新高一預(yù)習(xí)：題型分類細(xì)講精練01 集合題型歸類（人教數(shù)學(xué)A版2019必修第一冊(cè)）-試卷下載-教習(xí)網(wǎng)

?專題01 集合題型歸類

【題型一】集合與元素
【典例分析】
非空集合具有下列性質(zhì)：①若、，則；②若、，則，下列判斷一定成立的是（????????）
（1）；（2）；（3）若、，則；（4）若、，則.
A．（1）（3） B．（1）（2）
C．（1）（2）（3） D．（1）（2）（3）（4）
【答案】C
【分析】
假設(shè)，可推出，由此可判斷（1）的正誤；推導(dǎo)出，進(jìn)而可推導(dǎo)出，，由此可判斷（2）的正誤；推導(dǎo)出，結(jié)合①可判斷（3）的正誤；若、，假設(shè)，推出，可判斷（4）的正誤.綜合可得出結(jié)論.
【詳解】
由①可知.
對(duì)于（1），若，對(duì)任意的，，則，
所以，，這與矛盾，（1）正確；
對(duì)于（2），若且，則，，，
依此類推可得知，，，，，，（2）正確；
對(duì)于（3），若、，則且，由（2）可知，，則，
所以，，（3）正確；
對(duì)于（4），由（2）得，，取，則，所以（4）錯(cuò)誤.
故選：C.

【提分秘籍】
基本規(guī)律
1.研究集合問(wèn)題，一定要抓住元素，看元素應(yīng)滿足的屬性。
2.研究?jī)桑ǘ鄠€(gè)）集合的關(guān)系時(shí)，關(guān)鍵是將兩集合的關(guān)系轉(zhuǎn)化為元素間的關(guān)系。

【變式演練】
1.給出下列關(guān)系式：①；②；③；④；⑤，其中正確的個(gè)數(shù)為（???????）
A．1 B．2 C．3 D．4
【答案】B
【分析】
①空集中不含任何元素，由此可判斷①；
②是整數(shù)，故可判斷②正確；
③通過(guò)解方程，可得出，故可判斷③；
④根據(jù)為正整數(shù)集可判斷④；
⑤通過(guò)解方程，得，從而可判斷⑤.
【詳解】
①，故①錯(cuò)誤；
②是整數(shù)，所以，故②正確；
③由，得或，所以，所以正確；
④為正整數(shù)集，所以錯(cuò)誤；
⑤由，得，所以，所以錯(cuò)誤.
所以正確的個(gè)數(shù)有2個(gè).
故選：B.

2下面五個(gè)式子中：①；②；③{a }{a，b}；④；⑤a {b，c，a}；正確的有（???????）
A．②④⑤ B．②③④⑤ C．②④ D．①⑤
【答案】A
【分析】根據(jù)元素與集合，集合與集合之間的關(guān)系逐個(gè)分析即可得出答案.
中，是集合{a}中的一個(gè)元素，，所以錯(cuò)誤；

空集是任一集合的子集，所以正確；
是的子集，所以錯(cuò)誤；
任何集合是其本身的子集，所以正確；
a是的元素，所以正確.
故選：A.
3.已知集合，下列選項(xiàng)中均為A的元素的是（???????）
（1）（2）（3）（4）
A．（1）（2） B．（1）（3） C．（2）（3） D．（2）（4）
【答案】B
【分析】根據(jù)元素與集合的關(guān)系判斷．
集合有兩個(gè)元素：和，
故選：B

【題型二】集合中的元素個(gè)數(shù)
【典例分析】
已知集合A＝{1，2，3，4}，B＝{（x，y）|x∈A，y∈A，y﹣x∈A}，則集合B中的元素的個(gè)數(shù)為（　?。?br /> A．4 B．5 C．6 D．7
【答案】C
【分析】
通過(guò)集合，利用，，，求出集合中元素的個(gè)數(shù)．
【詳解】
解：因?yàn)榧希?，3，，，，，
所以當(dāng)時(shí)，或或，
當(dāng)時(shí)，或，
當(dāng)時(shí)，，
即
所以集合中的元素個(gè)數(shù)為6．
故選：．

