?第11章 三角形 壓軸題訓練
1．如圖1的圖形我們把它稱為“8字形”，顯然有；
閱讀下面的內(nèi)容，并解決后面的問題：

(1)如圖2，AP、CP分別平分、，若，，求的度數(shù)；
(2)①在圖3中，直線AP平分的外角，CP平分的外角，猜想與、的關系，并說明理由．
②在圖4中，直線AP平分的外角，CP平分的外角，猜想與、的關系，直接寫出結論，無需說明理由．
③在圖5中，AP平分，CP平分的外角，猜想與、的關系，直接寫出結論，無需說明理由．
2．如圖，在中，，D為射線上一點，過點D作于點E．

(1)如圖①，當點在線段上時，請直接寫出與的數(shù)量關系；
(2)如圖②，當點在的延長線上時，交的延長線于點，探究與的數(shù)量關系，并說明理由；
(3)在（）的條件下，若點為線段上一點，過點作于點，連接，且，，延長，交于點，求的度數(shù)．


3．如圖，直線MN的同側放置著角度分別為45°、45°、90°的三角板OAB和角度分別為30°、60°、90°的三角板OCD．點A、O、C在直線MN上，點O、B、D三點共線，OA=OB=OC=3cm．

(1)如圖1，連接BC，則∠BCD=_________．
(2)如圖2，把三角板OAB向右沿NM方向平移1cm得△，交OD于點G，求四邊形的面積．
(3)如圖3，三角板OAB繞著點O旋轉(zhuǎn)，當ABMN時，AB與OD交于點H，在OA上取一點P，∠PHO的角平分線HQ與線段BO的延長線交于點Q，試探索∠AHP與∠HQB的數(shù)量關系，并說明理由．
(4)如圖4，若將圖1中的三角板OAB繞著點O以每秒5°的速度順時針旋轉(zhuǎn)一周，當邊OA或OB與邊CD平行時，求旋轉(zhuǎn)時間t的值．
4．如圖，已知ABCD，直線MN交AB于點M，交CD于點N．點E是線段MN上一點，P，Q分別在射線MA，NC上，連接PE，QE，PF平分∠MPE，QF平分∠CQE．

（1）如圖1，若PE⊥QE，∠EQN＝64°，則∠MPE＝ °，∠PFQ＝ °．
（2）如圖2，求∠PEQ與∠PFQ之間的數(shù)量關系，并說明理由．
（3）如圖3，當PE⊥QE時，若∠APE＝150°，∠MND＝110°，過點P作PH⊥QF交QF的延長線于點H．將直線MN繞點N順時針旋轉(zhuǎn)，速度為每秒5°，直線MN旋轉(zhuǎn)后的對應直線為，同時△FPH繞點P逆時針旋轉(zhuǎn)，速度為每秒10°，△FPH旋轉(zhuǎn)后的對應三角形為△，當直線MN首次落到CD上時，整個運動停止．在此運動過程中，經(jīng)過t秒后，直線恰好平行于△的一條邊，請直接寫出所有滿足條件的t的值．
5．如圖，在中，點D在上，過點D作，交于點E，平分，交的平分線于點P，與相交于點G，的平分線與相交于點Q．

(1)若，則____________，____________；
(2)若，當?shù)亩葦?shù)發(fā)生變化時，的度數(shù)是否發(fā)生變化？并說明理由；
(3)若，則____________，____________；（用含x的代數(shù)式表示）；
(4)若中存在一個內(nèi)角等于另一個內(nèi)角的三倍，請直接寫出所有符合條件的的度數(shù)．
6．在平面直角坐標系中，，，直角三角形的邊與軸分別相交于、兩點，與直線分別交于、點，．

(1)將直角三角形如圖位置擺放，如果，則______；
(2)將直角三角形如圖位置擺放，為上一點，
①若，請直接寫出與之間的等量關系：______；
②若，請判斷與之間的等量關系，并說明理由．
(3)將直角三角形如圖位置擺放，若，延長交于點，點是射線上一動點，探究，與的數(shù)量關系，請直接寫出結論題中的所有角都大于小于：______．
7．在中，

(1)如圖（1），、的平分線相交于點．
①若，求的度數(shù)．
②若，則_________．
(2)如圖（2），在中的外角平分線相交于點，，求的度數(shù)．
(3)如圖（3），的、的平分線相交于點，它們的外角平分線相交于點．請回答：與具有怎樣的數(shù)量關系？并說明理由．
8．（1）如圖1，∠A＝70°，BP、CP分別平分∠ABC和∠ACB，則∠P的度數(shù)是　　．
（2）如圖2，∠A＝70°，BP、CP分別平分∠EBC和∠FCD，則∠P的度數(shù)是　?。?br /> （3）如圖3，∠A＝70°，BP、CP分別平分∠ABC和∠ACD，求∠P的度數(shù)．

9．如圖，，點A、分別在、上運動（不與點重合）．

(1)若是的平分線，的反方向延長線與的平分線交于點．
①若，則______；
②猜想：的度數(shù)是否隨A，的移動發(fā)生變化？并說明理由．
(2)如圖，若，，則______；
(3)若將改為（如圖3），，，其余條件不變，則______（用含，的代數(shù)式表示，其中）．
10．（1）如圖1，F(xiàn)是OC邊上一點，求證：∠AFC＝∠AOC＋∠OAF；
（2）如圖2，∠AOB＝36°，OC平分∠AOB，點D、E在射線OA、OC上，點P是射線OB上的一個動點，連接DP交射線OC于點F．設∠EDP＝x，若DE⊥OA，是否存在這樣的x使得∠EFD＝3∠EDF？若存在，求出x；若不存在，說明理由；
（3）在（2）的條件下，若射線DA繞點D順時針旋轉(zhuǎn)至DO后立即回轉(zhuǎn)，射線EO繞點E順時針旋轉(zhuǎn)至ED停止，射線DA轉(zhuǎn)動的速度是4.5°/s，射線EO轉(zhuǎn)動的速度是1°/s．若射線DA先旋轉(zhuǎn)2s，射線EO才開始繞點E順時針旋轉(zhuǎn)，在射線EO到達ED之前，射線EO旋轉(zhuǎn)到第________s時，射線DA與射線EO互相平行．



11．已知AD∥BC，∠ADB＝28°，點E在直線BD上，點F在射線BC上，E不與B、D重合，F(xiàn)不與B、C重合．

(1)如圖1，當點E在線段BD的延長線上，點F在線段BC上時，連EF，求證：∠EFB＋∠DEF＝152°；
(2)如圖2，當點E在直線DB上運動，點F在線段BC上時，連EF，探究∠EFB與∠DEF之間的數(shù)量關系，并說明理由；
(3)如圖3，當點E在線段BD延長線上，點Q在線段BC延長線上，點F在射線BC上，且點Q在點F的右側時，直線DP平分∠ADE，直線FP平分∠EFQ，DP、FP交于點P，直接寫出∠DEF和∠DPF的關系．


