?第19講 橢圓中6種?？蓟A(chǔ)題型
【考點分析】
考點一：橢圓的通徑
過橢圓的焦點與橢圓的長軸垂直的直線被橢圓所截得的線段稱為橢圓的通徑，其長為．
考點二：橢圓中有關(guān)三角形的周長問題

圖一 圖二
如圖一所示：的周長為
如圖一所示：的周長為
考點三：橢圓上一點的有關(guān)最值
①橢圓上到中心距離最小的點是短軸的兩個端點，到中心距離最大的點是長軸的兩個端點．
②橢圓上到焦點距離最大和最小的點是長軸的兩個端點．
距離的最大值為，距離的最小值為．
考點四：橢圓的離心率
橢圓的離心率，
考點五：橢圓焦點三角形的面積為（為焦距對應(yīng)的張角）

考點六：中點弦問題（點差法）
中點弦問題：若橢圓與直線交于兩點，為中點，且與斜率存在時，則；（焦點在x軸上時），當(dāng)焦點在軸上時，
若過橢圓的中心，為橢圓上異于任意一點，（焦點在x軸上時），當(dāng)焦點在軸上時，
【題型目錄】
題型一：橢圓的定義有關(guān)題型
題型二：橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程
題型三：橢圓的離心率
題型四：橢圓中焦點三角形面積
題型五：橢圓中中點弦問題
題型六：橢圓中的最值問題
【典型例題】
題型一：橢圓的定義有關(guān)題型
【例1】已知△ABC的周長為10，且頂點，，則頂點的軌跡方程是（ ）
A． B．
C． D．
【答案】A
【解析】∵△ABC的周長為10，頂點，，
∴，，
∴點A到兩個定點的距離之和等于定值，
∴點A的軌跡是橢圓，∵，∴，
又因為三點構(gòu)成三角形，
∴橢圓的方程是.
故選：A．
【例2】如果點在運動過程中，總滿足關(guān)系式，則點的軌跡是（ ）．
A．不存在 B．橢圓 C．線段 D．雙曲線
【答案】B
【解析】表示平面由點到點的距離之和為，而，所以點的軌跡是橢圓，故選：B
【例3】設(shè)，分別為橢圓的左、右焦點，點在橢圓上，且，則（ ）
A． B． C． D．
【答案】D
【解析】因，所以，所以
【例4】、是橢圓的左、右焦點，點在橢圓上，，過作的角平分線的垂線，垂足為，則的長為（ ）
A．1 B．2 C．3 D．4
【答案】C
【詳解】如圖，直線與直線相交于點N，由于PM是的平分線，且PM⊥，
所以三角形是等腰三角形，所以，點M為中點，因為O為的中點，
所以O(shè)M是三角形的中位線，所以，其中，
因，所以，所以，所以選

