高中數(shù)學(xué)7.1 復(fù)數(shù)的概念導(dǎo)學(xué)案-學(xué)案下載-教習(xí)網(wǎng)

7.1.2　復(fù)數(shù)的幾何意義知識(shí)點(diǎn)一　　　復(fù)平面的相關(guān)概念如圖，點(diǎn)Z的橫坐標(biāo)是a，縱坐標(biāo)是b，復(fù)數(shù)z＝a＋bi可用點(diǎn)Z(a，b)表示．這個(gè)建立了直角坐標(biāo)系來(lái)表示復(fù)數(shù)的平面叫做復(fù)平面，x軸叫做實(shí)軸，y軸叫做虛軸．復(fù)數(shù)集C中的數(shù)與復(fù)平面內(nèi)的點(diǎn)建立了一一對(duì)應(yīng)關(guān)系，即復(fù)數(shù)z＝a＋bi復(fù)平面內(nèi)的點(diǎn)Z(a，b)．知識(shí)點(diǎn)二　　　復(fù)數(shù)的向量表示如圖，設(shè)復(fù)平面內(nèi)的點(diǎn)Z表示復(fù)數(shù)z＝a＋bi，連接OZ，顯然向量是由點(diǎn)Z唯一確定的；反過(guò)來(lái)，點(diǎn)Z也可以由向量唯一確定．復(fù)數(shù)集C中的數(shù)與復(fù)平面內(nèi)以原點(diǎn)為起點(diǎn)的向量建立了一一對(duì)應(yīng)關(guān)系(實(shí)數(shù)0與零向量對(duì)應(yīng))，即復(fù)數(shù)z＝a＋bi平面向量.這是復(fù)數(shù)的另一種幾何意義，并且規(guī)定相等的向量表示同一個(gè)復(fù)數(shù)．知識(shí)點(diǎn)三　　　復(fù)數(shù)的模的定義公式向量的模叫做復(fù)數(shù)z＝a＋bi的?；蚪^對(duì)值，記作|z|或|a＋bi|，即|z|＝|a＋bi|＝(a，b∈R)．如果b＝0，那么z＝a＋bi是一個(gè)實(shí)數(shù)a，它的模等于|a|(a的絕對(duì)值)．知識(shí)點(diǎn)四　　　共軛復(fù)數(shù)一般地，當(dāng)兩個(gè)復(fù)數(shù)的實(shí)部相等，虛部互為相反數(shù)時(shí)，這兩個(gè)復(fù)數(shù)叫做互為共軛復(fù)數(shù)．虛部不等于0的兩個(gè)共軛復(fù)數(shù)也叫共軛虛數(shù)．1．復(fù)數(shù)的向量表示(1)任何一個(gè)復(fù)數(shù)z＝a＋bi與復(fù)平面內(nèi)一點(diǎn)Z(a，b)對(duì)應(yīng)，而任一點(diǎn)Z(a，b)又可以與以原點(diǎn)為起點(diǎn)，點(diǎn)Z(a，b)為終點(diǎn)的向量對(duì)應(yīng)，這些對(duì)應(yīng)都是一一對(duì)應(yīng)，即(2)這種對(duì)應(yīng)關(guān)系架起了聯(lián)系復(fù)數(shù)與解析幾何的橋梁，使得復(fù)數(shù)問(wèn)題可以用幾何方法解決，而幾何問(wèn)題也可以用復(fù)數(shù)方法解決(即數(shù)形結(jié)合法)，增加了解決復(fù)數(shù)問(wèn)題的途徑．討論復(fù)數(shù)的運(yùn)算性質(zhì)和應(yīng)用時(shí)，可以在復(fù)平面內(nèi)，用向量方法進(jìn)行．2．共軛復(fù)數(shù)的性質(zhì)(1)兩個(gè)共軛復(fù)數(shù)的對(duì)應(yīng)點(diǎn)關(guān)于實(shí)軸對(duì)稱(chēng)．(2)實(shí)數(shù)的共軛復(fù)數(shù)是它本身，即z＝?z∈R.利用這個(gè)性質(zhì)，可以證明一個(gè)復(fù)數(shù)是實(shí)數(shù)．(3)z＝|z|2＝||2∈R.z與互為實(shí)數(shù)化因式．1．判一判(正確的打“√”，錯(cuò)誤的打“×”)(1)在復(fù)平面內(nèi)，對(duì)應(yīng)于實(shí)數(shù)的點(diǎn)都在實(shí)軸上．(　　)(2)在復(fù)平面內(nèi)，虛軸上的點(diǎn)所對(duì)應(yīng)的復(fù)數(shù)都是純虛數(shù)．(　　)(3)復(fù)數(shù)的模一定是正實(shí)數(shù)．(　　)(4)兩個(gè)復(fù)數(shù)互為共軛復(fù)數(shù)是它們的模相等的必要條件．