新高一預(yù)習(xí)：題型分類細(xì)講精練11 函數(shù)性質(zhì)綜合大題（人教數(shù)學(xué)A版2019必修第一冊）-試卷下載-教習(xí)網(wǎng)

目錄
TOC \ "1-1" \h \u \l "_Tc4914" 【題型一】 “分式型”1：分離常數(shù)反比例函數(shù) PAGEREF _Tc4914 1
\l "_Tc21352" 【題型二】“分式型”2：轉(zhuǎn)化為“對勾” PAGEREF _Tc21352 3
\l "_Tc24724" 【題型三】“分式型”3：轉(zhuǎn)化為“雙曲” PAGEREF _Tc24724 5
\l "_Tc11991" 【題型四】“分式型”4：分母二次、分子一次型 PAGEREF _Tc11991 7
\l "_Tc1324" 【題型五】“分式型”5：分子、分母二次型 PAGEREF _Tc1324 9
\l "_Tc6017" 【題型六】“分式型”6：判別式法 PAGEREF _Tc6017 11
\l "_Tc22133" 【題型七】“分式型”7：中心對稱求和型 PAGEREF _Tc22133 12
\l "_Tc22002" 【題型八】“分式型”8：保值函數(shù) PAGEREF _Tc22002 13
\l "_Tc2013" 【題型九】分式型結(jié)構(gòu)不良型 PAGEREF _Tc2013 15
\l "_Tc28843" 【題型十】含絕對值型 PAGEREF _Tc28843 17
\l "_Tc19329" 培優(yōu)第一階——基礎(chǔ)過關(guān)練 PAGEREF _Tc19329 19
\l "_Tc2154" 培優(yōu)第二階——能力提升練 PAGEREF _Tc2154 22
\l "_Tc478" 培優(yōu)第三階——培優(yōu)拔尖練 PAGEREF _Tc478 25
【題型一】 “分式型”1：分離常數(shù)反比例函數(shù)
【典例分析】
已知函數(shù)(常數(shù)).
(1)若，在平面直角坐標(biāo)系中畫出該函數(shù)的圖像;
(2)若該函數(shù)在區(qū)間上是嚴(yán)格減函數(shù)，且在上存在自變量，使得函數(shù)值為正，求整數(shù)的值.
【答案】(1)見解析(2)或
【分析】（1）先對函數(shù)化簡，再列表，描點(diǎn)，連線可得函數(shù)圖像，
（2）由函數(shù)在區(qū)間上是嚴(yán)格減函數(shù)，結(jié)合函數(shù)單調(diào)性的定義可得，再由在上存在自變量，使得函數(shù)值為正，可得在上有解，從而可求出的范圍，進(jìn)而可得整數(shù)的值.
（1）當(dāng)時，，列表如下：
函數(shù)圖像如下：
（2），任取，且，因?yàn)樵摵瘮?shù)在區(qū)間上是嚴(yán)格減函數(shù)，所以，因?yàn)?，所以?br>因?yàn)樗裕?，因?yàn)樵谏洗嬖谧宰兞浚沟煤瘮?shù)值為正，
所以在上有解，因?yàn)?，所以在上有解?br>所以在上有解，所以，
因?yàn)樵谏线f增，所以當(dāng)時，取得最小值為，
所以，綜上，因?yàn)?，所以?br>【變式訓(xùn)練】
已知函數(shù)，．
(1)若，使得，求實(shí)數(shù)的取值范圍；
(2)若集合，對于都有，求實(shí)數(shù)的取值范圍．
【答案】(1)(2)
【分析】(1)結(jié)合已知條件，將不等式轉(zhuǎn)化為，然后利用基本不等式求解即可；
(2)首先結(jié)合的單調(diào)性求集合，然后將不等式轉(zhuǎn)化為，通過討論的對稱軸與區(qū)間的位置關(guān)系，并結(jié)合的單調(diào)性即可求解.
（1）由題意，，使得，即，
因?yàn)?，?dāng)且僅當(dāng)時，即時，有最小值，
所以，即，故實(shí)數(shù)的取值范圍為.
（2）因?yàn)樵趩握{(diào)遞減，且，，
所以在上的值域?yàn)?，即?br>由題意，都有恒成立，即在區(qū)間的最大值
的對稱軸為，且的圖像開口向上，
①當(dāng)時，即時，在上單調(diào)遞增，故；
②當(dāng)時，即時，在上單調(diào)遞減，在上單調(diào)遞增，
因?yàn)?，，所以?br>(i)當(dāng)時，即時，，
此時在上的最大值為恒成立；
(ii)當(dāng)時，即時，，
此時在上的最大值為恒成立；
③當(dāng)時，即時，在上單調(diào)遞減，
故恒成立，綜上所述，實(shí)數(shù)的取值范圍為.
【題型二】“分式型”2：轉(zhuǎn)化為“對勾”
【典例分析】
已知函數(shù)，，
(1)當(dāng)時，求函數(shù)的單調(diào)遞增與單調(diào)遞減區(qū)間（直接寫出結(jié)果）；
(2)當(dāng)時，函數(shù)在區(qū)間上的最大值為，試求實(shí)數(shù)的取值范圍；
(3)若不等式對任意，（）恒成立，求實(shí)數(shù)的取值范圍.
