?第二十四章第24課正多邊形和圓
學(xué)校:___________姓名：___________班級(jí)：___________考號(hào)：___________

一、單選題
1．在下列正多邊形中，其內(nèi)角是中心角2倍的是（????）
A．正四邊形 B．正五邊形 C．正六邊形 D．正七邊形
2．如圖，正六邊形內(nèi)接于，點(diǎn)M在上，則的度數(shù)為（????）
??
A． B． C． D．
3．若一個(gè)正多邊形的中心角為40°，則這個(gè)多邊形的邊數(shù)是（????）
A．9 B．8 C．7 D．6
4．如圖，點(diǎn)O是正五邊形ABCDE的中心，⊙O是正五邊形的外接圓，∠ADE的度數(shù)為（????）

A．30° B．32° C．36° D．40°
5．如圖，和分別為內(nèi)接正方形，正六邊形和正n邊形的一邊，則n是（????）．

A．六 B．八 C．十 D．十二
6．一個(gè)正多邊形的半徑與邊長(zhǎng)相等，則這個(gè)正多邊形的邊數(shù)為（　　）
A．4 B．5 C．6 D．8
7．如圖，邊AB是⊙O內(nèi)接正六邊形的一邊，點(diǎn)C在上，且BC是⊙O內(nèi)接正八邊形的一邊，若AC是⊙O內(nèi)接正n邊形的一邊，則n的值是（　　）

A．6 B．12 C．24 D．48
8．一個(gè)正多邊形的中心角為，這個(gè)正多邊形的邊數(shù)是（????）
A．8 B．12 C．3 D．6
9．如圖，正六邊形ABCDEF內(nèi)接于⊙O，⊙O的半徑為1，則邊心距OM的長(zhǎng)為_(kāi)_______．

A． B． C． D．
10．如圖，在圓內(nèi)接正六邊形ABCDEF中，BD，EC交于點(diǎn)G，已知半徑為3，則EG的長(zhǎng)為（??）

A． B．3 C． D．6
11．如圖，正方形ABCD內(nèi)接于，點(diǎn)E為上一點(diǎn)，連接BE，若，，則正方形ABCD的邊長(zhǎng)為（????）

A．7 B． C． D．
12．如圖，正六邊形內(nèi)接于⊙，若⊙的周長(zhǎng)等于，則正六邊形的邊長(zhǎng)為（????）

A． B． C．3 D．
13．有一個(gè)正n邊形的中心角是36°，則n為（????）
A．7 B．8 C．9 D．10
14．下列說(shuō)法正確的是（????）
A．三點(diǎn)確定一個(gè)圓 B．任何三角形有且只有一個(gè)內(nèi)切圓
C．相等的圓心角所對(duì)的弧相等 D．正多邊形一定是中心對(duì)稱(chēng)圖形
15．圓內(nèi)接正六邊形的邊長(zhǎng)為 3，則該圓的直徑長(zhǎng)為（????）
A．3 B．3 C．3 D．6
16．如圖，正五邊形內(nèi)接于，點(diǎn)P為（點(diǎn)P與點(diǎn)D，點(diǎn)E不重合），連接，DG⊥PC，垂足為G，則等于（????）

A． B． C． D．
17．圓內(nèi)接四邊形中，四個(gè)角的度數(shù)比可順次為（????）
A． B． C． D．
18．如圖，在中，四邊形測(cè)得，連接，若的半徑為4，則的長(zhǎng)為（????）

A．2 B． C．4 D．
19．半徑為2的圓內(nèi)接正六邊形的邊心距是（????）
A．1 B． C． D．
20．如圖所示的圖案，其外輪廓是一個(gè)正五邊形，繞它的中心旋轉(zhuǎn)一定的角度后能夠與自身重合，則這個(gè)旋轉(zhuǎn)角可能是（????）

A． B． C． D．
21．如圖，的外切正六邊形的邊心距的長(zhǎng)度為，那么正六邊形的周長(zhǎng)為（????）

A．2 B．6 C．12 D．
22．如圖，將正六邊形放在平面直角坐標(biāo)系中，中心與坐標(biāo)原點(diǎn)重合，若，則點(diǎn)的坐標(biāo)是（????）

A． B． C． D．
23．如圖，在正六邊形的內(nèi)部以為邊作正方形，連接，則的值為（????）

A． B． C． D．1
24．如圖，點(diǎn)O是邊長(zhǎng)為4的正六邊形ABCDEF的中心，對(duì)角線CE，DF相交于點(diǎn)G，則的面積為（????）

A． B． C． D．
25．如圖，有一個(gè)直徑為的圓形紙片，若在該紙片上沿虛線剪一個(gè)最大正六邊形紙片，則這個(gè)正六邊形紙片的邊心距是（????）

