紹興·九年級統(tǒng)考期中）在88的方格中，已知的各頂點都在格點上
(1)如圖， 請僅用一把無刻度的直尺按要求作圖 （請直接用黑色字跡的鋼筆或簽字筆作圖， 不要求寫作法）． 找出外接圓的圓心．
(2)若， 試求的半徑．
22．（2023秋·浙江臺州·九年級統(tǒng)考期末）如圖，是由邊長為1的小正方形構(gòu)成的6×6網(wǎng)格，每個小正方形的頂點叫做格點，經(jīng)過A、B、C、D四個格點，僅用無刻度的直尺在給定的網(wǎng)格中按要求畫圖（畫圖過程中起輔助作用的用虛線表示，畫圖結(jié)果用實線表示，并用黑色水筆描黑）
(1)如圖1，判斷圓心O______（填“是”或“不是”）在格點上，并在圖1中標(biāo)出格點O；
(2)在圖1中畫出的切線（G為格點）；
(3)在圖2中畫出的中點E；
23．（2022秋·浙江寧波·九年級統(tǒng)考期中）如圖，在的方格中，的頂點均在格點上．請按要求畫格點線段EF（端點在格點上），且EF分別交線段AB，AC于點G，H．
(1)在圖1中作出∠AHG＝∠C．
(2)在圖2中作出∠AGH＝∠C．
24．（2021秋·浙江紹興·九年級新昌縣七星中學(xué)校考期中）如圖，已知拋物線與x軸正半軸交于點，與y軸交于點，點P是線段上一動點，過點P作x軸的垂線交拋物線于點C，交直線于點D．
(1)求拋物線的函數(shù)表達(dá)式；
(2)在和中，當(dāng)其中一個三角形的面積是另一個三角形面積的2倍時，求點P的坐標(biāo)；
(3)若的外接圓恰好經(jīng)過點A，求此時點C的坐標(biāo)．
25．（2022秋·浙江嘉興·九年級校聯(lián)考期中）如圖1，已知拋物線經(jīng)過原點，它的對稱軸是直線，動點從拋物線的頂點出發(fā)，在對稱軸上以每秒1個單位的速度向上運動，設(shè)動點運動的時間為秒，連接并延長交拋物線于點，連接，．
(1)求拋物線的函數(shù)解析式；
(2)當(dāng)為直角三角形時，求的值；
(3)如圖2，為的外接圓，在點的運動過程中，點也隨之運動變化，請你探究：在時，求點經(jīng)過的路徑長度．
第06講 圓
【知識梳理】
一．圓的認(rèn)識
（1）圓的定義
定義①：在一個平面內(nèi)，線段OA繞它固定的一個端點O旋轉(zhuǎn)一周，另一個端點A所形成的圖形叫做圓．固定的端點O叫做圓心，線段OA叫做半徑．以O(shè)點為圓心的圓，記作“⊙O”，讀作“圓O”．
定義②：圓可以看做是所有到定點O的距離等于定長r的點的集合．
（2）與圓有關(guān)的概念
弦、直徑、半徑、弧、半圓、優(yōu)弧、劣弧、等圓、等弧等．
連接圓上任意兩點的線段叫弦，經(jīng)過圓心的弦叫直徑，圓上任意兩點間的部分叫圓弧，簡稱弧，圓的任意一條直徑的兩個端點把圓分成兩條弧，每條弧都叫做半圓，大于半圓的弧叫做優(yōu)弧，小于半圓的弧叫做劣?。?br>（3）圓的基本性質(zhì)：①軸對稱性．②中心對稱性．
二．點與圓的位置關(guān)系
（1）點與圓的位置關(guān)系有3種．設(shè)⊙O的半徑為r，點P到圓心的距離OP＝d，則有：
①點P在圓外?d＞r
②點P在圓上?d＝r
①點P在圓內(nèi)?d＜r
（2）點的位置可以確定該點到圓心距離與半徑的關(guān)系，反過來已知點到圓心距離與半徑的關(guān)系可以確定該點與圓的位置關(guān)系．
（3）符號“?”讀作“等價于”，它表示從符號“?”的左端可以得到右端，從右端也可以得到左端．
三．確定圓的條件
不在同一直線上的三點確定一個圓．
注意：這里的“三個點”不是任意的三點，而是不在同一條直線上的三個點，而在同一直線上的三個點不能畫一個圓．“確定”一詞應(yīng)理解為“有且只有”，即過不在同一條直線上的三個點有且只有一個圓，過一點可畫無數(shù)個圓，過兩點也能畫無數(shù)個圓，過不在同一條直線上的三點能畫且只能畫一個圓．
四．三角形的外接圓與外心
（1）外接圓：經(jīng)過三角形的三個頂點的圓，叫做三角形的外接圓．
（2）外心：三角形外接圓的圓心是三角形三條邊垂直平分線的交點，叫做三角形的外心．
（3）概念說明：
①“接”是說明三角形的頂點在圓上，或者經(jīng)過三角形的三個頂點．
②銳角三角形的外心在三角形的內(nèi)部；直角三角形的外心為直角三角形斜邊的中點；鈍角三角形的外心在三角形的外部．
③找一個三角形的外心，就是找一個三角形的三條邊的垂直平分線的交點，三角形的外接圓只有一個，而一個圓的內(nèi)接三角形卻有無數(shù)個．
【考點剖析】
一．圓的認(rèn)識（共4小題）
1．（2022秋?海曙區(qū)期中）如圖，△ABC中，∠ACB＝90°，∠A＝40°，以C為圓心、CB為半徑的圓交AB于點D，則∠ACD＝ 10 度．
【分析】根據(jù)三角形的內(nèi)角和定理可求得∠B的度數(shù)，根據(jù)等邊對等角及三角形內(nèi)角和定理可求得∠BCD的度數(shù)，從而不難求得∠ACD的度數(shù)．
【解答】解：∵△ABC中，∠ACB＝90°，∠A＝40°
∴∠B＝50°
∵BC＝CD
∴∠B＝∠BDC＝50°
∴∠BCD＝80°
∴∠ACD＝10°．
【點評】本題主要考查三角形的內(nèi)角和定理，以及等腰三角形的性質(zhì)，等邊對等角．
2．（2022秋?下城區(qū)校級月考）下列說法正確的是（ ）
A．直徑是圓中最長的弦，有4條
B．長度相等的弧是等弧
C．如果⊙A的周長是⊙B周長的4倍，那么⊙A的面積是⊙B面積的8倍
D．已知⊙O的半徑為8，A為平面內(nèi)的一點，且OA＝8，那么點A在⊙O上
【分析】根據(jù)圓的相關(guān)概念進(jìn)行分析即可．
【解答】解：A、直徑是圓中最長的弦，有無數(shù)條，故該選項不符合題意；
B、在同圓或等圓中長度相等的弧是等弧，故該選項不符合題意；
C、如果⊙A的周長是⊙B周長的4倍，那么⊙A的面積是⊙B面積的16倍，故該選項不符合題意；
D、已知⊙O的半徑為8，A為平面內(nèi)的一點，且OA＝8，那么點A在⊙O上，故該選項符合題意．