【答案】(1)單調(diào)遞增區(qū)間為，，單調(diào)遞減區(qū)間為，；(2)(3)
【分析】（1）將題中的代入解析式，由對勾函數(shù)的單調(diào)性可得單調(diào)區(qū)間；
（2）解不等式，即可得到結(jié)果；
（3）將題中的式子等價變形，將問題轉(zhuǎn)化為在，單調(diào)遞增，結(jié)合分段函數(shù)的解析式和二次函數(shù)的圖象的對稱軸，分類討論得到結(jié)果．
（1）解：當(dāng)時，，
所以函數(shù)的單調(diào)遞增區(qū)間為，，單調(diào)遞減區(qū)間為，；
（2）
解：因?yàn)?，，且函?shù)在，上單調(diào)遞減，在，上單調(diào)遞增，
又因?yàn)樵?，上的最大值為，所以?br>即，整理可得，
所以，所以，即；
（3）
解：由不等式對任意，，恒成立，
即，
可令，等價為在，上單調(diào)遞增，
而，
分以下三種情況討論：
①當(dāng)即時，可得，解得，矛盾，無解；
②，即時，函數(shù)的圖象的走向?yàn)闇p、增、減、增，
但是中間增區(qū)間的長度不足1，要想在，遞增，只能，即，矛盾，無解；
③即時，此時在，上單調(diào)遞增，
要想在，遞增，只能，即，所以．
綜上可得滿足條件的的取值范圍是．
【變式訓(xùn)練】
已知函數(shù)有如下性質(zhì)：若常數(shù)，則該函數(shù)在上單調(diào)遞減，在上單調(diào)遞增．
(1)已知，，利用上述性質(zhì)，求函數(shù)的單調(diào)區(qū)間和值域；
(2)對于（1）中的函數(shù)和函數(shù)，，若對任意，總存在，使得成立，求實(shí)數(shù)的值．
【答案】(1)的單調(diào)遞減區(qū)間為，單調(diào)遞增區(qū)間為，值域?yàn)椋?2)
【分析】（1）令，，將化為，由對勾函數(shù)的單調(diào)性可得的單調(diào)區(qū)間和值域（2）由題意可得的值域是的值域的子集，結(jié)合（1）的值域和一次函數(shù)的單調(diào)性可得的值域，可得的不等式，解不等式可得所求范圍
（1）．設(shè)，，則，．
由已知性質(zhì)，得當(dāng)，即時，單調(diào)遞減，所以的單調(diào)遞減區(qū)間為；
當(dāng)，即時，單調(diào)遞增，所以的單調(diào)遞增區(qū)間為．
由，，，得的值域?yàn)椋?br>（2）因?yàn)樵谏蠁握{(diào)遞減，
所以．
由題意，得的值域是的值域的子集，
所以，所以．

【題型三】“分式型”3：轉(zhuǎn)化為“雙曲”
【典例分析】
已知函數(shù)是奇函數(shù)，且.
(1)求實(shí)數(shù)的值；
(2)用函數(shù)單調(diào)性的定義證明：在上單調(diào)遞增；
(3)當(dāng)時，解關(guān)于的不等式：.
【答案】(1)，，(2)證明見解析，(3)
【分析】（1）由題意可得，求出，再由可求出，
（2）任取，且，然后求，化簡變形可得結(jié)論，
（3）由（2）可知在上單調(diào)遞增，所以原不等式可化為，解不等式可得結(jié)果
（1）因?yàn)楹瘮?shù)是奇函數(shù)，所以，即，
，所以，解得，所以，因?yàn)椋?br>所以，解得，
（2）證明：由（1）可知任取，且，則
，因?yàn)?，且?br>所以，，所以，即，
所以在上單調(diào)遞增；
（3）當(dāng)時，，由（2）可知在上單調(diào)遞增，
因?yàn)?，所以，即，解得（舍去），或?br>所以不等式的解集為

【變式訓(xùn)練】
已知函數(shù)滿足.
(1)求的解析式，并判斷其奇偶性；
(2)若對任意，不等式恒成立，求實(shí)數(shù)a的取值范圍.
【答案】(1)，是奇函數(shù)(2)
【分析】(1)由求出，進(jìn)而求得的解析式，利用奇偶函數(shù)的定義判斷函數(shù)的奇偶性即可；
(2)根據(jù)冪函數(shù)的單調(diào)性可得函數(shù)的單調(diào)性，求出函數(shù)的最小值，將不等式恒成立轉(zhuǎn)化為對任意使得恒成立即可.
（1）因?yàn)椋?，所?所以.
的定義城為，且，所以是奇函數(shù).
（2）因?yàn)?，在上均為增函?shù)，所以在上為增函數(shù)，所以.
對任意，不等式恒成立，則，
所以，即實(shí)數(shù)a的取值范圍為.
【題型四】“分式型”4：分母二次、分子一次型
【典例分析】
已知函數(shù)是定義在上的奇函數(shù)，且.
(1)求函數(shù)的解析式；
(2)判斷函數(shù)在上的單調(diào)性，并用定義證明；
(3)解不等式：.
【答案】(1)；(2)函數(shù)在上單調(diào)遞增，證明見解析；(3).
