人教版數(shù)學九年級上冊24.3《正多邊形的畫法》（第2課時）練習（原卷版+解析版）-試卷下載-教習網(wǎng)

?24.3正多邊形的畫法（第2課時）（作業(yè)）
（夯實基礎(chǔ)+能力提升）
【夯實基礎(chǔ)】
一、單選題
1．（2021·全國·九年級課時練習）如圖，已知，求作：內(nèi)接正六邊形，以下是甲、乙兩同學的作業(yè)：
甲：①先作直徑；②作的垂直平分線交于點、；③作的垂直平分線交于點、；④依次連接，六邊形即為所求（如圖①）．
乙：①上任取點，以點為圓心，為半徑畫弧，交于點；②以點為圓心，為半徑畫弧交于點；③同上述作圖方法逆時針作出點、、；④依次連接，多邊形即為正六邊形（如圖②）．
對于兩人的作業(yè)，下列說法正確的是（????）

A．兩人都不對 B．甲對，乙不對 C．兩人都對 D．甲不對，乙對
【答案】C
【分析】由甲同學的作業(yè)可知，，同理可知，由乙同學的作業(yè)可知．依次畫弧可得．進而即可判斷
【詳解】由甲同學的作業(yè)可知，，同理可知，
六邊形是正六邊形，即甲同學的作業(yè)正確．
由乙同學的作業(yè)可知．依次畫弧可得．
六邊形為正六邊形，即乙同學的作業(yè)正確．
故選C
【點睛】本題考查了正多邊形的尺規(guī)作圖，掌握正多邊形與圓的相關(guān)知識是解題的關(guān)鍵．
2．（2022·江蘇·九年級課時練習）在2022年北京冬奧會開幕式和閉幕式中，一片“雪花”的故事展現(xiàn)了“世界大同、天下一家”的主題，讓世界觀眾感受了中國人的浪漫，如圖，將“雪花”圖案（邊長為4的正六邊形ABCDEF）放在平面直角坐標系中，若AB與x軸垂直，頂點A的坐標為（2，-3）．則頂點C的坐標為（????）

A． B． C． D．
【答案】A
【分析】根據(jù)正六邊形的性質(zhì)以及坐標與圖形的性質(zhì)進行計算即可．
【詳解】解：如圖，連接BD交CF于點M，交y軸于點N，設(shè)AB交x軸于點P，

根據(jù)題意得：BD∥x軸，AB∥y軸，BD⊥AB，∠BCD=120°，AB=BC=CD=4，
∴BN=OP，∠CBD=CDB=30°，BD⊥y軸，
∴，
∴，
∵點A的坐標為（2，-3），
∴AP=3，OP=BN=2，
∴，BP=1，
∴點C的縱坐標為1+2=3，
∴點C的坐標為．
故選：A
【點睛】本題考查正多邊形，勾股定理，直角三角形的性質(zhì)，掌握正六邊形的性質(zhì)以及勾股定理是正確計算的前提，理解坐標與圖形的性質(zhì)是解決問題的關(guān)鍵．
3．（2022·全國·九年級課時練習）大自然中有許多小動物都是“小數(shù)學家”，如圖1，蜜蜂的蜂巢結(jié)構(gòu)非常精巧、實用而且節(jié)省材料，多名學者通過觀測研究發(fā)現(xiàn)：蜂巢巢房的橫截面大都是正六邊形．如圖2，一個巢房的橫截面為正六邊形，若對角線的長約為8mm，則正六邊形的邊長為（???）

A．2mm B． C． D．4mm
【答案】D
【分析】如圖，連接CF與AD交于點O，易證△COD為等邊三角形，從而CD=OC=OD=AD，即可得到答案．
【詳解】連接CF與AD交于點O，
∵為正六邊形，
∴∠COD= =60°，CO=DO，AO=DO=AD=4mm，
∴△COD為等邊三角形，
∴CD=CO=DO=4mm，
即正六邊形的邊長為4mm，
故選：D．