(　　)答案　(1)√　(2)×　(3)×　(4)×2．做一做(1)若＝(0，－3)，則對(duì)應(yīng)的復(fù)數(shù)為________．(2)復(fù)數(shù)z＝1－4i位于復(fù)平面上的第________象限．(3)復(fù)數(shù)i的模是________．(4)復(fù)數(shù)5＋6i的共軛復(fù)數(shù)是________．答案　(1)－3i　(2)四　(3)　(4)5－6i題型一復(fù)平面內(nèi)復(fù)數(shù)與點(diǎn)的對(duì)應(yīng)例1　在復(fù)平面內(nèi)，若復(fù)數(shù)z＝(m2－m－2)＋(m2－3m＋2)i對(duì)應(yīng)點(diǎn)(1)在虛軸上；(2)在第二象限；(3)在直線y＝x上，分別求實(shí)數(shù)m的取值范圍．[解]　復(fù)數(shù)z＝(m2－m－2)＋(m2－3m＋2)i的實(shí)部為m2－m－2，虛部為m2－3m＋2.(1)由題意得m2－m－2＝0，解得m＝2或m＝－1.(2)由題意得∴∴－1<m<1.(3)由已知得m2－m－2＝m2－3m＋2，∴m＝2.復(fù)數(shù)集與復(fù)平面內(nèi)所有的點(diǎn)所成的集合之間存在著一一對(duì)應(yīng)關(guān)系．每一個(gè)復(fù)數(shù)都對(duì)應(yīng)著一個(gè)有序?qū)崝?shù)對(duì)，復(fù)數(shù)的實(shí)部對(duì)應(yīng)著有序?qū)崝?shù)對(duì)的橫坐標(biāo)，而虛部則對(duì)應(yīng)著有序?qū)崝?shù)對(duì)的縱坐標(biāo)，只要在復(fù)平面內(nèi)找到這個(gè)有序?qū)崝?shù)對(duì)所表示的點(diǎn)，就可根據(jù)點(diǎn)的位置判斷復(fù)數(shù)實(shí)部、虛部的取值．實(shí)數(shù)m取什么值時(shí)，復(fù)數(shù)z＝(m2＋5m＋6)＋(m2－2m－15)i.(1)對(duì)應(yīng)的點(diǎn)在x軸上方；(2)對(duì)應(yīng)的點(diǎn)在直線x＋y＋4＝0上．解　(1)由題意得m2－2m－15>0，解得m<－3或m>5，所以當(dāng)m<－3或m>5時(shí)，復(fù)數(shù)z對(duì)應(yīng)的點(diǎn)在x軸上方．(2)由題意得(m2＋5m＋6)＋(m2－2m－15)＋4＝0，解得m＝1或m＝－，所以當(dāng)m＝1或m＝－時(shí)，復(fù)數(shù)z對(duì)應(yīng)的點(diǎn)在直線x＋y＋4＝0上.題型二復(fù)平面內(nèi)復(fù)數(shù)與向量的對(duì)應(yīng)例2　已知平行四邊形OABC的三個(gè)頂點(diǎn)O，A，C對(duì)應(yīng)的復(fù)數(shù)分別為0,3＋2i，－2＋4i，試求：(1)表示的復(fù)數(shù)；(2)表示的復(fù)數(shù)；(3)點(diǎn)B對(duì)應(yīng)的復(fù)數(shù)．[解]　由題意得O為原點(diǎn)，＝(3,2)，＝(－2,4)．(1)∵＝－＝－(3,2)＝(－3，－2)∴表示的復(fù)數(shù)為－3－2i.(2)∵＝－＝(3,2)－(－2,4)＝(5，－2)，∴表示的復(fù)數(shù)為5－2i.(3)∵＝＋＝(3,2)＋(－2,4)＝(1,6)，∴表示的復(fù)數(shù)為1＋6i，即點(diǎn)B對(duì)應(yīng)的復(fù)數(shù)為1＋6i.復(fù)數(shù)與平面向量一一對(duì)應(yīng)是復(fù)數(shù)的另一個(gè)幾何意義，利用這個(gè)幾何意義，復(fù)數(shù)問(wèn)題可以轉(zhuǎn)化為平面向量來(lái)解決，平面向量問(wèn)題也可以用復(fù)數(shù)方法來(lái)求解．(1)復(fù)數(shù)4＋3i與－2－5i分別表示向量與，則向量表示的復(fù)數(shù)是________；(2)在復(fù)平面內(nèi)，O為原點(diǎn)，向量對(duì)應(yīng)復(fù)數(shù)為－1＋2i，則點(diǎn)A關(guān)于直線y＝－x對(duì)稱(chēng)點(diǎn)為B，向量對(duì)應(yīng)復(fù)數(shù)為________．