新高一預(yù)習(xí)：題型分類細(xì)講精練10 抽象函數(shù)大題單調(diào)性奇偶性歸類（人教數(shù)學(xué)A版2019必修第一冊(cè)）-試卷下載-教習(xí)網(wǎng)

目錄
TOC \ "1-1" \h \u \l "_Tc8383" 【題型一】保和函數(shù)：f（a+b）=f（a）+f（b）單調(diào)性與奇偶性 PAGEREF _Tc8383 2
\l "_Tc21539" 【題型二】類對(duì)數(shù)積函數(shù)：形如f（axb）=f（a）+f（b）單調(diào)性與奇偶性3
\l "_Tc2434" 【題型三】類指數(shù)函數(shù)：形如f（a+b）=f（a）f（b）單調(diào)性4
\l "_Tc15604" 【題型四】類對(duì)數(shù)商函數(shù)：形如f（a/b）=f（a）-f（b）單調(diào)性5
\l "_Tc8542" 【題型五】類線性函數(shù)：f（a-b）=f（a）-f（b）單調(diào)性與奇偶性6
\l "_Tc19342" 【題型六】保積函數(shù)：f（a*b）=f（a）*f（b）單調(diào)性與奇偶性6
\l "_Tc2985" 【題型七】恒“截距”線性函數(shù)：f（a+b）=f（a）+f（b）-1單調(diào)性7
\l "_Tc135" 【題型八】形如f（a*b）=f（a）+f（b）+t單調(diào)性與奇偶性8
\l "_Tc28364" 【題型九】形如f（a+b）+f（a-b）=2f（a）f（b）奇偶性8
\l "_Tc14352" 【題型十】形如f（a）+f（a）=f（）單調(diào)性與奇偶性9
\l "_Tc28666" 【題型十一】形如f（a）+f（a）=單調(diào)性與奇偶性9
\l "_Tc23881" 【題型十二】形如f（a-b）=單調(diào)性與奇偶性10
\l "_Tc9639" 【題型十三】其他形式的抽象函數(shù)匯總11
綜述
賦值思維：
抽象函數(shù)求解或者證明奇偶性和單調(diào)性基礎(chǔ)。有如下規(guī)律技巧：
（1）.第一層次賦值：常常令字母取0，-1,1等
（2）.第二層次賦值：若題中有條件，則再令字母取。.
（3）.第三層次賦值：拆分賦值。根據(jù)抽象式子運(yùn)算，把賦值數(shù)拆成某兩個(gè)值對(duì)應(yīng)的和與積（較多）或者差與商（較少）。
二、抽象函數(shù)判斷或者證明奇偶性的思維和技巧
證明奇偶性，實(shí)質(zhì)就是賦值。分析出賦值規(guī)律。
1.可賦值，得到一些特殊點(diǎn)函數(shù)值，如f（0），f（1）等，
2.嘗試適當(dāng)?shù)膿Q元字母，構(gòu)造出x和-x，如f（x+y），可令y= -x，f（xy），可令y= -1等等
3.通過各類抽象函數(shù)式子，來積累一定的賦值技巧。
三、抽象函數(shù)判斷或者證明單調(diào)性的思維和技巧
證明單調(diào)性，實(shí)質(zhì)就是構(gòu)造定義法，在時(shí)，構(gòu)造證明出正負(fù)。常見的構(gòu)造規(guī)律如下：
（1）構(gòu)造“和”
（2）.構(gòu)造“積”
（3）. 利用構(gòu)造,
（4）.利用奇偶性（主要是奇函數(shù)）構(gòu)造，
這類題，變化較大，給學(xué)生講透徹構(gòu)造的目標(biāo)和構(gòu)造的思維以及借助構(gòu)造來推導(dǎo)處定義的過程，可以借助不同的抽象函數(shù)式子來靈活推導(dǎo)。
四、抽象函數(shù)判斷或者恒成立求參或者解不等式的思維和技巧
恒成立問題常見方法：
①分離參數(shù)恒成立(即可)或恒成立（即可）；
②數(shù)形結(jié)合( 圖像在上方即可)；
③討論最值或恒成立.
如果涉及到多元：
①按照題意分清主次元，確定降元次序；
②考察指定元所對(duì)應(yīng)的函數(shù)關(guān)系；
③由特定元的范圍，建立不等式（組）.