【點睛】本題考查了正多邊形與圓的性質(zhì)，正確把握正六邊形的中心角、半徑與邊長的關(guān)系是解題的關(guān)鍵．

二、填空題
4．（2022·湖北·武漢市第十一中學九年級階段練習）第二十四屆北京冬奧會入場式引導牌上的圖案融入了中國結(jié)和雪花兩種元素．如圖這個圖案繞著它的中心旋轉(zhuǎn)后能夠與它本身重合，則旋轉(zhuǎn)角α最小可以為_____度．

【答案】60
【分析】先求出正六邊形的中心角，再根據(jù)旋轉(zhuǎn)變換的性質(zhì)解答即可．
【詳解】解：根據(jù)題意得：該圖形可以看做為一個正六邊形，
∵360°÷6=60°，
∴旋轉(zhuǎn)角α最小可以為60°，
故答案為：60
【點睛】本題考查的是旋轉(zhuǎn)對稱圖形、正多邊形的性質(zhì)，求出正六邊形的中心角是解題的關(guān)鍵．
5．（2021·全國·九年級課時練習）如圖，以正六邊形ABCDEF的中心為坐標原點建立平面直角坐標系，頂點C、F在x軸上，頂點A的坐標為（1，），則頂點D的坐標為______．

【答案】（，）
【分析】根據(jù)圖形，利用對稱的性質(zhì)計算即可求出D的坐標．
【詳解】解：根據(jù)題意，點D與點A關(guān)于原點對稱，
∵點A的坐標為：（1，），
∴點D的坐標為：（，）；
故答案為：（，）；
【點睛】此題考查了正多邊形和圓，以及坐標與圖形性質(zhì)，熟練掌握對稱的性質(zhì)是解本題的關(guān)鍵．
6．（2021·江蘇·九年級專題練習）如圖，在⊙O中，MF為直徑，OA⊥MF，圓內(nèi)接正五邊形ABCDE的部分尺規(guī)作圖步驟如下：
①作出半徑OF的中點H．
②以點H為圓心，HA為半徑作圓弧，交直徑MF于點G．
③AG長即為正五邊形的邊長、依次作出各等分點B，C，D，E．
已知⊙O的半徑R＝2，則AB2＝__．（結(jié)果保留根號）

【答案】
【分析】連接AG，由作圖可知，OA＝2，H為OF中點，可求OH=，由勾股定理得AH＝，可求OG＝﹣1，由勾股定理AB2＝AG2＝OA2+OG2＝4+（﹣1）2＝10﹣2即可．
【詳解】解：連接AG，由作圖可知，OA＝2，OH＝1，H為OF中點，
∴OH=，
在Rt△OAH中，由勾股定理
∴AH＝，

∵AH＝HG＝，
∴OG＝GH﹣OH＝﹣1，
在Rt△AOG中，由勾股定理得，
∴AB2＝AG2＝OA2+OG2＝4+（﹣1）2＝10﹣2．
故答案為：10﹣2．
【點睛】本題考查尺規(guī)作圓內(nèi)接正五邊形的方法與步驟，線段垂直平分線，勾股定理，作圓弧，掌握圓內(nèi)接正五邊形的方法與步驟，線段垂直平分線，勾股定理，作圓弧的方法是解題關(guān)鍵．
7．（2022·江蘇·九年級專題練習）如圖，由六塊相同的含30°角的直角三角尺拼成一個大的正六邊形，內(nèi)部留下一個小的正六邊形空隙，如果該直角三角尺的較短直角邊的長是1分米，那么這個小的正六邊形的面積是 _____平方分米．

【答案】
【分析】求出內(nèi)部留的小正六邊形的邊長，再根據(jù)正六邊形的面積的計算方法進行計算即可．
【詳解】解：由含30°的直角三角形的性質(zhì)可知斜邊是短直角邊的2倍；
根據(jù)拼圖可知，內(nèi)部留下一個小的正六邊形的邊長為1分米，
所以它的面積為16（平方分米），
故答案為：．
【點睛】本題考查正多邊形與圓，含有30°角的直角三角形，掌握含有30°角的直角三角形的邊角關(guān)系以及正多邊形與圓的有關(guān)計算方法是解決問題的前提．