【提分秘籍】
基本規(guī)律
集合中元素個(gè)數(shù)：
1.點(diǎn)集多是圖像交點(diǎn)
2.數(shù)集，多涉及到一元二次方程的根。3
【變式演練】
1.已知與是集合的兩個(gè)子集，滿足：與的元素個(gè)數(shù)相同，且為空集，若時(shí)總有，則集合的元素個(gè)數(shù)最多為（???????）
A． B． C． D．
【答案】B
【分析】
令，解得，從中去掉形如的數(shù)，此時(shí)中有個(gè)元素，注意中還可含以下個(gè)特殊元素：、、、、、、，故中元素最多時(shí)，中共有個(gè)元素，由此可得出結(jié)論.
【詳解】
令，解得，所以，集合是集合的一個(gè)非空子集.
再由，先從中去掉形如的數(shù)，由，可得，，此時(shí)，中有個(gè)元素.
由于集合中已經(jīng)去掉了、、、、、、這個(gè)數(shù)，而它們對(duì)應(yīng)的形如的數(shù)分別為、、、、、、，并且、、、、、、對(duì)應(yīng)的形如的數(shù)都在集合中.
故集合中還可有以下個(gè)特殊元素：、、、、、、，
故集合中元素最多時(shí)，集合中共有個(gè)元素，對(duì)應(yīng)的集合也有個(gè)元素，
因此，中共有個(gè)元素.
故選B.
2.已知集合.若，且對(duì)任意的，，均有，則集合B中元素個(gè)數(shù)的最大值為
A．25 B．49 C．75 D．99
【答案】D
【分析】
先分析集合元素的特點(diǎn)，通過(guò)列舉可得.
【詳解】
當(dāng)或的值較小時(shí)，集合B中元素個(gè)數(shù)最多，即共有99個(gè)元素.
【點(diǎn)睛】
本題主要考查集合的表示方法，抓住集合元素的特點(diǎn)是求解的關(guān)鍵.
3.已知集合，，且，則的元素個(gè)數(shù)為（???????）
A． B． C． D．
【答案】B
【分析】
對(duì)于集合，任取，令，對(duì)于集合，任取，令，令，可得出，分析可得，列舉出的可能取值的個(gè)數(shù)，即可得解.
【詳解】
對(duì)于集合，任取，令，
對(duì)于集合，任取，令，
令，則，可得，
因?yàn)榍?，則，
可集合中能被整除的數(shù)為、、，
共有組、數(shù)據(jù)滿足條件，故的元素個(gè)數(shù)為.
故選：B.

【題型三】元素個(gè)數(shù)求參
【典例分析】
已知集合只有一個(gè)元素，則的取值集合為（???????）
A． B． C． D．
【答案】D
【分析】對(duì)參數(shù)分類討論，結(jié)合判別式法得到結(jié)果.
解：①當(dāng)時(shí)，，此時(shí)滿足條件；
②當(dāng)時(shí)，中只有一個(gè)元素的話，，解得，
綜上，的取值集合為，．
故選：D．

【提分秘籍】
基本規(guī)律
在根據(jù)元素與集合關(guān)系求解參數(shù)值的問(wèn)題時(shí)，容易錯(cuò)的地方是忽略求得參數(shù)值后，需驗(yàn)證集合中元素是否滿足互異性

【變式演練】
1.已知，若集合A中恰好有5個(gè)元素，則實(shí)數(shù)的取值范圍為（???????）
A． B．
C． D．
【答案】D
【解析】
【分析】
由已知求出集合A，進(jìn)一步得到m的范圍.
【詳解】
由題意可知，可得.
故選：D
2.若集合至多含有一個(gè)元素，則的取值范圍是（???????）．
A． B． C． D．
【答案】B
【分析】
把題意轉(zhuǎn)化為方程無(wú)實(shí)根或兩相等實(shí)根或一個(gè)實(shí)根，然后通過(guò)分類討論求的取值范圍.
【詳解】
因?yàn)榧现炼嗪幸粋€(gè)元素，
所以時(shí)，，此時(shí)滿足題意；
當(dāng)時(shí)，要滿足題意，需方程無(wú)實(shí)根或兩相等實(shí)根，
即，所以.
綜上知，的取值范圍是.
故選：B.
3.某個(gè)含有三個(gè)元素的集合可以表示為，也可以表示為，則的值為（???????）
A．0 B．1 C．－1 D．
【答案】C
【解析】
【分析】
根據(jù)，結(jié)合集合相等的條件，求得，即可求解.
【詳解】
由題意，集合，
根據(jù)集合相等的條件，可得且，所以，
所以.
故選：C.