故選：D．
【點評】本題考查了圓的認(rèn)識，熟練掌握圓的相關(guān)概念是解題的關(guān)鍵．
3．（2022秋?東陽市月考）由所有到已知點O的距離大于或等于1，并且小于或等于2的點組成的圖形的面積為（ ）
A．πB．2πC．3πD．4π
【分析】根據(jù)題意、利用圓的面積公式計算即可．
【解答】解：由所有到已知點O的距離大于或等于1，并且小于或等于2的點組成的圖形的面積為以2為半徑的圓與以1為半徑的圓組成的圓環(huán)的面積，
即π×22﹣π×12＝3π，
故選：C．
【點評】本題考查的是圓的認(rèn)識、圓的面積的計算，掌握圓的面積公式是解題的關(guān)鍵．
4．（2022秋?椒江區(qū)校級月考）下列圖形為圓的是（ ）
A．B．C．D．
【分析】根據(jù)圓的定義分析即可．
【解答】解：根據(jù)題意得，A圖形為圓．
故答案為：A．
【點評】本題考查了圓的認(rèn)識，熟練掌握圓的定義：在一個平面內(nèi)，線段OA繞它固定的一個端點O旋轉(zhuǎn)一周，另一個端點A所形成的圖形叫做圓．固定的端點O叫做圓心，線段OA叫做半徑．以O(shè)點為圓心的圓，記作“⊙O”，讀作“圓O”是解題的關(guān)鍵．
二．點與圓的位置關(guān)系（共7小題）
5．（2022秋?上城區(qū)期末）已知⊙O的面積為25π，若PO＝5.5，則點P在 ⊙O外 ．
【分析】先根據(jù)圓的面積公式計算出圓的半徑為5，然后根據(jù)點與圓的位置關(guān)系進(jìn)行判斷．
【解答】解：設(shè)圓的半徑為R，
根據(jù)題意得2πR2＝25π，解得R＝5，
∵PO＝5.5，
∴PO＞R，
∴點P在⊙O外．
故答案為⊙O外．
【點評】本題考查了點與圓的位置關(guān)系：設(shè)⊙O的半徑為r，點P到圓心的距離OP＝d，則有點P在圓外?d＞r；點P在圓上?d＝r；點P在圓內(nèi)?d＜r．
6．（2022秋?諸暨市期末）點P到圓O的距離為6，若點P在圓O外，則圓O的半徑r滿足（ ）
A．0＜r＜6B．0＜r≤6C．r＞6D．r≥6
【分析】要確定點與圓的位置關(guān)系，主要確定點與圓心的距離與半徑的大小關(guān)系，若點到圓心的距離為d，圓的半徑r，則d＞r時，點在圓外；當(dāng)d＝r時，點在圓上；當(dāng)d＜r時，點在圓內(nèi)．
【解答】解：∵點P到圓O的距離為6，若點P在圓O外，
∴OP＞r，即0＜r＜6．
故選：A．
【點評】本題考查了對點與圓的位置關(guān)系的判斷．解決此類題目的關(guān)鍵是首先確定點與圓心的距離，然后與圓的半徑進(jìn)行比較，進(jìn)而得出結(jié)論．
7．（2022秋?拱墅區(qū)校級期中）若⊙O的半徑為5cm，平面上有一點A，OA＝6cm，則點A與⊙O的位置關(guān)系是點A在⊙O 外 （填“內(nèi)、上、外”）
【分析】要確定點與圓的位置關(guān)系，主要確定點與圓心的距離與半徑的大小關(guān)系；利用d＞r時，點在圓外；當(dāng)d＝r時，點在圓上；當(dāng)d＜r時，點在圓內(nèi)判斷出即可．
【解答】解：∵⊙O的半徑為5cm，OA＝6cm，
∴d＞r，
∴點A與⊙O的位置關(guān)系是：點A在⊙O外，
故答案為：外．
【點評】此題主要考查了對點與圓的位置關(guān)系的判斷．關(guān)鍵要記住若半徑為r，點到圓心的距離為d，則有：當(dāng)d＞r時，點在圓外；當(dāng)d＝r時，點在圓上，當(dāng)d＜r時，點在圓內(nèi)．
8．（2022秋?鹿城區(qū)校級月考）如圖，在6×6的正方形網(wǎng)格中（小正方形的邊長為1），有5個點，M，N，O，P，Q，以O(shè)為圓心，為半徑作圓，則在⊙O外的點是（ ）
A．MB．NC．PD．Q
【分析】根據(jù)點與圓的位置關(guān)系即可求解．
【解答】解：∵OQ＝，OP＝，ON＝2，OM＝，
∴在⊙O外的點是P，
故選：C．
【點評】本題考查了點與圓的位置關(guān)系：設(shè)⊙O的半徑為r，點P到圓心的距離OP＝d，則有：點P在圓外?d＞r；點P在圓上?d＝r；點P在圓內(nèi)?d＜r．
9．（2023?紹興模擬）已知點P（x0，y0）和直線y＝kx+b，求點P到直線y＝kx+b的距離d可用公式d＝計算．根據(jù)以上材料解決下面問題：如圖，⊙C的圓心C的坐標(biāo)為（1，1），半徑為1，直線l的表達(dá)式為y＝﹣2x+6，P是直線l上的動點，Q是⊙C上的動點，則PQ的最小值是 ．
【分析】求出點C（1，1）到直線y＝﹣2x+6的距離d即可求得PQ的最小值．
【解答】解：過點C作CP⊥直線l，交圓C于Q點，此時PQ的值最小，
根據(jù)點到直線的距離公式可知：點C（1，1）到直線l的距離d＝＝，
∵⊙C的半徑為1，
∴PQ＝﹣1，
故答案為：﹣1．
【點評】本題考查的是一次函數(shù)的應(yīng)用、點到直線的距離公式等知識，解題的關(guān)鍵是靈活運用所學(xué)知識解決問題，屬于中考創(chuàng)新題目．
10．（2023?平湖市一模）平面直角坐標(biāo)系xOy中，⊙O的半徑為2，點M在⊙O上，點N在線段OM上，設(shè)ON＝t（1＜t＜2），點P的坐標(biāo)為（﹣4，0）．將點P沿OM方向平移2個單位，得到點P'，再將點P'作關(guān)于點N的對稱點Q，連接PQ．當(dāng)點M在⊙O上運動時，PQ長度的最大值與最小值的差為 4t﹣4 ．（用含t的式子表示）
【分析】根據(jù)題意作出點P和點Q，連接P'M，并延長PM至點B，使得P'M＝BM，連接BQ并延長交PO的延長線于點C，證明四邊 形P'PCB為平行四邊形，四邊形P'POM為平行四邊形，求出PC和CQ的長度，根據(jù)三角形三邊關(guān)系即可得到答案．
【解答】解：根據(jù)題意作出點P和點Q，連接P'M，并延長P'M至點B，使得 P'M＝BM，連接BQ并延長交PO的延長線于點C，如圖，
