高中數(shù)學(xué)人教A版 (2019)必修第一冊(cè)5.4 三角函數(shù)的圖象與性質(zhì)課堂檢測(cè)-試卷下載-教習(xí)網(wǎng)

5.4三角函數(shù)的圖象與性質(zhì)一．選擇題（共5小題）1．已知既不是奇函數(shù)也不是偶函數(shù)，若的圖像關(guān)于原點(diǎn)對(duì)稱(chēng)，的圖像關(guān)于軸對(duì)稱(chēng)，則的最小值為　　A． B． C． D．2．設(shè)函數(shù)，若對(duì)于任意實(shí)數(shù)，在區(qū)間，上至少有2個(gè)零點(diǎn)，至多有3個(gè)零點(diǎn)，則的取值范圍是　　A．， B．， C．， D．，3．已知函數(shù)的最小正周期為，若在上的最大值為，則的最小值為　　A． B． C．1 D．4．已知函數(shù)，若函數(shù)的所有零點(diǎn)依次記為，，，，，且，則　　A． B． C． D．5．已知函數(shù)，的一個(gè)零點(diǎn)是，并且圖象的一條對(duì)稱(chēng)軸是，則當(dāng)取得最小值時(shí)，函數(shù)的單調(diào)遞減區(qū)間是　　A． B． C． D．二．填空題（共4小題）6．已知函數(shù)在上的值域?yàn)?/span>，則的取值范圍為　　．7．函數(shù)的圖象與其對(duì)稱(chēng)軸在軸右側(cè)的交點(diǎn)從左到右依次記為，，在點(diǎn)列中存在三個(gè)不同的點(diǎn)，，，使得△是等腰直角三角形將滿(mǎn)足上述條件的值從小到大組成的數(shù)列記為，則　　．8．下列說(shuō)法：①函數(shù)是最小正周期為的偶函數(shù)；②函數(shù)可以改寫(xiě)為；③函數(shù)的圖象關(guān)于直線對(duì)稱(chēng)；④函數(shù)的圖象的所有的對(duì)稱(chēng)中心為，；⑤將函數(shù)的圖象先向左平移個(gè)單位，然后縱坐標(biāo)不變，橫坐標(biāo)伸長(zhǎng)為原來(lái)的2倍，所得圖象的函數(shù)解析式是；其中所有正確的命題的序號(hào)是　　．（請(qǐng)將正確的序號(hào)填在橫線上）9．已知函數(shù)的最小正周期為，若，，不等式恒成立，則實(shí)數(shù)的取值范圍是　　．三．解答題（共3小題）10．給定函數(shù)，，定義，為，的較小值函數(shù)．（1）證明：，；（2）若，，求，的最小正周期．（3）若，，，，，2．證明：“是周期函數(shù)”的充要條件是“為有理數(shù)”．11．如圖，已知是半徑為1，圓心角為的扇形，是扇形弧上的動(dòng)點(diǎn)，是扇形的內(nèi)接矩形．記，矩形的面積為．（1）請(qǐng)找出與之間的函數(shù)關(guān)系（以為自變量）；（2）求當(dāng)為何值時(shí)，矩形的面積最大？并求出這個(gè)最大面積．12．已知函數(shù)的圖象與軸的交點(diǎn)為，它在軸右側(cè)的第一個(gè)最高點(diǎn)和第一個(gè)最低點(diǎn)的坐標(biāo)分別為，和．（Ⅰ）求解析式及的值；（Ⅱ）求的單調(diào)增區(qū)間；（Ⅲ）若時(shí)，函數(shù)有兩個(gè)零點(diǎn)，求實(shí)數(shù)的取值范圍．