A．1 B． C．2 D．4
26．把邊長(zhǎng)為2+的正方形沿過(guò)中心的一條直線折疊，兩旁重疊部分恰為正八邊形的一半，則這個(gè)正八邊形的邊EF的長(zhǎng)為（　?。?br />
A．1 B．2 C． D．2
27．如圖，邊長(zhǎng)為2的正六邊形放置于平面直角坐標(biāo)系中，邊在x軸正半軸上，頂點(diǎn)F在y軸正半軸上，將正六邊形繞原點(diǎn)O旋轉(zhuǎn)，則旋轉(zhuǎn)后頂點(diǎn)D的坐標(biāo)為（????）

A． B． C． D．
28．如圖所示的正八邊形的邊長(zhǎng)為2，則對(duì)角線的長(zhǎng)為（????）

A． B．4 C． D．6

二、填空題
29．一個(gè)圓內(nèi)接正多邊形的一條邊所對(duì)的圓心角是，則該正多邊形邊數(shù)是 ．
30．如圖，四邊形ABCD為⊙O的內(nèi)接正四邊形，△AEF為⊙O的內(nèi)接正三角形，連接DF．若DF恰好是同圓的一個(gè)內(nèi)接正多邊形的一邊，則這個(gè)正多邊形的邊數(shù)為 ．

31．如圖，點(diǎn)O為正六邊形ABCDEF的中心，連接AC，若正六邊形的邊長(zhǎng)為2，則點(diǎn)O到AC的距離OG的長(zhǎng)為 ．

32．如圖，由六塊相同的含30°角的直角三角尺拼成一個(gè)大的正六邊形，內(nèi)部留下一個(gè)小的正六邊形空隙，如果該直角三角尺的較短直角邊的長(zhǎng)是1分米，那么這個(gè)小的正六邊形的面積是 平方分米．


33．如圖，已知點(diǎn)G是正六邊形對(duì)角線上的一點(diǎn)，滿足，聯(lián)結(jié)，如果的面積為1，那么的面積等于 .


三、解答題
34．如圖，正三角形ABC內(nèi)接于⊙O，若AB=cm，求⊙O的半徑．

35．如圖，為正五邊形的外接圓，已知，請(qǐng)用無(wú)刻度直尺完成下列作圖，保留必要的畫(huà)圖痕跡．

(1)在圖1中的邊上求作點(diǎn)，使；
(2)在圖2中的邊上求作點(diǎn)，使．
36．如圖，四邊形是圓的內(nèi)接四邊形，延長(zhǎng)、相交于點(diǎn)，已知．
??
（1）求證：；
（2）若是四邊形外接圓的直徑，求證：．
37．如圖，是上的三個(gè)點(diǎn)，，點(diǎn)在上運(yùn)動(dòng)（不與點(diǎn)重合），連接，，．
???????
（1）如圖1，當(dāng)點(diǎn)在上時(shí)，求證：；
（2）如圖2，當(dāng)點(diǎn)在上時(shí)，求證：；
（3）如圖2，已知的半徑為，，求的長(zhǎng)．
38．如圖，六邊形ABCDEF是⊙O的內(nèi)接正六邊形．

(1)求證：在六邊形ABCDEF中，過(guò)頂點(diǎn)A的三條對(duì)角線四等分∠BAF．
(2)設(shè)⊙O的面積為S1，六邊形ABCDEF的面積為S2，求的值（結(jié)果保留π）．

參考答案：
1．C
【分析】設(shè)多邊形的邊數(shù)是n．每個(gè)內(nèi)角是，中心角是，根據(jù)內(nèi)角是中心角2倍，建立方程解方程即可求解．
【詳解】解：設(shè)多邊形的邊數(shù)是n．
則每個(gè)內(nèi)角是，中心角是．
根據(jù)題意得：＝2×
解得：n＝6．
故選：C．
【點(diǎn)睛】本題考查了正多邊形的性質(zhì)，多邊形內(nèi)角和公式，根據(jù)題意建立方程是解題的關(guān)鍵．
2．D
【分析】先求出正六邊形的中心角，再利用圓周角定理求解即可．
【詳解】解：連接OC、OD、OE，如圖所示：
??
∵正六邊形內(nèi)接于，
∴∠COD= =60°，則∠COE=120°，
∴∠CME= ∠COE=60°，
故選：D．
【點(diǎn)睛】本題考查正多邊形的中心角、圓周角定理，熟練掌握正n多邊形的中心角為是解答的關(guān)鍵．
3．A
【分析】根據(jù)正n邊形的中心角的度數(shù)為，即可求解．
【詳解】解：設(shè)這個(gè)正多邊形的邊數(shù)是n，
由題意得：，
解得：n＝9，
故選A．
【點(diǎn)睛】本題考查正多邊形的中心角與邊數(shù)的關(guān)系，解題的關(guān)鍵是掌握“正n邊形的中心角的度數(shù)為”．
4．C
【分析】連接OA，OE，由圓的內(nèi)接正多邊形先得到中心角的度數(shù)，再由圓周角定理即可求得∠ADE的度數(shù)．
【詳解】
如上圖所示，連接OA，OE
∵五邊形ABCDE是正五邊形
∴
∵⊙O是正五邊形ABCDE的外接圓
∴
故選：C．
【點(diǎn)睛】本題主要考查了圓的內(nèi)接正多邊形及圓周角定理，熟練掌握相關(guān)角度的計(jì)算方法是解決本題的關(guān)鍵．
5．D
【分析】分別求出∠AOB和∠COB，從而得到∠AOC，由此即可得到答案．
【詳解】解：如圖所示，連接OA，OC，OB，
∵AB和BC分別是正方形和正六邊形的一邊，
∴,，
∴，
∴，
故選D．