【分析】（1）根據(jù)奇函數(shù)的定義可求得的值，再結(jié)合已知條件可求得實(shí)數(shù)的值，由此可得出函數(shù)的解析式；
（2）判斷出函數(shù)在上是增函數(shù)，任取、且，作差，因式分解后判斷的符號，即可證得結(jié)論成立；
（3）由得，根據(jù)函數(shù)的單調(diào)性與定義域可得出關(guān)于實(shí)數(shù)的不等式組，由此可解得實(shí)數(shù)的取值范圍.
（1）解：因?yàn)楹瘮?shù)是定義在上的奇函數(shù)，則，
即，可得，則，
所以，，則，因此，.
（2）證明：函在上是增函數(shù)，證明如下：
任取、且，則
，因?yàn)椋瑒t，，故，即.因此，函數(shù)在上是增函數(shù).
（3）解：因?yàn)楹瘮?shù)是上的奇函數(shù)且為增函數(shù)，由得，
由已知可得，解得.因此，不等式的解集為.
【變式訓(xùn)練】
.已知函數(shù)是定義在上的奇函數(shù)，且.
(1)求，的值；
(2)判斷在上的單調(diào)性，并用定義證明；
(3)設(shè)，若對任意的，總存在，使得成立，求實(shí)數(shù)的取值范圍.
【答案】(1)，(2)在，上單調(diào)遞增，證明見解析(3)
【分析】（1）利用奇函數(shù)的性質(zhì)，結(jié)合（1），求解方程組，得到，的值，檢驗(yàn)即可；
（2）利用函數(shù)單調(diào)性的定義判斷并證明即可；
（3）將問題轉(zhuǎn)化為，利用的單調(diào)性求出，分，和三種情況，利用的單調(diào)性求出，即可得到答案.
（1）因?yàn)楹瘮?shù)是定義在，上的奇函數(shù)，且（1），則，解得，，
所以函數(shù)，經(jīng)檢驗(yàn)，函數(shù)為奇函數(shù)，所以，；
（2）在，上單調(diào)遞增.證明如下：設(shè)，則，
其中，，所以，即，故函數(shù)在，上單調(diào)遞增；
（3）因?yàn)閷θ我獾?，，總存在，，使得成立，所以?br>因?yàn)樵?，上單調(diào)遞增，所以，
當(dāng)時，；所以恒成立，符合題意；
當(dāng)時，在，上單調(diào)遞增，則（1），所以，解得；
當(dāng)時，函數(shù)在，上單調(diào)遞減，則，所以，解得.
綜上所述，實(shí)數(shù)的取值范圍為.
【題型五】“分式型”5：分子、分母二次型
【典例分析】
．已知．
(1)若時，求的值域；
(2)函數(shù)，若函數(shù)的值域?yàn)?，求a的取值范圍．
【答案】(1)(2)
【分析】（1）根據(jù)函數(shù)解析式，采用分離常數(shù)項(xiàng)的方法，結(jié)合不等式性質(zhì)，可得答案；
（2）根據(jù)二次根式的定義，結(jié)合二次函數(shù)的性質(zhì)，可得答案.
（1）由，則，
由不等式性質(zhì)，則，，，，，
故，即的值域?yàn)?
（2）由題意，，
由函數(shù)的值域?yàn)?，則有解且無最大值，
當(dāng)時，符合題意；
當(dāng)時，根據(jù)二次函數(shù)的性質(zhì)，可得，
其中，，，，解得或，
綜上，故.
【變式訓(xùn)練】
求出函數(shù)的單調(diào)區(qū)間，并比較與的大?。?br>【答案】增區(qū)間是，是減區(qū)間．
【分析】化簡后平移，通過冪函數(shù)的單調(diào)性確定的單調(diào)性，通過對稱性將轉(zhuǎn)化為，再利用單調(diào)性比較大小即可.
【詳解】==，因此將冪函數(shù)的圖象向左平移2個單位，再向上平移1個單位，得帶函數(shù)的圖象，由此可知，在上是增函數(shù)，在上是減函數(shù)．
.在上找出點(diǎn)關(guān)于直線的對稱點(diǎn)．
由，．
【題型六】“分式型”6：判別式法
【典例分析】
已知函數(shù)．
(1)解不等式：；
(2)求函數(shù)的值域．
【答案】(1).(2).
【分析】（1）由分母可將不等式化為，進(jìn)而求解集.
（2）令，將其轉(zhuǎn)化為關(guān)于的一元二次方程，討論、求的范圍，即可知值域.
(1)由題意，，又
∴，即，
∴或，故解集為.
(2)令，可得，
當(dāng)時，有；
當(dāng)時，有，又為一元二次方程且在內(nèi)有實(shí)數(shù)解，
∴，解得：且，
綜上，，∴的值域?yàn)椋?br> 【變式訓(xùn)練】
．已知函數(shù)．
(1)求函數(shù)的值域；
(2)若不等式在時恒成立，求實(shí)數(shù)k的最大值；
【答案】(1)(2)(3)
【分析】（1）化簡函數(shù)得，由，可求出，從而可求得函數(shù)的值域，
（2）等式在時恒成立，轉(zhuǎn)化為在時恒成立，令，可得在上單調(diào)遞減，從而可求出其最小值，進(jìn)而可求得實(shí)數(shù)k的最大值，
（1）由題意得，因?yàn)椋?，則，
所以函數(shù)的值域?yàn)?br>（2）因?yàn)椋圆坏仁娇苫癁?，所以，令?br>則在上單調(diào)遞減，所以，所以，
所以實(shí)數(shù)的取值范圍為，所以實(shí)數(shù)k的最大值為
【題型七】“分式型”7：中心對稱求和型
【典例分析】
已知函數(shù)．
(1)求，的值；
(2)求證：的定值；
(3)求的值．
【答案】(1)，(2)證明見解析(3)2022
【分析】（1）代入計(jì)算函數(shù)值可得答案；（2）化簡計(jì)算可得答案；（3）利用可得答案.
