新高一預(yù)習(xí)：題型分類細(xì)講精練03 均值不等式基礎(chǔ)方法15類總結(jié)（人教數(shù)學(xué)A版2019必修第一冊(cè)）-試卷下載-教習(xí)網(wǎng)

?專題3 均值不等式基礎(chǔ)方法15類總結(jié)

目錄
一、熱點(diǎn)題型歸納
【題型一】對(duì)勾型 2
【題型二】添加常數(shù)構(gòu)造“對(duì)勾型” 3
【題型三】“和定求積”型 5
【題型四】“積定求和”型 6
【題型五】單元（單變量）分離常數(shù)型 7
【題型六】“常數(shù)”因子法： 8
【題型七】“單分母”構(gòu)造因子法 9
【題型八】“雙分母”構(gòu)造法 11
【題型九】有和有積無(wú)常數(shù)型 12
【題型十】有和有積有常數(shù)型：求“積”型 14
【題型十一】有和有積有常數(shù)型：求“和”型 15
【題型十二】多元分離型 16
【題型十三】反解消元型 18
【題型十四】換元型 19
【題型十五】較簡(jiǎn)單的三元均值 21
培優(yōu)第一階——基礎(chǔ)過(guò)關(guān)練 23
培優(yōu)第二階——能力提升練 27
培優(yōu)第三階——培優(yōu)拔尖練 30

知識(shí)點(diǎn)綜述：
1. 基本不等式：：a2＋b2≥ 2ab(a，b∈R)；
2.常用不等式：≤；
(1) 基本不等式成立的條件：a>0，b>0；
(2)等號(hào)成立的條件：當(dāng)且僅當(dāng)a＝b.
簡(jiǎn)稱為““一正”“二定”“三相等”，三個(gè)條件缺一不可．
3.基本不等式的變形：
①a＋b≥2，常用于求和的最小值；②ab≤2，常用于求積的最大值；
4.重要不等式鏈：≥ ≥≥；

【題型一】對(duì)勾型
【典例分析】
（2021·江蘇·高一專題練習(xí)）不等式（x-2y）+≥2成立的前提條件為（???????）
A．x≥2y B．x>2y C．x≤2y D．x0，則當(dāng)取得最小值時(shí)，a的值為（???????）
A． B． C． D．3
【答案】C
【分析】利用基本不等式求最值即可.
【詳解】∵a>0，∴，當(dāng)且僅當(dāng)，即時(shí)，等號(hào)成立，故選：C
【題型二】添加常數(shù)構(gòu)造“對(duì)勾型”
【典例分析】
（2022·吉林延邊·高一期末）已知，則函數(shù)的最小值是（???????）
A． B． C．2 D．
【答案】D
【分析】應(yīng)用基本不等式求函數(shù)的最小值，注意等號(hào)成立的條件.
【詳解】由題設(shè)，，
∴，當(dāng)且僅當(dāng)時(shí)等號(hào)成立，
∴函數(shù)最小值為.故選：D.

【提分秘籍】
基本規(guī)律
對(duì)于形如，則把cx+d轉(zhuǎn)化為分母的線性關(guān)系：可消去。不必記憶，直接根據(jù)結(jié)構(gòu)轉(zhuǎn)化

【變式訓(xùn)練】
1.．（2021·黑龍江·牡丹江市第三高級(jí)中學(xué)高一階段練習(xí)）若在處取得最小值，則（???????）
A．1 B．3 C． D．4
【答案】B
【分析】結(jié)合基本不等式求得正確答案.
【詳解】依題意，
，
當(dāng)且僅當(dāng)時(shí)等號(hào)成立.
故選：B
2.（2022·全國(guó)·高一課時(shí)練習(xí)）若實(shí)數(shù)，則的最小值為（???????）
A． B． C． D．
【答案】B
【解析】將原式變形為，然后利用基本不等式求解出的最小值.
【詳解】因?yàn)椋?br /> 取等號(hào)時(shí)且，即，所以的最小值為，
故選：B.
3.（2021·江蘇·高一專題練習(xí)）設(shè)，則的最小值為（???????）
A． B． C．4 D．
【答案】A
【分析】原式可變形為，然后根據(jù)基本不等式即可求解
【詳解】，
，