∵P'，Q關(guān)于N對稱，
∴P'N＝NQ，
∵P'M＝BM，
∴BQ＝2MN＝2×（OM﹣ON）＝2（2﹣t）＝4﹣2t，且MN∥BQ，
∵將點P沿OM方向平移2個單位，
∴PP'∥OM∥BQ，P'M∥PO，
∴四邊形P'PCB為平行四邊形，四邊形P'POM為平行四邊形，
∵將點P沿OM方向平移2個單位，
∴P'P＝BC＝2，
∴QC＝BC﹣BQ＝2﹣（4﹣2t）＝2t﹣2，
∵點P的坐標(biāo)為（﹣4，0），
∴PC＝P'B＝2P'M＝8，
由圖得，PC﹣CQ≤PQ≤PC+CQ，
∴PQ的最大值為PC+CQ＝8+（2t﹣2）＝2t+6，PQ的最小值為PC﹣CQ＝8﹣（2t﹣2）＝10﹣2t，
∴PQ長度的最大值與最小值的差為 2t+6﹣（10﹣2t）＝4t﹣4．
故答案為：4t﹣4．
【點評】本題考查了圓的綜合問題，主要考查了中位線的性質(zhì)，三角形三邊關(guān)系，平行四邊形的判定及性質(zhì)，正確畫出圖形并作出輔助線是解題的關(guān)鍵．
11．（2022秋?柯橋區(qū)月考）如圖，在平面直角坐標(biāo)系中，A、B、C是⊙M上的三個點，A（0，4）、B（4，4）、C（6，2）．
（1）圓心M的坐標(biāo)為 （2，0） ；
（2）判斷點D（4，﹣3）與⊙M的位置關(guān)系．
【分析】（1）根據(jù)垂徑定理的推論：弦的垂直平分線必過圓心，可以作弦AB和BC的垂直平分線，交點即為圓心．
（2）求出⊙M的半徑，MD的長即可判斷；
【解答】解：（1）根據(jù)垂徑定理的推論：弦的垂直平分線必過圓心，
可以作弦AB和BC的垂直平分線，交點即為圓心．
如圖所示，則圓心是（2，0）
故答案為：2，0．
（2）圓的半徑AM＝＝2，
線段MD＝＝＜2，
所以點D在⊙M內(nèi)．
【點評】本題主要考查確定圓的條件和坐標(biāo)與圖形性質(zhì)的知識點，點與圓的位置關(guān)系等知識，能夠根據(jù)垂徑定理的推論得到圓心的位置是解決問題的關(guān)鍵．
三．確定圓的條件（共4小題）
12．（2022秋?永康市校級月考）小明不慎把家里的圓形鏡子打碎了，其中四塊碎片如圖所示，為了配到與原來大小一樣的圓形鏡子，小明帶到商店去的一塊碎片應(yīng)該是（ ）
A．第一塊B．第二塊C．第三塊D．第四塊
【分析】要確定圓的大小需知道其半徑．根據(jù)垂徑定理知第①塊可確定半徑的大?。?br>【解答】解：第①塊出現(xiàn)一段完整的弧，可在這段弧上任做兩條弦，作出這兩條弦的垂直平分線，兩條垂直平分線的交點就是圓心，進(jìn)而可得到半徑的長．
故選：A．
【點評】本題考查了確定圓的條件，解題的關(guān)鍵是熟練掌握：圓上任意兩弦的垂直平分線的交點即為該圓的圓心．
13．（2022?江岸區(qū)模擬）如圖，已知平面直角坐標(biāo)系內(nèi)三點A（3，0）、B（5，0）、C（0，4），⊙P經(jīng)過點A、B、C，則點P的坐標(biāo)為（ ）
A．（6，8）B．（4，5）C．（4，）D．（4，）
【分析】根據(jù)題意可知點P的橫坐標(biāo)為4，設(shè)點P的坐標(biāo)為（4，y），根據(jù)PA＝PC列出關(guān)于y的方程，解方程得到答案．
【解答】解：∵⊙P經(jīng)過點A、B、C，
∴點P在線段AB的垂直平分線上，
∴點P的橫坐標(biāo)為4，
設(shè)點P的坐標(biāo)為（4，y），
作PE⊥OB于E，PF⊥OC于F，
由題意得，
＝，
解得，y＝，
故選：C．
【點評】本題考查的是確定圓的條件，解題的關(guān)鍵是理解經(jīng)過不在同一直線上的三點作圓，圓心是過任意兩點的線段的垂直平分線的交點．
14．（2022秋?西湖區(qū)校級月考）平面直角坐標(biāo)系內(nèi)的三個點A（1，0）、B（0，﹣3）、C（2，﹣3） 能 確定一個圓（填“能”或“不能”）．
【分析】根據(jù)三個點的坐標(biāo)特征得到它們不共線，于是根據(jù)確定圓的條件可判斷它們能確定一個圓．
【解答】解：∵B（0，﹣3）、C（2，﹣3），
∴BC∥x軸，
而點A（1，0）在x軸上，
∴點A、B、C不共線，
∴三個點A（1，0）、B（0，﹣3）、C（2，﹣3）能確定一個圓．
故答案為：能．
【點評】本題考查了確定圓的條件：不在同一直線上的三點確定一個圓．
15．（2021秋?秀洲區(qū)校級期中）將圖中的破輪子復(fù)原，已知弧上三點A，B，C．
（1）畫出該輪的圓心；
（2）若△ABC是等腰三角形，底邊BC＝16cm，腰AB＝10cm，求圓片的半徑R．
【分析】（1）根據(jù)垂徑定理，分別作弦AB和AC的垂直平分線交點即為所求；
（2）連接AO，OB，利用垂徑定理和勾股定理可求出圓片的半徑R．
【解答】解：（1）如圖所示：分別作弦AB和AC的垂直平分線交點O即為所求的圓心；
（2）連接AO，OB，BC，BC交OA于D．
∵BC＝16cm，
∴BD＝8cm，
∵AB＝10cm，
∴AD＝6cm，
設(shè)圓片的半徑為R，在Rt△BOD中，OD＝（R﹣6）cm，
∴R2＝82+（R﹣6）2，
解得：R＝cm，
∴圓片的半徑R為cm．
【點評】本題主要考查了垂徑定理的推論，我們可以把垂徑定理的題設(shè)和結(jié)論這樣敘述：一條直線①過圓心，②垂直于弦，③平分弦，④平分優(yōu)弧，⑤平分劣弧．在應(yīng)用垂徑定理解題時，只要具備上述5條中任意2條，則其他3條成立．
四．三角形的外接圓與外心（共7小題）
16．（2022秋?西湖區(qū)校級月考）如圖，△ABC是⊙O的內(nèi)接三角形，∠C＝30°，⊙O的半徑為2cm，若點P是⊙O上的一點，PB＝AB，則PA的長為（ ）
A．2cmB．2cmC．cmD．2cm
【分析】連接OA、OP，連接OB交AP于H，根據(jù)圓周角定理得到∠AOB＝2∠C＝60°，根據(jù)正弦的概念計算即可．
【解答】解：連接OA、OP，連接OB交AP于H，
由圓周角定理得，∠AOB＝2∠C＝60°，