12．直線MN與直線PQ垂直相交于O，點A在射線OP上運動，點B 在射線OM上運動．
　　
(1)如圖1，已知AE、BE分別是∠BAO和∠ABO角的平分線，點A、B在運動的過程中，∠AEB的大小是否會發(fā)生變化？若發(fā)生變化，請說明變化的情況；若不發(fā)生變化，試求出∠AEB的大?。?br /> (2)如圖2，已知AB不平行CD，AD、BC分別是∠BAP和∠ABM的角平分線，AD、BC的延長線交于點F，點A、B在運動的過程中，∠F= ；DE、CE又分別是∠ADC和∠BCD的角平分線，點A、B在運動的過程中，∠CED的大小也不發(fā)生變化，其大小為∠CED= .
(3)如圖3，延長BA至G，已知∠BAO、∠OAG的角平分線與∠BOQ的角平分線及其延長線相交于E、F，則∠EAF= ；在△AEF中，如果有一個角是另一個角的3倍，試求∠ABO的度數(shù)．
13．如圖1，直線GH分別交AB，CD于點E，F(xiàn)（點F在點E的右側），若∠1+∠2＝180°．

(1)求證：ABCD；
(2)如圖2所示，點M、N在AB，CD之間，且位于E，F(xiàn)的異側，連MN，若2∠M＝3∠N，則∠AEM，∠NFD，∠N三個角之間存在何種數(shù)量關系，并說明理由．
(3)如圖3所示，點M在線段EF上，點N在直線CD的下方，點P是直線AB上一點（在E的左側），連接MP，PN，NF，若∠MPN＝2∠MPB，∠NFH＝2∠HFD，則請直接寫出∠PMH與∠N之間的數(shù)量．




14．【問題背景】
（1）如圖1的圖形我們把它稱為“8字形”，請說明；
【簡單應用】
（2）閱讀下面的內(nèi)容，并解決后面的問題：如圖2，AP、CP分別平分∠BAD，∠BCD，若∠ABC=36°，∠ADC=16°，求∠P的度數(shù)；
解：∵AP、CP分別平分∠BAD，∠BCD
∴∠1=∠2，∠3=∠4
由（1）的結論得：
①+②，得2∠P+∠2+∠3=∠1+∠4+∠B+∠D
∴∠P =(∠B+∠D)=26°．
①【問題探究】
如圖3，直線AP平分∠BAD的外角∠FAD，CP平分∠BCD的外角∠BCE，若∠ABC=36°，∠ADC=16°，請猜想的度數(shù)，并說明理由．
②【拓展延伸】
在圖4中，若設∠C=α，∠B=β，∠CAP=∠CAB，∠CDP=∠CDB，試問∠P與∠C、∠B之間的數(shù)量關系為： （用α、β表示∠P），并說明理由．

15．如圖1，在平面直角坐標系中，，過C作軸于B．

(1)如圖1，則三角形的面積_____________；
(2)如圖2，若過B作交y軸于D，則的度數(shù)為_____________；若分別平分，求的度數(shù)；
(3)若線段與y軸交點M坐標為，在y軸上是否存在點P，使得三角形和三角形的面積相等？若存在，求出P點坐標；若不存在，請說明理由．
16．如圖，已知點E在四邊形ABCD的邊BC的延長線上，BM、CN分別是∠ABC、∠DCE的角平分線，設∠BAD＝α，∠ADC＝β．

(1)如圖1，若α＋β＝180°，判斷BM、CN的位置關系，并說明理由：
(2)如圖2，若α＋β＞180°，BM、CN相交于點O．
①當α＝70°，β＝150°時，則∠BOC＝_______；
②∠BOC與α、β有怎樣的數(shù)量關系？說明理由．
(3)如圖3，若α＋β＜180°，BM、CN的反向延長線相交于點O，則∠BOC＝______．（用含α、β的代數(shù)式表示）．
17．已知：直線，動點在直線上運動，探究，，之間的關系．

(1)【問題發(fā)現(xiàn)】若，，求的度數(shù)．
(2)【結論猜想】當點在線段上時，猜想，，三個角之間的數(shù)量關系，并說明理由．
(3)【拓展延伸】若點在射線上或者在射線上時（不包括端點），試著探究，，之間的關系是否會發(fā)生變化，請?zhí)暨x一種情形畫出圖形，寫出結論，并說明理由．


18．中，，點D，E分別是邊AC，BC上的點，點P是一動點，令，，．

初探：
(1)如圖1，若點P在線段AB上，且，則_____________；
(2)如圖2，若點P在線段AB上運動，則∠1，∠2，之間的關系為_____________；
(3)如圖3，若點P在線段AB的延長線上運動，則∠1，∠2，之間的關系為_____________；
再探：
(4) 如圖4，若點P運動到的內(nèi)部，寫出此時∠1，∠2，之間的關系，并說明理由．



19．如圖，AB、CD被AC所截，，∠CAB＝108°，點P為直線AB上一動點（不與點A重合），連CP，作∠ACP和∠DCP的平分線分別交直線AB于點E、F．

(1)當點P在點A的右側時
①若∠ACP＝36°，則此時CP是否平分∠ECF，請說明理由．
②求∠ECF的度數(shù)．
(2) 在點P運動過程中，直接寫出∠APC與∠AFC之間的數(shù)量關系．







20．已知，如圖，ABCD，直線交于點，交于點點是線段上一點，，分別在射線，上，連接，，平分，平分．

(1)如圖，當時，______；
(2)如圖，猜想與之間的數(shù)量關系，并說明理由；
(3)如圖，在問的條件下，若，，過點作交的延長線于點將繞點順時針旋轉(zhuǎn)，速度為每秒，直線旋轉(zhuǎn)后的對應直線為，同時繞點逆時針旋轉(zhuǎn)，速度為每秒，旋轉(zhuǎn)后的對應三角形為，當首次落到上時，整個運動停止．在此運動過程中，經(jīng)過秒后，恰好平行于的其中一條邊，請直接寫出所有滿足條件的的值．

參考答案：
1．(1)
(2)①，理由見解析；
②；
③

【分析】（1）根據(jù)角平分線的定義可得∠1=∠2，∠3=∠4，再根據(jù)題干的結論列出∠P+∠3=∠1+∠ABC，∠P+∠2=∠4+∠ADC，相加得到2∠P+∠2+∠3=∠1+∠4+∠ABC+∠ADC，繼而得到2∠P=∠ABC+∠ADC，代入數(shù)據(jù)得∠P的值；
（2）①按解析圖標記好∠1，∠2，∠3，∠4，根據(jù)角平分線的定義可得∠1=∠2，∠3=∠4，再根據(jù)題干的結論列出∠PAD+∠P=∠PCD+∠D，∠PAB+∠P=∠4+∠B，分別用∠2，∠3表示出∠PAD和∠PCD，再整理即可得解；
②按解析圖標記好∠1，∠2，∠3，∠4，根據(jù)角平分線的定義可得∠1=∠2，∠3=∠4，再根據(jù)題干的結論列出∠BAP+∠P+∠4+∠B=360°，∠2+∠P+∠PCD+∠D=360°，分別用∠2，∠3表示出∠BAP和∠PCD，再整理即可得解；
③按解析圖標記好∠1，∠2，∠3，∠4，根據(jù)角平分線的定義可得∠1=∠2，∠3=∠4，再根據(jù)題干的結論列出∠BAD+∠B=∠BCD+∠D，∠2+∠P=∠PCD+∠D，分別用∠2，∠3表示出∠BAD、∠BCD和∠PCD，再整理即可得解；
（1）
解：∵AP、CP分別平分∠BAD、∠BCD，
∴∠1=∠2，∠3=∠4，
∴∠2+∠3=∠1+∠4，
由（1）的結論得：∠P+∠3=∠1+∠ABC①，∠P+∠2=∠4+∠ADC②，
①+②，得2∠P+∠2+∠3=∠1+∠4+∠ABC+∠ADC，
∴2∠P=∠ABC+∠ADC，
∴∠P=（∠ABC+∠ADC）=（36°+16°）=26°．