，
當(dāng)且僅當(dāng)，
即時(shí)取等號(hào)
故選：A

【題型三】“和定求積”型
【典例分析】
（2022·全國(guó)·高一專題練習(xí)）已知，，，則的最大值為（???????）
A． B．4 C．6 D．8
【答案】B
【分析】利用基本不等式化簡(jiǎn)已知條件，由此求得的最大值
【詳解】因?yàn)樗?，從而?br /> 當(dāng)且僅當(dāng)時(shí)等號(hào)成立.
故選：B

【提分秘籍】
基本規(guī)律
如果x＋y是定值q，那么當(dāng)且僅當(dāng)x＝y(tǒng)時(shí)，xy有最大值是(簡(jiǎn)記：和定積最大)

【變式訓(xùn)練】
1.（2021·福建·泉州市第六中學(xué)高一期中）若，則當(dāng)取得最大值時(shí)，x的值為（???????）
A．1 B． C． D．
【答案】D
【分析】根據(jù)基本不等式即可得到答案.
【詳解】因?yàn)?，所以，則，
當(dāng)且僅當(dāng)時(shí)取“=”.
故選：D.
2.．（2021·全國(guó)·高一課時(shí)練習(xí)）若，，，則的最大值為（???????）
A． B． C．1 D．
【答案】D
【分析】直接根據(jù)基本不等式求最值．
【詳解】解：∵，，∴，，
∴，
當(dāng)且僅當(dāng)時(shí)，取“=”，故選：D．
3.（2021·湖北·華中科技大學(xué)附屬中學(xué)高一階段練習(xí)）已知x>0，y>0，且x＋2y＝4，則(1＋x)(1＋2y)的最大值為（???????）
A．36 B．4 C．16 D．9
【答案】D
【分析】根據(jù)題意得到，進(jìn)而通過(guò)基本不等式求得答案.
【詳解】由題意，，，所以，當(dāng)且僅當(dāng)時(shí)取“=”.
故選：D.

【題型四】“積定求和”型
【典例分析】
（2021·浙江省杭州學(xué)軍中學(xué)高一期中）已知，，且，則的最小值為（???????）
A．5 B．6 C．7 D．8
【答案】C
【分析】由基本不等式求解．
【詳解】因?yàn)椋?br /> 所以，，當(dāng)且僅當(dāng)，即時(shí)等號(hào)成立．
故選：C．

【提分秘籍】
基本規(guī)律
如果xy是定值p，那么當(dāng)且僅當(dāng)x＝y(tǒng)時(shí)，x＋y有最小值是2(簡(jiǎn)記：積定和最小)

【變式訓(xùn)練】
1.（2021·江蘇·沭陽(yáng)縣修遠(yuǎn)中學(xué)高一階段練習(xí)）若實(shí)數(shù)滿足，則的最小值是（???????）
A．1 B．2 C．4 D．8
【答案】B
【分析】利用均值不等式即可得解.
【詳解】由均值不等式可得，
當(dāng)且僅當(dāng)時(shí)，等號(hào)成立，
所以的最小值是2.
故選：B.
2.（2021·新疆·巴楚縣第一中學(xué)高一期中）已知為正實(shí)數(shù)，且，則的最小值是（???????）
A．4 B．8 C．16 D．32
【答案】B
【分析】化簡(jiǎn)，結(jié)合基本不等式，即可求解.
【詳解】由題意，正實(shí)數(shù)且，可得，
則，當(dāng)且僅當(dāng)時(shí)，即時(shí)等號(hào)成立，
所以的最小值是.故選：B.