三、解答題
8．（2022·陜西·西安鐵一中濱河學校九年級開學考試）如圖，△ABC中，AB＝AC．求作一點D，使得以A、B、C、D為頂點的四邊形是菱形，并證明你作圖的正確性．（要求：尺規(guī)作圖，保留作圖痕跡，不寫作法）

【答案】見解析
【分析】分別以B，C為圓心，以AB長畫弧，兩弧相交一點，即為D點.
【詳解】如圖即為所求作的菱形

理由如下：
∵AB＝AC，BD＝AB，CD＝AC，
∴AB＝BD＝CD＝AC，
∴四邊形ABDC是菱形．
【點睛】本題考查尺規(guī)作圖和菱形的性質(zhì)，解題的關(guān)鍵是掌握尺規(guī)作圖和菱形的性質(zhì).
9．（2022·江蘇·九年級課時練習）如圖1，等邊內(nèi)接于⊙O，連接CO并延長交⊙O于點D．
（1）可以證明CD垂直平分AB，寫出與的數(shù)量關(guān)系：___．
（2）請你僅使用無刻度的直尺按要求作圖：
①在圖1中作出一個正六邊形，保留作圖痕跡（作圖過程用虛線表示，作圖結(jié)果用實線表示）．
②請在圖2中作出⊙O的內(nèi)接正六邊形ADBECF的一條不經(jīng)過頂點的對稱軸，保留作圖痕跡(作圖過程用虛線表示，作圖結(jié)果用實線表示）．
????????
【答案】（1）；（2）①見解析，②見解析
【分析】（1）結(jié)合外心的定義和等邊三角形的性質(zhì)推斷出CD垂直平分AB，從而利用垂徑定理得出結(jié)論即可；
（2）①結(jié)合（1）的結(jié)論，可直接連接AO，BO，分別延長與圓相交，再順次連接各交點即可；
②如圖，延長AF，EC，交于一點，此時可構(gòu)成等邊三角形，從而連接交點與圓心的直線即為所求的對稱軸．
【詳解】（1），
∵O為三角形的外心，
∴O為三角形三邊中垂線的交點，
又∵三角形為等邊三角形，
∴可得CD垂直平分AB，
根據(jù)垂徑定理可得：；
（2）①如圖所示，在（1）的基礎(chǔ)之上，連接AO，并延長至E，連接BO，并延長至F，順次連接圓周上各點即可；

②如圖所示：（方法不唯一）

【點睛】本題主要考查復雜作圖，以及正多邊形與圓之間的關(guān)系，熟練掌握正多邊形的性質(zhì)是解題關(guān)鍵．
10．（2022·全國·九年級專題練習）已知正六邊形ABCDEF，請僅用無刻度直尺，按要求畫圖：

(1)在圖1中，畫出CD的中點G；
(2)在圖2中，點G為CD中點以G為頂點畫出一個菱形．
【答案】(1)見解析
(2)見解析

【分析】（1）如圖1，分別連接AD、CF交于點H，分別延長線段BC、線段ED于點I，連接HI與線段CD交于點G，點G即為所求；
（2）如圖2，延長線段IH與線段AF交于點J，連接BG、GE、EJ、JB，四邊形BGEJ即為所求．
（1）
如圖1，分別連接AD、CF交于點H，分別延長線段BC、線段ED于點I，連接HI與線段CD交于點G，點G即為所求；

（2）
如圖2，延長線段IH與線段AF交于點J，連接BG、GE、EJ、JB，四邊形BGEJ即為所求．

【點睛】本題考查了無刻度直尺作圖的問題，掌握正六邊形的性質(zhì)、中線的性質(zhì)、菱形的性質(zhì)是解題的關(guān)鍵．
11．（2022·全國·九年級專題練習）如圖所示的是以O(shè)為圓心的圓，上有一點A，請用尺規(guī)作圖法，求作的內(nèi)接正方形ABCD．（保留作圖痕跡，不寫作法）