（1）因?yàn)?，所以，?br>（2），是定值；
（3）由（2）知，因?yàn)椋?br>，，……，，
所以.
【變式訓(xùn)練】
已知函數(shù).(1)求的值；(2)求證：是定值；
(3)求的值.
【答案】(1)4；(2)證明見解析；(3)8088.
【分析】（1）代入計(jì)算函數(shù)值可得答案；（2）化簡計(jì)算，由此完成證明；（3）利用可得答案.
（1）因?yàn)?，所以?br>（2）因?yàn)?，所以，所以是定值，定值?；
（3）
由（2）知，所以，，，……，，所以.
【題型八】“分式型”8：保值函數(shù)
【典例分析】
若函數(shù)在定義域的某個區(qū)間（）上的值域恰為（），則稱函數(shù)為上的倍域函數(shù)，稱函數(shù)的一個倍域區(qū)間．已知函數(shù)，且關(guān)于的不等式的解集為．
(1)求實(shí)數(shù)，的值；
(2)若（），是否存在（），使得函數(shù)為定義域內(nèi)的某個區(qū)間上的倍域函數(shù)？若存在，請求出的值；若不存在，請說明理由．
【答案】(1)(2)存在，k為2或3
【分析】（1）由題意，轉(zhuǎn)化和是方程的根，列出方程組，即可求解；
（2）求得，使得函數(shù)為上的倍域函數(shù)，結(jié)合函數(shù)的單調(diào)性，
，求得，即可求解.
（1）由題意，不等式的解集為，
即和是方程的根，所以，解得.
（2）由（1）知，可得，
由對勾函數(shù)性質(zhì)知在上單調(diào)遞減，且，
故在上單調(diào)遞增，且
若存在區(qū)間，使得函數(shù)為上的倍域函數(shù)，則，
所以，即，所以由于，所以，，解得
又，所以k的值為2或3.

【變式訓(xùn)練】
對于定義域?yàn)榈暮瘮?shù)，如果存在區(qū)間，使得在區(qū)間上是單調(diào)函數(shù).且函數(shù)的值域是，則稱區(qū)間是函數(shù)的一個“優(yōu)美區(qū)間”
(1)判斷函數(shù)和函數(shù)是否存在“優(yōu)美區(qū)間”？（直接寫出結(jié)論，不要求證明）
(2)如果是函數(shù)的一個“優(yōu)美區(qū)間”，求的最大值；
(3)如果函數(shù)在上存在“優(yōu)美區(qū)間”，求實(shí)數(shù)的取值范圍.
【答案】(1)存在優(yōu)美區(qū)間是，不存在優(yōu)美區(qū)間；(2)(3)
【分析】（1）由函數(shù)的單調(diào)性及值域及新定義求解；
（2）由新定義及函數(shù)定義域，確定相應(yīng)方程有兩個同號的不等實(shí)根，由此求得參數(shù)范圍；
（3）由函數(shù)的單調(diào)性，分類討論：，，，確定函數(shù)的最大值和最小值，轉(zhuǎn)化為一元二次方程的根的分布，可得結(jié)論．
(1)，在上單調(diào)遞增，由得或1，存在優(yōu)美區(qū)間是，
是增函數(shù)，若存在優(yōu)美區(qū)間，則，無解，不合題意，不存在優(yōu)美區(qū)間；
(2)在和上都是增函數(shù)，因此優(yōu)美區(qū)間或，
由題意，所以有兩個同號的不等實(shí)根，，，
，，或，，同號，滿足題意，
，
，因?yàn)榛?，所以?dāng)，即時，．
(3)函數(shù)在上存在“優(yōu)美區(qū)間”，設(shè)得其一個優(yōu)美區(qū)間，在上遞減，在上遞增，
若，則，即有兩個不等的非負(fù)根，，，，，
，則，所以；
若，則，即，兩式相減得，，
，所以方程有兩個不等的非正根，
方程整理為，
，，滿足題意，，，
所以；
若，則，因此，所以，
，，
，即時，，，，
即時，，，，
，一正一負(fù)，取正根為，
，時，成立，
時，不等式變?yōu)?，，，即?br>綜上，的取值范圍是．
【題型九】分式型結(jié)構(gòu)不良型
【典例分析】
已知______，且函數(shù).
①函數(shù)在定義域上為偶函數(shù)；
②函數(shù)在上的值域?yàn)?
在①，②兩個條件中，選擇一個條件，將上面的題目補(bǔ)充完整，求出a，b的值，并解答本題.
(1)判斷的奇偶性，并證明你的結(jié)論；
(2)設(shè)，對任意的R，總存在，使得成立，求實(shí)數(shù)c的取值范圍.