【題型五】單元（單變量）分離常數(shù)型
【典例分析】
（2022·福建·莆田一中高一期末）函數(shù)有（???????）
A．最大值 B．最小值 C．最大值2 D．最小值2
【答案】D
【分析】分離常數(shù)后，用基本不等式可解.
【詳解】（方法1），，則，當(dāng)且僅當(dāng)，即時(shí)，等號(hào)成立.
（方法2）令，，，.
將其代入，原函數(shù)可化為，當(dāng)且僅當(dāng)，即時(shí)等號(hào)成立，此時(shí).故選：D

【提分秘籍】
基本規(guī)律
分離常數(shù)可以從兩方面考慮：
1.以分母為主元構(gòu)造分子
2.直接換元分母（一般式一次型）

【變式訓(xùn)練】
1.（2021·全國(guó)·高一課時(shí)練習(xí)）若，則有（???????）
A．最小值2 B．最大值2 C．最小值 D．最大值
【答案】D
【分析】先將轉(zhuǎn)化為，根據(jù)－40，y>0，且xy=10，所以，當(dāng)且僅當(dāng)即時(shí)取等號(hào)，
所以的最小值為4，故選：C
5.（2021·湖北·宜都二中高一期中）已知?jiǎng)t函數(shù)的最小值為（???????）
A． B． C． D．
【答案】C
【解析】根據(jù)基本不等式可求得結(jié)果.
【詳解】因?yàn)樗裕?br /> 當(dāng)且僅當(dāng)，即時(shí)，等號(hào)成立.故選：C.
6.（2022·全國(guó)·高一專題練習(xí)）已知，則的最小值為（???????）
A． B． C． D．6
【答案】B
【分析】利用“1”的代換，結(jié)合基本不等式求的最小值即可，注意等號(hào)成立的條件.
【詳解】由已知得：，且，
∴當(dāng)且僅當(dāng)時(shí)等號(hào)成立.
故選：B.
7.（2021·福建·莆田一中高一期中）已知，，，則的最小值為（???????）
A．1 B． C． D．
【答案】C
【分析】由展開(kāi)利用基本不等式可求解.
【詳解】因?yàn)?，，，則，
所以
，當(dāng)且僅當(dāng)?shù)忍?hào)成立，
所以的最小值為.故選：C.
8.（2022·陜西·長(zhǎng)安一中高一階段練習(xí)）已知都是正數(shù)，且，則的最小值為（???????）
A． B．2 C． D．3
【答案】C
【分析】利用基本不等式中“1”的妙用，令，即可求解.
【詳解】由題意知，，，
則
，
當(dāng)且僅當(dāng)時(shí)，取最小值.
故選：C．
9.（2022·山東·薛城區(qū)教育局教學(xué)研究室高一期末）已知，且，則的最小值為（???????）
A．3 B．4 C．6 D．9
【答案】A
【解析】將變形為，再將變形為，整理后利用基本不等式可求最小值.
【詳解】因?yàn)椋剩?br /> 故，
當(dāng)且僅當(dāng)時(shí)等號(hào)成立，故的最小值為3.故選：A.
10.（2021·全國(guó)·高一專題練習(xí)）已知，則的最大值為（???????）
A．1 B．2 C．3 D．4
【答案】C
【分析】根據(jù)題意可得，從而可求得答案.
【詳解】解：因?yàn)?，所以?br /> 即，則，
所以，又，所以，所以最大為3.
故選：C.
11.（2021·全國(guó)·高一期中）已知，，且，則的最小值為（???????）
A． B． C．4 D．6
【答案】C
【分析】由基本不等式得出關(guān)于的不等式，解之可得．
【詳解】因?yàn)椋?br /> 所以，當(dāng)且僅當(dāng)時(shí)取等號(hào)．
，解得或（舍去），
所以，即的最小值.4．此時(shí)．
故選：C．
12.（2021·全國(guó)·高一專題練習(xí)）已知正數(shù)滿足，則的最大值是（???????）
A． B． C．1 D．
【答案】B
【分析】根據(jù)已知等式把代數(shù)式進(jìn)行變形為，再結(jié)合已知等式，利用基本不等式進(jìn)行求解即可.
【詳解】，
因?yàn)?，所以?br /> 因此
，
（當(dāng)且僅當(dāng)時(shí)取等號(hào)，即時(shí)取等號(hào)，即時(shí)取等號(hào)），
所以.
故選：B.
13.（2022·貴州遵義·高一期末）負(fù)實(shí)數(shù)、滿足，則的最小值為（???????）
A． B． C． D．
【答案】A
【分析】由已知可得，再利用基本不等式可求得的最小值.
【詳解】因?yàn)樨?fù)實(shí)數(shù)、滿足，則，可得，
由基本不等式可得，
當(dāng)且僅當(dāng)時(shí)，即當(dāng)時(shí)，等號(hào)成立.
故的最小值為.故選：A.
14.（2022·全國(guó)·高一課時(shí)練習(xí)）已知正數(shù)x，y滿足，則的最小值（???????）
A． B． C． D．
【答案】A
【分析】利用換元法和基本不等式即可求解.
【詳解】令，，則，
即，
∴
，當(dāng)且僅當(dāng)，即，時(shí)，等號(hào)成立，故選：A.
15.（2022·全國(guó)·高一）設(shè)x，y，z為正實(shí)數(shù)，滿足，則的最小值是（　?。?br /> A．4 B．2 C． D．
【答案】A
【分析】由題設(shè)可得，根據(jù)已知應(yīng)用基本不等式求其最小值即可.
【詳解】由題設(shè)，，∴，又x，y，z為正實(shí)數(shù)，則，
∴，當(dāng)且僅當(dāng)時(shí)等號(hào)成立.∴的最小值是4.故選：A

