3.3冪函數(shù)一．選擇題（共4小題）1．已知冪函數(shù)在上單調(diào)遞增，函數(shù)，當(dāng)，時(shí)，記，的值域分別為集合，，若，則實(shí)數(shù)的取值范圍是　　A． B．， C．， D．，2．已知直線與軸，軸交點(diǎn)分別為．，冪函數(shù)的圖象經(jīng)過(guò)點(diǎn)，若點(diǎn)在的圖象上，則使得的面積等于3的點(diǎn)的個(gè)數(shù)為　　A．4 B．3 C．2 D．13．若，則、、的大小關(guān)系是　　A． B． C． D．4．已知冪函數(shù)是偶函數(shù)，則實(shí)數(shù)的值為　　A．0 B．或1 C．1 D．0或1二．填空題（共4小題）5．有下列五種說(shuō)法：①冪函數(shù)的圖象一定不過(guò)第四象限；②奇函數(shù)圖象一定過(guò)坐標(biāo)原點(diǎn)；③已知函數(shù)的定義域?yàn)?/span>，，則函數(shù)的定義域?yàn)?/span>，；④定義在上的函數(shù)對(duì)任意兩個(gè)不等實(shí)數(shù)、，總有成立，則在上是增函數(shù)；⑤的單調(diào)減區(qū)間是，，；正確的說(shuō)法有 　　．6．如果冪函數(shù)的圖象經(jīng)過(guò)點(diǎn)，則（3）　 　．設(shè)，若函數(shù)在上有零點(diǎn)，則實(shí)數(shù)的取值范圍是　 　．7．已知冪函數(shù)在上單調(diào)遞增，函數(shù)，當(dāng)，時(shí)，記和的值域分別為和，若，則實(shí)數(shù)的取值范圍是　　．8．已知冪函數(shù)的圖象關(guān)于軸對(duì)稱，且在上是減函數(shù)，實(shí)數(shù)滿足，則的取值范圍是　　．三．解答題（共3小題）9．已知冪函數(shù)，滿足（2）（4）．（1）求函數(shù)的解析式；（2）若函數(shù)，是否存在實(shí)數(shù)，，使函數(shù)在，上的值域?yàn)?/span>，？若存在，求出實(shí)數(shù)的取值范圍；若不存在，說(shuō)明理由．   10．已知冪函數(shù)在上單調(diào)遞增．（1）求實(shí)數(shù)的值，并寫(xiě)出相應(yīng)的函數(shù)的解析式；（2）對(duì)于（1）中的函數(shù)，試判斷是否存在正數(shù)，使得函數(shù)在區(qū)間，上的最大值為5，若存在，求出的值；若不存在，請(qǐng)說(shuō)明理由．    11．已知冪函數(shù)在上單調(diào)遞增．（1）求的值并寫(xiě)出的解析式；（2）試判斷是否存在，使函數(shù)在，上的值域?yàn)?/span>，若存在，求出的值；若不存在，請(qǐng)說(shuō)明理由．
                                 3.3冪函數(shù)參考答案與試題解析一．選擇題（共4小題）1．已知冪函數(shù)在上單調(diào)遞增，函數(shù)，當(dāng)，時(shí)，記，的值域分別為集合，，若，則實(shí)數(shù)的取值范圍是　　A． B．， C．， D．，【分析】根據(jù)冪函數(shù)的定義和性質(zhì)先求出，結(jié)合集合的關(guān)系進(jìn)行求解．【解答】解：是冪函數(shù)，，解得或，若，則，在上單調(diào)遞減，不滿足條件．若，則，在上單調(diào)遞增，滿足條件．即，當(dāng)，時(shí)，，，即，，當(dāng)，時(shí)，，，即，，，，則，即，解得，故選：．【點(diǎn)評(píng)】本題主要考查冪函數(shù)性質(zhì)和定義的應(yīng)用，函數(shù)值域的計(jì)算以及集合關(guān)系的應(yīng)用，綜合性較強(qiáng)．2．已知直線與軸，軸交點(diǎn)分別為．