【答案】(1)選擇條件見解析，a＝2，b＝0；為奇函數(shù)，證明見解析；(2).
【分析】（1）若選擇①，利用偶函數(shù)的性質(zhì)求出參數(shù)；
若選擇②，利用單調(diào)性得到關(guān)于的方程，求解即可；
將的值代入到的解析式中，再根據(jù)定義判斷函數(shù)的奇偶性；
（2）將題中條件轉(zhuǎn)化為“的值域是的值域的子集”即可求解.
（1）選擇①.
由在上是偶函數(shù)，得，且，所以a＝2，b＝0.所以.
選擇②.
當(dāng)時，在上單調(diào)遞增，則，解得，所以.為奇函數(shù).
證明如下：的定義域?yàn)镽.因?yàn)椋詾槠婧瘮?shù).
（2）當(dāng)時，，因?yàn)?，?dāng)且僅當(dāng)，即x＝1時等號成立，所以；
當(dāng)時，因?yàn)闉槠婧瘮?shù)，所以；
當(dāng)x＝0時，，所以的值域?yàn)?
因?yàn)樵谏蠁握{(diào)遞減，所以函數(shù)的值域是.
因?yàn)閷θ我獾模偞嬖?，使得成立?br>所以，所以,解得.
所以實(shí)數(shù)c的取值范圍是.
【變式訓(xùn)練】
已知函數(shù)，，從下面三個條件中任選一個條件，求出，的值，并解答后面的問題．（注：若選擇多于一個，則按照第一個選擇進(jìn)行計(jì)分）
①已知函數(shù)，滿足；
②已知函數(shù)在上的值域?yàn)椋?br>③已知函數(shù)，若在定義域上為偶函數(shù)．
(1)判斷在上的單調(diào)性；
(2)解不等式．
【答案】(1)在上單調(diào)遞增，證明見解析(2)
【分析】（1）根據(jù)條件求出，，然后根據(jù)單調(diào)性的定義進(jìn)行證明即可．
（2）結(jié)合函數(shù)奇偶性和單調(diào)性的性質(zhì)將不等式進(jìn)行轉(zhuǎn)化求解即可．
(1)①已知函數(shù)，若滿足；
則關(guān)于點(diǎn)成中心對稱，即，．
②已知函數(shù)在，上的值域?yàn)椋?br>若，則，兩式作差得，得或（舍，此時，
若，則，兩式作差得，此時無解
③已知函數(shù)，若在定義域，上為偶函數(shù)．則，得，
是偶函數(shù)，關(guān)于軸對稱，則關(guān)于對稱，即，得，
綜上①②③得答案相同，都為，，由①或②或③得，，
任取，且，則，
，則，，即，
則在上單調(diào)遞增；
(2)因?yàn)?，則為奇函數(shù)．由即
又因?yàn)樵谏蠁握{(diào)遞增，則，解得．
所以原不等式的解集為．
【題型十】含絕對值型
【典例分析】
已知函數(shù)是定義在上的偶函數(shù)，且.
（1）求的值；
（2）判斷函數(shù)在區(qū)間上的單調(diào)性，并證明；
（3）解不等式.
【答案】（1），（2）遞增函數(shù)，證明見解析（3）
【分析】
（1）偶函數(shù)知，再代入易求解．
（2）根據(jù)單調(diào)性定義，任取，，假設(shè)，判斷的差即可．
（3）首先考慮和在定義域內(nèi)，再利用偶函數(shù)性質(zhì)，根據(jù)單調(diào)性解抽象函數(shù)不等式即可．
【詳解】
（1）為定義在上的偶函數(shù)在上恒成立，在上恒成立，
解得又,解得，檢驗(yàn)：當(dāng)時，
恒成立為偶函數(shù)
（2）判斷：在區(qū)間上單調(diào)遞增
證明：對任意。。
，又，
在區(qū)間上單調(diào)遞增
（3）為定義在上的偶函數(shù)
原不等式等價于不等式，又在區(qū)間上單調(diào)遞增，
,或。綜上
【變式訓(xùn)練】
已知函數(shù)
（1）寫出函數(shù)的單調(diào)區(qū)間；
（2）若在恒成立，求實(shí)數(shù)的取值范圍；
（3）若函數(shù)在上值域是，求實(shí)數(shù)的取值范圍．
【答案】（1）增區(qū)間, 減區(qū)間；（2）實(shí)數(shù)的取值范圍為
（3）實(shí)數(shù)的取值范圍為
【詳解】
試題分析：（1）由已知函數(shù)可化為，根據(jù)函數(shù)的單調(diào)區(qū)間，得出所求函數(shù)的單調(diào)區(qū)間；（2）由（1）可知不等式可化為，根據(jù)函數(shù)在的單調(diào)性，可求得函數(shù)在上的值域，從而求出所實(shí)數(shù)的范圍；（3）由（1）可知函數(shù)的單調(diào)區(qū)間，可將區(qū)間分與兩種情況進(jìn)行討論，根據(jù)函數(shù)的單調(diào)性及值域，分別建立關(guān)于，的方程組，由方程組解的情況，從而求出實(shí)數(shù)的取值范圍.
