7.1.1　數(shù)系的擴(kuò)充和復(fù)數(shù)的概念知識(shí)點(diǎn)一　　　虛數(shù)單位i在實(shí)數(shù)集R中添加新數(shù)i，規(guī)定：①i2＝－1，其中i叫做虛數(shù)單位；②i可與實(shí)數(shù)進(jìn)行四則運(yùn)算，且原有的加法、乘法運(yùn)算律仍然成立．知識(shí)點(diǎn)二　　　復(fù)數(shù)的相關(guān)概念形如a＋bi(a，b∈R)的數(shù)叫做復(fù)數(shù)，其中i叫做虛數(shù)單位．全體復(fù)數(shù)所構(gòu)成的集合C＝{a＋bi|a∈R，b∈R}叫做復(fù)數(shù)集．復(fù)數(shù)通常用字母z表示，即z＝a＋bi(a，b∈R)，其中的a與b分別叫做復(fù)數(shù)z的實(shí)部與虛部．知識(shí)點(diǎn)三　　　復(fù)數(shù)的分類對(duì)于復(fù)數(shù)z＝a＋bi(a，b∈R)，當(dāng)且僅當(dāng)b＝0時(shí)，它是實(shí)數(shù)；當(dāng)且僅當(dāng)a＝b＝0時(shí)，它是實(shí)數(shù)0；當(dāng)且僅當(dāng)b≠0時(shí)，叫做虛數(shù)；當(dāng)a＝0且b≠0時(shí)，叫做純虛數(shù)．可以通過下圖表示：(1)復(fù)數(shù)a＋bi(a，b∈R)(2)集合表示知識(shí)點(diǎn)四　　　復(fù)數(shù)相等的充要條件在復(fù)數(shù)集C＝{a＋bi|a，b∈R}中任取兩個(gè)數(shù)a＋bi，c＋di(a，b，c，d∈R)，規(guī)定：a＋bi與c＋di相等當(dāng)且僅當(dāng)a＝c且b＝d.1．復(fù)數(shù)相等的充要條件(1)兩個(gè)復(fù)數(shù)相等的充要條件中，注意前提條件是a，b，c，d∈R，若忽略這一條件，則不能成立．因此解決復(fù)數(shù)相等問題時(shí)，一定要把復(fù)數(shù)的實(shí)部與虛部分離出來，再利用相等條件．(2)復(fù)數(shù)相等的條件是把復(fù)數(shù)問題轉(zhuǎn)化為實(shí)數(shù)問題的重要依據(jù)，是復(fù)數(shù)問題實(shí)數(shù)化這一重要數(shù)學(xué)思想方法的體現(xiàn)．利用這一結(jié)論，可以把“復(fù)數(shù)相等”這一條件轉(zhuǎn)化為兩個(gè)實(shí)數(shù)等式，為應(yīng)用方程思想提供了條件，這一思想在解決復(fù)數(shù)問題中非常重要．2．一般地，兩個(gè)復(fù)數(shù)只能說相等或不相等，而不能比較大?。?dāng)兩個(gè)復(fù)數(shù)都是實(shí)數(shù)時(shí)，就可以比較大?。?dāng)兩個(gè)復(fù)數(shù)不都是實(shí)數(shù)時(shí)，不能比較大小．1．判一判(正確的打“√”，錯(cuò)誤的打“×”)(1)若a，b為實(shí)數(shù)，則z＝a＋bi為虛數(shù)．(　　)(2)若z＝m＋ni(m，n∈C)，則當(dāng)且僅當(dāng)m＝0，n≠0時(shí)，z為純虛數(shù)．(　　)(3)bi是純虛數(shù)．(　　)(4)如果兩個(gè)復(fù)數(shù)的實(shí)部的差和虛部的差都等于0，那么這兩個(gè)復(fù)數(shù)相等．(　　)答案　(1)×　(2)×　(3)×　(4)√2．做一做(1)若a＋bi＝0，則實(shí)數(shù)a＝________，實(shí)數(shù)b＝________.