培優(yōu)第二階——能力提升練
1.（2021·廣東·廣州市真光中學(xué)高一期中），在處取最小值，則（???????）
A．1 B． C．3 D．9
【答案】C
【分析】利用基本不等式求解，注意“一正二定三相等”，求出的值
【詳解】∵
∴有基本不等式得：，當(dāng)且僅當(dāng)，即時(shí)，等號(hào)成立
故選：C
2.（2021·天津·油田三中高一階段練習(xí)）函數(shù)y＝3x2＋的最小值是(???????)
A．3－3 B．3
C．6 D．6－3
【答案】D
【分析】利用基本不等式即可求解.
【詳解】，
當(dāng)且僅當(dāng)時(shí)等號(hào)成立.故選：.
3.（2021·全國(guó)·高一課時(shí)練習(xí)）已知m，n∈R，m2+n2=100，則mn的最大值是（???????）
A．25 B．50 C．20 D．
【答案】B
【分析】利用不等式m2+n2≥2mn，可求得結(jié)果.
【詳解】由m2+n2≥2mn，得 mn≤=50，
當(dāng)且僅當(dāng)m=n=±時(shí)等號(hào)成立.
所以mn的最大值是.
故選：B
4.（2020·廣東·深圳市南山外國(guó)語(yǔ)學(xué)校（集團(tuán)）高一期中）已知正數(shù)，滿足，則的最小值是（???????）
A．10 B．20 C．15 D．25
【答案】B
【解析】根據(jù)題中條件，由基本不等式，直接計(jì)算，即可得出結(jié)果.
【詳解】因?yàn)檎龜?shù)，滿足，
所以，
當(dāng)且僅當(dāng)，即時(shí)，等號(hào)成立.
故選：B.
5.（2021·湖北黃石·高一期中）若，則函數(shù)的最小值為（???????）
A．4 B．5 C．7 D．9
【答案】C
【分析】利用基本不等式計(jì)算可得；
【詳解】解：因?yàn)?，所以，所?br /> ，
當(dāng)且僅當(dāng)，即時(shí)取等號(hào)，所以函數(shù)的最小值為；故選：C
6.（2021·浙江·高一單元測(cè)試）已知，.且，若恒成立，則實(shí)數(shù)的取值范圍是（???????）
A． B． C． D．
【答案】D
【解析】利用基本不等式可求的最小值，從而可求實(shí)數(shù)的取值范圍.
【詳解】因?yàn)?，故?br /> 當(dāng)且僅當(dāng)時(shí)等號(hào)成立，故的最小值為9，故，
故選：D.
7.（2021·河北正中實(shí)驗(yàn)中學(xué)高一期中）已知，且，則的最小值為（???????）
A．4 B．3 C．2 D．1
【答案】C
【分析】利用已知條件將化為積為定值的形式，再根據(jù)基本不等式可求出結(jié)果.
【詳解】
，
當(dāng)且僅當(dāng)，即，又，所以時(shí)，等號(hào)成立.
故選：C
8.（2022·全國(guó)·高一單元測(cè)試）設(shè)，為正數(shù)，且，則的最小值為（???????）
A． B． C． D．
【答案】B
【分析】將拼湊為，利用“1”的妙用及其基本不等式求解即可.
【詳解】∵，
∴，即，
∴
，當(dāng)且僅當(dāng)，且時(shí)，即
，時(shí)等號(hào)成立.故選：.