5.4三角函數(shù)的圖象與性質(zhì)參考答案與試題解析一．選擇題（共5小題）1．已知既不是奇函數(shù)也不是偶函數(shù)，若的圖像關(guān)于原點(diǎn)對(duì)稱(chēng)，的圖像關(guān)于軸對(duì)稱(chēng)，則的最小值為　　A． B． C． D．【分析】結(jié)合五點(diǎn)作圖法及函數(shù)圖象進(jìn)行計(jì)算求解．【解答】解：可設(shè)滿(mǎn)足“且， “則．注意到五點(diǎn)法的最左段端點(diǎn)是，而，故有，當(dāng)時(shí)，，此時(shí)，當(dāng)時(shí)．此時(shí)故選：．【點(diǎn)評(píng)】本題考查了的奇偶性以及對(duì)稱(chēng)性的綜合應(yīng)用，屬于難題．2．設(shè)函數(shù)，若對(duì)于任意實(shí)數(shù)，在區(qū)間，上至少有2個(gè)零點(diǎn)，至多有3個(gè)零點(diǎn)，則的取值范圍是　　A．， B．， C．， D．，【分析】令函數(shù)得，根據(jù)正弦函數(shù)的圖象與性質(zhì)，得出函數(shù)相鄰零點(diǎn)滿(mǎn)足的條件，求出相鄰2個(gè)零點(diǎn)的最大距離和相鄰3個(gè)零點(diǎn)占區(qū)間長(zhǎng)度的最小值，由此求得的取值范圍．【解答】解：令函數(shù)，解得，因?yàn)?/span>是由圖象變換得到的，且最小正周期為，在，內(nèi)，，所以函數(shù)相鄰4個(gè)零點(diǎn)、、、滿(mǎn)足：，，所以，即相鄰兩零點(diǎn)最大距離，相鄰四個(gè)零點(diǎn)占區(qū)間長(zhǎng)度最短為，，時(shí)，，，區(qū)間寬度為，所以至少有2個(gè)零點(diǎn)，至多有3個(gè)零點(diǎn)），解得，所以的取值范圍是，．故選：．【點(diǎn)評(píng)】本題考查了正弦型函數(shù)的圖象與性質(zhì)的應(yīng)用問(wèn)題，也考查了數(shù)形結(jié)合解題思想，是難題．3．已知函數(shù)的最小正周期為，若在上的最大值為，則的最小值為　　A． B． C．1 D．【分析】若在其定義域上的最大值、最小值分別為，，有最大值為，則的最小值為，由函數(shù)的最小正周期為，求出，則，令，則可視為曲線上一點(diǎn)到直線的距離，由此能求出結(jié)果．【解答】解：引理，若在其定義域上的最大值、最小值分別為，，有最大值為，則的最小值為．證明：可視為與的距離，則，，的最小值為，此時(shí)，函數(shù)的最小正周期為，，當(dāng)時(shí)，，，則，令，則可視為曲線上一點(diǎn)到直線的距離，由的特征可知，在，必存在一個(gè)極值點(diǎn)，記為，根據(jù)曲線的對(duì)稱(chēng)性可設(shè)，則在，上單調(diào)減，在，上單調(diào)增，由為的對(duì)稱(chēng)軸，知，，離越遠(yuǎn)，越大，記為0，中距較遠(yuǎn)的一個(gè)，則，，，，由引理知．故選：．【點(diǎn)評(píng)】本題考查函數(shù)在閉區(qū)間上最大值的最小值的求法，考查三角函數(shù)性質(zhì)等基礎(chǔ)知識(shí)，考查運(yùn)算求解能力，是難題．4．已知函數(shù)，若函數(shù)的所有零點(diǎn)依次記為，，，，，且，則　　A． B． C． D．【分析】零點(diǎn)即為曲線和軸的交點(diǎn)，所以先求出對(duì)稱(chēng)軸方程，在給定區(qū)間，上由8條對(duì)稱(chēng)軸，有中點(diǎn)坐標(biāo)公式可知，以此類(lèi)推，最后兩個(gè)零點(diǎn)加和等于對(duì)稱(chēng)軸的二倍，各式相加，就可得出答案．【解答】解：令，可得，即函數(shù)的對(duì)稱(chēng)軸方程為，又的周期為，令，可得，所以函數(shù)在，上有9條對(duì)稱(chēng)軸．根據(jù)正弦函數(shù)的性質(zhì)可知，，，，，（最后一條對(duì)稱(chēng)軸為函數(shù)的最大值點(diǎn)，應(yīng)取前一條對(duì)應(yīng)的對(duì)稱(chēng)軸），將以上各式相加得，，故選：．【點(diǎn)評(píng)】本題結(jié)合正弦函數(shù)圖象，找出對(duì)稱(chēng)軸方程，對(duì)稱(chēng)軸兩側(cè)就是兩個(gè)零點(diǎn)，兩個(gè)零點(diǎn)加和的二倍等于對(duì)稱(chēng)軸的橫坐標(biāo)．