【答案】見解析
【分析】直接作出直徑AC，再過點O作AC的垂線，進而得出答案；
【詳解】如圖所示：正方形ABCD即為所求；

【點睛】此題主要考查了圓內(nèi)接正方形的作圖，正確掌握正方形的性質(zhì)是解題關(guān)鍵．
12．（2022·全國·九年級專題練習）如圖，已知AC為的直徑．請用尺規(guī)作圖法，作出的內(nèi)接正方形ABCD．（保留作圖痕跡．不寫作法）

【答案】見解析
【分析】作AC的垂直平分線交⊙O于B、D，則四邊形ABCD就是所求作的內(nèi)接正方形．
【詳解】解：如圖，正方形ABCD為所作．
∵BD垂直平分AC，AC為的直徑，
∴BD為的直徑，
∴BD⊥AC，OB＝OD，OA＝OC，BD＝AC，
∴四邊形ABCD是的內(nèi)接正方形．

【點睛】本題考查了作圖?復雜作圖：解決此類題目的關(guān)鍵是熟悉基本幾何圖形的性質(zhì)，結(jié)合幾何圖形的基本性質(zhì)把復雜作圖拆解成基本作圖，逐步操作．也考查了圓的基本性質(zhì)，正方形的判定．
【能力提升】
一、單選題
1．（2022·河北·大名縣束館鎮(zhèn)束館中學三模）如圖1所示的正六邊形（記為“圖形”）邊長為6，將每條邊三等分，沿每個頂點相鄰的兩個等分點連線剪下6個小三角形（如圖1中6個陰影部分的三角形），把剪下的這6個小三角形拼接成圖2外輪廓所示的正六邊形（記為“圖形”），作出圖形的內(nèi)切圓⊙O，如圖3，得到如下結(jié)論：

①圖1中剩余的多邊形（即空白部分）為正十二邊形；
②把圖2中空白部分記作“圖形”，則圖形的周長之比為3：2：；
③圖3中正六邊形的邊上任意一點到⊙O上任意一點的最大距離為4+．
以上結(jié)論正確的是（　?。?br /> A．②③ B．①③ C．② D．①
【答案】A
【分析】①根據(jù)題意可知過點作于，根據(jù)正六邊形的性質(zhì)，含30度角的直角三角形的性質(zhì)，求得，即可判斷①；
②根據(jù)正六邊形的性質(zhì)，結(jié)合①的結(jié)論，分別求得三個正六邊形的邊長，即可判②；
③依題意可知圖形的內(nèi)接圓的半徑與外接圓的半徑之和即為所求，根據(jù)正六邊形的性質(zhì)，等邊三角形的性質(zhì)即可求解．
【詳解】解：標注字母如圖，過點作于

，為的三等分點，為是三等分點
，
∵正六邊形的每一個內(nèi)角為
∴中，，

在中

，
，

①不正確，
圖形，邊長為6，所以圖形的周長為
如圖，依題意可得
則，依題意，是正六邊形，

所以圖形的周長為
把圖2中空白部分記作“圖形”，由①可得，
是正六邊形，
所以圖形的周長為
∴圖形的周長之比為=3：2：；
故②正確；
如圖，過點作于點，交內(nèi)切圓于點，則即為所求，

根據(jù)正六邊形的性質(zhì)可得是等邊三角形，
，
，
，
，
故③正確，
故選A．
【點睛】本題考查了正六邊形與內(nèi)切圓的性質(zhì)，勾股定理，含30度角的直角三角形的性質(zhì)，理解題意求得各線段長是解題的關(guān)鍵．
2．（2022·全國·九年級課時練習）如圖，正五邊形和正三角形都是的內(nèi)接多邊形，則的度數(shù)是（????）

