圓錐曲線解答題6種?？碱}型專題訓(xùn)練-【高考備考題型講義】備戰(zhàn)2024年高考數(shù)學(xué)?？碱}型分類講義（新高考專用）-試卷下載-教習(xí)網(wǎng)

?2024新高考圓錐曲線解答題6種?？碱}型專題訓(xùn)練
【題型目錄】
題型一：圓錐曲線中的弦長(zhǎng)面積問(wèn)題
題型二：圓錐曲線直線圓過(guò)定點(diǎn)問(wèn)題
題型三：圓錐曲線中定值問(wèn)題
題型四：圓錐曲線中的定直線問(wèn)題
題型五：圓錐曲線中的存在性問(wèn)題
題型六：圓錐曲線中的非對(duì)稱韋達(dá)定理問(wèn)題
【題型總結(jié)】
題型一：圓錐曲線中的弦長(zhǎng)面積問(wèn)題
【例1】已知橢圓，，分別為左右焦點(diǎn)，點(diǎn)，在橢圓E上.
(1)求橢圓E的離心率；
(2)過(guò)左焦點(diǎn)且不垂直于坐標(biāo)軸的直線l交橢圓E于A，B兩點(diǎn)，若的中點(diǎn)為M，O為原點(diǎn)，直線交直線于點(diǎn)N，求取最大值時(shí)直線l的方程.

【例2】已知橢圓，由E的上?下頂點(diǎn)，左?右焦點(diǎn)構(gòu)成一個(gè)邊長(zhǎng)為的正方形.
(1)求E的方程；
(2)過(guò)E的右焦點(diǎn)F做相互垂直的兩條直線，，分別和E交點(diǎn)A，B，C，D，若由點(diǎn)A，B，C，D構(gòu)成的四邊形的面積是，求，的方程.

【例3】如圖，已知橢圓的左、右頂點(diǎn)分別是，且經(jīng)過(guò)點(diǎn)，直線恒過(guò)定點(diǎn)且交橢圓于兩點(diǎn)，為的中點(diǎn).

(1)求橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程;
(2)記的面積為S，求S的最大值.

【題型專練】
1.已知橢圓C的左、右焦點(diǎn)分別為，離心率為，過(guò)點(diǎn)且與x軸垂直的直線與橢圓C在第一象限交于點(diǎn)P，且的面積為．
(1)求橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程；
(2)過(guò)點(diǎn)的直線與y軸正半軸交于點(diǎn)S，與曲線C交于點(diǎn)E，軸，過(guò)點(diǎn)S的另一直線與曲線C交于M，N兩點(diǎn)，若，求所在的直線方程．

2.在平面直角坐標(biāo)系中，動(dòng)圓與圓內(nèi)切，且與圓外切，記動(dòng)圓的圓心的軌跡為.
(1)求軌跡的方程；
(2)不過(guò)圓心且與軸垂直的直線交軌跡于兩個(gè)不同的點(diǎn)，連接交軌跡于點(diǎn).
（i）若直線交軸于點(diǎn)，證明：為一個(gè)定點(diǎn)；
（ii）若過(guò)圓心的直線交軌跡于兩個(gè)不同的點(diǎn)，且，求四邊形面積的最小值.

3.已知橢圓C：，圓O：，若圓O過(guò)橢圓C的左頂點(diǎn)及右焦點(diǎn)．
(1)求橢圓C的方程；
(2)過(guò)點(diǎn)作兩條相互垂直的直線，，分別與橢圓相交于點(diǎn)A，B，D，E，試求的取值范圍．

題型二：圓錐曲線直線圓過(guò)定點(diǎn)問(wèn)題
【例1】已知點(diǎn)在橢圓上，橢圓C的左右焦點(diǎn)分別為，，的面積為.
(1)求橢圓C的方程；
(2)設(shè)點(diǎn)A，B在橢圓C上，直線PA，PB均與圓相切，記直線PA，PB的斜率分別為，.
（i）證明：；
（ii）證明：直線AB過(guò)定點(diǎn).