【題型四】子集及子集個(gè)數(shù)
【典例分析】
設(shè)A是集合的子集，只含有3個(gè)元素，且不含相鄰的整數(shù)，則這種子集A的個(gè)數(shù)為（???????）
A．32 B．56 C．72 D．84
【答案】B
【分析】
分類列舉出每一種可能性即可得到答案.
【詳解】
若1,3在集合A內(nèi)，則還有一個(gè)元素為5,6,7,8,9,10中的一個(gè)；
若1,4在集合A內(nèi)，則還有一個(gè)元素為6,7,8,9,10中的一個(gè)；

若1,8在集合A內(nèi)，則還有一個(gè)元素為10；
共有6+5+4+3+2+1=21個(gè).
若2,4在集合A內(nèi)，則還有一個(gè)元素為6,7,8,9,10中的一個(gè)；
若2,5在集合A內(nèi)，則還有一個(gè)元素為7,8,9,10中的一個(gè)；

若2,8在集合A內(nèi)，則還有一個(gè)元素為10；
共有5+4+3+2+1=15個(gè).
若3,5在集合A內(nèi)，則還有一個(gè)元素為7,8,9,10中的一個(gè)；
若3,6在集合A內(nèi)，則還有一個(gè)元素為8,9,10中的一個(gè)；

若3,8在集合A內(nèi)，則還有一個(gè)元素為10；
共有4+3+2+1=10個(gè).
若4,6在集合A內(nèi)，則還有一個(gè)元素為8,9,10中的一個(gè)；
若4,7在集合A內(nèi)，則還有一個(gè)元素為9,10中的一個(gè)；
若4,8在集合A內(nèi)，則還有一個(gè)元素為10；
共有3+2+1=6個(gè).
若5,7在集合A內(nèi)，則還有一個(gè)元素為9,10中的一個(gè)；
若5,8在集合A內(nèi)，則還有一個(gè)元素為10；
共有2+1=3個(gè).
若6,8,10在在集合A內(nèi)，只有1個(gè).
總共有21+15+10+6+3+1=56個(gè)
故選：B.

【提分秘籍】
基本規(guī)律
元素與集合以及集合與集合子集關(guān)系的判斷，解題的關(guān)鍵是正確理解所給的定義及熟練運(yùn)用分類討論的思想進(jìn)行列舉

【變式演練】
1.若集合，，，則A，B，C之間的關(guān)系是（???????）
A． B．AüB=C C．AüBüC D．BüCüA
【答案】B
【分析】
先將A,B,C三個(gè)集合里面的分母統(tǒng)一為6，再去比較每個(gè)集合的關(guān)系.
【詳解】
將各集合中元素的公共屬性化歸為同一形式，集合A中，，；集合B中，，；集合C中，，．由與p均表示整數(shù)，且，可得AüB=C．
故選B.
2.已知集合，集合，則（???????）
A． B． C． D．
【答案】B
【分析】
先分析集合M、N，得到，再對(duì)四個(gè)選項(xiàng)一一判斷.
【詳解】
，
.
因?yàn)榭梢员硎九紨?shù)，列舉出為，而可以表示全部整數(shù).
所以
對(duì)于A：.故A錯(cuò)誤；
對(duì)于B、C：.故B正確；C錯(cuò)誤；
對(duì)于D：.故D錯(cuò)誤.
故選：B
3.設(shè)全集U，有以下四個(gè)關(guān)系式：
甲：A∩B＝A；乙：A∪B＝B；丙：；?。海?br /> 如果有且只有一個(gè)不成立，則該式是（???????）
A．甲 B．乙
C．丙 D．丁
【答案】C
【分析】
先將甲、乙、丙、丁的關(guān)系轉(zhuǎn)化為集合的包含關(guān)系，分析即得解
【詳解】
由題意，甲：A∩B＝A
乙：A∪B＝B
丙：
?。?br /> 由于甲、乙、丁是等價(jià)的，故如果有且只有一個(gè)不成立，則該式是丙
故選：C

【題型五】子集關(guān)系求參(難點(diǎn)）
【典例分析】
已知集合，，若，則的取值集合為（???????）
A． B． C． D．
【答案】D
【分析】
由題意知，分別討論和兩種情況，即可得出結(jié)果.
【詳解】
由，知，因?yàn)?，?br /> 若，則方程無(wú)解，所以滿足題意；
若，則，
因?yàn)?，所以，則滿足題意；
故實(shí)數(shù)取值的集合為.
故選：D.