（2）
，理由如下：
①∵AP平分∠BAD的外角∠FAD，CP平分∠BCD的外角∠BCE，
∴∠1=∠2，∠3=∠4．
由（1）的結論得：∠PAD+∠P=∠PCD+∠D③，∠PAB+∠P=∠4+∠B④，
∵∠PAB=∠1，∠1=∠2，
∴∠PAB=∠2，
∴∠PAD=∠PAB+∠BAD=∠2+180°－2∠2=180°－∠2，
∴∠2+∠P=∠3+∠B⑤，
③+⑤得∠2+∠P+∠PAD+∠P=∠3+∠B+∠PCD+∠D，
∴∠2+∠P+180°－∠2+∠P=∠3+∠B+180°－∠3+∠D
即2∠P+180°=∠B+∠D+180°，
∴．

②，理由如下：
如圖4，∵AP平分∠BAD的外角∠FAD，CP平分∠BCD的外角∠BCE，
∴∠1=∠2，∠3=∠4，∠BAD=180°﹣2∠1，∠BCD=180°﹣2∠3，
由題干可知：∠BAD+∠B=∠BCD+∠D，
∴（180°﹣2∠1）+∠B=（180°﹣2∠3）+∠D，
在四邊形APCB中，∠BAP+∠P+∠3+∠B=360°，
即（180°﹣∠2）+∠P+∠3+∠B=360°，⑥
在四邊形APCD中，∠2+∠P+∠PCD+∠D=360°，
即∠2+∠P+（180°﹣∠3）+∠D=360°，⑦
⑥+⑦得：2∠P+∠B+∠D+∠2﹣∠2+∠3﹣∠3=360°
∴2∠P+∠B+∠D=360°，
∴；

③，理由如下：
如圖5，∵AP平分∠BAD，CP平分∠BCD的外角∠BCE，
∴∠1=∠2，∠3=∠4，
由題干結論得：∠BAD+∠B=∠BCD+∠D，即2∠2+∠B=（180°﹣2∠3）+∠D⑧，
∠2+∠P=∠PCD+∠D，即∠2+∠P=（180°﹣∠3）+∠D⑨，
⑨×2﹣⑧得：2∠P﹣∠B=180°+∠D，
∴．

【點評】本題考查了三角形的內(nèi)角和定理，角平分線的定義，準確識圖并運用好“8”字形的結論，然后列出兩個等式是解題的關鍵，用阿拉伯數(shù)字加弧線表示角更形象直觀．
2．(1)∠BAC=2∠EDC
(2)∠BAC=2∠EDC，理由見解析
(3)∠EKA=18°

【分析】（1）如圖1中，作AH⊥BC于H，利用等腰三角形的性質(zhì)，等角的余角相等解決問題即可；
（2）作AM⊥BC于M，由（1）同理可證∠BAC=2∠EDC；
（3）如圖2中，設∠C=∠FAC=∠ABC=x，則∠BAF=∠BFA=2x，構建方程求出x即可解決問題．
（1）
如圖1中，作AH⊥BC于H，
∵，
∴∠BAC=2∠CAH．
∵DE⊥AC，
∴∠AHC=∠DEC=90°，
∴∠C+∠CAH=90°，∠C+∠CDE=90°，
∴∠CAH=∠CDE，
∴∠BAC=2∠EDC．

（2）
結論：∠BAC=2∠EDC．理由如下：
如圖2中，作AM⊥BC于M，
∵AB=AC，
∴∠BAC=2∠CAM．
∵DE⊥AC，
∴∠AMC=∠DEC=90°，
∴∠C+∠CAM=90°，∠C+∠CDE=90°，
∴∠CAM=∠CDE，
∴∠BAC=2∠EDC．

（3）
∵∠AFG=∠CFG，F(xiàn)G⊥AC，
∴∠FAC=∠C．
設∠C=∠FAC=∠ABC=x，
∴∠BAF=∠BFA=2x．
在△BAF中，∠BAF+∠BFA+∠ABC=180°，
∴2x+2x+x=180°，
解得：x=36°，
∴∠EAK=∠ABC+∠C=36°+36°=72°．
∵KE⊥EC，
∴∠E=90°，
∴∠EKA=90°?∠EAK=18°．
【點評】本題考查等腰三角形的判定及性質(zhì)，等角的余角相等，三角形內(nèi)角和定理，直角三角形兩銳角互余，三角形外角的性質(zhì)等知識．解題的關鍵是學會利用參數(shù)構建方程解決問題．
3．(1)15
(2)四邊形的面積=(2+3) ×1=2.5；
(3)∠AHP=2∠HQB；
(4)旋轉(zhuǎn)時間t的值為12或30或48或66秒．

【分析】（1）求得∠OBC =∠BCO=45°，利用角的和差即可求解；
（2）求得AO= GO=3-1=2(cm)，利用梯形面積公式即可求解；
（3）由角平分線的定義得到并設∠PHQ=∠QHO=α，推出∠AHP+2α=90°，∠HQB+α=∠BOH=45°，消去α即可求解；
（4）分四種情況討論，畫出圖形，利用解方程的方法求解即可．
（1）
解：∵OA=OB=OC=3cm，∠AOB=∠BOC=90°，∠DCO=60°，
∴∠OBC =∠BCO=45°，
∴∠BCD=∠DCO-∠BCO=15°，
故答案為：15；
（2）
解：∵=1cm，∠GAO=45°，
∴AO= GO=3-1=2(cm)，
∴四邊形的面積=(2+3) ×1=2.5()；
（3）
解：∠AHP=2∠HQB，理由如下：
∵HQ平分∠PHO，
∴∠PHQ=∠QHO，
設∠PHQ=∠QHO=α，
∵ABMN，
∴∠BOC=∠B=45°，∠AHO=∠HOC=90°，
∴∠BOH=45°，
∴∠AHP+2α=90°，∠HQB+α=∠BOH=45°，
∴∠AHP+2α=2∠HQB+2α=90°，
∴∠AHP=2∠HQB；
（4）
解：由題意得旋轉(zhuǎn)的角度為5t，
當OACD時，如圖：

∴∠AOD=∠D=30°，∠AON=90°-30°=60°，
∴5t=60，
解得：t=12(秒)；
當OBCD時，如圖：

∴∠BOC=∠DCO=60°，
∴∠AOC=90°-60°=30°，
∴∠AON=180°-30°=150°，
∴5t=150，
解得：t=30(秒)；
當OACD時，如圖：