【例2】已知點(diǎn)是橢圓C：（）的左焦點(diǎn)，且橢圓C經(jīng)過(guò)點(diǎn)．過(guò)點(diǎn)作不與x軸重合的直線與橢圓C相交于M，N兩點(diǎn)，過(guò)點(diǎn)M作直線l：的垂線，垂足為E．

(1)求橢圓C的標(biāo)準(zhǔn)方程；
(2)求證：直線過(guò)定點(diǎn)，并求定點(diǎn)的坐標(biāo)．
【例3】已知橢圓：（）的離心率為，其左?右焦點(diǎn)分別為，，為橢圓上任意一點(diǎn)，面積的最大值為1.
(1)求橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程；
(2)已知，過(guò)點(diǎn)的直線與橢圓交于不同的兩點(diǎn)，，直線，與軸的交點(diǎn)分別為，，證明：以為直徑的圓過(guò)定點(diǎn).

【題型專練】
1.已知橢圓的離心率為，一個(gè)焦點(diǎn)與拋物線的焦點(diǎn)重合．
(1)求橢圓的方程；
(2)若直線交于兩點(diǎn)，直線與關(guān)于軸對(duì)稱，證明：直線恒過(guò)一定點(diǎn)．

2．已知是圓上的動(dòng)點(diǎn)，是線段上一點(diǎn)，，且
(1)求點(diǎn)的軌跡的方程
(2)過(guò)的直線分別與軌跡交于點(diǎn)和點(diǎn)，且，若分別為的中點(diǎn)，求證：直線NH過(guò)定點(diǎn)

3.已知橢圓的離心率為，左頂點(diǎn)和上頂點(diǎn)分別為A?B，
(1)求b的值；
(2)點(diǎn)P在橢圓上，求線段的長(zhǎng)度的最大值及取最大值時(shí)點(diǎn)P的坐標(biāo)；
(3)不過(guò)點(diǎn)A的直線l交橢圓C于M，N兩點(diǎn)，記直線l，的斜率分別為，若.證明：直線l過(guò)定點(diǎn)，并求出定點(diǎn)的坐標(biāo).

4.設(shè)橢圓的離心率為，點(diǎn)為橢圓上一點(diǎn)，的周長(zhǎng)為.
(1)求橢圓的方程；
(2)設(shè)動(dòng)直線與橢圓有且只有一個(gè)公共點(diǎn)，且與直線相交于點(diǎn).問(wèn)：軸上是否存在定點(diǎn)，使得以為直徑的圓恒過(guò)定點(diǎn)？若存在，求出點(diǎn)的坐標(biāo)；若不存在，說(shuō)明理由.

題型三：圓錐曲線中定值問(wèn)題
【例1】設(shè)分別是圓的左?右焦點(diǎn)，M是C上一點(diǎn)，與x軸垂直.直線與C的另一個(gè)交點(diǎn)為N，且直線MN的斜率為
(1)求橢圓C的離心率.
(2)設(shè)是橢圓C的上頂點(diǎn)，過(guò)D任作兩條互相垂直的直線分別交橢圓C于A?B兩點(diǎn)，過(guò)點(diǎn)D作線段AB的垂線，垂足為Q，判斷在y軸上是否存在定點(diǎn)R，使得的長(zhǎng)度為定值？并證明你的結(jié)論.

【例2】已知點(diǎn)，動(dòng)點(diǎn)到直線的距離為，且，記的軌跡為曲線．
(1)求的方程；
(2)過(guò)作圓的兩條切線、（其中、為切點(diǎn)），直線、分別交的另一點(diǎn)為、．從下面①和②兩個(gè)結(jié)論中任選其一進(jìn)行證明．
①為定值；
②．

【例3】已知雙曲線的離心率為，右焦點(diǎn)到一條漸近線的距離為.
(1)求雙曲線的方程；
(2)若分別是的左?右頂點(diǎn)，過(guò)的直線與交于兩點(diǎn)（不同于）.記直線的斜率分別為，請(qǐng)問(wèn)是否為定值？若是定值，求出該定值；若不是，請(qǐng)說(shuō)明理由.