∵PB＝AB，
∴∠POB＝60°，OB⊥AP，
∵⊙O的半徑為2cm，
∴OP＝2cm，
∴AH＝PH＝OP?sin∠POB＝2×＝（cm），
∴AP＝2AH＝2（cm）．
故選：B．
【點評】本題考查的是三角形的外接圓與外心，掌握圓周角定理、解直角三角形的知識是解題的關(guān)鍵．
17．（2022秋?越城區(qū)期末）已知直角三角形兩條直角邊為3，4，則它的外接圓半徑為（ ）
A．1.5B．2C．2.5D．5
【分析】直角三角形的斜邊即外接圓的直徑，直接利用勾股定理求解即可．
【解答】解：直角三角形兩條直角邊為3，4，
那么此直角三角形的斜邊為，
即外接圓的直徑為5，那么外接圓半徑為2.5，
故選：C．
【點評】此題考查勾股定理以及求三角形的外接圓半徑，解題關(guān)鍵是求出直角三角形的斜邊即外接圓的直徑．
18．（2023?濱江區(qū)校級模擬）如圖，在每個小正方形邊長都為1的5×5網(wǎng)格中，有四個點A，B，C，D，以其中任意三點為頂點的三角形的外接圓半徑長是 ．
【分析】連接BC，CD，作BC，CD的垂直平分線，兩直線相交于O，即可找到四點共圓的圓心，再利用勾股定理可求解該圓的半徑．
【解答】解：連接BC，CD，作BC，CD的垂直平分線，兩直線相交于O，
則O為△BCD的外接圓的圓心，OB為外接圓的半徑，
由勾股定理得OB＝＝＝，
故答案為：．
【點評】本題主要考查三角形的外接圓與外心，勾股定理，找到圓心是解題的關(guān)鍵．
19．（2022?海曙區(qū)校級開學(xué)）已知：如圖，圓O是△ABC的外接圓，AO平分∠BAC．
（1）求證：△ABC是等腰三角形；
（2）當(dāng)OA＝4，AB＝6，求邊BC的長．
【分析】（1）連接OB、OC，先證明∠OBA＝∠OCA＝∠BAO＝∠CAO，再證明△OAB≌△OAC得AB＝AC，問題得證；
（2）延長AO交BC于點H，先證明AH⊥BC，BH＝CH，設(shè)OH＝b，BH＝CH＝a，根據(jù)OA＝4，AB＝6，由勾股定理列出a、b的方程組，解得a、b，便可得BC．
【解答】解：（1）連接OB、OC，
∵OA＝OB＝OC，OA平分∠BAC，
∴∠OBA＝∠OCA＝∠BAO＝∠CAO，
在△OAB和△OAC中，
，
∴△OAB≌△OAC（AAS），
∴AB＝AC
即△ABC是等腰三角形；
（2）延長AO交BC于點H，
∵AH平分∠BAC，AB＝AC，
∴AH⊥BC，BH＝CH，
設(shè)OH＝b，BH＝CH＝a，
∵BH2+OH2＝OB2，BH2+AH2＝AB2，OA＝4，AB＝6，
∴，
解得，，
∴BC＝2a＝3．
【點評】本題是圓的一個綜合題，主要考查了圓的性質(zhì)，等腰三角形的性質(zhì)，全等三角形的性質(zhì)與判定，角平分線的性質(zhì)，第（1）關(guān)鍵在證明三角形全等；第（2）題關(guān)鍵由勾股定理列出方程組．
20．（2022秋?蓮都區(qū)期中）如圖所示，在△ABC中，AB＝AC，⊙O是△ABC的外接圓，BO的延長線交邊AC于點D．
（1）若∠ACB＝60°，BC＝8，求⊙O的半徑；
（2）當(dāng)△BCD是等腰三角形時，求∠BCD的大?。?br>【分析】（1）連接OA并延長AO交BC于E，證明∠BAC＝2∠BAE和∠ABD＝∠BAE即可得結(jié)論；
（2）設(shè)∠ABD為x，用x表示出有關(guān)的角，再列方程即得答案．
【解答】解：（1）連接OA并延長AO交BC于E，
∵AB＝AC，
∴＝，
∵AE過圓心O，
∴AE垂直平分BC，
∴AE平分∠BAC，BE＝BC＝4，
∴∠BAC＝2∠BAE，
∵OA＝OB，
∴∠ABD＝∠BAE，
∵AB＝AC，∠ACB＝60°，
∴∠ABC＝∠ACB＝∠BAC＝60°，
∴∠ABD＝BAC＝30°，
∴∠CBD＝30°，
∴OB＝8，
故⊙O的半徑為8；
（2）設(shè)∠ABD＝x，
由（1）知∠BAC＝2∠ABD＝2x，
∴∠BDC＝3x，
△BCD是等腰三角形，
①若BD＝BC，
則∠C＝∠BDC＝3x，
∵AB＝AC，
∴∠ABC＝∠C＝3x，
在△ABC中，∠ABC+∠C+∠BAC＝180°，
∴3x+3x+2x＝180°，
解得x＝22.5°，
∴∠BCD＝3x＝67.5°，
②若BC＝CD，則∠BDC＝∠CBD＝3x，
∴∠ABC＝∠ACB＝4x，
在△ABC中，∠ABC+∠C+∠BAC＝180°，
∴4x+4x+2x＝180°，
∴x＝18°，
∴∠BCD＝4x＝72°，
綜上所述，△BCD是等腰三角形，∠BCD為67.5°或72°．
【點評】本題考查三角形的外接圓與外心，關(guān)鍵是垂徑定理及等腰三角形性質(zhì)的應(yīng)用．
21．（2022秋?西湖區(qū)校級月考）如圖，△ABC內(nèi)接于⊙O，高AD經(jīng)過圓心O．
（1）求證：AB＝AC；
（2）若BC＝8，⊙O的半徑為5，求△ABC的面積．
【分析】（1）根據(jù)垂徑定理得到＝，根據(jù)圓心角、弧、弦之間的關(guān)系定理證明結(jié)論；
（2）連接OB，根據(jù)垂徑定理求出BD，根據(jù)勾股定理求出OD，根據(jù)三角形 的面積公式計算，得到答案．
【解答】（1）證明：∵OD⊥BC，
∴＝，
∴AB＝AC；
（2）解：連接OB，
∵OD⊥BC，BC＝8，
∴BD＝DC＝BC＝×8＝4，
在Rt△ODB中，OD＝＝＝3，
∴AD＝5+3＝8，
∴S△ABC＝×8×8＝32．
【點評】本題考查的是三角形的外接圓與外心，掌握垂徑定理、圓心角、弧、弦之間的關(guān)系定理是解題的關(guān)鍵．
22．（2022?鄞州區(qū)校級開學(xué)）如圖所示，已知A，B兩點的坐標(biāo)分別為（2，0），（0，2），點P是△AOB外接圓上一點，且∠AOP＝45°，OP與AB交于C點．
（1）求∠BAO的度數(shù)；
（2）求OC及AC的長；
（3）求OP的長及點P的坐標(biāo)．
【分析】（1）根據(jù)A（2，0），B（0，2），可得OA＝2，OB＝2，進(jìn)而可以解決問題；