【點(diǎn)睛】本題主要考查了正多邊形與圓，熟練掌握正多邊形邊數(shù)與中心角的關(guān)系是解題的關(guān)鍵．
6．C
【分析】如圖（見(jiàn)解析），先根據(jù)等邊三角形的判定與性質(zhì)可得，再根據(jù)正多邊形的中心角與邊數(shù)的關(guān)系即可得．
【詳解】解：如圖，由題意得：，
是等邊三角形，
，
則這個(gè)正多邊形的邊數(shù)為，
故選：C．

【點(diǎn)睛】本題考查了正多邊形，熟練掌握正多邊形的中心角與邊數(shù)的關(guān)系是解題關(guān)鍵．
7．C
【分析】根據(jù)中心角的度數(shù)=360°÷邊數(shù)，列式計(jì)算分別求出∠AOB，∠BOC的度數(shù)，可得∠AOC=15°，然后根據(jù)邊數(shù)n=360°÷中心角即可求得答案．
【詳解】解：連接OC，

∵AB是⊙O內(nèi)接正六邊形的一邊，
∴∠AOB＝360°÷6＝60°，
∵BC是⊙O內(nèi)接正八邊形的一邊，
∴∠BOC＝360°÷8＝45°，
∴∠AOC＝∠AOB－∠BOC＝60°－45°＝15°
∴n＝360°÷15°＝24．
故選：C．
【點(diǎn)睛】本題考查了正多邊形和圓、正六邊形的性質(zhì)、正八邊形、正二十四邊形的性質(zhì)；根據(jù)題意求出中心角的度數(shù)是解題的關(guān)鍵．
8．B
【分析】根據(jù)正n邊形的中心角的度數(shù)為，列方程即可得到答案．
【詳解】解：，解得．
這個(gè)正多邊形的邊數(shù)為12．
故選：B．
【點(diǎn)睛】本題考查的是正多邊形中心角的知識(shí)，掌握中心角的計(jì)算公式是解題的關(guān)鍵．
9．B
【分析】連接OA、OB，證明△OAB是等邊三角形，得出AB＝OA＝1，由垂徑定理求出AM，再由勾股定理求出OM即可．
【詳解】解：連接OA、OB，如圖所示：

∵六邊形ABCDEF為正六邊形，
，
∵OA＝OB，
∴△OAB是等邊三角形，
∴AB＝OA＝1，
∵OM⊥AB，
∴AM＝BM＝AB＝，
∴，
故選：B．
【點(diǎn)睛】本題考查了正多邊形和圓、正六邊形的性質(zhì)、垂徑定理、勾股定理、等邊三角形的判定與性質(zhì)；熟練掌握正六邊形的性質(zhì)，證明三角形是等邊三角形和運(yùn)用垂徑定理求出BM是解決問(wèn)題的關(guān)鍵．
10．C
【分析】連接BO、GO，則三角形EOG為直角三角形，利用勾股定理即可求解．
【詳解】解：連接BE、GO，則BE經(jīng)過(guò)O點(diǎn)，且O是BE的中點(diǎn)，
∵六邊形ABCDEF是正六邊形，
∴，
，
∵DE=EC，
∴，
∵，
∴，
∴，
設(shè)EG的長(zhǎng)為x，則OG的長(zhǎng)為，
∴，
解得：．

故選：C．
【點(diǎn)睛】本題考查了圓內(nèi)接正六邊形的性質(zhì)、勾股定理的應(yīng)用，解題的關(guān)鍵是掌握各知識(shí)點(diǎn)，并能結(jié)合圖形熟練運(yùn)用各知識(shí)點(diǎn)．
11．B
【分析】連接DB、OC、OE，根據(jù)圓內(nèi)接正多邊形性質(zhì)，可證是等邊三角形，從而可得BO=CO=OE=5，由此即可解題．
【詳解】解：連接DB、OC、OE，
，
∵正方形內(nèi)接于，
∴，，三點(diǎn)共線，
又∵，
∴，
又∵BO=CO=OE，
∴是等邊三角形，
又∵，
∴BO=CO=OE=5，
∴，選項(xiàng)B符合題意．
故選B
【點(diǎn)睛】本題考查了正多邊形和圓、等邊三角形判斷與性質(zhì)，掌握?qǐng)A內(nèi)接正多邊形性質(zhì)，正確添加輔助線，得出是等邊三角形是解題的關(guān)鍵．
12．C
【分析】連接OB，OC，由⊙O的周長(zhǎng)等于6π，可得⊙O的半徑，又由圓的內(nèi)接多邊形的性質(zhì)，即可求得答案．
【詳解】解：連接OB，OC，