，冪函數(shù)的圖象經(jīng)過(guò)點(diǎn)，若點(diǎn)在的圖象上，則使得的面積等于3的點(diǎn)的個(gè)數(shù)為　　A．4 B．3 C．2 D．1【分析】分別求出、的坐標(biāo)，設(shè)出點(diǎn)的坐標(biāo)，各個(gè)關(guān)于的方程，得到解的個(gè)數(shù)，從而求出滿足條件的點(diǎn)的個(gè)數(shù)即可．【解答】解：由題意，，設(shè)冪函數(shù)的解析式是，將代入表達(dá)式得：，故，設(shè)，則到的距離，，故，故或，由△和△，故可求出四個(gè)解，故點(diǎn)的坐標(biāo)有4個(gè)，故選：．【點(diǎn)評(píng)】本題考查了點(diǎn)的直線的距離，考查冪函數(shù)的定義以及根的判別式，是一道中檔題．3．若，則、、的大小關(guān)系是　　A． B． C． D．【分析】由在第一象限內(nèi)是增函數(shù)，知．由是減函數(shù)，知．由此可知、、的大小關(guān)系．【解答】解：在第一象限內(nèi)是增函數(shù)，，是減函數(shù)，，所以．故選：．【點(diǎn)評(píng)】本題考查指數(shù)函數(shù)和冪函數(shù)的性質(zhì)及其應(yīng)用，解題時(shí)要合理運(yùn)用指數(shù)函數(shù)和對(duì)數(shù)函數(shù)的單調(diào)性．4．已知冪函數(shù)是偶函數(shù)，則實(shí)數(shù)的值為　　A．0 B．或1 C．1 D．0或1【分析】根據(jù)冪函數(shù)的定義先求，然后利用冪函數(shù)是偶函數(shù)進(jìn)行驗(yàn)證即可．【解答】解：函數(shù)是冪函數(shù)，根據(jù)冪函數(shù)的定義可知，即，，解得或或．，或，當(dāng)時(shí)，冪函數(shù)為為奇函數(shù)，不滿足條件．當(dāng)時(shí)，冪函數(shù)為為偶函數(shù)，滿足條件．故．故選：．【點(diǎn)評(píng)】本題主要考查冪函數(shù)的定義以及冪函數(shù)的性質(zhì)，要求熟練掌握冪函數(shù)的定義和冪函數(shù)的性質(zhì)．二．填空題（共4小題）5．有下列五種說(shuō)法：①冪函數(shù)的圖象一定不過(guò)第四象限；②奇函數(shù)圖象一定過(guò)坐標(biāo)原點(diǎn)；③已知函數(shù)的定義域?yàn)?/span>，，則函數(shù)的定義域?yàn)?/span>，；④定義在上的函數(shù)對(duì)任意兩個(gè)不等實(shí)數(shù)、，總有成立，則在上是增函數(shù)；⑤的單調(diào)減區(qū)間是，，；正確的說(shuō)法有 　①④　．【分析】根據(jù)冪函數(shù)的圖象與性質(zhì)，判斷①正確；奇函數(shù)的圖象不一定過(guò)坐標(biāo)原點(diǎn)，判斷②錯(cuò)誤；③根據(jù)函數(shù)的定義域求得函數(shù)的定義域，根據(jù)單調(diào)性的定義判斷在上是增函數(shù)，得出④正確；⑤和是的兩個(gè)單調(diào)減區(qū)間，不用并集表示．【解答】解：對(duì)于①，根據(jù)冪函數(shù)的圖象與性質(zhì)知，冪函數(shù)的圖象不過(guò)第四象限，①正確；對(duì)于②，奇函數(shù)的圖象不一定過(guò)坐標(biāo)原點(diǎn)，如的圖象，②錯(cuò)誤；對(duì)于③，函數(shù)的定義域?yàn)?/span>，，，，，；令，，，，函數(shù)的定義域?yàn)?/span>，，③錯(cuò)誤；對(duì)于④，根據(jù)題意知，時(shí)，（a）（b），時(shí)，（a）（b），由單調(diào)性的定義知，在上是增函數(shù)，④正確；對(duì)于⑤，和是的兩個(gè)單調(diào)減區(qū)間，不能用并集表示，⑤錯(cuò)誤；綜上，正確的說(shuō)法是①④．