?【高效培優(yōu)】2022—2023學年九年級數(shù)學上冊必考重難點突破必刷卷（人教版）
【單元復習】第二十二章 二次函數(shù)
（知識精講+考點例析+舉一反三+實戰(zhàn)演練）
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知識精講
第二十二章 二次函數(shù)
一、二次函數(shù)的定義：
1.定義：一般地，如果是常數(shù)，，那么叫做的二次函數(shù).
2.二次函數(shù)的性質(zhì)
（1）拋物線的頂點是坐標原點，對稱軸是軸.
（2）函數(shù)的圖像與的符號關(guān)系.
①當時拋物線開口向上頂點為其最低點；
②當時拋物線開口向下頂點為其最高點.
（3）頂點是坐標原點，對稱軸是軸的拋物線的解析式形式為.
二、二次函數(shù)的解析式
①一般式：(a、b、c為常數(shù))，則稱y為x的二次函數(shù)。
②頂點式：
③交點式（與x軸）：
三、拋物線的性質(zhì)
①二次函數(shù)的圖像是一條永無止境的拋物線。
②a，b，c為常數(shù)，a≠0，且a決定函數(shù)的開口方向，a>0時，開口方向向上，a0，當時，y隨x的增大而減??；當時，y隨x的增大而增大．若a0(a0，
∴開口向上，
∵h=3，k=1，
∴對稱軸為：直線x=3；頂點坐標為：（3，1），
故選：B
【點睛】本題主要考查了二次函數(shù)頂點式的圖象和性質(zhì)，熟練地掌握頂點式的特征是解題的關(guān)鍵．二次函數(shù)，對稱軸為：直線x=h；頂點坐標為：（h，k），當a>0時，開口向上，否則開口向下．
2．（2022·全國·九年級期末）如圖，拋物線與x軸相交于點，與y軸相交于點C，小紅同學得出了以下結(jié)論：①；②；③當時，；④．其中正確的個數(shù)為（???????）

A．4 B．3 C．2 D．1
【答案】B
【分析】根據(jù)二次函數(shù)的圖像與性質(zhì)，逐一判斷即可．
【詳解】解：∵拋物線與x軸交于點A、B，
∴拋物線對應的一元二次方程有兩個不相等的實數(shù)根，
即，故①正確；
對稱軸為，
整理得4a＋b＝0，故②正確；
由圖像可知，當y＞0時，即圖像在x軸上方時，
x＜－2或x＞6，故③錯誤，
由圖像可知，當x＝1時，，故④正確．
∴正確的有①②④，
故選：B．
【點睛】本題考查二次函數(shù)的性質(zhì)與一元二次方程的關(guān)系，熟練掌握相關(guān)知識是解題的關(guān)鍵．
3．（2022·全國·九年級期末）小明以二次函數(shù)的圖象為靈感為某葡萄酒大賽設計了一款杯子，如圖為杯子的設計稿，若，，則杯子的高CE為（???????）

A．12 B．11 C．6 D．3
【答案】A
【分析】首先由求出D點的坐標為（1，6），然后根據(jù)AB=4，可知B點的橫坐標為x=3，代入拋物線方程，得到y(tǒng)=14，所以CD=14-6=8，又DE=4，所以可知杯子高度．
【詳解】∵，
∴D點的坐標為(1,6)，拋物線的對稱軸為x=1，
∵AB=4，
∴CB=CA=2，
∴B點的橫坐標為：2+1=3，
代入B點橫坐標即可求出B點的縱坐標，
∴當x=3時，，
∴B點縱坐標為14，
∵D點的縱坐標為6，
∴CD=14-6=8，
∴CE=CD+DE=8+4=12，
則杯子的高度為12，
故選：A．
【點睛】本題主要考查了二次函數(shù)的應用，求出頂點D和點B的坐標是解決問題的關(guān)鍵．
4．（2022·遼寧鞍山·中考真題）如圖，在中，，，，，垂足為點，動點從點出發(fā)沿方向以的速度勻速運動到點，同時動點從點出發(fā)沿射線方向以的速度勻速運動．當點停止運動時，點也隨之停止，連接，設運動時間為，的面積為，則下列圖象能大致反映與之間函數(shù)關(guān)系的是（???????）