9..（2021·全國(guó)·高一課時(shí)練習(xí)）若正數(shù)x，y滿足x+4y-xy=0，則當(dāng)x+y取得最小值時(shí)，x的值為（???????）
A．9 B．8 C．6 D．3
【答案】C
【分析】根據(jù)式子結(jié)構(gòu)，利用基本不等式中“1的代換進(jìn)行求解即可.”
【詳解】∵x>0，y>0，x+4y=xy，∴，
∴x+y=（x+y）=5+當(dāng)且僅當(dāng)x=2y時(shí)，等號(hào)成立，此時(shí)x=6，y=3.
故選：C.
10.（2022·內(nèi)蒙古巴彥淖爾·高一期末）若，，且，則的最小值為（???????）
A．9 B．16 C．49 D．81
【答案】D
【分析】由基本不等式結(jié)合一元二次不等式的解法得出最小值.
【詳解】由題意得，得，解得，即，當(dāng)且僅當(dāng)時(shí)，等號(hào)成立．
故選：D
11.（2021·廣東·執(zhí)信中學(xué)高一期中）已知正實(shí)數(shù)，滿足等式，若對(duì)任意滿足條件的，，求的最小值（???????）
A． B． C． D．
【答案】A
【分析】利用基本不等式結(jié)合一元二次不等式即可.
【詳解】解：正實(shí)數(shù)，滿足等式
（當(dāng)且僅當(dāng)時(shí)取等號(hào)）令則
或（舍棄）故選：．
12.（2021·河南·濮陽(yáng)一高高一階段練習(xí)）已知兩正實(shí)數(shù)a，b滿足，則的最小值為（???????）
A．7 B． C． D．
【答案】B
【分析】利用基本不等式“1”的代換求目標(biāo)式的最小值，注意等號(hào)成立條件.
【詳解】由題設(shè)，，
∴，當(dāng)且僅當(dāng)時(shí)等號(hào)成立.
故答案為：B
13.（2021·廣東·華南師大附中高一期中）已知a＞0，且a2－b＋4＝0，則（???????）
A．有最大值 B．有最大值 C．有最小值 D．有最小值
【答案】D
【分析】根據(jù)，變形為，然后由可得，再利用基本不等式求最值.
【詳解】因?yàn)椋裕?br /> 所以，
當(dāng)且僅當(dāng)時(shí)取等號(hào)，∴ 有最小值故選：D.
14.（2021·湖北黃石·高一階段練習(xí)）實(shí)數(shù)a，b滿足，，，則的最小值是（???????）
A．4 B．6 C． D．
【答案】C
【分析】令，，化簡(jiǎn)得到，結(jié)合基本不等式，即可求解.
【詳解】令，，則，，且，，，
所以
，當(dāng)且僅當(dāng)即時(shí)等號(hào)成立.
所以的最小值是，故選：C.
15.（2022·全國(guó)·高一專題練習(xí)）若不等式對(duì)滿足條件的恒成立，則實(shí)數(shù)k的最大值為（???????）
A．2 B．4
C．6 D．8
【答案】B
【分析】根據(jù)已知及基本不等式可得，可求出實(shí)數(shù)k的最大值．
【詳解】解：根據(jù)???，當(dāng)且僅當(dāng)時(shí)，取等號(hào)，
化簡(jiǎn)可得，因?yàn)?，所以，?br /> 所以運(yùn)用，可得，當(dāng)且僅當(dāng)，即時(shí)，取等號(hào)，
又因?yàn)楹愠闪?，所以，即k的最大值是4