試題解析：（1）故增區(qū)間, 減區(qū)間
（2）在上恒成立即在上恒成立
易證，函數(shù)在上遞減，在上遞增
故當(dāng)上有。故的取值范圍為
（3）或
①當(dāng)時，在上遞增，。即即方程有兩個不等正實(shí)數(shù)根
方程化為：故得
②當(dāng)時。在上遞減
即（1）－（2）得
又，
綜合①②得實(shí)數(shù)的取值范圍為
分階培優(yōu)練
培優(yōu)第一階——基礎(chǔ)過關(guān)練
1.已知函數(shù)
(1)判斷的奇偶性；
(2)若當(dāng)時，恒成立，求實(shí)數(shù)的取值范圍.
【答案】(1)是奇函數(shù)；(2).
【分析】（1）判斷出函數(shù)為奇函數(shù)，再利用函數(shù)奇偶性的定義證明即可；
（2）利用函數(shù)單調(diào)性的定義證明出函數(shù)在上為減函數(shù)，求出函數(shù)在上的值域，可得出實(shí)數(shù)的取值范圍.
(1)
解：函數(shù)為奇函數(shù)，理由如下：
函數(shù)的定義域?yàn)?，?br>所以，函數(shù)是奇函數(shù).
(2)
解：任取、且，
則，
由，得，，，，
所以，，即，
所以，函數(shù)在上單調(diào)遞減，則，即.
因?yàn)楫?dāng)時，恒成立，
所以，，即實(shí)數(shù)的取值范圍為.
2．已知函數(shù)，函數(shù)為R上的奇函數(shù)，且.
(1)求的解析式：
(2)判斷在區(qū)間上的單調(diào)性，并用定義給予證明：
(3)若的定義域?yàn)闀r，求關(guān)于x的不等式的解集.
【答案】(1)；(2)單調(diào)遞增.證明見解析；(3)
【分析】（1）列方程組解得參數(shù)a、b，即可求得的解析式；
（2）以函數(shù)單調(diào)性定義去證明即可；
（3）依據(jù)奇函數(shù)在上單調(diào)遞增，把不等式轉(zhuǎn)化為整式不等式即可解決.
(1)
由題意可知，即，解之得，則，經(jīng)檢驗(yàn)，符合題意.
(2)在區(qū)間上單調(diào)遞增.設(shè)任意，且，
則
由，且，可得
則，即故在區(qū)間上單調(diào)遞增.
(3)不等式可化為
等價于，解之得
故不等式的解集為
3．已知.
(1)若函數(shù)是偶函數(shù)，且當(dāng)時，，當(dāng)時，求的表達(dá)式；
(2)證明：函數(shù)在區(qū)間上是嚴(yán)格增函數(shù).
【答案】(1)當(dāng)時，；(2)證明見解析.
【分析】(1)根據(jù)偶函數(shù)的定義設(shè)變量代入直接計(jì)算作答.
(2)利用函數(shù)單調(diào)性定義證明函數(shù)單調(diào)性的方法、步驟推理作答.
(1)，則，而時，，又函數(shù)是偶函數(shù)，
于是得，所以當(dāng)時，.
(2)且，則，
因，則，，，即，有，
所以函數(shù)在區(qū)間上是嚴(yán)格增函數(shù).
4．已知函數(shù).
(1)判斷的奇偶性，并證明；
(2)證明：在區(qū)間上單調(diào)遞減.
【答案】(1)是偶函數(shù)，證明見解析(2)證明見解析
【分析】（1）先求定義域，再利用函數(shù)奇偶性的定義證明即可，
（2）利用單調(diào)性的定義證明
(1)為偶函數(shù)，證明如下：定義域?yàn)镽，因?yàn)椋?br>所以是偶函數(shù).
(2)任取，且，則
因?yàn)椋裕?br>所以，即，
由函數(shù)單調(diào)性定義可知，在區(qū)間上單調(diào)遞減.
5．已知定義在上的函數(shù).
(1)求證：是奇函數(shù)；
(2)求證：在上單調(diào)遞增；
(3)求不等式的解集.
【答案】(1)證明見解析(2)證明見解析(3)
【分析】（1）判斷的關(guān)系即可.
（2）任取，判斷的正負(fù)即可；
（3）將原不等式移項(xiàng)得，脫“f”，可解得原不等式的解集.
(1)
由已知函數(shù)定義域?yàn)?，關(guān)于原點(diǎn)對稱，
所以函數(shù)是奇函數(shù)；
(2)
任取，
因?yàn)椋?br>所以
所以在上單調(diào)遞增；
(3)
不等式可化為
因?yàn)樵谏蠁握{(diào)遞增
所以不等式可化為解得.