A． B．
C． D．
【答案】B
【分析】分別求出M在AD和在BD上時△MND的面積為S關(guān)于t的解析式即可判斷．
【詳解】解：∵∠ACB＝90°，∠A＝30°，，
∴∠B＝60°，，，
∵CD⊥AB，
∴，，，
∴當M在AD上時，0≤t≤3，
，，
∴，
當M在BD上時，3＜t≤4，
，
∴，
故選：B．
【點睛】本題考查了動點問題的函數(shù)圖象，函數(shù)圖象是典型的數(shù)形結(jié)合，圖象應用信息廣泛，通過看圖獲取信息，不僅可以解決生活中的實際問題，還可以提高分析問題、解決問題的能力．
二、填空題（共4小題）
5．（2022·全國·九年級期末）在平面直角坐標．若點A，B是拋物線上兩點，若點A，B的坐標分別為則m______n（填“＞”“＜”“＝”）
【答案】＞
【分析】求出拋物線的對稱軸，開口方向，然后根據(jù)二次函數(shù)的增減性解答．
【詳解】解：∵拋物線中，
a=－2＜0，，
∴拋物線開口向下，對稱軸為直線x=－1，在對稱軸右側(cè)y隨x的增大而減小，
∵點A、B的坐標分別為（3，m）、（4，n），且3＜4，
∴m＞n，
故答案為：＞．
【點睛】本題考查了二次函數(shù)圖象上點的坐標特征，主要利用了二次函數(shù)的增減性，求出拋物線的對稱軸是解題的關(guān)鍵．
6．（2022·全國·九年級期末）如圖，拋物線交軸于、兩點，交軸于點，點是拋物線上的點，則點關(guān)于直線的對稱點的坐標為_________．

【答案】（0，1）
【分析】先求出A、B、C、D的坐標，根據(jù)CD∥x軸即可求出點關(guān)于直線的對稱點坐標．
【詳解】∵拋物線交軸于、兩點，交軸于點，
∴當時，；
當時，
∴
∴OA=OC=5
∴
∵是拋物線上的點
∴，解得
當時，與A重合；
當時，；
∴CD∥x軸，
∴
設點關(guān)于直線的對稱點M，則


∴M在y軸上，且△DCM是等腰直角三角形
∴DC=CM=6
∴M點坐標為（0，1）
故答案為：（0，1）．
【點睛】本題考查二次函數(shù)的性質(zhì)，等腰直角三角形的判定與性質(zhì)，解題的關(guān)鍵是根據(jù)對稱得到△DCM是等腰直角三角形．
7．（2022·全國·九年級期末）如圖，以一定的速度將小球沿與地面成一定角度的方向擊出時，小球的飛行路線是一條拋物線．若不考慮空氣阻力，小球的飛行高度（單位：m）與飛行時間（單位：s）之間具有函數(shù)關(guān)系：，則當小球飛行高度達到最高時，飛行時間_________s．

【答案】2
【分析】把一般式化為頂點式，即可得到答案．
【詳解】解：∵h=-5t2+20t=-5（t-2）2+20，
且-5＜0，
∴當t=2時，h取最大值20，
故答案為：2．
【點睛】本題考查二次函數(shù)的應用，解題的關(guān)鍵是掌握將二次函數(shù)一般式化為頂點式．
8．（2022·遼寧·中考真題）如圖，拋物線與x軸交于點和點，以下結(jié)論：
①；②；③；④當時，y隨x的增大而減?。渲姓_的結(jié)論有___________．（填寫代表正確結(jié)論的序號）

