思考: 上面通過考察a2+b2=2ab的特殊情形獲得了基本不等式，能否直接利用不等式的性質(zhì)推導(dǎo)出基本不等式呢？下面我們來分析一下.
特別的，如果a＞0,b＞0,我們用分別代替a、b ，可得
2）從不等式的性質(zhì)推導(dǎo)基本不等式
顯然，（4）是成立的.當(dāng)且僅當(dāng)a=b時(shí)，（4）中的等號(hào)成立.
思考：你能給出不等式 的證明嗎？
結(jié)論：一般地，對(duì)于任意實(shí)數(shù)a、b，總有 當(dāng)且僅當(dāng)a=b時(shí)，等號(hào)成立
兩數(shù)的平方和不小于它們積的2倍.
顯然, ③是成立的.當(dāng)且僅當(dāng)a=b時(shí), ③中的等號(hào)成立.
特別地，若a>0，b>0，則
當(dāng)且僅當(dāng)a=b時(shí)取等號(hào)，這個(gè)不等式就叫做基本不等式.
在數(shù)學(xué)中，我們把 叫做正數(shù)a，b的算術(shù)平均數(shù)， 叫做正數(shù)a，b的幾何平均數(shù)；
文字?jǐn)⑹鰹椋簝蓚€(gè)正數(shù)的算術(shù)平均數(shù)不小于它們的幾何平均數(shù).
Rt△ACD∽R(shí)t△DCB，
如圖, AB是圓的直徑, O為圓心，點(diǎn)C是AB上一點(diǎn), AC=a, BC=b. 過點(diǎn)C作垂直于AB的弦DE,連接AD、BD、OD.
②如何用a, b表示CD? CD=______
①如何用a, b表示OD? OD=______
你能用這個(gè)圖得出基本不等式的幾何解釋嗎?
③OD與CD的大小關(guān)系怎樣? OD_____CD
幾何意義：半徑不小于弦長的一半
兩個(gè)正數(shù)的算術(shù)平均數(shù)不小于它們的幾何平均數(shù)
兩數(shù)的平方和不小于它們積的2倍
注意:從不同角度認(rèn)識(shí)基本不等式
例3 （1）用籬笆圍一個(gè)面積為100m2的矩形菜園，當(dāng)這個(gè)矩形的邊長為多少時(shí)，所用籬笆最短？最短籬笆的長度是多少？（2）用一段長為36m的籬笆圍成一個(gè)矩形菜園，當(dāng)這個(gè)矩形的邊長為多少時(shí)，菜園的面積最大？最大面積是多少？
分析：（1）矩形菜園的面積是矩形的兩鄰邊之積，于是問題轉(zhuǎn)化為：矩形的鄰邊之積為定值，邊長多大時(shí)周長最短.（2）矩形菜園的周長是矩形兩鄰邊之和的2倍，于是問題轉(zhuǎn)化為：矩形的鄰邊之和為定值，邊長多大時(shí)面積最大.
例4 某工廠要建造一個(gè)長方體形無蓋貯水池，其容積為4800m2，深為3m.如果池底每平方米的造價(jià)為150元，池壁每平方米的造價(jià)為120元，那么怎樣設(shè)計(jì)水池能使總造價(jià)最低？最低總造價(jià)是多少？
分析：貯水池呈長方體形，它的高是3m，池底的邊長沒有確定.如果池底的邊長確定了，那么水池的總造價(jià)也就確定了.因此，應(yīng)當(dāng)考察池底的邊長取什么值時(shí)，水池的總造價(jià)最低.
所以，將貯水池的池底設(shè)計(jì)成邊長為40m的正方形時(shí)總造價(jià)最低，最低總造價(jià)是297600元.
1.已知a、b、c都是正數(shù)，求證：（a＋b）（b＋c）（c＋a）≥８abc
即（a＋b）（b＋c）（c＋a）≥８abc.
我們用兩個(gè)正數(shù)的算術(shù)平均數(shù)與幾何平均數(shù)的關(guān)系順利解決了函數(shù)的一些最值問題.在用均值不等式求函數(shù)的最值，是值得重視的一種方法，但在具體求解時(shí)，應(yīng)注意考查下列三個(gè)條件：(1)函數(shù)的解析式中，各項(xiàng)均為正數(shù)；(2)函數(shù)的解析式中，含變數(shù)的各項(xiàng)的和或積必須有一個(gè)為定值；(3)函數(shù)的解析式中，含變數(shù)的各項(xiàng)均相等，取得最值即用均值不等式求某些函數(shù)的最值時(shí)，應(yīng)具備三個(gè)條件：一正二定三取等.

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2.2 基本不等式

版本： 人教A版 (2019)

年級(jí)： 必修 第一冊(cè)

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