【例4】已知點(diǎn)是橢圓的左焦點(diǎn)，是橢圓上的任意一點(diǎn)，．
(1)求的最大值；
(2)過(guò)點(diǎn)的直線與橢圓相交于兩點(diǎn)，與軸相交于點(diǎn)．若，，試問(wèn)是否為定值？若是，求出該定值；若不是，請(qǐng)說(shuō)明理由．

【例5】已知橢圓過(guò)點(diǎn)，離心率為，直線與橢圓交于兩點(diǎn)，過(guò)點(diǎn)作，垂足為C點(diǎn)，直線AC與橢圓的另一個(gè)交點(diǎn)為．
(1)求橢圓的方程；
(2)試問(wèn)是否為定值？若為定值，求出定值；若不為定值，說(shuō)明理由．

【題型專練】
1.在平面直角坐標(biāo)系xOy中，已知點(diǎn)，，動(dòng)點(diǎn)M滿足，記點(diǎn)M的軌跡為曲線C．
(1)求C的方程；
(2)圓的切線與C相交于A，B兩點(diǎn)，P為切點(diǎn)，求的值．

2.已知，直線的斜率之積為，記動(dòng)點(diǎn)的軌跡為曲線.
(1)求的方程;
(2)直線與曲線交于兩點(diǎn)，為坐標(biāo)原點(diǎn)，若直線的斜率之積為，證明: 的面積為定值.

3.已知橢圓：的右焦點(diǎn)為，圓：，過(guò)且垂直于軸的直線被橢圓和圓所截得的弦長(zhǎng)分別為和.
(1)求的方程；
(2)過(guò)圓上一點(diǎn)（不在坐標(biāo)軸上）作的兩條切線，，記，的斜率分別為，，直線的斜率為，證明：為定值.

4.橢圓與雙曲線之間有許多優(yōu)美的對(duì)稱性質(zhì)，已知橢圓和雙曲線
(1)設(shè)AB是雙曲線的不平行于對(duì)稱軸且不過(guò)原點(diǎn)的弦，M為弦AB的中點(diǎn)，O為坐標(biāo)原點(diǎn)，則為定值.類比雙曲線的性質(zhì)：若AB是橢圓的不平行于對(duì)稱軸且不過(guò)原點(diǎn)的弦，M為AB的中點(diǎn)，O為坐標(biāo)原點(diǎn)，試猜想的值，并證明；
(2)設(shè)橢圓交x軸于A，B兩點(diǎn)，點(diǎn)P是橢圓上異于A，B的任意一點(diǎn)，直線PA，PB分別交y軸于點(diǎn)M，N，則為定值，類比橢圓的性質(zhì)：若雙曲線交x軸于A，B兩點(diǎn)，點(diǎn)P是雙曲線上異于A，B的任意一點(diǎn)，直線PA，PB分別交y軸于點(diǎn)M，N，試猜想的值，并證明.

5.設(shè)圓的圓心為，直線過(guò)點(diǎn)且與軸不重合，交圓于、兩點(diǎn)，過(guò)作的平行線交于點(diǎn)，記點(diǎn)的軌跡為曲線.
(1)求曲線的方程；
(2)過(guò)坐標(biāo)原點(diǎn)的直線交曲線于、兩點(diǎn)，點(diǎn)在第一象限，軸，垂足為，連接并延長(zhǎng)交曲線于點(diǎn).證明：是直角三角形.

題型四：圓錐曲線中的定直線問(wèn)題
【例1】已知橢圓C:的上下頂點(diǎn)分別為，過(guò)點(diǎn)P且斜率為k(kb>0)的左、右頂點(diǎn)分別為A，B，離心率為，點(diǎn)P為橢圓上一點(diǎn)．

（1）求橢圓C的標(biāo)準(zhǔn)方程；
（2）如圖，過(guò)點(diǎn)C(0，1)且斜率大于1的直線l與橢圓交于M，N兩點(diǎn)，記直線AM的斜率為k1，直線BN的斜率為k2，若k1＝2k2，求直線l斜率的值．

2．已知A、B分別為橢圓E：（a>1）的左、右頂點(diǎn)，G為E的上頂點(diǎn)，，P為直線x=6上的動(dòng)點(diǎn)，PA與E的另一交點(diǎn)為C，PB與E的另一交點(diǎn)為D．
（1）求E的方程；
（2）證明：直線CD過(guò)定點(diǎn).

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