（2）過點C作CD⊥x軸于點D，可得OC＝OD，AC＝2CD＝2OD，然后根據(jù)AO＝OD+AD＝（+1）OD＝2，求出OD的長，進(jìn)而可以解決問題；
（3）作PH⊥x軸于H，連接PA、PB，根據(jù)圓周角定理由∠AOB＝90°，得到AB為△AOB外接圓的直徑，則∠BPA＝90°，再利用勾股定理計算出AB＝4，根據(jù)圓周角定理由∠AOP＝45°得到∠PBA＝45°，則可判斷△PAB和△POH都為等腰直角三角形，所以PA＝AB＝2，PH＝OH，設(shè)OH＝t，則PH＝t，AH＝2﹣t，在Rt△PHA中，根據(jù)勾股定理得到OP的長和P點坐標(biāo)．
【解答】解：（1）∵A（2，0），B（0，2），
∴OA＝2，OB＝2，
∴∠BAO＝30°；
（2）如圖，過點C作CD⊥x軸于點D，
∵∠AOP＝45°，
∴∠OCD＝45°，
∴DC＝DO，
∴OC＝OD，
由（1）知：∠BAO＝30°，
∴AC＝2CD＝2OD，AD＝CD＝OD，
∵AO＝OD+AD＝（+1）OD＝2，
∴OD＝3﹣，
∴OC＝（3﹣）＝3﹣，AC＝2（3﹣）＝6﹣2；
∴OC及AC的長分別為3﹣，6﹣2；
（3）作PH⊥x軸于H，連接PA、PB，如圖，
∵∠AOB＝90°，
∴AB為△AOB外接圓的直徑，
∴∠BPA＝90°，
∵A（2，0），B（0，2），
∴OA＝2，OB＝2，
∴AB＝＝4，
∵∠AOP＝45°，
∴∠PBA＝45°，
∴△PAB和△POH都為等腰直角三角形，
∴PA＝AB＝2，PH＝OH，
設(shè)OH＝t，則PH＝t，AH＝2﹣t，
在Rt△PHA中，
∵PH2+AH2＝PA2，
∴t2+（2﹣t）2＝（2）2，
整理得t2﹣2t+2＝0，解得t1＝+1，t2＝﹣1（舍去），
∴OH＝PH＝+1，
∴OP＝OH＝+；
∴P點坐標(biāo)為（+1，+1）．
【點評】本題考查了三角形外接圓與外心，坐標(biāo)與圖形性質(zhì)，解決本題的關(guān)鍵是得到△PAB和△POH都為等腰直角三角形．
【過關(guān)檢測】
一、單選題
1．（2022秋·浙江臺州·九年級統(tǒng)考期末）已知點A在半徑為2cm的圓內(nèi)，則點A到圓心的距離可能是（ ）
A．1cmB．2cmC．3cmD．4 cm
【答案】A
【分析】由圓點的半徑是2cm，根據(jù)點與圓的位置關(guān)系的性質(zhì)，結(jié)合點P在圓內(nèi)，得到點P到圓心的距離的范圍，再根據(jù)各選項進(jìn)行判斷即可．
【詳解】解： ∵點A在半徑為2cm的圓內(nèi)，
∴點A到圓心的距離小于2cm，
故選：A．
【點睛】本題 考查了點與圓的位置關(guān)系，熟練掌握點在圓上時，點到圓心的距離等于半徑；點在圓內(nèi)時，點到圓心的距離小于半徑；點在圓外時，點到圓心的距離大于半徑．
2．（2023秋·浙江·九年級期末）已知點P到圓心O的距離為3，若點P在圓外，則的半徑可能為（ ）
A．2B．3C．4D．5
【答案】A
【分析】根據(jù)點與圓的位置關(guān)系判斷得出即可．
【詳解】解：∵點P在圓外，且，
∴，
故選：A．
【點睛】此題主要考查了點與圓的位置關(guān)系，點與圓的位置關(guān)系有3種．設(shè)的半徑為r，點P到圓心的距離，則有：①點P在圓外則，②點P在圓上則，③點P在圓內(nèi)則．
3．（2022秋·浙江·九年級專題練習(xí)）、是半徑為的上兩個不同的點，則弦的取值范圍是（ ）
A．B．C．D．
【答案】D
【分析】根據(jù)圓的基本性質(zhì)可直接進(jìn)行求解．
【詳解】∵圓中最長的弦為直徑，
∴．
∴故選D．
【點睛】本題主要考查弦的概念，正確理解圓的弦長概念是解題的關(guān)鍵．
4．（2022·浙江·九年級專題練習(xí)）已知M（1，2），N（3，﹣3），P（x，y）三點可以確定一個圓，則以下P點坐標(biāo)不滿足要求的是（ ）
A．（3，5）B．（﹣3，5）C．（1，2）D．（1，﹣2）
【答案】C
【分析】先利用待定系數(shù)法求出直線的解析式，再把每點代入函數(shù)解析式，根據(jù)不在同一直線上的三點能確定一個圓即可得出答案．
【詳解】解：設(shè)直線的解析式為，
將點代入得：，解得，
則直線的解析式為，
A、當(dāng)時，，則此時點不在同一直線上，可以確定一個圓，此項不符題意；
B、當(dāng)時，，則此時點不在同一直線上，可以確定一個圓，此項不符題意；
C、當(dāng)時，，則此時點在同一直線上，不可以確定一個圓，此項符合題意；
D、當(dāng)時，，則此時點不在同一直線上，可以確定一個圓，此項不符題意；
故選：C．
【點睛】本題考查了確定一個圓、求一次函數(shù)的解析式，熟練掌握確定一個圓的條件是解題關(guān)鍵．
5．（2022秋·浙江金華·九年級義烏市繡湖中學(xué)教育集團校考階段練習(xí)）的外心在三角形的一邊上，則是（ ）
A．銳角三角形B．直角三角形C．鈍角三角形D．無法判斷
【答案】B
【分析】根據(jù)三角形外心與三角形的位置關(guān)系可判斷三角形的形狀，因此可得到答案．
【詳解】解：當(dāng)?shù)耐庑脑诘膬?nèi)部時，則是銳角三角形；
當(dāng)?shù)耐庑脑诘耐獠繒r，則是鈍角三角形；
當(dāng)?shù)耐庑脑诘囊贿厱r，則是直角三角形，且這邊是斜邊．
故選B．
【點睛】本題考查了三角形的外心，解決本題的關(guān)鍵是經(jīng)過三角形的三個頂點的圓，叫做三角形的外接圓，三角形外接圓的圓心是三角形三條邊垂直平分線的交點，叫做三角形的外心．
6．（2023秋·浙江紹興·九年級統(tǒng)考期末）已知直角三角形兩條直角邊為3，4，則它的外接圓半徑為（ ）
A．1.5B．2C．2.5D．5
【答案】C
【分析】直角三角形的斜邊即外接圓的直徑，直接利用勾股定理求解即可．
【詳解】直角三角形兩條直角邊為3，4
那么此直角三角形的斜邊為