∴∠AOC=∠DCO=60°，
∴5t=180+60，
解得：t=48(秒)；
當OBCD時，如圖：

∴∠BON=∠DCO=60°，
∴∠AON=90°-60°=30°，
∴5t=360-30，
解得：t=66(秒)；
綜上，當邊OA或OB與邊CD平行時，旋轉(zhuǎn)時間t的值為12或30或48或66秒．
【點評】本題目考查了平行線的性質(zhì)，旋轉(zhuǎn)的速度，角度，時間的關系，應用方程的思想是解決問題的關鍵．掌握分類思想，注意不能漏解．
4．（1）26；135；（2）2∠PFQ-∠PEQ=180°，理由見解析；（3）t=或或．
【分析】（1）延長PE交CD于G，設PE，F(xiàn)Q交于點H，設∠MPE=2α，則∠FPE=∠BPE=α，根據(jù)ABCD可表示出∠PGQ，進而根據(jù)三角形內(nèi)角和推論表示出∠EQC，進而表示出∠EQH，然后結合△EQH和△PFH內(nèi)角和得出關系式，進一步得出結果；
（2）類比（1）的方法過程，得出結果；
（3）分為△的三邊分別與平行，分別畫出圖形求解即可．
【詳解】解：（1）如圖1，

延長PE交CD于G，設PE，F(xiàn)Q交于點H，
設∠BPE=2α，則∠FPE=∠BPE=α，
∵AB∥CD，
∴∠PGQ=∠BPE=2α，
∵PE⊥QE，
∴∠QEH=QEG=90°，
∴∠EQC=∠QEG+∠PGQ=90°+2α，
∴∠EQH=∠EQC=45°+α，
∵∠EQN=64°，
∴∠EGQ=26°，
∴∠BPE=26°．
在△EQH和△PFH中，
∵∠HEQ+∠HQE+∠EHQ=180°，∠FPH+∠FHP+∠PFH=180°，∠PHF=∠EHQ，
∴∠HEQ+∠HQE=∠FPH+∠PFH，
即：90°+45°+α=α+∠PFH，
∴∠PFH=135°，
故答案為：26；135；
（2）2∠PFQ-∠PEQ=180°，理由如下：
如圖1，延長PE交CD于G，設PE，F(xiàn)Q交于點H，
設∠BPE=2α，則∠FPE=∠BPE=α，
∵ABCD，
∴∠PGQ=∠BPE=2α，
∵∠GEQ=180°-∠PEQ，
∴∠EQC=∠QEG+∠PGQ=180°-∠PEQ+2α，
∴∠HQE=∠EQC=90°+α-∠PEQ，
在△EQH和△PFH中，
∵∠PEQ+∠HQE+∠EHQ=180°，∠FPH+∠FHP+∠PFH=180°，∠PHF=∠EHQ，
∴∠PEQ+∠HQE=∠FPH+∠PFH，
即：∠PEQ+90°+α-∠PEQ=α+∠PFQ
∴2∠PFQ-∠PEQ=180°；
（3）根據(jù)題意，需要分三種情況：

∵∠APE=150°，∴∠BPE=30°，
∵PF平分∠MPE，∴∠FPE=∠BPF=15°，
由（2）得2∠PFQ-∠PEQ=180°，
又∠PEQ=90°，
∴∠PFQ =135°，
∴∠HPF=45°，
∴∠HPB=30°，
由題意得∠=10t，則∠=30+10t，
∠=5t，則∠=110-5t，
設與AB的交點為I，則∠=∠，
如圖3（1），當時，
∠=∠=∠，
110-5t=30+10t，
∴t=，
如圖3（2），當時，
∠=10t，則∠=30+10t，
∴∠=∠-∠=90-（180-10t-30），
同理∠=∠，
∴90-（180-10t-30）=110-5t，
∴t=，
如圖3（3），當時，
∠=10t，則∠=5t-15，
∴∠=∠，
∴110-5t=10t-15，
∴t=，
綜上所述：t=或或．
【點評】本題考查了平行線的判定和性質(zhì)，三角形內(nèi)角和定理及其推論，四邊形內(nèi)角和等知識，解決問題的關鍵是正確分類，并找出相等關系列方程．
5．(1)115，25
(2)不發(fā)生變化，理由見解析
(3)，
(4)45°，60°，120°，135°

【分析】（1）由平行線的性質(zhì)，角平分線的定義結合三角形內(nèi)角和定理即可求解；
（2）同理由平行線的性質(zhì)，角平分線的定義結合三角形內(nèi)角和定理即可求解；
（3）將（2）中換成，同理即可求解；
（4）設，由（3）可知，．再由不變，即可分類討論①當時，②當時，③當時和④當時，分別列出關于x的等式，解出x即可．
（1）
∵，
∴．
∵平分，
∴．
∵，
∴，．
∵平分，
∴．
∴；
∵，
∴．
∵CP平分，CQ平分，
∴，．
∵，
∴，即，
∴．
故答案為：115，25；
（2）
當?shù)亩葦?shù)發(fā)生變化時，、的度數(shù)不發(fā)生變化
理由如下：∵，
∴．
∵，
∴，．
∵平分，平分，
∴，．
∴


．
∴
由（1）可知不變，
∴．
∴當?shù)亩葦?shù)發(fā)生變化時，、的度數(shù)不發(fā)生變化；
（3）
∵，
∴．
∵，
∴，．
∵平分，平分，
∴，．
∴


．
∴．
由（1）可知不變，
∴．
故答案為：，；
（4）
設，
由（3）可知，．
∵，
∴可分類討論：①當時，
∴，
解得：，
∴；
②當時，
∴，
解得：，
∴；
③當時，
∴，
解得：，
∴；
④當時，
∴，
解得：，
∴．
綜上可知或或或．
【點評】本題考查平行線的性質(zhì)，角平分線的定義，三角形內(nèi)角和定理等知識．利用數(shù)形結合和分類討論的思想是解題關鍵．
6．(1)
(2)①；②，見解析
(3)或

【分析】（1）過點作，可得軸，則，，結合，可得，即可得出答案．
（2）①過點作軸，可得軸，則，，結合已知條件與鄰補角的定義可得，根據(jù)，可得，結合，可得出答案．
②由軸，可得，，結合已知條件與鄰補角的定義可得，最后由，可得出答案．
（3）當點在上時，或當點在線段的延長線上時，分別利用平行線的性質(zhì)可得出答案．
（1）
解：過點作，
，，
軸，
軸，
，，
，
，
，
，
．
故答案為：．

（2）
解：①過點作軸，
軸，
，，
，，
，
，
，
，
，
整理得．
故答案為：．
．
理由如下：
軸，
，，
，，
，
，
．

（3）
解：當點在上時，過點作，

，
，，
，
．
當點在線段的延長線上時，

，
，，
，
，
．
故答案為：或．
【點評】本題考查平行線的判定與性質(zhì)、角的計算及坐標與圖形，能夠添加恰當?shù)妮o助線是解答本題的關鍵．
7．(1)①；②；
(2)；
(3)

【分析】（1）①運用三角形的內(nèi)角和定理及角平分線的意義，首先求出，進而求出，即可解決問題；②方法同①；
（2）根據(jù)三角形的外角性質(zhì)分別表示出和，再根據(jù)角平分線的性質(zhì)求出，最后根據(jù)三角形內(nèi)角和定理即可求解；
（3）由（1）得，由（2）可得，兩式相加即可得到結論．
（1）
解：①∵∠A=64°，
∴∠ABC+∠ACB=116°，
∵∠ABC、∠ACB的平分線相交于點P，
∴，
∴，
∴，
②∵∠A=n°，
∴∠ABC+∠ACB=180°-n° ，
∵∠ABC、∠ACB的平分線相交于點P，??
∴，
∴，
∴，
故答案為：；
（2）
解：∵外角和的平分線相交于點Q，
∴