【題型一】保和函數(shù)：f（a+b）=f（a）+f（b）單調(diào)性與奇偶性
【典例分析】
若函數(shù)對(duì)任意，恒有．
（1）指出的奇偶性，并給予證明；
（2）如果時(shí)，，判斷的單調(diào)性；
（3）在（2）的條件下，若對(duì)任意實(shí)數(shù)x，恒有．成立，求k的取值范圍．
【變式訓(xùn)練】
1.設(shè)函數(shù)對(duì)任意的實(shí)數(shù)，，都有，且時(shí)，，.
（1）求證：是奇函數(shù)；
（2）試判斷函數(shù)單調(diào)性；
（3）試問當(dāng)時(shí)，是否有最大值或最小值？如果有，求出最值；如果沒有，請(qǐng)說出理由.
2.已知函數(shù)定義域?yàn)?，若?duì)任意的，都有，且時(shí)，.
（1）判斷的奇偶性；
（2）討論的區(qū)間上的單調(diào)性；
（3）設(shè)，若，對(duì)所有，恒成立，求實(shí)數(shù)的取值范圍.
3.定義在R上的函數(shù)f(x)滿足：x，y∈R，f(x-y)=f(x)+f(-y)，且當(dāng)x0，f(-2)=4.
（1）判斷函數(shù)f(x)的奇偶性并證明；
（2）若x∈[-2，2]，a∈[-3，4]，f(x)≤-3at+5恒成立，求實(shí)數(shù)t的取值范圍.
【題型二】類對(duì)數(shù)積函數(shù)：形如f（axb）=f（a）+f（b）單調(diào)性與奇偶性
【典例分析】
已知定義域?yàn)榈暮瘮?shù)滿足對(duì)任意，都有．
（1）求證：是偶函數(shù)；
（2）設(shè)時(shí)，
①求證：在上是減函數(shù)；
②求不等式的解集．

【變式訓(xùn)練】
1.已知函數(shù)對(duì)于任意實(shí)數(shù)x，恒有，且當(dāng)時(shí)，，又．
(1)判斷的奇偶性并證明；
(2)求在區(qū)間的最大值；
(3)解關(guān)于x的不等式：.
2.已知函數(shù)對(duì)于任意非零實(shí)數(shù)滿足且當(dāng)時(shí)，.
（1）求與的值；
（2）判斷并證明的奇偶性和單調(diào)性；
（3）求不等式的解集.
3.定義在非零實(shí)數(shù)集上的函數(shù)對(duì)任意非零實(shí)數(shù)滿足:,且當(dāng)時(shí).
(1)求及的值；
(2)求證:是偶函數(shù)；
(3)解不等式：.
【題型三】類指數(shù)函數(shù)：形如f（a+b）=f（a）f（b）單調(diào)性
【典例分析】
已知函數(shù)的定義域是，對(duì)于任意實(shí)數(shù)，，恒有，且當(dāng)時(shí)，．求證：在上是單調(diào)減函數(shù)．

【變式訓(xùn)練】
1.已知定義在上的函數(shù)對(duì)任意實(shí)數(shù)都滿足，且．當(dāng)時(shí)，．
（1）求的值；
（2）證明：在上是增函數(shù)；
（3）解不等式．
2.已知函數(shù)f（x）定義域?yàn)镽，f（1）=2，f（x）≠0，對(duì)任意x，y∈R都有f（x+y）=f（x）?f（y），當(dāng)x＞0時(shí)，f（x）＞1；
（1）判斷f（x）在R上的單調(diào)性，并證明；
（2）解不等式f（x）f（x-2）＞16．
3.定義在上的函數(shù)滿足:①對(duì)一切恒有；②對(duì)一切恒有；③當(dāng)時(shí)，，且；④若對(duì)一切(其中)，不等式恒成立.
(1)求的值；
(2)證明:函數(shù)是上的遞增函數(shù)；
(3)求實(shí)數(shù)的取值范圍.
【題型四】類對(duì)數(shù)商函數(shù)：形如f（a/b）=f（a）-f（b）單調(diào)性
【典例分析】
已知函數(shù)是定義在上的增函數(shù)，.
（1）求；（2）求證：；
（3）若，解不等式：.