5．已知函數(shù)，的一個(gè)零點(diǎn)是，并且圖象的一條對(duì)稱(chēng)軸是，則當(dāng)取得最小值時(shí)，函數(shù)的單調(diào)遞減區(qū)間是　　A． B． C． D．【分析】根據(jù)三角函數(shù)的對(duì)稱(chēng)性，和零點(diǎn)關(guān)系建立方程，結(jié)合取得最小值時(shí)的等價(jià)條件，求出和的值，結(jié)合函數(shù)的單調(diào)性進(jìn)行求解即可．【解答】解：的一個(gè)零點(diǎn)是，，即，則或，圖象的一條對(duì)稱(chēng)軸是，，，若取得最小，即周期最大，此時(shí)對(duì)應(yīng)的取相同值，則當(dāng)時(shí)．或，，若得，，若，得不滿(mǎn)足條件．則，由，，得，，即函數(shù)的單調(diào)遞減區(qū)間為，，，故選：．【點(diǎn)評(píng)】本題主要考查三角函數(shù)的單調(diào)性的求解，結(jié)合對(duì)稱(chēng)性以及函數(shù)零點(diǎn)建立方程求出函數(shù)的解析式是解決本題的關(guān)鍵．有一定的難度．二．填空題（共4小題）6．已知函數(shù)在上的值域?yàn)?/span>，則的取值范圍為　　．【分析】首先，利用三角函數(shù)兩角和公式，進(jìn)行化簡(jiǎn)，其次，結(jié)合值域的取值范圍求出的取值范圍，最后根據(jù)該取值范圍求出最終的解．【解答】解：由題意可得，，，其中，，，設(shè)，，，，，，，，，，即，，的取值范圍為，故答案為：．【點(diǎn)評(píng)】本題考查了三角函數(shù)的兩角和公式，以及三角函數(shù)求最大值的萬(wàn)能公式，并且還需學(xué)生熟練掌握的圖像性質(zhì)，屬于較難題．7．函數(shù)的圖象與其對(duì)稱(chēng)軸在軸右側(cè)的交點(diǎn)從左到右依次記為，，在點(diǎn)列中存在三個(gè)不同的點(diǎn)，，，使得△是等腰直角三角形將滿(mǎn)足上述條件的值從小到大組成的數(shù)列記為，則　　．【分析】由三角函數(shù)的對(duì)稱(chēng)性求出對(duì)應(yīng)的對(duì)稱(chēng)軸，得對(duì)稱(chēng)軸對(duì)應(yīng)的交點(diǎn)坐標(biāo)，結(jié)合△是等腰直角三角形，歸納出滿(mǎn)足條件的數(shù)列，進(jìn)行求解即可．【解答】解：由，得，，由題意得，，，，，即，，，，，，，，由△是等腰直角三角形，得，即，得，同理△是等腰直角三角形得，得．同理△是等腰直角三角形得，得．，則，故答案為：【點(diǎn)評(píng)】本題主要考查三角函數(shù)對(duì)稱(chēng)性的應(yīng)用，結(jié)合條件求出三角函數(shù)的對(duì)稱(chēng)軸以及結(jié)合等腰直角三角形歸納出是解決本題的關(guān)鍵．綜合性較強(qiáng)，難度較大．8．下列說(shuō)法：①函數(shù)是最小正周期為的偶函數(shù)；②函數(shù)可以改寫(xiě)為；③函數(shù)的圖象關(guān)于直線對(duì)稱(chēng)；④函數(shù)的圖象的所有的對(duì)稱(chēng)中心為，；⑤將函數(shù)的圖象先向左平移個(gè)單位，然后縱坐標(biāo)不變，橫坐標(biāo)伸長(zhǎng)為原來(lái)的2倍，所得圖象的函數(shù)解析式是；其中所有正確的命題的序號(hào)是　②③　．