∴，
∵ ，
∴，
（3）
解：由（1）得，
由（2）可得，
∴
【點評】本題主要考查了三角形內(nèi)角和定理、外角的性質(zhì)，角平分線定義等知識，靈活運用三角形內(nèi)角和定理、外角的性質(zhì)是解答本題的關鍵．
8．（1）125°（2）55°（3）35°
【分析】（1）根據(jù)三角形的內(nèi)角和定理，角平分線的性質(zhì)即可求解；
（2）應用角平分線的性質(zhì)，補角的概念即可求解；
（3）綜合（1）、（2）解題思路即可求解；
【詳解】解：（1）∵BP、CP分別平分∠ABC和∠ACB，
∴∠PBC＝∠ABC，∠PCB＝∠ACB，
∴∠PBC+∠PCB＝（∠ABC+∠ACB），
＝×（180°﹣∠A）＝55°，
∴∠P＝180°﹣（∠PCB+∠PBC）＝125°，
故答案為：125°．
（2）∵∠EBC＝∠A+∠ACB，∠FCB＝∠A+∠ABC，
∴∠EBC+∠FCB＝∠A+∠ACB+∠A+∠ABC，
＝180°+70°＝250°，
∵BP、CP分別平分∠EBC和∠FCB，
∴∠PBC＝∠EBC，∠PCB＝∠FCB，
∴∠PBC+∠PCB＝（∠EBC+∠FCB），
＝125°，
∴∠P＝180°﹣（∠PBC+∠PCB）＝55°，
故答案為：55°．
（3）∠ACD＝∠A+∠ABC，
∵CP平分∠ACD，BP平分∠ABC，
∴∠PBC＝∠ABC，∠PCA＝∠ACD＝∠A+∠ABC，
∵∠P＝180°﹣（∠PBC+∠PCA+∠ACB），
＝∠A＝35°，
即∠P等于∠A的一半，
答：∠P的度數(shù)是35°．
【點評】本題主要考查三角形的內(nèi)角和定理，三角形外角的性質(zhì)，角平分線的性質(zhì)，掌握相關知識并靈活應用是解題的關鍵．
9．(1)①；②不隨A，的移動發(fā)生變化，理由見解析
(2)
(3)

【分析】（1）①先利用角平分線的定義求出，利用三角形內(nèi)角和定理可得，即可得到，利用角平分線的定義可得，即可求解；
②設，證明過程與①類似；
（2）設，解題過程與（1）類似；
（3）與（1）（2）類似，設出的度數(shù)，再進行推導即可．
（1）
解：①，平分，
，
，
，
，
是的平分線，
，
，
，
，
故答案為：；
②的度數(shù)不隨，的移動發(fā)生變化，理由如下：
設，
平分，
，
，
，
，
是的平分線，
，
，
，
，
的度數(shù)不隨，的移動發(fā)生變化；
（2）
解：設，
，
，
，
，
，
，
，
，
，
，
，
，
故答案為：；
（3）
解：設，
，
，
，
，
，
，
，
，
，
，
，
，
故答案為：．
【點評】本題考查三角形內(nèi)角和定理，列代數(shù)式，角的計算等知識點，解題的關鍵是熟練掌握三角形內(nèi)角和定理．
10．（1）見解析；（2）存在，當x＝27°或18°時，∠EFD＝3∠EDF；（3）或．
【分析】（1）根據(jù)三角形的內(nèi)角和定理與平角的定義證明即可；
（2）求出∠AOC＝18°，然后分情況討論：①若DP在DE左側，求出∠FED＝72°，根據(jù)三角形內(nèi)角和定理可得x＋3x＋72°＝180°，解方程可得x的值；②若DP在DE右側，求出∠DEO＝72°，根據(jù)三角形外角的性質(zhì)可得x＋3x＝72°，解方程可得x的值；
（3）分兩種情況進行討論：DP在DE左側，DP在DE右側，分別根據(jù)平行線的性質(zhì)，列方程求解即可．
【詳解】（1）證明：由三角形的內(nèi)角和定理可得：∠OAF＋∠AOC＋∠AFO＝180°，
∵∠AFC＋∠AFO＝180°，
∴∠AFC＝∠AOC＋∠OAF；
（2）解：存在這樣的x的值，使得∠EFD＝3∠EDF．
∵∠AOB＝36°，OC平分∠AOB，
∴∠AOC＝∠BOC＝18°，
分兩種情況：
①如圖，若DP在DE左側，

∵DE⊥OA，
∴∠FED＝90°?18°＝72°，
∴x＋3x＋72°＝180°，
解得x＝27°；
②如圖，若DP在DE右側，

∵DE⊥OA，
∴∠DEO＝90°?18°＝72°，
∵∠DEO＝∠EDF＋∠EFD，
∴x＋3x＝72°，
解得x＝18°；
綜上所述，當x＝27°或18°時，∠EFD＝3∠EDF；
（3）解：分兩種情況：
①當射線DA向DO旋轉(zhuǎn)時，如圖，

當時，∠1＝∠2，
設射線EO旋轉(zhuǎn)的時間為t秒，則∠1＝（72?t）°，∠2＝90?4.5（t＋2）＝（81－4.5t）°，
∴72?t＝81－4.5t，
解得t＝；
②當射線DA由DO回轉(zhuǎn)時，如圖，

當時，∠1＝∠2，
設射線EO旋轉(zhuǎn)時間為t秒，則∠1＝（72?t）°，∠2＝4.5（t＋2）?270＝（4.5t－261）°，
∴72?t＝4.5t－261，
解得t＝；
綜上，射線EO旋轉(zhuǎn)到第或s時，射線DA與射線EO互相平行，
故答案為：或．
【點評】本題考查了三角形內(nèi)角和定理，三角形外角的性質(zhì)，平行線的性質(zhì)，一元一次方程的應用等知識，掌握三角形的內(nèi)角和等于180°，三角形的一個外角等于和它不相鄰的兩個內(nèi)角之和是解題的關鍵，另外在解題時注意分類討論思想的運用．
11．(1)見詳解
(2)當E點線段BD的延長線上時，∠EFB+∠DEF=152°；
當E點在線段BD上（不含端點）時，∠DEF-∠EFB=28°；
當E點在線段DB的延長線上時，∠DEF+∠EFB=28°，
理由見詳解
(3)2∠DPF-∠DEF=180°，理由見詳解