【變式訓(xùn)練】
1.已知定義在區(qū)間（0，＋∞）上的函數(shù)f（x）滿足f＝f（x1）－f（x2），且當(dāng)x>1時(shí)f（x）>0，若f（3）＝1．
（1）判斷f（x）的單調(diào)性；
（2）解關(guān)于的不等式；
（3）若對(duì)所有恒成立,求實(shí)數(shù)．
【題型五】類線性函數(shù)：f（a-b）=f（a）-f（b）單調(diào)性與奇偶性
【典例分析】
設(shè)函數(shù)的定義域?yàn)镽，并且滿足，且，當(dāng)時(shí)，．
（1）求的值，并判斷函數(shù)的奇偶性；
（2）解不等式
【變式訓(xùn)練】
1.設(shè)函數(shù)的定義域?yàn)镽，并且滿足，且當(dāng)時(shí)，
(1)求的值；
(2)判斷函數(shù)的單調(diào)性，并給出證明；
(3)如果，求的取值范圍；
2.定義在上的函數(shù)，滿足對(duì)任意，有，且．
(1)求，的值；
(2)判斷的奇偶性，并證明你的結(jié)論；
(3)當(dāng)時(shí)，，解不等式．
【題型六】保積函數(shù)：f（a*b）=f（a）*f（b）單調(diào)性與奇偶性
【典例分析】
若函數(shù)對(duì)任意實(shí)數(shù)x，y都有，則稱其為“保積函數(shù)”．
(1)若“保積函數(shù)”滿足，判斷其奇偶性并證明；
(2)對(duì)于（1）中的“保積函數(shù)”，若時(shí)，，且，試求不等式的解集．
【變式訓(xùn)練】
1.已知函數(shù)是定義在上的非常值函數(shù)，對(duì)任意，滿足.
（1）求，的值；
（2）求證：對(duì)任意恒成立；
（3）若當(dāng)時(shí)，，求證：函數(shù)在上是增函數(shù).
2..已知定義在R上的函數(shù)滿足：對(duì)任意的實(shí)數(shù)x，y均有，且，當(dāng)且.
(1)判斷的奇偶性；
(2)判斷在上的單調(diào)性，并證明；
(3)若對(duì)任意，，，總有恒成立，求實(shí)數(shù)m的取值范圍.
3.已知函數(shù)對(duì)任意實(shí)數(shù)x，y都有，且，當(dāng)時(shí)，
（1）判斷的奇偶性并證明.
（2）判斷在上的單調(diào)性，并證明.
【題型七】恒“截距”線性函數(shù)：f（a+b）=f（a）+f（b）-1單調(diào)性
【典例分析】
已知定義域?yàn)?，?duì)任意都有，當(dāng)時(shí)，，．
(1)試判斷在上的單調(diào)性，并證明
(2)解不等式：
【變式訓(xùn)練】
1.已知定義在R上的函數(shù)對(duì)任意都有，且當(dāng)時(shí)，．
(1)求證：在R上是增函數(shù)；
(2)若，關(guān)于x的不等式有解，求實(shí)數(shù)t的取值范圍．
2.已知函數(shù)的定義域?yàn)?，?duì)任意的實(shí)數(shù)均有，且當(dāng)時(shí)， .
（1）用定義證明的單調(diào)性.
（2）求滿足不等式的的取值范圍.
3.若定義在R上的函數(shù)滿足：，都有成立，且為上的增函數(shù)，
(1)求的值，并證明為奇函數(shù)；
(2)解不等式
(3)若，，恒成立，求實(shí)數(shù)的取值范圍.
【題型八】形如f（a*b）=f（a）+f（b）+t單調(diào)性與奇偶性
【典例分析】
定義在上的函數(shù)，對(duì)任意，都有，且當(dāng)時(shí)，．
（1）求與的值；
（2）證明為偶函數(shù):
（3）判斷在上的單調(diào)性，并求解不等式．
【變式訓(xùn)練】
1.定義在上的函數(shù)，對(duì)任意x，y∈I，都有；且當(dāng)時(shí)，.
（1）求的值；
（2）證明為偶函數(shù)；
（3）求解不等式.