∵⊙O的周長(zhǎng)等于6π，
∴⊙O的半徑為：3，
∵∠BOC360°＝60°，
∵OB＝OC，
∴△OBC是等邊三角形，
∴BC＝OB＝3，
∴它的內(nèi)接正六邊形ABCDEF的邊長(zhǎng)為3，
故選：C．
【點(diǎn)睛】此題考查了正多邊形與圓的性質(zhì)．此題難度適中，注意掌握數(shù)形結(jié)合思想的應(yīng)用．
13．D
【分析】根據(jù)正多邊形的中心角和為360°計(jì)算即可．
【詳解】解：，
故選：D．
【點(diǎn)睛】本題考查的是正多邊形和圓，熟知正多邊形的中心角的和是360°是解題的關(guān)鍵．
14．B
【分析】根據(jù)確定圓的條件、三角形的內(nèi)切圓、圓心角化和弧的關(guān)系、中心對(duì)稱(chēng)圖形的概念判斷．
【詳解】解：A、不在同一直線上的三點(diǎn)確定一個(gè)圓，故錯(cuò)誤；
B、任何三角形有且只有一個(gè)內(nèi)切圓，正確；
C、在同圓或等圓中，相等的圓心角所對(duì)的弧相等，故錯(cuò)誤；
D、邊數(shù)是偶數(shù)的正多邊形一定是中心對(duì)稱(chēng)圖形，故錯(cuò)誤；
故選：B．
【點(diǎn)睛】本題考查的是命題的真假判斷，正確的命題叫真命題，錯(cuò)誤的命題叫做假命題．判斷命題的真假關(guān)鍵是要熟悉課本中的性質(zhì)定理．
15．D
【分析】根據(jù)題意作出圓內(nèi)接正六邊形，連接OA，OB，證明是等邊三角形即可得解；
【詳解】如圖，連接OA，OB，

∵圓內(nèi)接正六邊形的邊長(zhǎng)為3，
∴，，
∴是等邊三角形，
∴，
∴該圓的直徑為；
故選D．
【點(diǎn)睛】本題主要考查了正多邊形和圓，等邊三角形的判定與性質(zhì)，準(zhǔn)確計(jì)算是解題的關(guān)鍵．
16．B
【分析】連接OC，OD．求出正五邊形的中心角，再利用圓周角定理可得結(jié)論．
【詳解】解：連接OC，OD．

在正五邊形ABCDE中，∠COD==72°，
∴∠CPD=∠COD=36°，
∵DG⊥PC，
∴∠PGD=90°，
∴∠PDG=90°-36°=54°，
故選：B．
【點(diǎn)睛】本題考查正多邊形的性質(zhì)，圓周角定理等知識(shí)，解題的關(guān)鍵是熟練掌握基本知識(shí)，屬于中考?？碱}型．
17．B
【分析】根據(jù)圓內(nèi)接四邊形的對(duì)角互補(bǔ)，可知兩組相對(duì)的角比例和相等，即可判斷結(jié)果．
【詳解】解：∵圓內(nèi)接四邊形的對(duì)交互補(bǔ)，即相加等于180°，
故：A選項(xiàng)：4+2≠3+1，錯(cuò)誤；
B選項(xiàng)：4+1=3+2，正確；
C選項(xiàng)：4+3≠2+1，錯(cuò)誤；
D選項(xiàng)：4+3≠1+2，錯(cuò)誤．
故：選B．
【點(diǎn)睛】掌握?qǐng)A內(nèi)接四邊形對(duì)角的關(guān)系是解本題的關(guān)鍵．
18．C
【分析】連接OA，OC，利用內(nèi)接四邊形的性質(zhì)得出∠D＝30°，進(jìn)而得出∠AOC＝60°，利用等邊三角形性質(zhì)解答即可．
【詳解】解：連接OA，OC，
∵四邊形ABCD是⊙O的內(nèi)接四邊形，
∴∠B＋∠D＝180°，
解得：∠D＝30°，
∴∠AOC＝60°，
又OC=OA，
∴△OAC是等邊三角形，
又AC=4，
∴半徑OC=OA=4.
故選：C．

【點(diǎn)睛】此題考查內(nèi)接四邊形的性質(zhì)，關(guān)鍵是利用內(nèi)接四邊形的性質(zhì)得出∠D＝30°．
19．B
【分析】圓內(nèi)接正六邊形的邊心距可轉(zhuǎn)化為正三角形的高，根據(jù)勾股定理求解即可．
【詳解】解：邊長(zhǎng)為2的正六邊形可以分成六個(gè)邊長(zhǎng)為2的正三角形，
而正六邊形的邊心距即為每個(gè)邊長(zhǎng)為2的正三角形的高，即圖中OD長(zhǎng)度，
如圖，△OAB是邊長(zhǎng)為2的正三角形，OD⊥AB，
由垂徑定理可知，AD=BD=1，OD=；
故選：B．