即外接圓的直徑為5，那么外接圓半徑為2.5
故選：C
【點睛】此題考查勾股定理以及求三角形的外接圓半徑，解題關(guān)鍵是判斷直角三角形的斜邊即外接圓的直徑．
7．（2023·浙江·模擬預(yù)測）如圖，是的外接圓，則點O是的（ ）
A．三條高線的交點B．三條邊的垂直平分線的交點
C．三條中線的交點D．三角形三內(nèi)角角平分線的交點
【答案】B
【分析】根據(jù)三角形外接圓的圓心是三角形三條邊垂直平分線的交點，叫做三角形的外心，進(jìn)而得出答案．
【詳解】是的外接圓，
點O是的三條邊的垂直平分線的交點，
故選：B．
【點睛】本題考查三角形的外接圓和外心，正確把握外心的定義是解題的關(guān)鍵．
8．（2023春·浙江·九年級開學(xué)考試）下列命題中，是真命題的是（ ）
A．長度相等的兩條弧是等弧
B．順次連接平行四邊形四邊中點所組成的圖形是菱形
C．正八邊形既是軸對稱圖形又是中心對稱圖形
D．三角形的內(nèi)心到這個三角形三個頂點的距離相等
【答案】C
【分析】根據(jù)等弧的定義即可判斷A；根據(jù)三角形中位線定理即可判斷B；根據(jù)軸對稱圖形和中心對稱圖形的定義即可判斷C；根據(jù)外心的定義即可判斷D．
【詳解】解：A、在同圓或等圓中，能夠互相重合的弧，長度相等，所對的圓心角度數(shù)相等的弧叫做等弧，故該選項是假命題，不符合題意；
B、順次連接平行四邊形四邊中點所組成的圖形是平行四邊形，故該選項是假命題，不符合題意；
C、正八邊形既是軸對稱圖形又是中心對稱圖形，故該選項是真命題，符合題意；
D、三角形的外心到這個三角形三個頂點的距離相等，故該選項是假命題，不符合題意；
故選C．
【點睛】本題主要考查了判斷命題真假，等弧的定義，三角形中位線定理，軸對稱圖形和中心對稱圖形，三角形外心的定義，熟知相關(guān)知識是解題的關(guān)鍵．
9．（2020秋·浙江溫州·九年級期末）已知點是數(shù)軸上一定點，點是數(shù)軸上一動點，點表示的實數(shù)為，點所表示的實數(shù)為，作以為圓心，為半徑的，若點在外，則的值可能是（）.
A．B．C．D．
【答案】A
【分析】根據(jù)點與圓的位置關(guān)系計算即可；
【詳解】∵B在外，
∴AB＞2，
∴＞2，
∴b＞或b＜，
∴b可能是-1.
故選A．
【點睛】本題主要考查了點與圓的位置關(guān)系，準(zhǔn)確分析計算是解題的關(guān)鍵．
10．（2022秋·浙江紹興·九年級校聯(lián)考期中）如圖，在中，，，，是斜邊上的中線，以為直徑作，設(shè)線段的中點為P，則點P與的位置關(guān)系是（ ）
A．點P在內(nèi)B．點P在上
C．點P在外D．點P不在內(nèi)
【答案】A
【分析】由直角三角形斜邊上的中線等于斜邊的一半可得，再由中位線的性質(zhì)得，最后根據(jù)點和圓的位置關(guān)系即可解答．
【詳解】解：如圖：連接
∵在中，，，，是斜邊上的中線，
∴
∵點以為直徑作
∴
∵點是中點，
∴是的中位線，
∴，
∵，
∴點在內(nèi)．
故選A．
【點睛】本題主要考查點和圓的位置關(guān)系、直角三角形斜邊中線的性質(zhì)、三角形中位線的性質(zhì)等知識點，，求出點到圓心的距離是關(guān)鍵．
二、填空題
11．（2022秋·九年級單元測試）下列說法中正確的有__（填序號）．
（1）直徑是圓中最大的弦；（2）長度相等的兩條弧一定是等弧；（3）半徑相等的兩個圓是等圓；（4）面積相等的兩個圓是等圓；（5）同一條弦所對的兩條弧一定是等?。?br>【答案】（1）（3）（4）
【分析】根據(jù)弦、等圓、等弧的定義分別分析即可．
【詳解】解：（1）直徑是圓中最大的弦，說法正確；
（2）長度相等的兩條弧一定是等弧，說法錯誤，在同圓或等圓中，能夠完全重合的兩段弧為等弧，不但長度相等，彎曲程度也要相同；
（3）半徑相等的兩個圓是等圓，說法正確；
（4）面積相等的兩個圓是等圓，說法正確；
（5）同一條弦所對的兩條弧一定是等弧，說法錯誤，同一條弦所對的兩條弧不一定是等弧，除非這條弦是直徑．
故答案為：（1）（3）（4）．
【點睛】本題考查了圓的有關(guān)概念，熟練掌握弦、等圓、等弧的定義是解題的關(guān)鍵．
12．（2022秋·九年級單元測試）如圖，在平面直角坐標(biāo)系中，點，，的橫、縱坐標(biāo)都為整數(shù)，過這三個點作一條圓弧，則此圓弧的圓心坐標(biāo)為_______．
【答案】（2，1）
【分析】根據(jù)垂徑定理的推論：弦的垂直平分線必過圓心，可以作弦AB和BC的垂直平分線，交點即為圓心．
【詳解】解：根據(jù)垂徑定理的推論：弦的垂直平分線必過圓心，
可以作弦AB和BC的垂直平分線，交點即為圓心．
如圖所示，則圓心是（2，1）．
故答案為（2，1）．
【點睛】本題考查垂徑定理的應(yīng)用，解答此題的關(guān)鍵是熟知垂徑定理，即“垂直于弦的直徑平分弦”．
13．（2023春·浙江·九年級專題練習(xí)）如圖，點A，B的坐標(biāo)分別為，C為坐標(biāo)平面內(nèi)一點，，點M為線段的中點，連接的最大值為 _____．
【答案】/
【分析】先根據(jù)題意得到點C的運動軌跡是在半徑為2的上，如圖，取，連接，則是的中位線，即可得到，從而得到最大值時，取最大值，此時D、B、C三點共線，據(jù)此求解即可．
【詳解】解：∵C為坐標(biāo)平面內(nèi)一點，，
∴點C的運動軌跡是在半徑為2的上，
如圖，取，連接，
∵點M為線段的中點，
∴是的中位線，
∴，
∴最大值時，取最大值，此時D、B、C三點共線，
此時在中，，
∴，
∴的最大值是．
故答案為：．
【點睛】本題主要考查了圓外一點到圓上一點的最值問題，勾股定理，坐標(biāo)與圖形，中位線定理，正確作出輔助線構(gòu)造中位線是解題的關(guān)鍵．
14．（2023·浙江紹興·統(tǒng)考一模）如圖，在菱形中，，，延長至點，使，現(xiàn)以點為圓心，以為半經(jīng)畫弧，與直線交于點，則的長為______．