培優(yōu)第二階——能力提升練
1.已知函數(shù)是定義在上的奇函數(shù)，且．
(1)求函數(shù)的解析式；
(2)判斷函數(shù)在上的單調(diào)性．
(3)解關(guān)于t的不等式：．
【答案】(1)(2)單調(diào)遞增(3)
【分析】（1）由奇函數(shù)的性質(zhì)可得，求出，再由求出，從而可求出函數(shù)解析式，（2）利用單調(diào)性的定義判斷即可，
（3）先利用函數(shù)的奇偶性將不等式轉(zhuǎn)化，再利用函數(shù)的單調(diào)性解不等式
(1)因?yàn)楹瘮?shù)是定義在上的奇函數(shù)，所以，得，所以，
因?yàn)?，所以，解得，所?br>(2)任取，且，則，
因?yàn)椋?，所以?br>所以，即，所以函數(shù)在上單調(diào)遞增，
(3)因?yàn)槭嵌x在上的奇函數(shù)，所以可轉(zhuǎn)化為，
因?yàn)楹瘮?shù)在上單調(diào)遞增，所以，解得，
所以不等式的解集為
2.已知函數(shù)（且）．
(1)當(dāng)?shù)亩x域?yàn)闀r，求函數(shù)的值域；
(2)設(shè)函數(shù)，求的最小值．
【答案】(1)，；(2).
【分析】（1）化簡函數(shù)，根據(jù)反比例函數(shù)性質(zhì)求解；（2）化簡得，再分類討論求解．
(1)解：，因?yàn)榈亩x域?yàn)椋?，，，，所以函?shù)的值域?yàn)?，?br>(2)解：函數(shù)，
當(dāng)即時，；
當(dāng)即時，；
當(dāng)即時，.
所以，
3.已知函數(shù)．
(1)用定義證明函數(shù)在區(qū)間上單調(diào)遞增；
(2)對任意都有成立，求實(shí)數(shù)的取值范圍．
【答案】(1)證明見解析(2)
【分析】（1）由定義證明即可；
（2）求出在上的最大值，即可得出實(shí)數(shù)的取值范圍．
(1)任取，且，
因?yàn)?，所以?br>所以，即.所以在上為單調(diào)遞增．
(2)任意都有成立，即.
由（1）知在上為增函數(shù)，所以時，.
所以實(shí)數(shù)的取值范圍是.
4.已知函數(shù)是奇函數(shù)，是偶函數(shù).
(1)求.
(2)判斷函數(shù)在上的單調(diào)性并說明理由，再求函數(shù)在上的最值.
(3)若函數(shù)滿足不等式，求出t的范圍.
【答案】(1)(2)是區(qū)間上的增函數(shù)，理由見解析，
(3)
【分析】（1）由函數(shù)的奇偶性定義以及性質(zhì)求解即可；
（2）利用定義證明單調(diào)性，進(jìn)而得出最值；
（3）由在區(qū)間上的單調(diào)性以及奇偶性，解不等式得出t的范圍.
(1)因?yàn)樵谑瞧婧瘮?shù)
驗(yàn)證：，，函數(shù)為奇函數(shù)；
為偶函數(shù)，則
驗(yàn)證：，，函數(shù)為偶函數(shù).
(2)
是區(qū)間上的增函數(shù)，理由如下：設(shè)是區(qū)間上任意兩個實(shí)數(shù)，且，
則因?yàn)樗?br>是區(qū)間上的增函數(shù)
(3)因?yàn)槭菂^(qū)間上的增函數(shù)，且是奇函數(shù)，由滿足
，即t的范圍是
培優(yōu)第三階——培優(yōu)拔尖練
1.已知函數(shù)是奇函數(shù)，且．
(1)求的解析式；
(2)判斷函數(shù)的單調(diào)性，并證明你的結(jié)論；
(3)若，，且．求證．
【答案】(1)
(2)函數(shù)在區(qū)間上是增函數(shù)，在區(qū)間上是減函數(shù)，在上單調(diào)遞減，在上單調(diào)遞增；證明見解析
(3)證明見解析
【分析】（1）根據(jù)函數(shù)是奇函數(shù)得到，結(jié)合，求出，，得到的解析式；（2）先求解定義域，再利用定義來證明函數(shù)在上的單調(diào)性，結(jié)合函數(shù)的奇偶性，得到上的單調(diào)性；（3）作差法證明不等式.
（1）
為奇函數(shù)，且
，解得：，．
．驗(yàn)證滿足題意.
（2）
函數(shù)在區(qū)間上是增函數(shù)，在區(qū)間上是減函數(shù)，在上單調(diào)遞減，在上單調(diào)遞增.
證明：函數(shù)的定義域?yàn)?br>在區(qū)間上任取，，令
①當(dāng)時
，，，
即，故函數(shù)在區(qū)間上單調(diào)遞減；
②當(dāng)時，，，
即
故函數(shù)在區(qū)間上是增函數(shù)．
根據(jù)奇函數(shù)的對稱性可知，函數(shù)在上單調(diào)遞減，在上單調(diào)遞增；
綜上：函數(shù)在區(qū)間上是增函數(shù)，在區(qū)間上是減函數(shù)，在上單調(diào)遞減，在上單調(diào)遞增
（3）
，，且．
2.已知函數(shù)是其定義域內(nèi)的奇函數(shù)，且，
(1)求的表達(dá)式；
(2)設(shè)，求的值．
【答案】(1)；(2).
【分析】（1）根據(jù)題意和奇函數(shù)的定義，可求出的值，再結(jié)合，求得的值，從而得出的表達(dá)式；
（2）由題可得，從而得出，即可得出所求結(jié)果.
(1)解：是奇函數(shù)，，，解得：，故，
又，則，所以，.
(2)
解：由（1）知，則，，
.
3.已知定義在上的函數(shù)為偶函數(shù).