【點(diǎn)睛】本題考查正多邊形的概念和計(jì)算，看清題目，把圓和多邊形準(zhǔn)確轉(zhuǎn)化是解題的關(guān)鍵．
20．B
【分析】求出正五邊形的中心角即可解決問(wèn)題；
【詳解】解：正五邊形的中心角，
繞它的中心旋轉(zhuǎn)角度后能夠與自身重合，
故選：B．
【點(diǎn)睛】本題考查旋轉(zhuǎn)對(duì)稱(chēng)圖形，解題的關(guān)鍵是理解題意，靈活運(yùn)用所學(xué)知識(shí)解決問(wèn)題，屬于中考常考題型．
21．C
【分析】過(guò)點(diǎn)O作OG⊥AB，垂足為G，根據(jù)邊心距得到OG=，證明△OAB是等邊三角形，利用勾股定理求出AB，從而可得周長(zhǎng)．
【詳解】解：如圖，過(guò)點(diǎn)O作OG⊥AB，垂足為G，
由題意可得：OG=，
在正六邊形ABCDEF中，∠AOB==60°，OA=OB，
∴△OAB是等邊三角形，
∴AB=OA==2，
∴正六邊形ABCDEF的周長(zhǎng)為2×6=12，
故選：C．

【點(diǎn)睛】本題考查的是正多邊形和圓，根據(jù)正六邊形的性質(zhì)求出△OAB是等邊三角形是解答此題的關(guān)鍵．
22．B
【分析】如圖所示，連接OC，證明△OCD是等邊三角形，得到OD=CD=AB=2，即可得到答案．
【詳解】解：如圖所示，連接OC，
∵點(diǎn)O是正六邊形的中心，
∴OC=OD，，
∴△OCD是等邊三角形，
∴OD=CD=AB=2，
∴點(diǎn)D的坐標(biāo)為（2，0），
故選B．

【點(diǎn)睛】本題主要考查了求正多邊形中心角，等邊三角形的性質(zhì)與判定，坐標(biāo)與圖形，正確推出△OCD是等邊三角形是解題的關(guān)鍵．
23．D
【分析】由題意可知，，推出，所以，推出，即可求出的值．
【詳解】解：由題意可知，，
，
，
，
，
，
．
故選：D．
【點(diǎn)睛】本題考查了正多邊形與圓以及特殊角的正切值，正確利用正多邊形內(nèi)角和公式是解題的關(guān)鍵．
24．C
【分析】根據(jù)ABCDEF是邊長(zhǎng)為4的正六邊形，可得CD=DE=DF，∠CDE=∠DEF=120°，根據(jù)三角形內(nèi)角和定理可得∠CED=∠ECD=∠EDF=∠EFD=30°，所以∠FEG=90°，然后利用含30度角的直角三角形可得EG的長(zhǎng)，進(jìn)而可以解決問(wèn)題．
【詳解】解：∵ABCDEF是邊長(zhǎng)為4的正六邊形，
∴CD=DE=DF，∠CDE=∠DEF=120°，
∴∠CED=∠ECD=∠EDF=∠EFD=30°，
∴∠FEG=90°，
∵EF=4，
∴EG=EF=，
∴△GEF的面積=×EF?GE=，
故選：C．
【點(diǎn)睛】本題考查了正多邊形和圓，三角形的面積，解決本題的關(guān)鍵是掌握正六邊形的性質(zhì)．
25．B
【分析】連接OA、OB，根據(jù)圓內(nèi)接正六邊形的性質(zhì)得到△AOB是等邊三角形，作OC⊥AB于C，求得∠AOC= 30°，由OA=2cm，得到AC=1cm，根據(jù)勾股定理求出OC即可．
【詳解】如圖，連接OA、OB，則△AOB是等邊三角形，作OC⊥AB于C，
∵△AOB是等邊三角形，
∴∠OAB= 60°，
∴∠AOC= 30°，
∵OA=2cm，
∴AC=1cm，
OC=，
故選：B．

【點(diǎn)睛】此題考查圓內(nèi)接正六邊形的性質(zhì)，等邊三角形的性質(zhì)，勾股定理，直角三角形30度角所對(duì)的直角邊等于斜邊的一半的性質(zhì)，熟記圓內(nèi)接正六邊形的性質(zhì)是解題的關(guān)鍵．
26．C
【分析】重疊部分為正八邊形的一半，則△CGF、△B'EF是全等的等腰直角三角形，設(shè)CG=x，則GF=x，B'F=x，從而B(niǎo)C=x+x+x=2+，即可解決問(wèn)題．
【詳解】解：如圖，