【提分秘籍】
基本規(guī)律
授課時(shí)講透徹這個(gè)“順序感”：子集是從“從空集開(kāi)始，到自身結(jié)束”

【變式演練】
1.設(shè)a，b是實(shí)數(shù)，集合，，且，則的取值范圍為（???????）
A． B． C． D．
【答案】D
【分析】
解絕對(duì)值不等式得到集合，再利用集合的包含關(guān)系得到不等式，解不等式即可得解.
【詳解】
集合，
或
又，所以或
即或，即
所以的取值范圍為
故選：D
2.已知，，若且，則實(shí)數(shù)的取值范圍是（???????）
A．
B．
C．
D．或
【答案】B
【分析】
集合A的的取值范圍是確定的，集合B中，二次函數(shù)開(kāi)口向上，要先考慮恒成立的情況；若不恒成立，再結(jié)合的條件進(jìn)行討論，從而得到的取值范圍
【詳解】
集合A中，由得，當(dāng)時(shí)，，（舍）；當(dāng)時(shí)，，，所以集合；集合B中，若，，則，符合要求；若，根據(jù)二次函數(shù)對(duì)稱軸為，若，則，，綜上可得：
故選：B
3.設(shè)集合，或，若，則實(shí)數(shù)的取值范圍為（???????）
A． B． C． D．
【答案】A
【分析】
根據(jù)給定條件按集合A是否為空集兩類列式計(jì)算得解.
【詳解】
因集合，
若，有，解得，此時(shí)，于是得，
若，因或，則由得：，解得：，
綜上得：，
所以實(shí)數(shù)的取值范圍為.
故選：A

【題型六】子集綜合應(yīng)用
【典例分析】
已知集合，，，則A，B，C之間的關(guān)系是（???????）
A．A=BC B．AB=C
C．ABC D．BC=A
【答案】B
【分析】
將三個(gè)集合分別化簡(jiǎn)，分母一樣，比較分子的不同，根據(jù)所表示范圍的大小，判斷出集合的關(guān)系．
【詳解】
解：集合，，，
集合，，，
集合，，，
時(shí)，表示被6除余1的數(shù)；時(shí)，表示被3除余1的數(shù)；時(shí)，表示被3除余1的數(shù)；
所以，
故選：B．

【提分秘籍】
基本規(guī)律
1.借助于分類討論思想
2.借助于枚舉思想

【變式演練】
1.定義，設(shè)、、是某集合的三個(gè)子集，且滿足，則是的（???????）
A．充要條件 B．充分非必要條件
C．必要非充分條件 D．既非充分也非必要條件
【答案】A
【分析】
作出示意圖，由可知兩個(gè)陰影部分均為，根據(jù)新定義結(jié)合集合并集的運(yùn)算以及充分條件與必要條件的定義判斷即可.
【詳解】
如圖，由于，

故兩個(gè)陰影部分均為，
于是，
（1）若，則，，
而，
成立；
（2）反之，若，
則由于，，
，，，故選：A
2.已知：A＝{x|x2＝1}，B＝{x|ax＝1}，C＝{x|x＝a}，B?A，則C的真子集個(gè)數(shù)是（）
A．3 B．6 C．7 D．8
【答案】C
【分析】
首先求得A＝{﹣1，1}，之后根據(jù)B?A，求得的值，從而得到C＝{﹣1，0，1}，根據(jù)含有個(gè)元素的有限集合真子集的個(gè)數(shù)，求得結(jié)果.
【詳解】
由A中x2＝1，得到x＝1或﹣1，即A＝{﹣1，1}，
∵B＝{x|ax＝1}，B?A，
∴把x＝﹣1代入ax＝1，得：a＝﹣1；把x＝1代入ax＝1得：a＝1，
當(dāng)時(shí)，，滿足B?A，
∴C＝{﹣1，0，1}，
則C真子集個(gè)數(shù)為23﹣1＝7．
故選：C.
3.已知集合，，則之間的關(guān)系是（）
A． B．
C． D．
【答案】C
【分析】
化簡(jiǎn)，從而可得，排除，，考慮元素5與集合的關(guān)系再可排除，從而得到結(jié)果.
【詳解】
∵，，
∴，故排除選項(xiàng)，，
又∵，，∴排除，
故選：.