【答案】①②##②①
【分析】根據(jù)二次函數(shù)的對稱軸位置和拋物線開口方向確定①③，根據(jù)x＝-2時判定②，由拋物線圖像性質(zhì)判定④．
【詳解】解：①拋物線的對稱軸在y軸右側(cè)，則ab＜0，而c＞0，故abc＜0，故正確；
②x＝-2時，函數(shù)值小于0，則4a-2b+c＜0，故正確；
③與x軸交于點和點，則對稱軸，故，故③錯誤；
④當時，圖像位于對稱軸左邊，y隨x的增大而減大．故④錯誤；
綜上所述，正確的為①②．
故答案為：①②．
【點睛】本題考查了二次函數(shù)的圖像和性質(zhì)，要求熟悉掌握函數(shù)與坐標軸的交點、頂點等點坐標的求法，及這些點代表的意義及函數(shù)特征．
二、簡答題（共2小題）
9．（2022·浙江衢州·中考真題）如圖1為北京冬奧會“雪飛天”滑雪大跳臺賽道的橫截面示意圖．取水平線為軸，鉛垂線為軸，建立平面直角坐標系．運動員以速度從點滑出，運動軌跡近似拋物線．某運動員7次試跳的軌跡如圖2．在著陸坡上設置點（與相距32m）作為標準點，著陸點在點或超過點視為成績達標．

(1)求線段的函數(shù)表達式（寫出的取值范圍）．
(2)當時，著陸點為，求的橫坐標并判斷成績是否達標．
(3)在試跳中發(fā)現(xiàn)運動軌跡與滑出速度的大小有關(guān)，進一步探究，測算得7組與 的對應數(shù)據(jù)，在平面直角坐標系中描點如圖3．
①猜想關(guān)于的函數(shù)類型，求函數(shù)表達式，并任選一對對應值驗證．
②當v為多少m/s時，運動員的成績恰能達標（精確到1m/s)？
（參考數(shù)據(jù)：，）
【答案】(1)（8≤x≤40）
(2)的橫坐標為22.5，成績未達標
(3)①a與成反比例函數(shù)關(guān)系，，驗證見解析；②當m/s時，運動員的成績恰能達標
【分析】（1）根據(jù)圖像得出CE的坐標，直接利用待定系數(shù)法即可求出解析式；
（2）將代入二次函數(shù)解析式，由解出x的值，比較即可得出結(jié)果；
（3）由圖像可知，a與成反比例函數(shù)關(guān)系，代入其中一個點即可求出解析式，根據(jù)CE的表達式求出K的坐標（32，4），代入即可求出a，再代入反比例函數(shù)即可求出v的值．
【詳解】（1）解：由圖2可知：，
設CE：，
將代入，
得：，解得，
∴線段CE的函數(shù)表達式為（8≤x≤40）．
（2）當時，，由題意得，
解得??????????????????????????????????????????????????????????
∴的橫坐標為22.5．
∵22.5＜32，
∴成績未達標．
（3）①猜想a與成反比例函數(shù)關(guān)系．
∴設
將（100，0.250）代入得解得，
∴．
將（150，0.167）代入驗證：，
∴能相當精確地反映a與的關(guān)系，即為所求的函數(shù)表達式．
②由K在線段上，得K（32，4），代入得，得
由得，
又∵，
∴，
∴當m/s時，運動員的成績恰能達標．
【點睛】本題考查二次函數(shù)的應用，二次函數(shù)與一次函數(shù)綜合問題，解題的關(guān)鍵在于熟練掌握二次函數(shù)的性質(zhì)，并能靈活運用二次函數(shù)與一次函數(shù)的性質(zhì)解決問題．
10．（2022·內(nèi)蒙古鄂爾多斯·中考真題）如圖，在平面直角坐標系中，拋物線y＝ax2+bx+2經(jīng)過A（，0），B（3，）兩點，與y軸交于點C．