∵重疊部分為正八邊形的一半，
∴GF=EF=PE=HP，∠GFE=∠FEP=∠HPE=135°，
∴∠GFC=∠B'FE=∠DEP=∠A'PH=45°，
∴△CGF、△B'EF是全等的等腰直角三角形，
設(shè)CG=x，則GF=x，B'F=x，
∴BG=B'G=x+x，
∴BC=x+x+x=2+，
∴x=1，
∴GF=，
故選：C．
【點(diǎn)睛】本題主要考查了正方形的性質(zhì)，正八邊形的性質(zhì)，等腰直角三角形的判定與性質(zhì)、折疊性質(zhì)等知識(shí)，用參數(shù)x表示出BC的長(zhǎng)是解題的關(guān)鍵．
27．A
【分析】如圖，連接AD，BD．首先確定點(diǎn)D的坐標(biāo)，再根據(jù)中心對(duì)稱(chēng)即可求解．
【詳解】如圖，連接AD，BD．
在正六邊形ABCDEF中，AB=2，則AD=4，∠ABD=90°，

∴BD=，
在Rt△AOF中，AF=1，∠OAF=60°，
∴∠OFA=30°，
∴OA=AF=，
∴OB=OA+AB=，
∴D，
將正六邊形繞原點(diǎn)O旋轉(zhuǎn)，則旋轉(zhuǎn)后頂點(diǎn)D的坐標(biāo)為，
故選A
【點(diǎn)睛】本題考查了正多邊形與圓，含30度角的直角三角形的性質(zhì)，勾股定理，中心對(duì)稱(chēng)，掌握以上知識(shí)是解題的關(guān)鍵．
28．A
【分析】標(biāo)出點(diǎn)C，D，E，F(xiàn)，連接CD，連接AC，BD交于點(diǎn)O，過(guò)點(diǎn)E作EG⊥AB于G，過(guò)點(diǎn)F作FH⊥AB于H，根據(jù)正多邊形和圓的性質(zhì)，矩形的判定定理和性質(zhì)確定∠DAB=∠ABC=90°，根據(jù)多邊形的內(nèi)角和定理確定∠DAE=∠AEF=∠FBC=135°，根據(jù)角的和差關(guān)系，平行線的判定定理確定，根據(jù)平行線的性質(zhì)，矩形的判定定理和性質(zhì)求出GH的長(zhǎng)度，根據(jù)三角形內(nèi)角和定理，等角對(duì)等邊，勾股定理求出GA和HB的長(zhǎng)度，最后根據(jù)線段的和差關(guān)系即可求出AB的長(zhǎng)度．
【詳解】解：如下圖所示，標(biāo)出點(diǎn)C，D，E，F(xiàn)，連接CD，連接AC，BD交于點(diǎn)O，過(guò)點(diǎn)E作EG⊥AB于G，過(guò)點(diǎn)F作FH⊥AB于H．

根據(jù)圖形可知直線AC和直線BD是正八邊形的對(duì)稱(chēng)軸．
∴AC和BD是該正八邊形外接圓的直徑．
∴AC=BD，點(diǎn)O為該正八邊形外接圓的圓心．
∴OA=OB=OC=OD．
∴四邊形ABCD是平行四邊形．
∴四邊形ABCD是矩形．
∴∠BAD=∠ABC=90°．
∵正八邊形的邊長(zhǎng)為2，
∴AE=EF=FB=2，．
∴∠GAE=∠DAE-∠DAB=45°，∠HBF=∠FBC-∠ABC=45°．
∴∠AEF+∠GAE=180°．
∴．
∴∠EGH+∠GEF=180°．
∵EG⊥AB，F(xiàn)H⊥AB，
∴∠EGH=∠FHG=∠EGA=∠FHB=90°．
∴∠GEF=180°-∠EGH=90°，∠GEA=180°-∠EGA-∠GAE=45°，∠HFB=180°-∠FHB-∠HBF=45°，，．
∴四邊形EGHF是矩形，∠GAE=∠GEA，∠HFB=∠HBF．
∴GH=EF=2，GA=GE，HB=HF．
∴，．
∴，．
∴．
故選：A．
【點(diǎn)睛】本題考查正多邊形與圓的性質(zhì)，多邊形的內(nèi)角和定理，矩形的判定定理和性質(zhì)，平行線的判定定理和性質(zhì)，三角形內(nèi)角和定理，等角對(duì)等邊，勾股定理，熟練掌握這些知識(shí)點(diǎn)是解題關(guān)鍵．
29．六
【分析】根據(jù)正多邊形的中心角＝計(jì)算即可．
【詳解】解：設(shè)正多邊形的邊數(shù)為n．
由題意得，＝60°，
∴n＝6，
故答案為：六．
【點(diǎn)睛】本題考查正多邊形和圓，解題的關(guān)鍵是記住正多邊形的中心角＝．
30．12
【分析】連接OA、OD、OF，如圖，利用正多邊形與圓，分別計(jì)算⊙O的內(nèi)接正四邊形與內(nèi)接正三角形的中心角得到∠AOD=90°，∠AOF=120°，則∠DOF=30°，然后計(jì)算即可得到n的值．
【詳解】解：連接OA、OD、OF，如圖，設(shè)這個(gè)正多邊形為n邊形，