【答案】1或3/3或1
【分析】如圖所示，過點D作于G于F，則由菱形的對稱性可知，證明得到，再證明是等邊三角形，得到，則，同理可證得到，則．
【詳解】解：如圖所示，過點D作于G，于F，則由菱形的對稱性可知，
又∵，
∴，
∴，
∵四邊形是菱形，
∴，
又∵，
∴是等邊三角形，
∴點F是的中點，
∴，
同理可得，
∴，
∴，
同理可證得到，
∴，
∴的長為1或3；
故答案為：1或3．
【點睛】本題主要考查了菱形的性質(zhì)，全等三角形的性質(zhì)與判定，等邊三角形的判定，正確作出輔助線構(gòu)造全等三角形是解題的關(guān)鍵．
15．（2022秋·浙江紹興·九年級統(tǒng)考期末）如圖，在中，，，以點B為圓心，長為半徑作弧，交直線于點P，連結(jié)，則的度數(shù)是______．
【答案】或/或
【分析】根據(jù)等腰三角形的性質(zhì)可以得到各內(nèi)角的關(guān)系，然后根據(jù)題意，畫出圖形，利用分類討論的方法求出的度數(shù)即可．
【詳解】解：∵，，
∴，則，
∴，則，
當(dāng)點在點左側(cè)時，如圖，
∵，
∴，
∵，，
∴，
∴，
當(dāng)點在點右側(cè)時，如圖，
∵，
∴，
∵，，
∴，
∴，
綜上，的度數(shù)是或；
故答案為：或．
【點睛】本題考查等腰三角形的性質(zhì)、圓的性質(zhì)，解答本題的關(guān)鍵是畫出合適的輔助線，利用分類討論的方法解答．
16．（2023春·浙江·九年級階段練習(xí)）如圖，點A，B，C在⊙O上，，，則_____．
【答案】/20度
【分析】先根據(jù)圓的性質(zhì)和等腰三角形的性質(zhì)求得，再根據(jù)平行線性質(zhì)得出，求出的度數(shù)，進(jìn)而求解．
【詳解】解：
又
．
故答案為：．
【點睛】此題考查了圓、等腰三角形及平行四邊形的性質(zhì)，三角形內(nèi)角和的應(yīng)用，解題的關(guān)鍵是各性質(zhì)的綜 合應(yīng)用與角度的計算．
17．（2023·浙江臺州·統(tǒng)考一模）如圖，是半圓O的直徑，P是上的動點，交半圓于點C，已知，則的最大值是______．

【答案】
【分析】連接，可得，設(shè)，則，則問題轉(zhuǎn)化為求的最大值，然后根據(jù)不等式的性質(zhì)和完全平方公式的變形解答即可．
【詳解】解：連接，則，
∵，
∴，
∴，
設(shè)，則，
∵（當(dāng)且僅當(dāng)時等號成立）
∴，
∴（當(dāng)且僅當(dāng)時等號成立），
∴的最大值是，即的最大值是；
故答案為：．

【點睛】本題考查了勾股定理、圓的基本知識、不等式的應(yīng)用和完全平方公式等知識，靈活應(yīng)用轉(zhuǎn)化的思想方法，求得是解題的關(guān)鍵．
18．（2021秋·浙江金華·九年級統(tǒng)考期中）如圖所示，在平面直角坐標(biāo)系xOy中，點P是鈍角的外心，點A、B、P的坐標(biāo)分別為，，，若第一象限的點C橫坐標(biāo)、縱坐標(biāo)均為整數(shù)，則點C的坐標(biāo)為______．
【答案】（1，4）或（6，5）
【分析】根據(jù)三角形的外心是三角形的外接圓圓心，則PA=PB=PC，故以點P為圓心，PA為半徑畫圓，只需點C為圓與格點的交點即可．
【詳解】解：因為點P是鈍角的外心，則PA=PB=PC，故以點P為圓心，PA為半徑畫圓，如圖，
∵第一象限的點C橫坐標(biāo)、縱坐標(biāo)均為整數(shù)，
∴點C為圓P與格點的交點，
∵△ABC為鈍角三角形，
∴由圖知，滿足條件在點C坐標(biāo)為：（1，4）或（6，5），
故答案為：（1，4）或（6，5）；
【點睛】本題考查三角形的外心、坐標(biāo)與圖形，理解題意，熟知三角形的外心是三角形的外接圓圓心，利用數(shù)形結(jié)合思想解決問題是解答的關(guān)鍵．
三、解答題
19．（2022秋·浙江杭州·九年級?？茧A段練習(xí)）如圖，是的直徑，，交于點，且，求弧的度數(shù)．
【答案】
【分析】連接，設(shè)，由，可得，然后利用等腰三角形的性質(zhì)與三角形外角的性質(zhì)，求得，繼而求得答案．
【詳解】解：連接，
設(shè)，
，，
，
，
，
，
，
，
，
，
解得，
，
弧的度數(shù)為．
【點睛】此題考查了等腰三角形的性質(zhì)以及三角形外角的性質(zhì)，設(shè)出的度數(shù)利用方程思想求解是解此題的關(guān)鍵．
20．（2022秋·浙江溫州·九年級?？茧A段練習(xí)）以下各圖均是由邊長為1的小正方形組成的3×3網(wǎng)格，的頂點均在格點上．利用網(wǎng)格和無刻度的直尺作圖，保留痕跡，不寫作法．
(1)在圖①中，作出的重心G．
(2)在圖②中，作出的外心O．
【答案】(1)見解析
(2)見解析
【分析】（1）畫出和邊的中線，交點即為點G；
（2）畫出中點，以為邊構(gòu)造等腰三角形，從而畫出的垂直平分線，再和的垂直平分線交于點O即可．
【詳解】（1）解：如圖，點G即為所求；
（2）如圖，點O即為所求．
【點睛】本題考查了復(fù)雜作圖，三角形的重心和外心，解題的關(guān)鍵是熟練掌握網(wǎng)格的性質(zhì)，能夠找到中點和垂線的畫法．
21．（2022秋·浙江紹興·九年級統(tǒng)考期中）在88的方格中，已知的各頂點都在格點上
(1)如圖， 請僅用一把無刻度的直尺按要求作圖 （請直接用黑色字跡的鋼筆或簽字筆作圖， 不要求寫作法）． 找出外接圓的圓心．
(2)若， 試求的半徑．
【答案】(1)外接圓的圓心見解析圖；
(2)．
【分析】（1）利用網(wǎng)格的特點作出線段與線段的垂直平分線交于點，則點即為外接圓的圓心；
（2）連接，根據(jù)可知一個網(wǎng)格的長為1，再由勾股定理即可求出的長．
【詳解】（1）如圖，點即為外接圓的圓心；
（2）連接，
∵，
∴一個網(wǎng)格的長為1，
∴，即的半徑為．
