?12.2 全等三角形的判定
教學(xué)目標(biāo)
1．了解三角形的穩(wěn)定性，會應(yīng)用“邊邊邊”“邊角邊”判定兩個三角形全等．(重點)
2．經(jīng)歷探索“邊邊邊”“邊角邊”判定全等三角形的過程。
3．在復(fù)雜的圖形中進行三角形全等條件的分析和探索．(難點)　　　　　　

教學(xué)過程　　　　　　　　　　　　　　　　　　
導(dǎo)學(xué)一：利用“邊邊邊”判定全等三角形
一、情境導(dǎo)入
問題提出：一塊三角形的玻璃損壞后，只剩下如圖①所示的殘片，你對圖中的殘片作哪些測量，就可以割取符合規(guī)格的三角形玻璃，與同伴交流．
方法如下：可以將圖①的玻璃碎片放在一塊紙板上，然后用直尺和鉛筆或水筆畫出一塊完整的三角形．如圖②，剪下模板就可去割玻璃了．



從剛才的實踐我們可以發(fā)現(xiàn)：只要兩個三角形三條對應(yīng)邊相等，就可以保證這兩塊三角形全等．這種說法對嗎？


【驗證】畫一畫：如圖 , 是△ ABC，請根據(jù)下列步驟畫出圖形，并說說所畫圖形與已知△ABC 的關(guān)系.
（1）畫出 B’C’=BC；
（2）分別以點 B’，C’為圓心，線段 AB，AC 長為半徑畫弧，兩弧相交于點 A’；
（3）連接線段 A’B’，A’C’ .


結(jié)論： 分別相等的兩個三角形全等．（可以簡寫成“ ”或“SSS”）

例：在三角形ABC 和三角形DEF中，已知，AB=DE, BC=EF, AC=DF，求證▲ABC≌ ▲DEF
【證明書寫格式規(guī)范】
證明：在▲ABC和▲DEF中

（SSS)

注意點：（1）用花括號羅列出全等所需的3個條件
（2）下了兩個三角形全等的結(jié)論后，要在結(jié)論后邊注明判定條件（SSS)

探究點：三角形全等的判定方法——“邊邊邊”
【類型一】 利用“SSS”判定兩個三角形全等
例題1：如圖，AB＝DE，AC＝DF，點E、C在直線BF上，且BE＝CF.求證：△ABC≌△DEF.





【類型二】 “SSS”與全等三角形的性質(zhì)結(jié)合進行證明或計算
例題2：如圖所示，△ABC是一個風(fēng)箏架，AB＝AC，AD是連接點A與BC中點D的支架，求證：AD⊥BC.



【類型三】 利用“SSS”解決探究性問題
例題3： 如圖，AD＝CB，E、F是AC上兩動點，且有DE＝BF.
(1)若E、F運動至圖①所示的位置，且有AF＝CE，求證：△ADE≌△CBF.
(2)若E、F運動至圖②所示的位置，仍有AF＝CE，那么△ADE≌△CBF還成立嗎？為什么？
(3)若E、F不重合，AD和CB平行嗎？說明理由．


導(dǎo)學(xué)二：利用“邊角邊”判定全等三角形
一、情境導(dǎo)入
小偉作業(yè)本上畫的三角形被墨跡污染了，他想畫一個與原來完全一樣的三角形，他該怎么辦？請你幫助小偉想一個辦法，并說明你的理由．
想一想：要畫一個三角形與小偉畫的三角形全等，需要幾個與邊或角的大小有關(guān)的條件？只知道一個條件(一角或一邊)行嗎？兩個條件呢？三個條件呢？


【驗證】畫一畫：如圖是△ ABC，請根據(jù)下列步驟畫出圖形，并說說所畫圖形與已知△ABC 的關(guān)系.
（1） 畫∠DA’E=∠A；
（2） 在射線 A’D 上截取 A’B’=AB，在射線 AE 上截取 A’C’=AC；
（3） 連接線段 B’C’ .


結(jié)論： 和 分別相等的兩個三角形全等．（可以簡寫成“ ”或“SAS”）

例：在三角形ABC 和三角形DEF中，已知，AB=DE, ∠A=∠D, AC=DF，求證▲ABC≌ ▲DEF
證明：在▲ABC和▲DEF中

（SAS)
探究點一：應(yīng)用“邊角邊”判定兩三角形全等
【類型一】 利用“SAS”判定三角形全等
例題1： 如圖，A、D、F、B在同一直線上，AD＝BF，AE＝BC，且AE∥BC.求證：△AEF≌△BCD.