故答案為：①④．【點(diǎn)評(píng)】本題考查了函數(shù)的性質(zhì)與應(yīng)用問(wèn)題，也考查了命題真假的判斷問(wèn)題，是中檔題．6．如果冪函數(shù)的圖象經(jīng)過(guò)點(diǎn)，則（3）　27　．設(shè)，若函數(shù)在上有零點(diǎn)，則實(shí)數(shù)的取值范圍是　 　．【分析】設(shè)冪函數(shù)，把點(diǎn)代入函數(shù)的解析式，求得的值，即可得到函數(shù)的解析式，從而求出（3）的值，求出的導(dǎo)數(shù)，得到函數(shù)的單調(diào)性，根據(jù)零點(diǎn)定理得到（2）且（3），解出即可．【解答】解：設(shè)冪函數(shù)，把點(diǎn)代入函數(shù)的解析式可得，解得，故函數(shù)的解析式為，故（3），，，故在遞增，若函數(shù)在上有零點(diǎn)，只需，解得：，故答案為：27，．【點(diǎn)評(píng)】本題考查了冪函數(shù)的定義，考查函數(shù)的零點(diǎn)問(wèn)題以及導(dǎo)數(shù)的應(yīng)用，是一道中檔題．7．已知冪函數(shù)在上單調(diào)遞增，函數(shù)，當(dāng)，時(shí)，記和的值域分別為和，若，則實(shí)數(shù)的取值范圍是　，　．【分析】根據(jù)冪函數(shù)的定義和性質(zhì)先求出，結(jié)合集合的關(guān)系進(jìn)行求解即可．【解答】解：是冪函數(shù)，，解得或，若，則，在上不單調(diào)遞減，不滿足條件；若，則，在上單調(diào)遞增，滿足條件；即；當(dāng)，時(shí)，，，即，，當(dāng)，時(shí)，，，即，，，，則，解得，即實(shí)數(shù)的取值范圍是，．故答案為：，．【點(diǎn)評(píng)】本題主要考查冪函數(shù)性質(zhì)和定義的應(yīng)用，函數(shù)值域的計(jì)算以及集合關(guān)系的應(yīng)用，是綜合性題目．8．已知冪函數(shù)的圖象關(guān)于軸對(duì)稱，且在上是減函數(shù)，實(shí)數(shù)滿足，則的取值范圍是　　．【分析】根據(jù)冪函數(shù)的性質(zhì)求出的值，根據(jù)冪函數(shù)的單調(diào)性得到關(guān)于的不等式解出即可．【解答】解：冪函數(shù)在上是減函數(shù)，，解得，，或2．當(dāng)時(shí)，為偶函數(shù)滿足條件，當(dāng)時(shí)，為奇函數(shù)不滿足條件，則不等式等價(jià)為，即，為增函數(shù)，，解得：，故答案為：．【點(diǎn)評(píng)】本題主要考查不等式的求解，根據(jù)冪函數(shù)的性質(zhì)求出冪函數(shù)的表達(dá)式是解決本題的關(guān)鍵．三．解答題（共3小題）9．已知冪函數(shù)，滿足（2）（4）．（1）求函數(shù)的解析式；（2）若函數(shù)，是否存在實(shí)數(shù)，，使函數(shù)在，上的值域?yàn)?/span>，？若存在，求出實(shí)數(shù)的取值范圍；若不存在，說(shuō)明理由．【分析】（1）根據(jù)冪函數(shù)是冪函數(shù)，可得，求解，可得解析式；（2）由函數(shù)，求解的解析式，判斷其單調(diào)性，根據(jù)在，上的值域?yàn)?/span>，，轉(zhuǎn)化為方程有解問(wèn)題，求解的取值范圍．【解答】解：（1）由冪函數(shù)，滿足（2）（4），可得，且，求得，故．（2）函數(shù)，假設(shè)存在實(shí)數(shù)，，使函數(shù)在，上的值域?yàn)?