（請(qǐng)將正確的序號(hào)填在橫線上）【分析】①把函數(shù)解析式利用二倍角的余弦函數(shù)公式及誘導(dǎo)公式化簡(jiǎn)為一個(gè)角的正弦函數(shù)，找出的值，代入周期公式求出函數(shù)的最小正周期，且根據(jù)正弦函數(shù)為奇函數(shù)，得到函數(shù)也為奇函數(shù)，即可作出判斷；②根據(jù)誘導(dǎo)公式化簡(jiǎn)函數(shù)解析式，即可作出判斷；③由②化簡(jiǎn)得到的函數(shù)解析式，令其角度等于，求出的解，判斷屬于求出的的解集，故本選項(xiàng)正確；④先根據(jù)正切函數(shù)是奇函數(shù)，因而原點(diǎn)是它的對(duì)稱(chēng)中心，以及周期性可知點(diǎn)都是它的對(duì)稱(chēng)中心，然后平移坐標(biāo)系，使原點(diǎn)移到，得到，依舊是奇函數(shù)，點(diǎn)，也是對(duì)稱(chēng)中心，綜合到一起就得到對(duì)稱(chēng)中心是，．是整數(shù)）；⑤先根據(jù)“左加右減”的平移規(guī)律把函數(shù)解析式進(jìn)行變形，然后再根據(jù)伸縮規(guī)律把解析式中變?yōu)?/span>，即可得到變換后的解析式，作出判斷．【解答】解：①函數(shù)，，，又正弦函數(shù)為奇函數(shù)，為奇函數(shù)，則為周期為的奇函數(shù)，本選項(xiàng)錯(cuò)誤；②函數(shù)，本選項(xiàng)正確；③函數(shù)，令，解得，時(shí)，，則函數(shù)圖象關(guān)于直線對(duì)稱(chēng)，本選項(xiàng)正確；④，因此正切函數(shù)是奇函數(shù)，因而原點(diǎn)是它的對(duì)稱(chēng)中心．又因?yàn)檎泻瘮?shù)的周期是，所以點(diǎn)都是它的對(duì)稱(chēng)中心．平移坐標(biāo)系，使原點(diǎn)移到，得到，依舊是奇函數(shù)，所以在新坐標(biāo)系中點(diǎn)也是對(duì)稱(chēng)中心，返回原坐標(biāo)系，這些點(diǎn)的原坐標(biāo)是，綜合到一起就得到對(duì)稱(chēng)中心是，．是整數(shù)），本選項(xiàng)錯(cuò)誤；⑤將函數(shù)的圖象先向左平移個(gè)單位，得到，然后縱坐標(biāo)不變，橫坐標(biāo)伸長(zhǎng)為原來(lái)的2倍，所得圖象的函數(shù)解析式為，本選項(xiàng)錯(cuò)誤，則正確選項(xiàng)的序號(hào)為：②③．故答案為：②③【點(diǎn)評(píng)】此題綜合考查了三角函數(shù)的周期性及其求法，三角函數(shù)的恒等變形，余弦函數(shù)的對(duì)稱(chēng)性，以及三角函數(shù)的圖象變換規(guī)律，涉及的知識(shí)有：二倍角的余弦函數(shù)公式，誘導(dǎo)公式，函數(shù)奇偶性的判斷，以及函數(shù)平移的規(guī)律，要求學(xué)生要融匯貫穿，靈活運(yùn)用所學(xué)知識(shí)解決問(wèn)題．9．已知函數(shù)的最小正周期為，若，，不等式恒成立，則實(shí)數(shù)的取值范圍是　，　．【分析】由題意利用三角函數(shù)的周期性求得的值，可得的解析式，化簡(jiǎn)條件可得，，則，再利用二次函數(shù)的性質(zhì)，求得實(shí)數(shù)的取值范圍．【解答】解：函數(shù)的最小正周期為，，函數(shù)．若，，則，，，，，，，，則不等式恒成立．令，，則．①，且②，解①求得，解②求得．綜合可得，實(shí)數(shù)的取值范圍是，，故答案為：，．【點(diǎn)評(píng)】本題主要考查三角函數(shù)的周期性，正弦函數(shù)的定義域和值域，函數(shù)的恒成立問(wèn)題，二次函數(shù)的性質(zhì)，屬于中檔題．三．解答題（共3小題）10．給定函數(shù)，，定義，為，的較小值函數(shù)．（1）證明：，；（2）若，，求，的最小正周期．（3）若，，，，，2．