探究點二：全等三角形判定與性質(zhì)的綜合運用
【類型一】 利用全等三角形進行證明或計算
例題2： 已知：如圖，BC//EF，BC＝BE，AB＝FB，∠1＝∠2，若∠1＝45°，求∠C的度數(shù)．






【類型二】 全等三角形與其他圖形的綜合
例題3： 如圖，四邊形ABCD、DEFG都是正方形，連接AE、CG.求證：(1)AE＝CG；(2)AE⊥CG.


導(dǎo)學(xué)三：利用“角邊角”“角角邊”判定全等三角形
一、情境導(dǎo)入
如圖所示，某同學(xué)把一塊三角形的玻璃不小心打碎成了三塊，現(xiàn)在要到玻璃店去配一塊完全一樣的玻璃，那么最省事的辦法是帶哪塊去？

點撥：顯然僅僅帶①或②是無法配成完全一樣的玻璃的，而僅僅帶③則可以，為什么呢？


【驗證】
1、畫一畫：如圖是△ ABC，請根據(jù)下列步驟畫出圖形，并說說所畫圖形與已知△ABC 的關(guān)系.
（1）畫 A’B’=AB；
（2）在 A’B’的同旁畫∠DA’B’=∠A，∠EB’A’=∠B，A’D，B’E 相交于點 C’.


結(jié)論： 和 分別相等的兩個三角形全等．（可以簡寫成“ ”或“ASA”）
2、請補全下列步驟：如圖，在△ABC 和△DEF 中，∠A=∠D，∠B=∠E，BC=EF.求證△ABC ≌△DEF．
證明：在△ABC 中，∠A+∠B+∠C=180°，
∴∠C=180°-∠A-∠B
同理∠F=180°-∠D-∠E ，又∠A=∠D，∠B=∠E，
∴∠ \=∠
在▲ABC和▲DEF中

（ASA)
推論： 和 分別相等的兩個三角形全等．（可以簡寫成“ ”或“ AAS ”）
二、考點題型
探究點一：應(yīng)用“角邊角”、“角角邊”判定三角形全等
【類型一】 應(yīng)用“ASA”判定兩個三角形全等
例題1：如圖，AD∥BC，BE∥DF，AE＝CF，求證：△ADF≌△CBE.



【類型二】 應(yīng)用“AAS”判定兩個三角形全等
例題2： 如圖，在△ABC中，AD⊥BC于點D，BE⊥AC于E.AD與BE交于F，若BF＝AC，求證：△ADC≌△BDF.


【類型三】 靈活選用不同的方法證明三角形全等
例題3：如圖，已知AB＝AE，∠BAD＝∠CAE，要使△ABC≌△AED，還需添加一個條件，這個條件可以是______________．

探究點二：運用全等三角形解決有關(guān)問題
例題4： 已知：在△ABC中，∠BAC＝90°，AB＝AC，直線m經(jīng)過點A，BD⊥直線m，CE⊥直線m，垂足分別為點D、E.求證：(1)△BDA≌△AEC；(2)DE＝BD＋CE.



導(dǎo)學(xué)四：利用“斜邊、直角邊”判定全等三角形
一、情境導(dǎo)入
舞臺背景的形狀是兩個直角三角形，工作人員想知道這兩個直角三角形是否全等，但每個三角形都有一條直角邊被花盆遮住無法測量．
(1)你能幫他想個辦法嗎？ (2)如果他只帶了一個卷尺，能完成這個任務(wù)嗎？
工作人員測量了每個三角形沒有被遮住的直角邊和斜邊，發(fā)現(xiàn)它們分別對應(yīng)相等，于是他就肯定“兩個直角三角形是全等的”，你相信他的結(jié)論嗎？

【驗證】畫一畫：如圖12.2-4 是 Rt△ ABC，請根據(jù)下列步驟畫出圖形，并說說所畫圖形與已知Rt△ABC 的關(guān)系.
（1）畫∠MC’N=90°； （2）在射線 C’M 上截取 B’C’=BC；
（3）以點 B’為圓心，AB 長為半徑畫弧，交射線 C’N



結(jié)論： 和 分別相等的兩個三角形全等．（可以簡寫成“ ”或“ AAS ”）
例：在Rt▲ABC 和Rt▲DEF中，已知，AB=DE,BC=EF，求證Rt▲ABC≌ Rt▲DEF
證明：在▲ABC和▲DEF中

∴Rt▲ABC≌ Rt▲DEF（HL)

二、考點題型
探究點一：應(yīng)用“斜邊、直角邊”判定三角形全等
例題1： 如圖，已知∠A＝∠D＝90°，E、F在線段BC上，DE與AF交于點O，且AB＝CD，BE＝CF.求證：Rt△ABF≌Rt△DCE.