(2)(1＋)i的實(shí)部與虛部分別是________．(3)若復(fù)數(shù)(a＋1)＋(a2－1)i(a∈R)是實(shí)數(shù)，則a＝________.答案　(1)0　0　(2)0,1＋　(3)±1 題型一  復(fù)數(shù)的有關(guān)概念例1　給出下列四個(gè)命題：①兩個(gè)復(fù)數(shù)不能比較大??；②若x，y∈C，則x＋yi＝1＋i的充要條件是x＝y＝1；③若實(shí)數(shù)a與ai對(duì)應(yīng)，則實(shí)數(shù)集與純虛數(shù)集一一對(duì)應(yīng)；④純虛數(shù)集相對(duì)復(fù)數(shù)集的補(bǔ)集是虛數(shù)集．其中真命題的個(gè)數(shù)是________．[解析]　①中當(dāng)這兩個(gè)復(fù)數(shù)都是實(shí)數(shù)時(shí)，可以比較大??；②由于x，y都是復(fù)數(shù)，故x＋yi不一定是復(fù)數(shù)的代數(shù)形式，不符合復(fù)數(shù)相等的充要條件；③若a＝0，則ai不是純虛數(shù)；④由純虛數(shù)集、虛數(shù)集、復(fù)數(shù)集之間的關(guān)系知，所求補(bǔ)集應(yīng)是非純虛數(shù)集與實(shí)數(shù)集的并集．[答案]　0數(shù)集從實(shí)數(shù)集擴(kuò)充到復(fù)數(shù)集后，某些結(jié)論不再成立．如：兩數(shù)大小的比較，某數(shù)的平方是非負(fù)數(shù)等．但i與實(shí)數(shù)的運(yùn)算及運(yùn)算律仍成立．下列命題中：①若a∈R，則(a＋1)i是純虛數(shù)；②若a，b∈R且a>b，則a＋i>b＋i；③若(x2－1)＋(x2＋3x＋2)i是純虛數(shù)，則實(shí)數(shù)x＝±1；④兩個(gè)虛數(shù)不能比較大小．其中，正確命題的序號(hào)是(　　)A．①   B．②  C．③   D．④答案　D解析　對(duì)于復(fù)數(shù)a＋bi(a，b∈R)，當(dāng)a＝0且b≠0時(shí)為純虛數(shù)．在①中，若a＝－1，則(a＋1)i不是純虛數(shù)，故①錯(cuò)誤；在②中，兩個(gè)虛數(shù)不能比較大小，故②錯(cuò)誤；在③中，若x＝－1，x2＋3x＋2≠0不成立，故③錯(cuò)誤；④正確.題型二  復(fù)數(shù)的分類例2　當(dāng)實(shí)數(shù)m為何值時(shí)，復(fù)數(shù)z＝＋(m2－2m)i為：(1)實(shí)數(shù)？(2)虛數(shù)？(3)純虛數(shù)？[解]　(1)當(dāng)即m＝2時(shí)，復(fù)數(shù)z是實(shí)數(shù)．(2)當(dāng)m2－2m≠0，即m≠0且m≠2時(shí)，復(fù)數(shù)z是虛數(shù)．(3)當(dāng)即m＝－3時(shí)，復(fù)數(shù)z是純虛數(shù)．[條件探究]　是否存在實(shí)數(shù)m，使z＝(m2－2m)＋i是純虛數(shù)？解　由z＝(m2－2m)＋i是純虛數(shù)，得解得m∈?.即不存在實(shí)數(shù)m，使z＝(m2－2m)＋i是純虛數(shù)．　利用復(fù)數(shù)的分類求參數(shù)的值或取值范圍的一般步驟(1)判定復(fù)數(shù)是否為a＋bi(a，b∈R)的形式，實(shí)部與虛部分別為哪些；(2)依據(jù)復(fù)數(shù)的有關(guān)概念將復(fù)數(shù)問題轉(zhuǎn)化為實(shí)數(shù)問題；(3)解相應(yīng)的方程(組)或不等式(組)；(4)求出參數(shù)的值或取值范圍．