/span>，，由于在其定義域內(nèi)單調(diào)遞減，則①，②，兩式相減，可得：．③．將③代入②得，令，，，得：，故得實(shí)數(shù)的取值范圍，．【點(diǎn)評(píng)】本題主要考查冪函數(shù)解析式，函數(shù)最值的求解，方程與不等式的性質(zhì)，討論思想以及一元二次函數(shù)的性質(zhì)是解決本題的關(guān)鍵，屬于難題．10．已知冪函數(shù)在上單調(diào)遞增．（1）求實(shí)數(shù)的值，并寫(xiě)出相應(yīng)的函數(shù)的解析式；（2）對(duì)于（1）中的函數(shù)，試判斷是否存在正數(shù)，使得函數(shù)在區(qū)間，上的最大值為5，若存在，求出的值；若不存在，請(qǐng)說(shuō)明理由．【分析】（1）由冪函數(shù)的定義和單調(diào)性，可得，又，即可得到的值和的解析式；（2）求出的解析式，討論的符號(hào)，結(jié)合二次函數(shù)的對(duì)稱軸和區(qū)間的關(guān)系，運(yùn)用單調(diào)性，解方程可得的值．【解答】解：（1）冪函數(shù)在上單調(diào)遞增，可得，解得，又，可得或1，即有，冪函數(shù)；（2）由（1）可知：，當(dāng)時(shí)，在，遞減，可得取得最大值，且為1，不成立；當(dāng)時(shí)，圖象開(kāi)口向上，最大值在或（1）處取得，而，則（1），即為，不成立；當(dāng)，即，．①當(dāng)，時(shí)，解得，則在，上單調(diào)遞減，因此在處取得最大值，而不符合要求，應(yīng)舍去；②當(dāng)，時(shí)，解得不存在；③當(dāng)，時(shí)，解得，則在處取得最大值，且為，解答成立；綜上可知：滿足條件的存在且．【點(diǎn)評(píng)】本題考查冪函數(shù)的定義和單調(diào)性的運(yùn)用，考查函數(shù)的最值的求法，熟練掌握冪函數(shù)和二次函數(shù)的單調(diào)性及分類(lèi)討論的思想方法是解題的關(guān)鍵．11．已知冪函數(shù)在上單調(diào)遞增．（1）求的值并寫(xiě)出的解析式；（2）試判斷是否存在，使函數(shù)在，上的值域?yàn)?/span>，若存在，求出的值；若不存在，請(qǐng)說(shuō)明理由．【分析】（1）根據(jù)冪函數(shù)的定義以及函數(shù)的單調(diào)性求出的值，求出函數(shù)的解析式即可；（2）由（1）知函數(shù)解析式為，將其代入函數(shù)知其也為一二次函數(shù)，下研究在區(qū)間，上的最值，結(jié)合值域?yàn)?/span>，建立關(guān)于參數(shù)的方程求參數(shù)即可．若能求出，則說(shuō)明存在，否則，不存在．【解答】解：（1）是冪函數(shù)，，解得：或，而在遞增，故，故；（2）由（1），，①當(dāng)，，即，時(shí)，，，，（2）；②當(dāng)時(shí)，解得，，這樣的不存在．③當(dāng)，即時(shí)，，（2），解之得，這樣的不存在．綜①②③得，．即當(dāng)時(shí)，結(jié)論成立．【點(diǎn)評(píng)】本題考點(diǎn)是二次函數(shù)的性質(zhì)，考查利用二次函數(shù)的性質(zhì)判斷出函數(shù)的最值，利用最值建立方程求參數(shù)，本題是一存在性問(wèn)題，考查思維的嚴(yán)密性綜合性較強(qiáng)，分類(lèi)時(shí)要做到不重不漏，嚴(yán)謹(jǐn)做題

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高中數(shù)學(xué)人教A版 (2019)必修 第一冊(cè)電子課本

3.3 冪函數(shù)

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