探究點二：“斜邊、直角邊”判定三角形全等的運用
【類型一】 利用“HL”判定線段相等
例題2：如圖，已知AD，AF分別是兩個鈍角△ABC和△ABE的高，如果AD＝AF，AC＝AE.求證：BC＝BE.


【類型二】 利用“HL”判定角相等或線段平行
例題3： 如圖，AB⊥BC，AD⊥DC，AB＝AD，求證：∠1＝∠2.







【類型四】 綜合運用全等三角形的判定方法判定直角三角形全等
例題4：如圖，CD⊥AB于D點，BE⊥AC于E點，BE，CD交于O點，且AO平分∠BAC.求證：OB＝OC.





四、綜合訓(xùn)練
1、如圖，中，，，則由“”可以判定（　?。?br /> A． B．
C． D．以上答案都不對
2、如圖，在和中，，AC與BD相交于點E，若不再添加任何字母與輔助線，要使，則還需增加的一個條件是（ ）
A.AC=BD B.AC=BC C.BE=CE D.AE=DE








第2題圖
第1題圖
第3題圖

3、如圖，已知AB=AC，BD=DC，那么下列結(jié)論中不正確的是（ ）
A．△ABD≌△ACD　　　　　　　 B．∠ADB=90°
C．∠BAD是∠B的一半 D．AD平分∠BAC
4、如圖，AB=AD，CB=CD，∠B=30°，∠BAD=46°，則∠ACD的度數(shù)是( )
A.120° B.125° C.127° D.104°
第5題圖
第4題圖



5、如圖，線段AD與BC交于點O，且AC=BD，AD=BC， 則下面的結(jié)論中不正確的是( )
A.△ABC≌△BAD B.∠CAB=∠DBA C.OB=OC D.∠C=∠D

6、 如圖，AB=AC，AD=AE，欲證△ABD≌△ACE，可補充條件( )
A.∠1=∠2 B.∠B=∠C C.∠D=∠E D.∠BAE=∠CAD
7、 能判定△ABC≌△A′B′C′的條件是（ ）
A．AB=A′B′，AC=A′C′，∠C=∠C′
B. AB=A′B′， ∠A=∠A′，BC=B′C′
C. AC=A′C′， ∠A=∠A′，BC=B′C
D. AC=A′C′， ∠C=∠C′，BC=B′C
8、 如圖，AD=BC，要得到△ABD和△CDB全等，可以添加的條件是( )
第6題
A. AB∥CD B. AD∥BC C. ∠A=∠C D. ∠ABC=∠CDA
第10題圖
第9題圖
第8題圖


9、如圖，在△ABC和△DEC中，已知AB=DE，還需添加兩個條件才能使△ABC≌△DEC，不能添加的一組條件是（　?。?br /> A．BC=EC，∠B=∠E B．BC=EC，AC=DC
C．BC=DC，∠A=∠D D．AC=DC，∠A=∠D
10、如圖，在四邊形ABCD中，AB=AD，CB=CD，若連接AC、BD相交于點O，則圖中全等三角形共有（　?。?br /> A．1對 B．2對 C．3對 D．4對




11. 如圖，已知∠1=∠2，則不一定能使△ABD≌△ACD的條件是（　　）
A. AB=AC B. BD=CD C. ∠B=∠C D.∠BDA=∠CDA



第13題圖

第12題圖

12、如圖，給出下列四組條件：
①；②；
③；④．
其中，能使的條件共有（ ）
A．1組 B．2組 C．3組 D．4組

13、已知：如圖，∠ABC=∠DCB，BD、CA分別是∠ABC、∠DCB的平分線．求證：AB=DC



14、在△ABC中,AB=CB,∠ABC=90o,F為AB延長線上一點,點E在BC上,且AE=CF.
(1)求證: Rt△ABE≌Rt△CBF;
(2)若∠CAE=30o,求∠ACF度數(shù).

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