【分析】（1）根據(jù)，可得∠ADB=∠DBF，再根據(jù)三角形內(nèi)角和定理即可求證；
（2）根據(jù)E點位置不同，分當E點線段BD的延長線上時、當E點在線段BD上（不含端點）時、當E點在線段DB的延長線上時，三種情況討論，利用三角形的外角的定義與性質(zhì)即可求解；
（3）設DP交EF于點N，M點是PD延長線上的一點，延長DP交BQ于點G，根據(jù)DP平分∠ADE，可得∠ADM=∠EDM=76°，在根據(jù)，可得∠PGF=∠ADM，由PF平分∠EFQ，得到∠PFG=∠EFQ，再根據(jù)三角形的外角的定義與性質(zhì)有∠DPF=∠PGF+∠PFG，∠DBF+∠DEF=∠EFQ，即可求解．
（1）
∵，
∴∠ADB=∠DBF，
∵∠ADB=28°，
∴∠DBF=28°，
∵∠DBF+∠EFB+∠DEF=180°，
∴∠EFB+∠DEF=180°-∠DBF=180°-28°=152°，
得證；
（2）
根據(jù)E點位置不同，∠EFB與∠DEF之間的數(shù)量關系也不同，
當E點線段BD的延長線上時，∠EFB+∠DEF=152°；當E點在線段BD上（不含端點）時，∠DEF-∠EFB=28°；當E點在線段DB的延長線上時，∠DEF+∠EFB=28°，理由如下，
分情況討論，
第一種情況，當E點線段BD的延長線上時，
根據(jù)（1）的結果可知：∠EFB+∠DEF=152°；
第二種情況，當E點在線段BD上（不含端點）時，如圖，

∵∠EFB+∠DBF=∠DEF，
又∵∠DBF=28°，
∴∠EFB+28°=∠DEF，
∴∠DEF-∠EFB=28°，
此時數(shù)量關系為：∠DEF-∠EFB=28°；
第三種情況，當E點在線段DB的延長線上時，如圖，

∵∠EFB+∠DEF=∠DBF，
又∵∠DBF=28°，
∴∠EFB+∠DEF=∠DBF=28°，
∴∠EFB+∠DEF=28°，
此時數(shù)量關系為：∠DEF+∠EFB=28°；
（3）
2∠DPF-∠DEF=180°，理由如下，
設DP交EF于點N，M點是PD延長線上的一點，延長DP交BQ于點G，如圖，

∵∠ADB=28°，
∴∠ADE=180°-28°=152°，
∵DP平分∠ADE，
∴∠ADM=∠EDM=∠ADE=76°，
∵，
∴∠PGF=∠ADM=76°，
∵PF平分∠EFQ，
∴∠PFG=∠EFQ，
∵∠DPF=∠PGF+∠PFG，∠PGF=76°，
∴∠DPF=76°+∠EFQ，
∵∠DBF=28°，∠DBF+∠DEF=∠EFQ，
∴∠DPF=76°+∠EFQ=76°+(28°+∠DEF)，
∴2∠DPF-∠DEF=180°，
得證．
【點評】本題主要考查了平行線的性質(zhì)、三角形的外角定義及性質(zhì)、角平分線的性質(zhì)等知識．注重分類討論的思想是解答本題的關鍵．
12．(1)不變，∠AEB＝135°；
(2)45°，67.5°；
(3)90°；∠ABO的度數(shù)為60°或45°．

【分析】（1）先求出∠BAO＋∠ABO＝90°，結合角平分線的定義可得∠BAE＋∠ABE＝45°，再利用三角形的內(nèi)角和定理可求解∠AEB的度數(shù)；
（2）由平角的定義求出∠BAP＋∠ABM＝270°，利用角平分線的定義可求∠DAB＋∠ABC＝135°，利用三角形的內(nèi)角和定理可求出∠F，然后根據(jù)四邊形的內(nèi)角和定理可得∠ADC＋∠BCD＝225°，再由角平分線的定義及三角形的內(nèi)角和定理可求解；
（3）先求出∠EAF＝90°，∠ABO＝2∠E，然后根據(jù)△AEF中，有一個角是另一個角的3倍分4種情況求解即可．
（1）
解：不變，
∵MN⊥PQ，
∴∠AOB＝90°，
∵∠AOB＋∠BAO＋∠ABO＝180°，
∴∠BAO＋∠ABO＝90°，
∵AE平分∠BAO，BE平分∠ABO，
∴∠BAE＝∠BAO，∠ABE＝∠ABO，
∴∠BAE＋∠ABE＝45°，
∵∠BAE＋∠ABE＋∠AEB＝180°，
∴∠AEB＝135°；
（2）
∵∠ABO＋∠BAO＝90°，
∴∠BAP＋∠ABM＝180°＋180°?90°＝270°，
∵AD、BC分別是∠BAP和∠ABM的角平分線，
∴∠DAB＝∠BAP，∠ABC＝∠ABM，
∴∠DAB＋∠ABC＝135°，
∴∠F＝180°－∠DAB－∠ABC＝45°，
又∵∠DAB＋∠ABC＋∠ADC＋∠BCD＝360°，
∴∠ADC＋∠BCD＝225°，
∵DE、CE分別是∠ADC和∠BCD的角平分線，
∴∠CDE＝∠ADC，∠DCE＝∠BCD，
∴∠CDE＋∠DCE＝112.5°，
∴∠CED＝180°－∠CDE－∠DCE＝67.5°，
故答案為：45°，67.5°；
（3）
∵AE平分∠BAO，AF平分∠OAG，
∴∠EAO＝∠BAO，∠FAO＝∠OAG，
∵∠BAO＋∠OAG＝180°，
∴∠EAO＋∠FAO＝90°，即∠EAF＝90°，
∵OE平分∠BOQ，
∴∠BOQ＝2∠EOQ，
∵∠EOQ＝∠E＋∠OAE，∠BOQ＝∠ABO＋∠BAO，
∴∠ABO＝2∠E，
在△AEF中，∵有一個角是另一個角的3倍，
故有4種情況：
①∠EAF＝3∠E＝90°時，則∠E＝30°，∠ABO＝60°；
②∠EAF＝3∠F＝90°時，則∠F＝30°，
∴∠E＝90°－30°＝60°，
∴∠ABO＝120°，（不合題意，舍去）；
③∠F＝3∠E時，
∵∠E＋∠F＝90°，
∴∠E＝22.5°，
∴∠ABO＝45°；
④∠E＝3∠F時，
∵∠E＋∠F＝90°，
∴∠E＝67.5°，
∴∠ABO＝135°，（不合題意，舍去）；
綜上，∠ABO的度數(shù)為60°或45°．
故答案為：90°．
【點評】本題主要考查了三角形的內(nèi)角和定理，角平分線的定義，三角形外角的性質(zhì)，四邊形的內(nèi)角和問題，靈活運用三角形的內(nèi)角和是180°，四邊形的內(nèi)角和是360°來求解角的度數(shù)是解題的關鍵．
13．(1)見解析
(2)，理由見解析
(3)，理由見解析

【分析】（1）根據(jù)平行線的判定定理即可得到結論；
（2）設，，，，過作，過作，推出，根據(jù)平行線的性質(zhì)得到，，得到，于是得到結論；
（3）設，，，，根據(jù)平行線的性質(zhì)得到，由三角形的外角的性質(zhì)得到，根據(jù)平角的定義得到，于是得到結論．
（1）
解：，，，
，
；
（2）
解：設，，，，
過作，過作，
，，，
，
，，
，，
，
，
；