A．
B．
C．
D．
【答案】C
【分析】如圖，連接利用正多邊形的性質(zhì)求出，，可得結(jié)論．
【詳解】解：如圖，連接．

是等邊三角形，
，
，
是正五邊形，
，
．
故選：C．
【點睛】本題考查正多邊形與圓，等邊三角形的性質(zhì)，圓周角定理等知識，解題的關(guān)鍵是熟練掌握正多邊形的性質(zhì)，屬于中考?？碱}型．
3．（2022·江蘇·九年級單元測試）如圖，是由邊長為1的正六邊形和六角星鑲嵌而成的圖案，則圖中陰影部分的面積是（????）

A． B． C． D．
【答案】C
【分析】計算出1個正六邊形的面積，利用矩形的面積減去圖中未涂色部分的面積即可．
【詳解】解：如圖所示，

∵正六邊形的中心角為60°，
∴每個邊長為1的正六邊形由六個全等的等邊三角形組成，
∴，，，
因此每個正六邊形的面積為：，
圖中未涂色部分面積等于16個正六邊形的面積：．
整個圖形是一個矩形，長為12，寬為，
矩形的面積為：，
因此圖中陰影部分的面積是：，
故選C．
【點睛】本題考查等邊三角形相關(guān)計算，利用等邊三角形計算出每個正六邊形的面積是解題的關(guān)鍵．

二、填空題
4．（2022·黑龍江綏化·三模）如圖，正八邊形ABCDEFGH內(nèi)接于☉O，點P是上的任意一點，則∠CPE的度數(shù)為____．

【答案】．
【分析】連接OD,OC,OE,利用正八邊形的中心角的定義，計算圓心角∠COE，根據(jù)圓心角與圓周角的關(guān)系定理計算即可．
【詳解】連接OD,OC,OE,

∵八邊形ABCDEFGH是正八邊形,
∴∠COD=∠DOE==45°,
∴∠COE=45°+45°=90°,
∴∠CPE=∠COE
=45°.
故答案為：45°．
【點睛】本題考查了正多邊形的中心角，圓心角與圓周角關(guān)系定理，連接半徑，構(gòu)造中心角是解題的關(guān)鍵．
5．（2022·全國·九年級專題練習）如圖，正八邊形ABCDEFGH內(nèi)接于⊙O，若AC＝4，則點O到AC的距離為____．

【答案】2
【詳解】解：連接OB交AC于M，
∵正八邊形ABCDEFGH內(nèi)接于⊙O，
∴∠AOB＝∠BOC＝＝45°，AB＝BC，
∴＝，∠AOC＝90°，
∴AM＝CM＝AC＝2，OM⊥AC，
∵OA＝OC，
∠OAM＝∠OCA＝（180°﹣∠AOC）＝45°，
∴∠OAM＝∠AOB，
∴AM＝OM，
在Rt△AOC中，
∵OA＝OC，OA2+OC2＝AC2，
∴2OA2＝AC2＝42＝16，
∴OA＝2，
在Rt△AOM中，
∵OM2+AM2＝OA2，
∴2OM2＝（2）2，
∴OM＝2，
∴點O到AC距離為2，
故答案為：2．

6．（2022·天津南開·二模）如圖，在每個小正方形的邊長為1的網(wǎng)格中，O為格點，⊙經(jīng)過格點A．
（1）⊙的周長等于____；
（2）請用無刻度的直尺，在如圖所示的網(wǎng)格中，畫出⊙的內(nèi)接等邊，并簡要說明點B，C的位置是如何找到的（不要求證明）_____．

【答案】???? ???? 見解析
【分析】（1）利用勾股定理可得答案；
（2）延長交網(wǎng)格線于點D，取格點E，F(xiàn)，連接交網(wǎng)格線于點G，作直線交于點B，C，連接，，則即為所求．
【詳解】（1）∵⊙的半徑為：，
∴⊙的周長，
故答案為：
（2）如圖：
∵，
又∵，
∴，
∴．
∵，??
∴，
∴．
∵，
∴．
∵，
∴．??
∴，
∵，
∴四邊形是平行四邊形，
∵，
∴是矩形．
∴，
∴，
∵，
∴，??
∴，
∴．
∵，
∴，
∵過圓心, ，
∴，
∴，
∴，
∵，
∴是等邊三角形．