證明：“是周期函數(shù)”的充要條件是“為有理數(shù)”．【分析】（1）運(yùn)用新定義，去絕對(duì)值即可得證；（2）由正弦函數(shù)及余弦函數(shù)的周期求解；（3）應(yīng)用周期函數(shù)的定義，結(jié)合和差化積公式證明．【解答】證明：（1）若，則；若，則．綜上，，；解：（2）由（1）知，，，記，對(duì)任意，，是函數(shù)的一個(gè)周期．若存在使得也是的周期，由，得，①由，得，②兩式相減得，或，代入②可知只能，與矛盾．，的最小正周期為；證明：（3）為周期函數(shù)，，有恒成立，由，可得，，即，，由，可得，，即有，，，，且，，即有為有理數(shù)”．可得“是周期函數(shù)”的充要條件是“為有理數(shù)”．【點(diǎn)評(píng)】本題考查分段函數(shù)的表示法與性質(zhì)，考查周期函數(shù)的判斷與證明，注意定義法的合理運(yùn)用，考查邏輯推理能力與運(yùn)算求解能力，屬難題．11．如圖，已知是半徑為1，圓心角為的扇形，是扇形弧上的動(dòng)點(diǎn)，是扇形的內(nèi)接矩形．記，矩形的面積為．（1）請(qǐng)找出與之間的函數(shù)關(guān)系（以為自變量）；（2）求當(dāng)為何值時(shí)，矩形的面積最大？并求出這個(gè)最大面積．【分析】（1）先把矩形的各個(gè)邊長(zhǎng)用角表示出來(lái)，進(jìn)而表示出矩形的面積；（2）再利用角的范圍，結(jié)合正弦函數(shù)的性質(zhì)可求求矩形面積的最大值即可．【解答】解：在中，，在中，（2分），，（4分）矩形的面積（8分）（2）由，得，（10分）所以當(dāng)，即時(shí)，（12分）所以，當(dāng)時(shí)，矩形的面積最大，最大面積為．（14分）【點(diǎn)評(píng)】本題考查在實(shí)際問(wèn)題中建立三角函數(shù)模型，求解問(wèn)題的關(guān)鍵是根據(jù)圖形建立起三角模型，將三角模型用所學(xué)的恒等式變換公式進(jìn)行化簡(jiǎn)．12．已知函數(shù)的圖象與軸的交點(diǎn)為，它在軸右側(cè)的第一個(gè)最高點(diǎn)和第一個(gè)最低點(diǎn)的坐標(biāo)分別為，和．（Ⅰ）求解析式及的值；（Ⅱ）求的單調(diào)增區(qū)間；（Ⅲ）若時(shí)，函數(shù)有兩個(gè)零點(diǎn)，求實(shí)數(shù)的取值范圍．【分析】（Ⅰ）由函數(shù)的圖象的頂點(diǎn)坐標(biāo)求出，由周期求出，由五點(diǎn)法作圖求出和的值，可得函數(shù)的解析式．（Ⅱ）利用正弦函數(shù)的單調(diào)性求得的單調(diào)增區(qū)間，（Ⅲ）由題意可得若時(shí)，方程有2個(gè)解，結(jié)合正弦函數(shù)的圖象和性質(zhì)，求得的范圍．【解答】解：（Ⅰ）函數(shù)的圖象與軸的交點(diǎn)為，它在軸右側(cè)的第一個(gè)最高點(diǎn)和第一個(gè)最低點(diǎn)的坐標(biāo)分別為，和，，，即，，且，，．令，求得．（Ⅱ）令，求得，可得函數(shù)的增區(qū)間為，，．（Ⅲ）若時(shí)，函數(shù)有兩個(gè)零點(diǎn)，即有2個(gè)實(shí)數(shù)根，即方程有2個(gè)解．若時(shí)，，，，，結(jié)合正弦函數(shù)的圖象可得，應(yīng)有，解得，即實(shí)數(shù)的取值范圍，．【點(diǎn)評(píng)】本題主要考查由函數(shù)的部分圖象求解析式，由函數(shù)的圖象的頂點(diǎn)坐標(biāo)求出，由周期求出，由五點(diǎn)法作圖求出的值，正弦函數(shù)的單調(diào)性，正弦函數(shù)的圖象和性質(zhì)

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