（3）
解：，，
設，，，，
，
，
，
，
，
，
，
，
．
【點評】本題考查了平行線的判定和性質(zhì)，四邊形的內(nèi)角和，三角形的外角的性質(zhì)，解題的關鍵是正確的識別圖形．
14．（1）見解析；（2）①26°，理由見解析；②∠P=α+β，理由見解析
【分析】（1）根據(jù)三角形內(nèi)角和定理即可證明．
（2）【問題探究】由AP平分∠BAD的外角∠FAD，CP平分∠BCD的外角∠BCE，推出∠1=∠2，∠3=∠4，推出∠PAD=180°-∠2，∠PCD=180°-∠3，由∠P+（180°-∠1）=∠ADC+（180°-∠3），∠P+∠1=∠ABC+∠4，推出2∠P=∠ABC+∠ADC，即可解決問題．
【拓展延伸】由（1）的結論易求∠P+∠PDC=∠C+∠CAP，∠P+∠PAB=∠B+∠BDP，再將已知條件代入化簡即可求解∠P．
【詳解】（1）證明：∵∠A+∠B+∠AEB=180°，
∠C+∠D+∠CED=180°，
∴∠A+∠B+∠AEB=∠C+∠D+∠CED，
∵∠AEB=∠CED，
∴∠A+∠B=∠C+∠D；
（2）①解∶如圖3，

∵AP平分∠FAD，CP平分∠BCE
∴∠1=∠2，∠3=∠4，
∵∠PAD=180°-∠2，∠PCD=180°-∠3，
∴由（1）可得：∠P+180°-∠2=∠D+180°-∠3，
∠P+∠PAB=∠B+∠4，
又∠1=∠PAB，
∴∠P+∠1=∠B+∠4，
又∠P+180°-∠2=∠D+180°-∠3，
∴2∠P+∠1+180°-∠2=∠B+∠4+∠D+180°-∠3，
又∠1=∠2，∠3=∠4，
∴2∠P=∠B+∠D
∴∠P =(∠B+∠D)=26°
②解：∠P=α+β．
理由：∵∠CAP=∠CAB，∠CDP=∠CDB，
∴∠BAP=∠CAB，∠BDP=∠CDB，
由（1）可得：∠P+∠PDC=∠C+∠CAP，∠P+∠PAB=∠B+∠BDP，
∴∠P+∠CDB =∠C+∠CAB，①
∠P+∠CAB=∠B+∠CDB，②
①×2+②，得2∠P+∠CDB+∠P+∠CAB=2∠C+∠CAB+∠B+∠CDB，
∴3∠P=2∠C+∠B
∴∠P==α+β．
【點評】本題考查三角形內(nèi)角和，三角形的外角的性質(zhì)、多邊形的內(nèi)角和等知識，解題的關鍵是學會用方程組的思想思考問題，屬于中考常考題型．
15．(1)4；
(2)90°，45°；
(3)存在，或．

【分析】（1）根據(jù)題意求出BC=2，AB=OA+OB=4，根據(jù)三角形面積公式即可求出三角形的面積為；
（2）根據(jù)題意求出∠OBD+∠ODB=90°，根據(jù)得到∠OBD=∠BAC，即可得到；連接，得到，，，根據(jù)三角形內(nèi)角和為180°和即可求出；
（2）設P點坐標為，根據(jù)三角形和三角形的面積相等，得到，求出或，問題得解．
（1）
解：∵， 軸，
∴BC=2，AB=OA+OB=4，
∴三角形的面積為；
故答案為：4
（2）
解：∵OB⊥OD，
∴∠BOD=90°，
∴∠OBD+∠ODB=90°，
∵
∴∠OBD=∠BAC，
∴，
故答案為：90°；
連接，如圖2，
∵，分別平分，，
∴，，
∴，
∵，即，
而，
∴，
∴；

（3）
解：存在．如圖3，設P點坐標為，
∵三角形和三角形的面積相等，
∴，
即，
即
∴或，
∴P點坐標為或．

【點評】本題考查了平面直角坐標系中點的坐標特點，三角形的內(nèi)角和，直角三角形兩銳角互余等知識，綜合性較強，難度較大，理解相關知識并根據(jù)題意靈活應用是解題關鍵．
16．(1)BMCN，理由見解析
(2)①20°；②，理由見解析
(3)

【分析】（1）由α+β=180°先判斷ABCD，根據(jù)平行線的性質(zhì)得出∠DCE=∠ABC，再由角平分線的性質(zhì)證得結論；
（2）①根據(jù)α和β的度數(shù)，求出∠ABC+∠BCD，根據(jù)角平分線的性質(zhì)可知，∠ECN=∠DCN，∠CBM=∠ABM，設∠ECN=∠DCN=x，∠CBM=∠ABM=y，利用外角表示∠BOC即可；
②根據(jù)α和β的度數(shù)，求出∠ABC+∠BCD=180°-（α+β），根據(jù)角平分線的性質(zhì)可知，∠ECN=∠DCN，∠CBM=∠ABM，設∠ECN=∠DCN=x，∠CBM=∠ABM=y，利用外角表示∠BOC即可；
（3）根據(jù)α和β的度數(shù)，求出∠ABC+∠BCD=180°-（α+β），根據(jù)角平分線的性質(zhì)可知，∠ECN=∠DCN，∠CBM=∠ABM，設∠ECN=∠DCN=x，∠CBM=∠ABM=y，利用外角表示∠BOC即可．
（1）
解：CNBM，
理由如下：
∵α+β=180°，
∴ABCD，
∴∠DCE=∠ABC，
∵BM、CN分別是∠ABC、∠DCE的角平分線，
∴∠ECN=∠CBM，
∴CNBM；
（2）
解：①∵α=70°，β=150°，
∴∠ABC+∠BCD=360°-70°-150°=140°，
∵BM、CN分別是∠ABC、∠DCE的角平分線，
∴∠ECN=∠DCN，∠CBM=∠ABM，
設∠ECN=∠DCN=x，∠CBM=∠ABM=y，
∵∠ECN=∠BOC+∠CBM，
∴x=∠BOC+y，
∴∠BOC=x-y，
∵∠ECD+∠DCB=180°，
∴2x+140°-2y=180°，
∴x-y=20°，
∴∠BOC=20°．
故答案為：20°；
②∠BOC=，
理由如下：
∵四邊形內(nèi)角和為360°，
∴∠ABC+∠BCD=360°-（α+β），
∵BM、CN分別是∠ABC、∠DCE的角平分線，
∴∠ECN=∠DCN，∠CBM=∠ABM，
設∠ECN=∠DCN=x，∠CBM=∠ABM=y，
∵∠ECN=∠BOC+∠CBM，
∴x=∠BOC+y，
∴∠BOC=x-y，
∵∠ECD+∠DCB=180°，
∴2x+360°-（α+β）-2y=180°，
∴，
∴∠BOC=；
（3）
解：∠BOC=，
理由如下：
∵四邊形內(nèi)角和為360°，
∴∠ABC+∠BCD=360°-（α+β），
∵BM、CN分別是∠ABC、∠DCE的角平分線，
∴∠ECN=∠DCN，∠CBM=∠ABM，
設∠ECN=∠DCN=x，∠CBM=∠ABM=y，
∵∠CBM=∠BOC+∠BCO，∠ECN=∠BCO，
∴y=∠BOC+x，
∴∠BOC=y-x，
∵∠ECD+∠DCB=180°，
∴2x+360°-（α+β）-2y=180°，
∴，
∴∠BOC=．
故答案為：∠BOC=．
【點評】本題考查了多邊形的內(nèi)角與外角，解題的關鍵是根據(jù)多邊形的內(nèi)角和正確表示出各個角．
17．(1)60°；
(2)∠DPC=∠ADP+∠PCB，理由見解析；
(3)∠PCB=∠DPC+∠ADP；或∠ADP=∠DPC+∠PCB，圖及理由見解析．