故答案為：如圖，延長交網(wǎng)格線于點D，取格點E，F(xiàn)，連接交網(wǎng)格線于點G，作直線交于點B，C，連接，，則即為所求．
【點睛】此題考查作圖中的復雜作圖，解題的關(guān)鍵是理解題意，靈活運用所學知識解決問題,屬于中考?？碱}型．

三、解答題
7．（2022·江西·尋烏縣教育局教學研究室一模）如圖，正六邊形ABCDEF在正三角形網(wǎng)格內(nèi)，點O為正六邊形的中心，僅用無刻度的直尺完成以下作圖．
（1）在圖1中，過點O作AC的平行線；
（2）在圖2中，過點E作AC的平行線．

【答案】（1）作圖見解析；（2）作圖見解析.
【分析】（1）利用正六邊形的特性作圖即可；
（2）結(jié)合等邊三角形的性質(zhì)以及正六邊形的性質(zhì)作圖即可.
【詳解】（1）如圖所示（答案不唯一）：

（2）如圖所示（答案不唯一）：

8．（2021·江蘇·九年級專題練習）已知正五邊形，請僅用無刻度直尺作圖．

（1）在圖1中作點P，使得是等腰三角形：
（2）在圖2中作點，使點稱為正五邊形的中心．
【答案】（1）畫圖見解析；（2）畫圖見解析．
【分析】（1）直接利用正多邊形的性質(zhì)得出頂點P的位置；
（2）利用正五邊形的性質(zhì)，得出對角線交點，進而得出其中心P點位置．
【詳解】解：（1）如圖所示：點P為所求；
（2）如圖所示：點O為所求；

【點睛】此題主要考查了復雜作圖以及等腰三角形的性質(zhì)和正多邊形的性質(zhì)，正確應(yīng)用正五邊形的性質(zhì)是解題關(guān)鍵．
9．（2020·吉林省實驗繁榮高級中學九年級期中）圖①、圖②均為 4×4 的正方形網(wǎng)格，線段 AB、BC 的端點均在格點上，按要求在圖①、圖②中作圖并計算其面積．

（1）在圖①中畫一個四邊形 ABCD，點D在格點上，使四邊形 ABCD 有一組對角相等，并求．
（2）在圖②中畫一個四邊形 ABCE，點E在格點上，使四邊形 ABCE 有一組對角互補，并求．
【答案】（1）圖見詳解，6 ；（2）圖見詳解，4.5
【分析】（1）過C畫AB的平行線，過A畫BC的平行線，兩線交于一點D，根據(jù)平行四邊形的判定定理可得四邊形ABCD是平行四邊形，由平行四邊形的性質(zhì)可知∠CBA=∠CDA，然后用用割補法求出面積即可；
（2）根據(jù)圖中正方形網(wǎng)格和∠B的特點，作出∠E與∠B互補，然后用割補法求面積即可．
【詳解】解：（1）如圖，

S四邊形ABCD=3×4-×2--=6；
（2）如圖，

S四邊形ABCE=3×3-×2--=．
【點睛】此題主要考查了應(yīng)用設(shè)計作圖，首先要理解題意，弄清問題中對所作圖形的要求，然后利用割補法求面積．
10．（2021·江蘇無錫·九年級專題練習）已知已知正六邊形ABCDEF，請僅用無刻度的直尺，分別按下列要求作圖．
（1）在圖①中，以AB為邊作等邊三角形；
（2）在圖②中，作一個含30°的直角三角形．

【答案】（1）見詳解；（2）見詳解
【分析】（1）連接AD，BE交于點O，即可得到所求三角形；
（2）連接AC，CF，即可得到所求三角形；
【詳解】（1）如圖①所示：?AOB即為所求三角形；
（2）如圖②所示：?ACF即為所求三角形．