答案　(1)－6－8i　(2)－2＋i解析　(1)因?yàn)閺?fù)數(shù)4＋3i與－2－5i分別表示向量與，所以＝(4,3)，＝(－2，－5)，又＝－＝(－2，－5)－(4,3)＝(－6，－8)，所以向量表示的復(fù)數(shù)是－6－8i.(2)點(diǎn)A(－1,2)關(guān)于直線y＝－x對(duì)稱(chēng)的點(diǎn)為B(－2,1)，所以＝－2＋i.題型三復(fù)數(shù)模的綜合應(yīng)用例3　設(shè)z∈C，則滿(mǎn)足條件|z|＝|3＋4i|的復(fù)數(shù)z在復(fù)平面上對(duì)應(yīng)的點(diǎn)Z的集合是什么圖形？[解]　由|z|＝|3＋4i|得|z|＝5.這表明向量的長(zhǎng)度等于5，即點(diǎn)Z到原點(diǎn)的距離等于5.因此滿(mǎn)足條件的點(diǎn)Z的集合是以原點(diǎn)O為圓心，以5為半徑的圓．　巧用復(fù)數(shù)的幾何意義解題(1)復(fù)平面內(nèi)|z|的意義我們知道，在實(shí)數(shù)集中，實(shí)數(shù)a的絕對(duì)值，即|a|是表示實(shí)數(shù)a的點(diǎn)與原點(diǎn)O間的距離．那么在復(fù)數(shù)集中，類(lèi)似地，有|z|是表示復(fù)數(shù)z的點(diǎn)Z到坐標(biāo)原點(diǎn)間的距離．也就是向量的模，|z|＝||.(2)復(fù)平面內(nèi)任意兩點(diǎn)間的距離設(shè)復(fù)平面內(nèi)任意兩點(diǎn)P，Q所對(duì)應(yīng)的復(fù)數(shù)分別為z1，z2，則|PQ|＝|z2－z1|.運(yùn)用以上性質(zhì)，可以通過(guò)數(shù)形結(jié)合的方法解決有關(guān)問(wèn)題．設(shè)z∈C，且滿(mǎn)足下列條件，在復(fù)平面內(nèi)，復(fù)數(shù)z對(duì)應(yīng)的點(diǎn)Z的集合是什么圖形？(1)1<|z|<2；(2)|z－i|<1.解　(1)根據(jù)復(fù)數(shù)模的幾何意義可知，復(fù)數(shù)z對(duì)應(yīng)的點(diǎn)Z的集合是以原點(diǎn)O為圓心，以1和2為半徑的兩圓所夾的圓環(huán)，不包括環(huán)的邊界．(2)根據(jù)模的幾何意義，|z－i|＝1表示復(fù)數(shù)z對(duì)應(yīng)的點(diǎn)到復(fù)數(shù)i對(duì)應(yīng)的點(diǎn)(0,1)的距離為1.∴滿(mǎn)足|z－i|＝1的點(diǎn)Z的集合為以(0,1)為圓心，以1為半徑的圓內(nèi)的部分(不含圓的邊界)．1．已知a∈R，且0<a<1，i為虛數(shù)單位，則復(fù)數(shù)z＝a＋(a－1)i在復(fù)平面內(nèi)所對(duì)應(yīng)的點(diǎn)位于(　　)A．第一象限 B．第二象限C．第三象限 D．第四象限答案　D解析　∵0<a<1，∴a>0且a－1<0，故復(fù)數(shù)z＝a＋(a－1)i在復(fù)平面內(nèi)所對(duì)應(yīng)的點(diǎn)(a，a－1)位于第四象限．故選D．2．復(fù)數(shù)z＝(a2－2a)＋(a2－a－2)i對(duì)應(yīng)的點(diǎn)在虛軸上，則(　　)A．a≠2或a≠1 B．a≠2且a≠1C．a＝0 D．a＝2或a＝0答案　D解析　由點(diǎn)Z在虛軸上可知，點(diǎn)Z對(duì)應(yīng)的復(fù)數(shù)是純虛數(shù)和0，∴a2－2a＝0，解得a＝2或a＝0. 3．已知復(fù)數(shù)z＝1＋2i(i是虛數(shù)單位)，則|z|＝________.答案　解析　因?yàn)?/span>z＝1＋2i，所以|z|＝＝.4．已知復(fù)數(shù)z＝3＋ai，且|z|<5，則實(shí)數(shù)a的取值范圍是________．答案　－4<a<4解析　|z|＝<5，解得－4<a<4.5．如果復(fù)數(shù)z＝(m2＋m－1)＋(4m2－8m＋3)i(m∈R)對(duì)應(yīng)的點(diǎn)在第一象限，求實(shí)數(shù)m的取值范圍．解　因?yàn)閺?fù)數(shù)z對(duì)應(yīng)的點(diǎn)在第一象限，所以解得m<或m>.所以實(shí)數(shù)m的取值范圍為∪.

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