2.設(shè)定義在（0，+∞）上的函數(shù) f（x），對(duì)于任意正實(shí)數(shù) a、b，都有 f（a?b）＝f（a）+f（b）﹣1，f（2）＝0，且當(dāng) x＞1 時(shí)，f（x）＜1．
（1）求 f（1）及的值；
（2）求證：f（x）在（0，+∞）上是減函數(shù)．
3.已知函數(shù)的定義域?yàn)?，?duì)任意正實(shí)數(shù)、都有，且當(dāng)時(shí)，．求證：函數(shù)是上的增函數(shù)．
【題型九】形如f（a+b）+f（a-b）=2f（a）f（b）奇偶性
【典例分析】
設(shè)的定義域是，在區(qū)間上是嚴(yán)格減函數(shù)；且對(duì)任意，，若，則．
(1)求證：函數(shù)是一個(gè)偶函數(shù)；
(2)求證：對(duì)于任意的，．
(3)若，解不等式．

【變式訓(xùn)練】
1.是定義在上的函數(shù)，對(duì)一切都有且
（1）求；
（2）判斷函數(shù)的奇偶性
2.已知函數(shù)滿足，，，且在區(qū)間上，恒成立.(1)證明：是偶函數(shù)；(2)求；
(3)證明：是周期函數(shù).
3.已知函數(shù)，，若對(duì)于任意實(shí)數(shù)，，都有，求證：為偶函數(shù)．
【題型十】形如f（a）+f（a）=f（）單調(diào)性與奇偶性
【典例分析】
定義在上的函數(shù)滿足：對(duì)任意的，，都有：.
（1）求證：函數(shù)是奇函數(shù)；
（2）若當(dāng)時(shí)，有，求證：在上是減函數(shù)；
（3）若，對(duì)所有，恒成立，求實(shí)數(shù)的取值范圍.
【變式訓(xùn)練】
1.定義在上的函數(shù)滿足：對(duì)任意的，都有：
（1）求證：函數(shù)是奇函數(shù)；
（2）若當(dāng)時(shí)，有，求證：在上是減函數(shù)；
（3）在（2）的條件下解不等式：;
（4）在（2）的條件下求證：.
2.已知函數(shù)在上有意義，且對(duì)任意滿足.
（1）判斷的奇偶性，并證明你的結(jié)論；
（2）若時(shí)，，則能否確定在的單調(diào)性？若能，請(qǐng)確定，并證明你的結(jié)論，若不能說明理由.
3.已知函數(shù)在上有意義，且對(duì)任意滿足．
(1)求的值，判斷的奇偶性并證明你的結(jié)論；
(2)若時(shí)，，判斷在的單調(diào)性，并說明理由．
(3)在（2）的條件下，請(qǐng)?jiān)谝韵聝蓚€(gè)問題中任選一個(gè)作答：（如果兩問都做，按①得分計(jì)入總分）
①若，請(qǐng)問是否存在實(shí)數(shù)，使得恒成立，若存在，給出實(shí)數(shù)的一個(gè)取值；若不存在，請(qǐng)說明理由．
②記表示兩數(shù)中的較大值，若對(duì)于任意，，求實(shí)數(shù)的取值范圍？
【題型十一】形如f（a）+f（a）=單調(diào)性與奇偶性
【典例分析】
函數(shù)對(duì)定義域上任意滿足：.
（1）求的值；
（2）設(shè)關(guān)于原點(diǎn)對(duì)稱，判斷并證明的奇偶性；
（3）當(dāng)時(shí)，，證明在上是增函數(shù).
【變式訓(xùn)練】
1.定義在上的函數(shù)滿足：對(duì)任意的都有，且當(dāng)時(shí)，．
（1）判斷在上的單調(diào)性并證明；
（2）求實(shí)數(shù)t的取值集合，使得關(guān)于x的不等式在上恒成立．
2.定義在R上的函數(shù)滿足：①值域?yàn)?，且?dāng)時(shí)，，②對(duì)定義域內(nèi)任意的，滿足，試回答下列問題：
(1)判斷并證明函數(shù)的奇偶性；
(2)判斷并證明函數(shù)的單調(diào)性；
(3)對(duì)，使得不等式恒成立，求t的取值范圍．
【題型十二】形如f（a-b）=單調(diào)性與奇偶性
【典例分析】
已知函數(shù)f（x）的定義域關(guān)于原點(diǎn)對(duì)稱，且滿足以下三條件：①當(dāng)是定義域中的數(shù)時(shí)，有；②f（a）＝－1（a＞0，a是定義域中的一個(gè)數(shù)）；③當(dāng)0＜x＜2a時(shí)，f（x）＜0.試問：
（1）f（x）的奇偶性如何？說明理由；
（2）在（0，4a）上，f（x）的單調(diào)性如何？說明理由.