【分析】（1）過P作，由，利用平行于同一條直線的兩直線平行，得到PM平行于AB，由PM平行于CD，利用兩直線平行內(nèi)錯角相等得到∠ADP=∠DPM，∠CPM=∠BCP，而∠DPC=∠DPM+∠CPM，等量代換可得證；
（2）過P作，由，利用平行于同一條直線的兩直線平行，得到PM平行于AB，由PM平行于CD，利用兩直線平行內(nèi)錯角相等得到∠ADP=∠DPM，∠CPM=∠BCP，而∠DPC=∠DPM+∠CPM，等量代換可得證；
（3）分別就兩種情況畫圖2和圖3，根據(jù)平行線的性質(zhì)和外角的性質(zhì)可得結論．
（1）
如圖1，過P作，

∵，
∴，
∴∠ADP=∠DPM，∠MPC=∠PCB，
∴∠DPM+∠CPM=∠ADP+∠PCB，
∴∠DPC=∠ADP+∠PCB，
∵∠ADP=25°、∠BCP=35°，
∴∠DPC=25°+35°=60°；
（2）
∠DPC=∠ADP+∠PCB，
理由：過P作，如圖1所示：
∵，
∴，
∴∠ADP=∠DPM，∠MPC=∠PCB，
∴∠DPM+∠CPM=∠ADP+∠PCB，
∴∠DPC=∠ADP+∠PCB；
（3）
①當P在射線AE上運動時，如圖2，∠PCB=∠DPC+∠ADP，

理由：∵，
∴∠PQA=∠PCB，
∵∠PQA=∠DPC+∠ADP，
∴∠PCB=∠DPC+∠ADP，
②當點P在射線BF上運動時，如圖3，∠ADP=∠DPC+∠PCB，

理由：∵，
∴∠ADP=∠DQC，
∵∠DQC=∠DPC+∠PCB，
∴∠ADP=∠DPC+∠PCB，
故答案為：∠PCB=∠DPC+∠ADP；∠ADP=∠DPC+∠PCB．
【點評】此題考查了平行線的判定與性質(zhì)及外角的性質(zhì)，利用了等量代換的思想，熟練掌握平行線的判定與性質(zhì)是解本題的關鍵．
18．(1)；
(2)；
(3)；
(4)，見解析．

【分析】（1）連接，證明即可；
（2）利用（1）中結論解答即可；
（3）直接利用三角形的外角性質(zhì)求解即可；
（4）同樣直接利用三角形的外角性質(zhì)求解即可．
（1）
解：如圖，連接，

，
，
，
，，
，
故答案為：；
（2）
解：由（1）可知，
，
故答案為：；
（3）
解：如圖，

，
，
，
即，
故答案為：；
（4）
解：，證明如下：
如圖，連接，

，
，
，
．
【點評】本題考查了三角形內(nèi)角和定理和三角形的外角和性質(zhì)，解題的關鍵是靈活運用所學求解．
19．(1)①平分，理由見解析；②36°
(2)當點P在點E的右側時，；當點P、點E在點A的左側，點F在點A的右側時，；當點P、點E、點F均在點A的左側時， ．

【分析】（1）①根據(jù)平行線的性質(zhì)可得∠ACD=72°，再由CE平分∠ACP，CF平分∠DCP，可得∠ACD=2∠ECF，再由∠ACP＝36°，可得∠PCF=∠PCE=18°，即可求解；②由①，即可求解；
（2）分三種情況討論：當點P在點E的右側時，；當點P、點E在點A的左側，點F在點A的右側時；當點P、點E、點F均在點A的左側時，即可求解．
（1）
解：①CP平分∠ECF，理由如下：
∵，∠CAB＝108°，
∴∠ACD=180°-∠CAB=72°，
∵CE平分∠ACP，CF平分∠DCP，
∴∠ACP=2∠PCE，∠DCP=2∠PCF，
∴∠ACD=2∠ECF，
∴∠ECF=∠PCE+∠PCF=36°，
∵∠ACP＝36°，
∴∠ACE=∠PCE=18°，
∴∠PCF=∠PCE=18°，
即CP平分∠ECF；
②由①得：∠ECF=36°；
（2）
解：當點P在點E的右側時，
∵，
∴∠AFC=∠DCF，
∵CF平分∠DCP，
∴∠DCF=∠PCF，
∴∠PCF=∠AFC，
∴∠APC=∠PCF+∠AFC=2∠AFC；
當點P、點E在點A的左側，點F在點A的右側時，

∵，
∴∠DCF=∠AFC，
∵CF平分∠DCP，
∴∠DCF=∠PCF，
∴∠PCF=∠AFC，
∵∠APC+∠PCF+∠AFC=180°，
∴；
當點P、點E、點F均在點A的左側時，如圖，

∵，
∴∠DCF=∠PFC，∠PCD=180°-∠APC，
∵CF平分∠DCP，
∴∠PCF=∠DCF，
∴∠PCF=∠PFC，
∵∠PCF=∠AFC-∠APC，
∴∠PFC=180°-∠AFC=∠AFC-∠APC，
∴；
綜上所述，當點P在點E的右側時，；當點P、點E在點A的左側，點F在點A的右側時，；當點P、點E、點F均在點A的左側時， ．
【點評】本題主要考查了平行線的性質(zhì)，有關角平分線的性質(zhì)，三角形的內(nèi)角和定理，三角形的外角和定理，熟練掌握平行線的性質(zhì)，三角形的內(nèi)角和定理，三角形的外角和定理是解題的關鍵．
20．(1)135°
(2)；理由見解析
(3)或或

【分析】延長交于，設，交于點，設，則，根據(jù)AB∥CD可表示出，進而根據(jù)三角形內(nèi)角和推論表示出，進而表示出，然后結合和得出關系式，進一步得出結果；
類比的方法過程，得出結果；
分為的三邊分別與平行，當PF'∥NM'時，與同的夾角銳角相等，從而列出方程求得結果，當PH'∥NM'時，同樣的方法求得，當F'H'∥NM'時，此時，根據(jù)四邊形內(nèi)角和列出方程求得結果．
（1）
解：如圖，

延長交于，設，交于點，
設，則，
∵AB∥CD，
，
，
，
，
，
在和中，
，，，
，
即：，
，
故答案為：；
（2）
解：如圖，
延長交于，設，交于點，
設，設，則，
∵AB∥CD，
，
，
，
，
在和中，
，，，
，
即：
；
（3）
解：如圖，

當PF'∥NM'時，
，
，
如圖，

當PH'∥NM'時，
，
，
如圖，

當F'H'∥NM'時，即，
，
，
綜上所述：或或．
【點評】本題考查了平行線判定和性質(zhì)，三角形內(nèi)角和定理及其推論，旋轉(zhuǎn)的性質(zhì)，四邊形內(nèi)角和等知識，解決問題的關鍵是正確分類，并找出相等關系列方程．

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