∵AD，AF分別為⊙O的內(nèi)接正四邊形與內(nèi)接正三角形的一邊，
∴∠AOD==90°，∠AOF==120°，
∴∠DOF=∠AOF-∠AOD=30°，
∴n==12，即DF恰好是同圓內(nèi)接一個(gè)正十二邊形的一邊．
故答案為：12．
【點(diǎn)睛】本題考查了正多邊形與圓：把一個(gè)圓分成n（n是大于2的自然數(shù)）等份，依次連接各分點(diǎn)所得的多邊形是這個(gè)圓的內(nèi)接正多邊形，這個(gè)圓叫做這個(gè)正多邊形的外接圓；熟練掌握正多邊形的有關(guān)概念．
31．1
【分析】連接OA、OC、OD，證△OCD是等邊三角形，得OC＝CD＝2，∠OCD＝60°，再證∠OCG＝30°，然后由含30°角的直角三角形的性質(zhì)求解即可．
【詳解】解：連接OA、OC、OD，如圖所示：
∵點(diǎn)O為正六邊形ABCDEF的中心，邊長(zhǎng)為2，
∴∠B＝∠BCD＝（6﹣2）×180°÷6＝120°，OC＝OD，∠COD60°，AB＝BC＝CD＝2，
∴∠BCA＝∠BAC＝30°，△OCD是等邊三角形，
∴OC＝CD＝2，∠OCD＝60°，
∴∠OCG＝120°﹣30°﹣60°＝30°，
∵OG⊥AC，
∴OGOC＝1，
即點(diǎn)O到AC的距離OG的長(zhǎng)為1，
故答案為：1．

【點(diǎn)睛】本題考查了正多邊形和圓、等邊三角形的判定與性質(zhì)以及含30°角的直角三角形的性質(zhì)等知識(shí)，熟練掌握正六邊形的性質(zhì)，證明△OCD為等邊三角形是解題的關(guān)鍵．
32．
【分析】求出內(nèi)部留的小正六邊形的邊長(zhǎng)，再根據(jù)正六邊形的面積的計(jì)算方法進(jìn)行計(jì)算即可．
【詳解】解：由含30°的直角三角形的性質(zhì)可知斜邊是短直角邊的2倍；
根據(jù)拼圖可知，內(nèi)部留下一個(gè)小的正六邊形的邊長(zhǎng)為1分米，
所以它的面積為16（平方分米），
故答案為：．
【點(diǎn)睛】本題考查正多邊形與圓，含有30°角的直角三角形，掌握含有30°角的直角三角形的邊角關(guān)系以及正多邊形與圓的有關(guān)計(jì)算方法是解決問(wèn)題的前提．
33．4
【分析】解：如圖，聯(lián)結(jié)CE，由得，由六邊形是正六邊形證明，從而得的面積為的面積的4倍即可求解．
【詳解】解：如圖，聯(lián)結(jié)CE，

，
，
六邊形是正六邊形，
AB=AF=EF=BC，，
，
，
，
，
四邊形BCEF是平行四邊形，
，
的面積為1，，
的面積為，
故答案為4．
【點(diǎn)睛】本題主要考查了正多邊形的性質(zhì)及平行四邊形的判定及性質(zhì)，作出輔助線構(gòu)造平行四邊形是解題的關(guān)鍵．
34．2cm
【分析】利用等邊三角形的性質(zhì)得出點(diǎn)O既是三角形內(nèi)心也是外心，進(jìn)而求出∠OBD=30°，BD=CD，再利用銳角函數(shù)關(guān)系得出BO即可．
【詳解】過(guò)點(diǎn)O作OD⊥BC于點(diǎn)D，連接BO，
∵正三角形ABC內(nèi)接于⊙O，
∴點(diǎn)O即是三角形內(nèi)心也是外心，
∴∠OBD=30°，BD=CD=BC=AB=，
∴cos30°===，
解得：BO=2，
即⊙O的半徑為2cm．

【點(diǎn)睛】考查了正多邊形和圓，利用正多邊形內(nèi)外心的特殊關(guān)系得出∠OBD=30°，BD=CD是解題關(guān)鍵．
35．(1)見(jiàn)解析
(2)見(jiàn)解析

【分析】（1）連接AO并延長(zhǎng) 與CD相交，連接EF交AO延長(zhǎng)線于M，連接BM與DE的交點(diǎn)即為所求作；
（2）在（1）的基礎(chǔ)上，連接BO并延長(zhǎng)與DE相交，連接AG交BO延長(zhǎng)線于N，連接CN并延長(zhǎng)即可．
【詳解】（1）連接AO并延長(zhǎng) 與CD相交，連接EF交AO延長(zhǎng)線于M，連接BM交DE于點(diǎn)G，則點(diǎn)G為所求作，如圖1所示；
理由：
∵⊙O為正五邊形的外接圓，
∴直線AO是正五邊形ABCDE的一條對(duì)稱(chēng)軸，點(diǎn)B與點(diǎn)E、點(diǎn)C與點(diǎn)D分別是一對(duì)對(duì)稱(chēng)點(diǎn)．
∵點(diǎn)M在直線AO上，
∴射線BM與射線EF關(guān)于直線AO對(duì)稱(chēng)，從而點(diǎn)F與點(diǎn)G關(guān)于直線AO對(duì)稱(chēng)，
∴CF與DG關(guān)于直線AO對(duì)稱(chēng)．
∴DG=CF．