【點睛】本題主要考查正六邊形的性質(zhì)，熟練掌握正六邊形的每條邊都相等，每個內(nèi)角都等于120°，是解題的關(guān)鍵．
11．（2021·全國·九年級專題練習）請用無刻度直尺完成下列作圖，不寫畫法，保留畫圖痕跡（用虛線表示畫圖過程，實線表示畫圖結(jié)果）．

（1）如圖1，E是平行四邊形ABCD邊AD上一點，過點A畫一條直線，使其與EC平行；
（2）如圖2，正六邊形ABCDEF（六邊相等，六角相等的六邊形），在圖中畫一條直線，使其垂直平分AF；
（3）如圖3，⊙O是四邊形ABCD的外接圓，且AB＝BC＝CD，在圖中畫一條異于BC的直線，使其與AD平行．
【答案】（1）見解析；（2）見解析；（3）見解析．
【分析】（1）連接AC，BD交于點O，作直線OE交BC于F，作直線AF即可．
（2）連接AE，BF交于點G，連接BD，CE交于點H，作直線GH即可．
（3）作直徑BE，CF，作直線EF即可．
【詳解】解：（1）如圖1，直線AF即為所求作．

（2）如圖2，直線GH即為所求作．

（3）如圖3，直線EF即為所求作．

【點睛】本題考查作圖-復雜作圖，線段的垂直平分線，平行四邊形的性質(zhì)，正多邊形和圓等知識，解題的關(guān)鍵是理解題意，靈活運用所學知識解決問題．
12．（2022·廣東深圳·一模）如圖，已知，點在圓上，請以為一頂點作圓內(nèi)接正方形．（保留作圖痕跡，不寫作法）

【答案】見詳解
【分析】先作直徑AC，再過O點作AC的垂線交⊙O于B、D，則四邊形ABCD為正方形．
【詳解】解：如圖，正方形ABCD為所作．

【點睛】本題考查了作圖——復雜作圖：復雜作圖是在五種基本作圖的基礎(chǔ)上進行作圖，一般是結(jié)合了幾何圖形的性質(zhì)和基本作圖方法．解決此類題目的關(guān)鍵是熟悉基本幾何圖形的性質(zhì)，結(jié)合幾何圖形的基本性質(zhì)把復雜作圖拆解成基本作圖，逐步操作．
13．（2022·全國·九年級課時練習）已知：射線
求作：，使得點在射線上，，．
作法：如圖，①在射線上取一點，以為圓心，長為半徑作圓，與射線相交于點；②以為圓心，為半徑作弧，在射線上方交⊙于點；③連接，．則即為所求的三角形．

（1）使用直尺和圓規(guī)，依作法補全圖形（保留作圖痕跡）；
（2）完成下面的證明．
證明：連接．
∵ 為⊙的直徑，
∴__________．
∵，
∴等邊三角形．
∴．
∵點，都在⊙上，
∴．（）（填推理的依據(jù)）
∴．
即為所求的三角形．
【答案】（1）見解析；（2）90；一條弧所對的圓周角等于它所對圓心角的一半
【分析】（1）以點C為圓心，OC長為半徑畫弧線，交圓于一點即為點D，連接AD，補全圖形即可；
（2）證明：連接．由為⊙的直徑，得到90．證明等邊三角形，得到，由此得到即為所求的三角形．
【詳解】解：（1）補全的圖形如圖所示：????????????
???????
（2）證明：連接．
∵ 為⊙的直徑，
∴90．
∵，
∴等邊三角形．
∴．
∵點，都在⊙上，
∴．（一條弧所對的圓周角等于它所對圓心角的一半）（填推理的依據(jù)）
∴．
即為所求的三角形．
故答案為：90；一條弧所對的圓周角等于它所對圓心角的一半．
．
【點睛】此題考查尺規(guī)作圖，等邊三角形的判定及性質(zhì)，圓周角等于同弧所對圓心角的一半，直徑所對的圓周角是直角，熟記各定理是解題的關(guān)鍵．
14．（2022·北京四中九年級階段練習）閱讀下面材料：