已知m∈R，復(fù)數(shù)z＝＋(m2＋2m－3)i，當(dāng)m為何值時(shí)，(1)z為實(shí)數(shù)？(2)z為虛數(shù)？(3)z為純虛數(shù)？解　(1)要使z為實(shí)數(shù)，需滿足m2＋2m－3＝0，且有意義，即m－1≠0，解得m＝－3.(2)要使z為虛數(shù)，需滿足m2＋2m－3≠0，且有意義，即m－1≠0，解得m≠1且m≠－3.(3)要使z為純虛數(shù)，需滿足＝0，且m2＋2m－3≠0，解得m＝0或m＝－2.題型三  復(fù)數(shù)相等例3　已知M＝{1，(m2－2m)＋(m2＋m－2)i}，P＝{－1,1,4i}，若M∪P＝P，求實(shí)數(shù)m的值．[解]　∵M∪P＝P，∴M?P，即(m2－2m)＋(m2＋m－2)i＝－1或(m2－2m)＋(m2＋m－2)i＝4i.由(m2－2m)＋(m2＋m－2)i＝－1，得解得m＝1.由(m2－2m)＋(m2＋m－2)i＝4i，得解得m＝2.∴實(shí)數(shù)m的值為1或2.復(fù)數(shù)相等的充要條件是實(shí)部相等且虛部相等．復(fù)數(shù)問題實(shí)數(shù)化多用來求參數(shù)，其步驟是：分別確定兩個(gè)復(fù)數(shù)的實(shí)部和虛部，利用實(shí)部與實(shí)部、虛部與虛部分別相等，列方程組．已知A＝{1,2，a2－3a－1＋(a2－5a－6)i}，B＝{－1,3}，A∩B＝{3}，求實(shí)數(shù)a的值．解　由題意知，a2－3a－1＋(a2－5a－6)i＝3(a∈R)，∴解得∴a＝－1.故實(shí)數(shù)a的值為－1.1．“a＝0”是“復(fù)數(shù)a＋bi(a，b∈R)是純虛數(shù)”的(　　)A．必要不充分條件   B．充分不必要條件C．充要條件   D．既不充分也不必要條件答案　A解析　因?yàn)閺?fù)數(shù)a＋bi(a，b∈R)是純虛數(shù)?a＝0且b≠0，所以“a＝0”是“復(fù)數(shù)a＋bi(a，b∈R)是純虛數(shù)”的必要不充分條件．2．以3i－的虛部為實(shí)部，以3i2＋i的實(shí)部為虛部的復(fù)數(shù)是(　　)A．3－3i   B．3＋iC．－＋i   D．＋i答案　A解析　3i－的虛部為3,3i2＋i的實(shí)部為－3，所以所求復(fù)數(shù)為3－3i.3．已知復(fù)數(shù)z＝a2－(2－b)i的實(shí)部和虛部分別是2和3，則實(shí)數(shù)a，b的值分別是________．答案　a＝±，b＝5解析　由題意得，a2＝2，－(2－b)＝3，所以a＝±，b＝5.4．設(shè)復(fù)數(shù)z＝＋(m2＋2m－15)i為實(shí)數(shù)，則實(shí)數(shù)m的值是________．答案　3解析　依題意有解得m＝3.5．如果log(m＋n)－(m2－3m)i≥－1，求自然數(shù)m，n的值．解　∵log(m＋n)－(m2－3m)i≥－1，∴∴∵m，n∈N，∴m＝0，n＝1或n＝2. 

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高中數(shù)學(xué)人教A版 (2019)必修 第二冊(cè)電子課本

7.1 復(fù)數(shù)的概念

版本： 人教A版 (2019)

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