培優(yōu)第三階——培優(yōu)拔尖練
1.（2022·重慶巫山·高一期末）已知命題，，若為假命題，則的取值范圍為（?????）
A． B． C． D．
【答案】D
【分析】求得，結(jié)合基本不等式求得的取值范圍.
【詳解】依題意可知，為真命題，
由于時(shí)等號(hào)成立，
所以.
故選：D
2.．（2021·全國(guó)·高一專題練習(xí)）若關(guān)于的不等式對(duì)任意恒成立，則正實(shí)數(shù)的取值集合為（???????）
A．（－1，4] B．（0，4） C．（0，4] D．（1，4]
【答案】C
【分析】由題意可得對(duì)任意恒成立，由基本不等式可得最小值，再由一元二次不等式的解法，可得的取值集合.
【詳解】由題意可得對(duì)任意恒成立，
由，可得，
當(dāng)且僅當(dāng)即時(shí)，取得等號(hào)，則，解得.
故選：C.
3.（2022·全國(guó)·高一單元測(cè)試）設(shè)正實(shí)數(shù)，滿足(其中為正常數(shù))，若的最大值為3，則（???????）
A．3 B． C． D．
【答案】D
【解析】由于，，為正數(shù)，且，所以利用基本不等式可求出結(jié)果
【詳解】解：因?yàn)檎龑?shí)數(shù)，滿足(其中為正常數(shù))，
所以，則，所以，所以故選：D.
4.（2022·全國(guó)·高一課時(shí)練習(xí)）已知，則的最大值為（???????）
A． B． C． D．
【答案】C
【分析】利用基本不等式即可求解.
【詳解】，
當(dāng)且僅當(dāng)，即時(shí)取等號(hào).所以的最大值為.故選：C
5.（2022·全國(guó)·高一課時(shí)練習(xí)）若不等式在區(qū)間上有解，則實(shí)數(shù)a的取值范圍是（???????）
A． B． C． D．
【答案】C
【分析】運(yùn)用換元法，構(gòu)造新函數(shù)，利用新函數(shù)的最值進(jìn)行求解即可.
【詳解】令，所以，
設(shè)，，
函數(shù)在時(shí)，函數(shù)單調(diào)遞減，在時(shí)，函數(shù)單調(diào)遞增，
因?yàn)椋?，所以函?shù)在時(shí)，最大值為，
要想不等式在區(qū)間上有解，只需，
故選：C
6.（2021·江蘇·泗陽(yáng)縣實(shí)驗(yàn)高級(jí)中學(xué)高一階段練習(xí)）設(shè)自變量x對(duì)應(yīng)的因變量為y，在滿足對(duì)任意的x，不等式y(tǒng)≤M都成立的所有常數(shù)M中，將M的最小值叫做y的上確界．若a，b為正實(shí)數(shù)，且a＋b＝1，則－－的上確界為（???????）
A．－ B． C． D．－4
【答案】A
【分析】利用基本不等式即可求解.
【詳解】解析因?yàn)閍，b為正實(shí)數(shù)，且a＋b＝1，所以＋＝×(a＋b)
＝＋≥＋2＝，當(dāng)且僅當(dāng)b＝2a，即a＝，b＝時(shí)等號(hào)成立，
因此有－－≤－，即－－的上確界為－．故選：A
7.（2021·福建省龍巖第一中學(xué)高一期中）若，則的最小值為（???????）
A． B． C． D．4
【答案】A
【分析】由已知可得，化簡(jiǎn)后利用基本不等式可求得結(jié)果
【詳解】因?yàn)?，所以，所?br /> ，當(dāng)且僅當(dāng)，即時(shí)取等號(hào)，
所以的最小值為，故選：A
8.（2022·全國(guó)·高一專題練習(xí)）已知正實(shí)數(shù)滿足，則的最小值為（???????）
A．6 B．8 C．10 D．12
【答案】B
【分析】令，用分別乘兩邊再用均值不等式求解即可.
【詳解】因?yàn)?，且為正?shí)數(shù)
所以
，當(dāng)且僅當(dāng)即時(shí)等號(hào)成立.
所以.
故選：B.
9.（2022·全國(guó)·高一課時(shí)練習(xí)）已知，條件，條件，則是的（???????）
A．充分不必要條件 B．必要不充分條件
C．充要條件 D．既不充分也不必要條件
【答案】A
【分析】利用“1”的妙用探討命題“若p則q”的真假，取特殊值計(jì)算說(shuō)明“若q則p”的真假即可判斷作答.
【詳解】因?yàn)?，由得：?br /> 則，
當(dāng)且僅當(dāng)，即時(shí)取等號(hào)，因此，，
因，，由，取，則，，即，，
所以是的充分不必要條件.
故選：A
10.（2021·江蘇·高一單元測(cè)試）若正實(shí)數(shù)，滿足，則的取值范圍為（???????）
A． B． C． D．
【答案】B
【分析】對(duì)等式直接利用基本不等式，即可得到答案；
【詳解】，
，
當(dāng)且僅當(dāng)，即等號(hào)成立，
故選：B