（2）在（1）的基礎(chǔ)上，連接BO并延長(zhǎng)與DE相交，連接AG交BO延長(zhǎng)線于N，連接CN，如圖2所示；

【點(diǎn)睛】本題考查了作圖：無(wú)刻度直尺作圖，考查了正五邊形的對(duì)稱(chēng)性質(zhì)，掌握正五邊形的性質(zhì)是解題的關(guān)鍵．
36．（1）見(jiàn)解析；（2）見(jiàn)解析．
【分析】（1）根據(jù)圓內(nèi)接四邊形對(duì)角互補(bǔ)證得∠B＝∠C，從而利用等角對(duì)等邊證得AB＝AC；
（2）連接AE，將證明弧相等轉(zhuǎn)化為弧相對(duì)的圓周角相等來(lái)實(shí)現(xiàn)．
【詳解】（1）∵四邊形ABED是圓內(nèi)接四邊形，
∴∠B+∠ADE=180°
又∵∠EDC+∠ADE=180°
∴∠EDC=∠B
又∵∠EDC=∠C
∴∠B=∠C
∴AB=AC
（2）連接AE
??
∵AB是圓的直徑
∴∠AEB=90°
又∵AB=AC
∴AE平分∠BAC
∴∠BAE=∠EAD
∴
【點(diǎn)睛】本題考查圓內(nèi)接四邊形及圓的有關(guān)性質(zhì)，解題的關(guān)鍵是知道圓內(nèi)接四邊形及圓的有關(guān)性質(zhì)．
37．（1）見(jiàn)解析；（2）見(jiàn)解析；（3）AB=10
【分析】（1）根據(jù)同圓中等弦所對(duì)的圓周角相等可求證；
（2）根據(jù)題意易得∠ADB+∠ACB=180°，∠ACB=∠ADC，進(jìn)而問(wèn)題可證；
（3）連接OB，過(guò)點(diǎn)A作AE⊥BC交于點(diǎn)E，由題意易得圓心O在線段AE上，然后可得BE=EC=6，然后根據(jù)勾股定理可求解．
【詳解】（1）證明：∵AB=AC，
∴弧AB=弧AC
∴∠ADB=∠ADC；
（2）證明：∵四邊形ADBC是圓內(nèi)接四邊形，
∴∠ADB+∠ACB=180°，
∵AB=AC，
∴∠ABC=∠ACB，
∵∠ADC=∠ABC
∴∠ACB=∠ADC，
∴；
（3）解：連接OB，過(guò)點(diǎn)A作AE⊥BC交于點(diǎn)E，如圖所示：

∵AB=AC，BC=12，
∴BE=EC=6，
∴AE是線段BC的垂直平分線，
∵△ABC是⊙O的內(nèi)接三角形，
∴圓心O在線段AE上，
∵OB=OA=，
∴在Rt△BEO中，，
∴，
∴在Rt△AEB中，．
【點(diǎn)睛】本題主要考查圓內(nèi)接四邊形、垂徑定理及圓周角，熟練掌握?qǐng)A內(nèi)接四邊形、垂徑定理及圓周角是解題的關(guān)鍵．
38．(1)證明見(jiàn)解析
(2)

【分析】（1）如圖，連接AE，AD，AC，根據(jù)正六邊形的性質(zhì)得到EF＝ED＝CD＝BC，求得，于是得到∠FAE＝∠EAD＝∠DAC＝∠CAB，即可得到結(jié)論；
（2）如圖，過(guò)O作OG⊥DE于G，連接OE，設(shè)⊙O的半徑為r，推出△ODE是等邊三角形，得到DE＝OD＝r，∠OED＝60°，根據(jù)勾股定理得到OGr，根據(jù)三角形和圓的面積公式即可得到結(jié)論．
【詳解】（1）證明：如圖，連接AE，AD，AC，
∵六邊形ABCDEF是⊙O的內(nèi)接正六邊形，
∴EF＝ED＝CD＝BC，
∴，
∴∠FAE＝∠EAD＝∠DAC＝∠CAB，
∴過(guò)頂點(diǎn)A的三條對(duì)角線四等分∠BAF；
（2）解：如圖，過(guò)O作OG⊥DE于G，連接OE，
設(shè)⊙O的半徑為r，

∵∠DOE60°，OD＝OE＝r，
∴△ODE是等邊三角形，
∴DE＝OD＝r，∠OED＝60°，
∴∠EOG＝30°，
∴EGr，
∴OGr，
∴正六邊形ABCDEF的面積＝6rrr2，
∵⊙O的面積＝πr2，
∴．
【點(diǎn)睛】本題考查了正多邊形與圓，正六邊形的性質(zhì)，勾股定理，正確的作出輔助線是解題的關(guān)鍵．

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24.3 正多邊形和圓

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