小巖遇到這樣一個問題：如圖1，在正三角形ABC內(nèi)有一點P，且PA＝1，，PC＝2，求∠APB的度數(shù)；
小巖是這樣思考的：如圖2，利用旋轉(zhuǎn)和全等的知識構(gòu)造，連接，得到兩個特殊的三角形，從而將問題解決．
(1)請你回答：圖1中∠APB的度數(shù)等于____；（直接寫答案）
參考小巖同學思考問題的方法，解決下列問題：
(2)如圖3，在正方形ABCD內(nèi)有一點P，且，，．求∠APB的度數(shù)；
(3)如圖4，在正六邊形ABCDEF內(nèi)有一點P，若∠APB＝，直接寫出PA，PB和PF的數(shù)量關(guān)系．
【答案】(1)
(2)
(3)

【分析】（1）把△APB繞點A逆時針旋轉(zhuǎn)得到，由旋轉(zhuǎn)的性質(zhì)可得證出是等邊三角形，由等邊三角形的性質(zhì)求出，再由勾股定理逆定理求出，求出，即為∠APB的度數(shù)；
（2）把△APB繞點A逆時針旋轉(zhuǎn)得到，由旋轉(zhuǎn)的性質(zhì)可得，證出是等腰直角三角形，由等腰直角三角形的性質(zhì)求出，，再利用勾股定理逆定理求出，然后求出，即為∠APB的度數(shù)；
（3）把△APB繞點A逆時針旋轉(zhuǎn)得到，由旋轉(zhuǎn)的性質(zhì)，，可得，過點A作于M，設(shè)與AF相交于N，證明再利用勾股定理可得答案．
（1）
解：如圖2，把△APB繞點A逆時針旋轉(zhuǎn)得到，

由旋轉(zhuǎn)的性質(zhì)，
∴是等邊三角形，
∴
∵
∴??
∴
故；
故答案為：．
（2）
如圖3，把△APB繞點A逆時針旋轉(zhuǎn)得到，

由旋轉(zhuǎn)的性質(zhì)，
∴是等腰直角三角形，
∴
∵
∴，
∴，
故．
（3）
如圖4，∵正六邊形的內(nèi)角為，
∴把△APB繞點A逆時針旋轉(zhuǎn)得到，
由旋轉(zhuǎn)的性質(zhì)，，
∴，
過點A作于M，設(shè)與AF相交于N，

設(shè)
則
∴
∴
由旋轉(zhuǎn)的性質(zhì)可得：??
∴
∴
∴
【點睛】本題考查了旋轉(zhuǎn)的性質(zhì)，等邊三角形的性質(zhì)，正方形的性質(zhì)，正六邊形的性質(zhì)，勾股定理以及勾股定理逆定理的應(yīng)用，全等三角形的判定與性質(zhì)，作輔助線構(gòu)造出直角三角形與全等三角形是解題的關(guān)鍵．
15．（2022·全國·九年級課時練習）請用圓規(guī)和直尺作圖，不寫作法，但要保留作圖痕跡．
已知：⊙O，點A在圓上．
求作：以A為一頂點作圓內(nèi)接正方形ABCD．

【答案】見解析
【分析】作直徑AC，過點O作BD⊥AC交⊙O于B，D，連接AB，BC，CD，AD即可．
【詳解】如圖，四邊形ABCD即為所求作．

【點睛】本題考查了作圖-復雜作圖：復雜作圖是在五種基本作圖的基礎(chǔ)上進行作圖，一般是結(jié)合了幾何圖形的性質(zhì)和基本作圖方法．解決此類題目的關(guān)鍵是熟悉基本幾何圖形的性質(zhì)，結(jié)合幾何圖形的基本性質(zhì)把復雜作圖拆解成基本作圖，逐步操作．