(1)求的值；
(2)判斷在上的單調(diào)性（不用證明）；
(3)已知函數(shù)，，若對，總有，使得成立，試求實(shí)數(shù)的取值范圍.
【答案】(1)(2)在上單調(diào)遞增，在上單調(diào)遞減(3)
【分析】（1）利用奇偶性的定義代特殊值再檢驗(yàn)即可；（2）利用單調(diào)性的定義進(jìn)行判斷即可；
（3）先將條件轉(zhuǎn)化為，再分別求出最值即可.
(1)解：∵為偶函數(shù)，∴，
當(dāng)時，，∵，∴為偶函數(shù)，∴.
(2)解：在上單調(diào)遞增，在上單調(diào)遞減.
(3)解：由（1）知，∵對，總有，使得成立，
可得，由（2）知，在時取得最大值，即，
又，，∴時，，
∴，解得.所以實(shí)數(shù)的取值范圍為.
4.設(shè)，.
(1)若在區(qū)間上是單調(diào)函數(shù)，求a的取值范圍；
(2)若存在，使得對任意的，都有成立，求實(shí)數(shù)a的取值范圍.
【答案】(1)或(2)
【分析】（1）對稱軸為，由或，解得即可；
（2）通過比較與給定區(qū)間之間的關(guān)系，分類討論求出的最大值，利用換元法，令，得，，，原問題可轉(zhuǎn)化為，再分三種情況，并結(jié)合對勾函數(shù)、二次函數(shù)的圖象與性質(zhì)，即可得解．
(1)
解：由題意知，對稱軸，因?yàn)樵趨^(qū)間上是單調(diào)函數(shù)，
所以或，∴或.
(2)
解：當(dāng)，即時，在，上單調(diào)遞減，所以；
當(dāng)，即時，在，上單調(diào)遞增，所以；
當(dāng)，即時，在，上單調(diào)遞增，在，上單調(diào)遞減，所以，
綜上，，
由題意，問題轉(zhuǎn)化為，
對恒成立，對函數(shù)，
令，則，，
則問題轉(zhuǎn)化為：，恒成立，
①當(dāng)時，對恒成立，
即，
因?yàn)?，且在上恒成立?br>所以恒成立，即符合題意；
②當(dāng)時，對恒成立，
則對恒成立，
關(guān)于t的二次函數(shù)的對稱軸在之間，開口向下，
則，解得或，即得.
③當(dāng)時，對恒成立，
則對恒成立，因?yàn)椋?dāng)且僅當(dāng)，即時取等號，所以，即，所以.
綜上可得，滿足題意的a的范圍是：.
……
0
……
……
0
3
2
……
【提分秘籍】
基本規(guī)律
形如型
1.通過分離常數(shù)，可以得到平移后反比例函數(shù)，在連續(xù)區(qū)間內(nèi)，具有單調(diào)性，大題可用定義法證明，小題可用分離變量為主證明。在前兩種方法掌握的前提下，可以適當(dāng)引入快速畫圖法。
2.反比例函數(shù)有對稱中心，滿足(其中（a，b）是對稱中心，
可通過“左加右減上加下減”求得.
3.涉及到恒成立或者解不等式等問題，大多數(shù)可以轉(zhuǎn)化為一元二次型求解。
【提分秘籍】
基本規(guī)律
次型
1.當(dāng)b=0時分母是ax型。很容易出對勾或者雙曲函數(shù)，可以用單調(diào)性（大題用定義法證明單調(diào)性）或者均值不等式搞定最值。
2.當(dāng)分母是ax-b型（b不為0），往往可以分離常數(shù)。對于理解力稍微好點(diǎn)的學(xué)生，還可以通過換元法（慎重，因?yàn)樽鴺?biāo)系發(fā)生了變換）化簡。程度差點(diǎn)的學(xué)生，可以換元化簡后再還回去，也能達(dá)到分離常數(shù)的目的。
【提分秘籍】
基本規(guī)律
形如
1.是奇函數(shù)，y軸兩側(cè)都是單調(diào)遞增函數(shù)，y=ax是“漸近線”。如圖一
2.是奇函數(shù)，y軸兩側(cè)都是單調(diào)遞減函數(shù)，y=ax是“漸近線”如圖二

【提分秘籍】
基本規(guī)律
形如次型
1.當(dāng)b=0時分子是ax型時，可以在x≠0時，同時除x，分母得到對勾或者雙刀函數(shù)，為小題做積累。
2.當(dāng)分子是ax-b時，也可以通過換元或者直接配湊，使得分母依舊是對勾或者雙刀函數(shù)。
3.大題中單調(diào)性證明，依舊是定義法
【提分秘籍】
基本規(guī)律
1.分子與分母都有二次型的，最常見的，就是分子分母可以分離常數(shù)達(dá)到降冪目的，有時候換元也可以。
2.如果分母分子有線性關(guān)系，可以直接分離常數(shù)。這類題比較少。了解即可。
3.必要時可以用判別式法。
【提分秘籍】
基本規(guī)律
把函數(shù)存在區(qū)間，使得函數(shù)為上的倍域函數(shù)，結(jié)合函數(shù)的單調(diào)性，轉(zhuǎn)化為是解答的關(guān)鍵.
【提分秘籍】
基本規(guī)律
含絕對值型，以分類討論為主要解題思想。

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