11..（2020·江蘇省震澤中學(xué)高一階段練習(xí)）若實(shí)數(shù)滿足，則的取值范圍是（???????）
A． B． C． D．
【答案】A
【分析】由，令，利用不等式的性質(zhì)即可求得的范圍．
【詳解】解：，又，，令，
則，，即，當(dāng)且僅當(dāng)時(shí)，取等號(hào)，
的取值范圍是，．故選：A．
12.（2021·全國(guó)·高一專題練習(xí)）若，且，則的最小值為（???????）
A．3 B． C． D．
【答案】D
【分析】利用給定條件確定，變形并借助均值不等式求解即得.
【詳解】因，且，則，即有，同理，
由得：，
于是得，
當(dāng)且僅當(dāng)，即時(shí)取“=”，
所以的最小值為.故選：D
·13.（2022·浙江浙江·高一期中）已知正數(shù)，滿足，則的最小值為（???????）
A．1 B．2 C．3 D．4
【答案】B
【分析】經(jīng)轉(zhuǎn)化可得，，條件均滿足，即可得解.
【詳解】根據(jù)題意可得，由，所以，
由，可得，即，
，
當(dāng)且僅當(dāng)，時(shí)取等號(hào)，所以的最小值為.故選：B.
14.（2021·全國(guó)·高一專題練習(xí)）已知實(shí)數(shù)，則的最小值是（???????）
A．6 B． C． D．
【答案】D
【分析】用換元法，設(shè)，化簡(jiǎn)后用基本不等式得最小值．
【詳解】因?yàn)?，設(shè)，則，
．
當(dāng)且僅當(dāng)且即，，時(shí)等號(hào)成立，
故選：D．
15.（2021·江蘇·高一專題練習(xí)）已知，，，則?的最小值為（???????）
A． B．
C． D．
【答案】D
【分析】利用，然后利用，將化為，再利用基本不等式求出其最小值，從而得到，再化為積為定值的形式后根據(jù)基本不等式可求出結(jié)果.
【詳解】因?yàn)?，，，且?br /> 則，
由，可得，
當(dāng)且僅當(dāng)時(shí)，取得等號(hào)，
則，當(dāng)且僅當(dāng)時(shí)，取得等號(hào)，則所求的最小值為．
故選：D

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