【點睛】本題考查的是作圖——復(fù)雜作圖及三角形的外接圓圓心，解題的關(guān)鍵是利用網(wǎng)格的特點作圖．
22．（2023秋·浙江臺州·九年級統(tǒng)考期末）如圖，是由邊長為1的小正方形構(gòu)成的6×6網(wǎng)格，每個小正方形的頂點叫做格點，經(jīng)過A、B、C、D四個格點，僅用無刻度的直尺在給定的網(wǎng)格中按要求畫圖（畫圖過程中起輔助作用的用虛線表示，畫圖結(jié)果用實線表示，并用黑色水筆描黑）
(1)如圖1，判斷圓心O______（填“是”或“不是”）在格點上，并在圖1中標(biāo)出格點O；
(2)在圖1中畫出的切線（G為格點）；
(3)在圖2中畫出的中點E；
【答案】(1)是，圖見解析
(2)圖見解析
(3)圖見解析
【分析】（1）根據(jù)弦的垂直平分線過圓心，兩條弦的垂直平分線的交點即為圓心；
（2）根據(jù)切線的概念作圖即可；
（3）根據(jù)平分線的直徑平分?。?br>【詳解】（1）是，;
（2）；
（3）
【點睛】本題通過尺規(guī)作圖考查了切線的概念以及垂徑定理的應(yīng)用；掌握切線的概念和垂徑定理是解題的關(guān)鍵．
23．（2022秋·浙江寧波·九年級統(tǒng)考期中）如圖，在的方格中，的頂點均在格點上．請按要求畫格點線段EF（端點在格點上），且EF分別交線段AB，AC于點G，H．
(1)在圖1中作出∠AHG＝∠C．
(2)在圖2中作出∠AGH＝∠C．
【答案】(1)見解析
(2)見解析
【分析】（1）將BC向上平移，使點B，點C 均在格點上即可；
（2）作 交AB于G，交AC于H，可得線段EF，此時
【詳解】（1）如圖，線段EF，∠AHG即為所作，
（2）如圖，線段EF，即為所作，

【點睛】本題主要考查了作圖----應(yīng)用與設(shè)計作圖，熟練掌握平移是解答本題的關(guān)鍵．
24．（2021秋·浙江紹興·九年級新昌縣七星中學(xué)校考期中）如圖，已知拋物線與x軸正半軸交于點，與y軸交于點，點P是線段上一動點，過點P作x軸的垂線交拋物線于點C，交直線于點D．
(1)求拋物線的函數(shù)表達(dá)式；
(2)在和中，當(dāng)其中一個三角形的面積是另一個三角形面積的2倍時，求點P的坐標(biāo)；
(3)若的外接圓恰好經(jīng)過點A，求此時點C的坐標(biāo)．
【答案】(1)
(2)或
(3)
【分析】（1）用待定系數(shù)法求出拋物線解析式即可；
（2）先確定出，，再分兩種情況解絕對值方程即可；
（3）利用四個點在同一個圓上，得出過點，，的外接圓的圓心既是線段的垂直平分線上，也在線段的垂直平分線上，建立方程即可．
【詳解】（1）解：拋物線與軸正半軸交于點，與軸交于點，
，，
，
拋物線解析式為；
（2），，
設(shè)直線解析式為，
則，解得：，
直線解析式為，
設(shè)，
，，
，
，，
①當(dāng)時，
，
即：，
或（舍）或（舍），
②當(dāng)時，
，
即：，
或（舍）或（舍），
即點P的坐標(biāo)為：或；
（3）直線解析式為，，，
線段的中點為，
線段的垂直平分線的解析式為，
過點，，的外接圓恰好經(jīng)過點，
過點，，的外接圓的圓心既在線段的垂直平分線上，也在線段的垂直平分線上，
是直角三角形，
過點，，，的圓心是的中點，
，
，
，，
點在直線的垂直平分線上，
，
（舍）或，
此時點C的坐標(biāo)為．
【點睛】此題是二次函數(shù)綜合題，主要考查了待定系數(shù)法，絕對值方程，四點共圓的特點，解本題的關(guān)鍵是，．
25．（2022秋·浙江嘉興·九年級校聯(lián)考期中）如圖1，已知拋物線經(jīng)過原點，它的對稱軸是直線，動點從拋物線的頂點出發(fā)，在對稱軸上以每秒1個單位的速度向上運動，設(shè)動點運動的時間為秒，連接并延長交拋物線于點，連接，．
(1)求拋物線的函數(shù)解析式；
(2)當(dāng)為直角三角形時，求的值；
(3)如圖2，為的外接圓，在點的運動過程中，點也隨之運動變化，請你探究：在時，求點經(jīng)過的路徑長度．
【答案】(1)；
(2)當(dāng)為直角三角形時，的值為1或2或5；
(3)經(jīng)過的路徑長度為
【分析】（1）待定系數(shù)法求解析式即可；
（2）分分別為直角，三種情況討論，利用勾股定理進(jìn)行求解即可；
（3）根據(jù)為的外接圓，可知，點在線段的中垂線上，當(dāng)時，點的運動路徑是在線段中垂線上的一條線段，分別求出當(dāng)、和時，點的坐標(biāo)，然后利用兩點間的距離公式，進(jìn)行求解即可．
【詳解】（1）解：拋物線經(jīng)過原點，且對稱軸是直線，
，，
則、，
拋物線解析式為；
（2）解：設(shè)點，
，
點，
則、、，
①若，則，
解得（舍或，
，
則直線解析式為，
當(dāng)時，，即，
；
②若，則，
解得（舍或，
，
則直線解析式為，
當(dāng)時，，即，
；
③若，則，
整理，得：，
，
，
，
，
則或（舍，
，
直線解析式為，
當(dāng)時，，即，
；
綜上，當(dāng)為直角三角形時，的值為1或2或5．
（3）為的外接圓，
點在線段的中垂線上，
當(dāng)時，點的運動路徑是在線段中垂線上的一條線段，
當(dāng)時，如圖1，
由（2）知，
此時的外接圓圓心是的中點，
，
；
當(dāng)時，如圖2，
由（2）知，，
此時的外接圓圓心是的中點，
、，
；
當(dāng)時，如圖3，
由（2）知，，
此時的外接圓圓心是的中點，
，
；
則點經(jīng)過的路徑長度為．
【點睛】本題考查二次函數(shù)的綜合應(yīng)用．正確的求出函數(shù)解析式，利用二次函數(shù)的性質(zhì)，以及數(shù)形結(jié)合，分類討論的思想進(jìn)行求解，是解題的關(guān)鍵．本題的綜合性強，屬于中考壓軸題．

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