(1)求拋物線的解析式；
(2)點P在拋物線上，過P作PD⊥x軸，交直線BC于點D，若以P、D、O、C為頂點的四邊形是平行四邊形，求點P的橫坐標；
(3)拋物線上是否存在點Q，使∠QCB＝45°？若存在，請直接寫出點Q的坐標；若不存在，請說明理由．
【答案】(1)
(2)點的橫坐標為1或2或或
(3)存在，點的坐標為或
【分析】（1）根據(jù)待定系數(shù)法，將點A，點B代入拋物線解析式，解關(guān)于b，c的二元一次方程組，即可求得拋物線的解析式；
（2）設出點P的坐標，確定出，由PD＝CO，列出方程求解即可；
（3）分Q在BC下方和Q在BC上方兩種情況，過B作BH⊥CQ于H，過H作MN⊥y軸，交y軸于M，過B作BN⊥MH于N，證明△CHM≌△HBN，由全等三角形的性質(zhì)得出CM＝HN，MH＝BN，求出H點的坐標，由待定系數(shù)法求出直線CH的解析式，聯(lián)立直線CH和拋物線解析式即可得出點Q的坐標．
【詳解】（1）解：將點代入得：，解得，則拋物線的解析式為．
（2）解：設點，對于二次函數(shù)，當時，，即，設直線的解析式為，將點代入得：，解得，則直線的解析式為，，，軸，軸，，∴當時，以、、、為頂點的四邊形是平行四邊形，，解得或或或，則點的橫坐標為1或2或或．
（3）解：①如圖，當Q在BC下方時，過B作BH⊥CQ于H，過H作MN⊥y軸，交y軸于M，過B作BN⊥MH于N，∴∠BHC＝∠CMH＝∠HNB＝90°，∴∠CHM+∠BHN＝∠HBN+∠BHN＝90°，∴∠CHM＝∠HBN，∵∠QCB＝45°，∴△BHC是等腰直角三角形，∴CH＝HB，∴△CHM≌△HBN（AAS），∴CM＝HN，MH＝BN，設點的坐標為，則，解得，即，設直線的解析式為，將點代入得：，解得，則直線的解析式為，聯(lián)立直線與拋物線解析式得，解得或（即為點），則此時點的坐標為；②如圖，當Q在BC上方時，過B作BH⊥CQ于H，過H作MN⊥y軸，交y軸于M，過B作BN⊥MH于N，同理可得：此時點的坐標為，綜上，存在這樣的點，點的坐標為或．
【點睛】本題是二次函數(shù)綜合題，主要考查了待定系數(shù)法求函數(shù)解析式，平行四邊形的判定，等腰直角三角形的性質(zhì)和判定，全等三角形的性質(zhì)和判定，二次函數(shù)圖象上點的坐標特征，利用待定系數(shù)法確定出函數(shù)的解析式是解本題的關(guān)鍵．
實戰(zhàn)演練
一、選擇題（共4小題）
1．（2022·全國·九年級期末）二次函數(shù)的圖象如圖所示，則一次函數(shù)的圖象大致是（?????）．

A． B． C． D．
【答案】D
【分析】根據(jù)二次函數(shù)的圖象可以得到、的正負情況，從而可以得到一次函數(shù)的圖象，本題得以解決．
【詳解】解：由二次函數(shù)的圖象可得，，，
一次函數(shù)的圖象經(jīng)過第一、二、三象限，
故選：D．
【點睛】本題考查二次函數(shù)的圖象、一次函數(shù)的圖象，解答本題的關(guān)鍵是明確題意，判斷出系數(shù)的符號，再利用數(shù)形結(jié)合的思想解答．
2．（2022·全國·九年級期末）如圖，是二次函數(shù)的圖象，則下列結(jié)論正確的個數(shù)有（???????）
①；②；③二次函數(shù)最小值為；④．

A．1個 B．2個 C．3個 D．4個
【答案】A
【分析】根據(jù)拋物線與x軸的交點得到方程ax2+bx+c=0有兩個根為-1，3，根據(jù)根與系數(shù)的關(guān)系可對①進行判斷；由于x=-2時，y＞0，得到4a-2b+c＞0，然后把b=-2a代入計算，則可對②進行判斷；由拋物線開口方向得a＞0，由拋物線的對稱軸方程為x=1可對③進行判斷；根據(jù)x=-1時，y=a-b+c=0，以及b=-2a，計算可對④進行判斷．
【詳解】解：∵二次函數(shù)的圖象經(jīng)過點（-1，0），（3，0），
∴方程ax2+bx+c=0有兩個根為-1，3，
∴-1×3=-3

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22.1.1 二次函數(shù)

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