【題型七】集合交集運(yùn)算及求參
【典例分析】
已知集合，．若，則a的取值范圍為（???????）
A． B．
C． D．
【答案】C
【分析】
由集合包含關(guān)系可得，討論、分別求參數(shù)范圍，最后取并集即可得結(jié)果.
【詳解】
由，可得，
當(dāng)時(shí)，，即，滿足題設(shè)；
當(dāng)時(shí)，，即，且，可得；
綜上，a的取值范圍為.
故選：C.

【提分秘籍】
基本規(guī)律
1.研究?jī)杉系年P(guān)系時(shí)，關(guān)鍵是將兩集合的關(guān)系轉(zhuǎn)化為元素間的關(guān)系，,一般要在數(shù)軸上（或者坐標(biāo)系中）表示出來(lái)，形象直觀，一定要注意端點(diǎn)值和臨界值，看是否包括。
2.＝；A∩A＝A；A∩B＝B∩A；A∩B＝A?A?B.

【變式演練】
1.已知集合，下列描述正確的是（???????）
A． B．
C． D．以上選項(xiàng)都不對(duì)
【答案】A
【分析】
將兩個(gè)集合等價(jià)變形，從而可判斷兩個(gè)集合的關(guān)系，從而可得出答案.
【詳解】
解：，
分子取到的整數(shù)倍加1，
，
分子取全體整數(shù)，
所以，
所以.
故選：A.
2.已知集合，，若，則（???????）
A．或 B．或
C．或或 D．或或
【答案】D
【分析】
本題考查集合的運(yùn)算和集合之間的關(guān)系.，說(shuō)明，根據(jù)這個(gè)關(guān)系可以求出參數(shù)的值，注意考慮空集的情況
【詳解】
因?yàn)榈葍r(jià)于, 解得或,
所以.
因?yàn)?
所以,
當(dāng)時(shí), 成立，此時(shí);
當(dāng)時(shí), , 解可得,
因?yàn)? 所以或,
解得或.
綜上, 的值為或或.
故選:D.
3.若一個(gè)集合是另一個(gè)集合的子集，則稱兩個(gè)集合構(gòu)成“鯨吞”；若兩個(gè)集合有公共元素且互不為對(duì)方的子集，則稱兩個(gè)集合構(gòu)成“蠶食”，對(duì)于集合，，若這兩個(gè)集合構(gòu)成“鯨吞”或“蠶食”，則a的取值集合為（???????）
A． B． C． D．
【答案】A
【分析】
討論和，求得集合，再由新定義，得到的方程，即可解得的值．
【詳解】
解：集合，，
，，
若，則，
即有；
若，可得，，
不滿足；
若，兩個(gè)集合有公共元素，但互不為對(duì)方子集，
可得或，解得或．
綜上可得，或或2.
故選：A.

【題型八】集合并集運(yùn)算及求參
【典例分析】
已知集合，，，則(???????)
A．0或4 B．0或
C．1或 D．1或4
【答案】A
【分析】
由求出集合和的包含關(guān)系，然后利用集合間包含關(guān)系求解即可.
【詳解】
集合，，可得，
若，，則，，顯然成立；
若，或1；
當(dāng)時(shí)，顯然成立，
當(dāng)時(shí)，，不滿足元素的互異性，舍去，
綜上所述，或4．
故選：A．

【提分秘籍】
基本規(guī)律
1.“并大交小”
2.＝A；A∪A＝A；A∪B＝B∪A；A∪B＝A?B?A.

【變式演練】
1.已知集合A={x|-3≤x≤-2}，集合B={x|m-1≤x≤2m+1}，且A∪B=A，則實(shí)數(shù)m的取值范圍是（???????）
A．-4≤m≤ B．-4

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