【變式訓(xùn)練】
1.設(shè)函數(shù)的定義域關(guān)于原點(diǎn)對(duì)稱，且對(duì)于定義域內(nèi)任意的，有f()= . 求證：是奇函數(shù).
2.．已知函數(shù)的定義域關(guān)于原點(diǎn)對(duì)稱，且滿足（1）（2）存在正常數(shù)，使得
求證：（1）是奇函數(shù)；
（2）是周期函數(shù)，并且有一個(gè)周期為
【題型十三】其他形式的抽象函數(shù)匯總
【例題1】
設(shè)函數(shù)滿足：對(duì)任意實(shí)數(shù)都有，且當(dāng)時(shí)，.
（1）證明：在為減函數(shù)；又若在上總有成立，試求的最小值；
（2）設(shè)函數(shù)，當(dāng)時(shí)，解關(guān)于的不等式：.
【例題2】
定義在上的函數(shù)，對(duì)任意，滿足下列條件：① ②
（1）是否存在一次函數(shù)滿足條件①②，若存在，求出的解析式；若不存在，說明理由.
（2）證明：為奇函數(shù)；
【例題3】
已知函數(shù)對(duì)于一切、，都有．
（1）求證：在上是偶函數(shù)；
（2）若在區(qū)間上是減函數(shù)，且有，求實(shí)數(shù)的取值范圍．
【例題4】
函數(shù)的定義域?yàn)椋M足以下條件：①對(duì)任意，有；②對(duì)任意，有；③.
（1）求的值；
（2）求證：在上是單調(diào)增函數(shù)；
（3）若，且，求證：.
【例題5】
已知定義域?yàn)榈暮瘮?shù)滿足對(duì)任意，都有
（1）求證:是奇函數(shù)；
（2）設(shè)，且當(dāng)時(shí)，，求不等式的解集.
【例題6】
已知定義在上的函數(shù)滿足以下三個(gè)條件：
①對(duì)任意實(shí)數(shù)，都有；
②；
③在區(qū)間上為增函數(shù)．
（1）判斷函數(shù)的奇偶性，并加以證明；
（2）求證：；
（3）解不等式．
【例題7】
已知y=f(x)滿足對(duì)一切x，yR都有f(x+2y)=f(x)+2f(y).
(1)判斷y=f(x)的奇偶性并證明;
(2)若f(1)=2，求f(-13)+f(-3)+f(22)+f(53)的值.
【例題8】
．已知函數(shù)的定義域?yàn)椋覍?duì)一切，，都有，當(dāng)時(shí)，總有.
(1)求的值；
(2)證明：是定義域上的減函數(shù)；
(3)若，解不等式.
【例題9】
定義在(－1，1)上的函數(shù)f(x)滿足①對(duì)任意x、y∈(－1，1)，都有f(x)+f(y)=f()；②當(dāng)x∈(－1，0)時(shí)，有f(x)>0．求證：．
【提分秘籍】
基本規(guī)律
形如f（a+b）=f（a）+f（b）
奇偶性：
（1）賦值求特殊值：令，得，解得：
（2）賦值構(gòu)造奇偶性定義：令，則，
單調(diào)性：
（1）以單調(diào)性定義法證明為目標(biāo)賦值：任意取，且，則，
（2）賦值構(gòu)造單調(diào)性定義結(jié)構(gòu)：，即
【提分秘籍】
基本規(guī)律
形如f（axb）=f（a）+f（b）
奇偶性：
賦值求特殊值：令a=b=1，得f（1x1）=f（1）+f（1），解得：f（1）=0.。令a=b=-1，
得f（-1x（-1））=f（-1）+f（-1），解得：f（-1）=0
（2）賦值構(gòu)造奇偶性定義：令a=x，b=-1，則f（-1x）=f（x）+f（-1）=f（x），
單調(diào)性：
結(jié)合所給附加條件，如典型例題：則設(shè)，則，由時(shí)，得，則
【提分秘籍】
基本規(guī)律
形如f（a+b）=f（a）*（b）
單調(diào)性：
由f（a+b）=f（a）*（b）,令a=b=0得f（0）=1，（f（0）=0，一般舍去，因?yàn)榱頱=0，容易推出是常數(shù)函數(shù)0）
再令，，結(jié)合所給條件，可得，
再根據(jù)條件，結(jié)合單調(diào)性定義，有兩個(gè)方向思維：
（1）設(shè)，將變形成即可求證
（2），則有，再由條件，得到結(jié)論.

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