【例5】已知橢圓，點與的焦點不重合，若關(guān)于的焦點的對稱點分別為，，線段的中點在上，則（ ）
A．10 B．15 C．20 D．25
【答案】C
【解析】設(shè)的中點為，橢圓的左右焦點分別為，則為的中點，為的中點，所以，同理，所以
【例6】方程x2＋ky2＝2表示焦點在x軸上的橢圓的一個充分但不必要條件是 （ ）
A． B． C． D．
【答案】B
【解析】方程x2＋ky2＝2可變形為：，表示焦點在x軸上的橢圓，則有：，
解得.易知當(dāng)時，，當(dāng)時未必有，所以是的充分但不必要條件.故選B.
【例7】點，為橢圓：的兩個焦點，點為橢圓內(nèi)部的動點，則周長的取值范圍為（ ）
A． B．
C． D．
【答案】C
【解析】由橢圓：，得：，
當(dāng)點在橢圓上時，周長最大，為，
當(dāng)點在軸上時，去最小值，為，
又因點為橢圓內(nèi)部的動點，
所以周長的取值范圍為.
故選：C.
【例8】橢圓的左、右焦點分別為，，點在橢圓上，如果的中點在軸上，那么是的（ ）
A．7倍 B．6倍 C．5倍 D．4倍
【答案】C
【解析】由題意知：，所以，因，所以，所以
【題型專練】
1.已知△ABC的周長為20，且頂點B （0，﹣4），C （0，4），則頂點A的軌跡方程是（　?。?br /> A．（x≠0） B．（x≠0）
C．（x≠0） D．（x≠0）
【答案】B
【解析】∵△ABC的周長為20，頂點B （0，﹣4），C （0，4），
∴BC＝8，AB+AC＝20﹣8＝12，
∵12＞8∴點A到兩個定點的距離之和等于定值，∴點A的軌跡是橢圓，
∵a＝6，c＝4∴b2＝20，
∴橢圓的方程是故選B．
2.焦點在x軸上的橢圓 焦距為8，兩個焦點為，弦AB過點，則的周長為（ ）
A．20 B．28 C． D．
【答案】D
【解析】由題意知 ，因為，所以，解得，所以的周長為，故選：D
3.（2021新高考1卷） 已知，是橢圓：的兩個焦點，點在上，則的最大值為（ ）
A. 13 B. 12 C. 9 D. 6
【答案】C
【解析】因，所以
4.已知橢圓的左、右焦點分別為，點在橢圓上，若，則（???????）
A． B． C． D．
【答案】C
【解析】
【分析】
根據(jù)橢圓方程求得，由橢圓的定義，得，求得，所以，在中，再由余弦定理列出方程，求得，即可求解．
【詳解】
解：由題意，橢圓方程，可得，
所以焦點，
又由橢圓的定義，可得，因為，所以，
在中，由余弦定理可得,
所以，解得，
又由，所以.
故選:C．
5.設(shè)，為橢圓的兩個焦點，點P在橢圓上，若線段的中點在y軸上，則的值為（???????）
A． B． C． D．
【答案】C
【解析】
【分析】
由中位線定理以及橢圓方程得出，再由橢圓的定義得出，再求的值.
【詳解】
由橢圓的定義可知，，由中位線定理可知，，將代入中，解得，即，，故
故選：C
6.已知曲線
A．若，則是橢圓，其焦點在軸上
B．若，則是橢圓，其焦點在軸上
C．若，則是圓，其半徑為
D．若，，則是兩條直線
【答案】AD
【解析】由題意得：，所以當(dāng)，則，所以表示焦點在軸上的橢圓，所以對，錯，當(dāng)時，曲線為，所以表示圓，半徑為，當(dāng)時，曲線為，所以，所以表示兩條直線，故選：AD

7.已知橢圓的左焦點為，點在橢圓上且在軸的上方，若線段的中點在以原點為圓心，為半徑的圓上，則直線的斜率是（???????）
A． B． C． D．
【答案】C
【解析】
【分析】
設(shè)線段的中點為，連接、，利用圓的幾何性質(zhì)可得出，求得，利用橢圓的定義可求得，可判斷出的形狀，即可得解.
【詳解】
在橢圓中，，，，
設(shè)線段的中點為，連接、，則為圓的一條直徑，則，

因為為的中點，則，則，
所以，為等邊三角形，由圖可知，直線的傾斜角為.
故選：C.
8.在平面直角坐標(biāo)系中，若△ABC的頂點和，頂點B在橢圓上，則的值是（???????）
A． B．2 C． D．4
【答案】A
【解析】
【分析】
由題設(shè)易知為橢圓的兩個焦點，結(jié)合橢圓定義及焦點三角形性質(zhì)有，，最后應(yīng)用正弦定理的邊角關(guān)系即可求目標(biāo)式的值.
【詳解】
由題設(shè)知：為橢圓的兩個焦點，而B在橢圓上，
所以，，
由正弦定理邊角關(guān)系知：.
故選：A
9.已知，是橢圓：的兩個焦點，點在上，則的最大值為（ ）
A．13 B．12 C．9 D．6
【答案】C
【解析】由題，，則，
所以（當(dāng)且僅當(dāng)時，等號成立）．故選：C．
10.已知橢圓的左、右焦點分別為、，點在橢圓上且在軸的下方，若線段的中點在以原點為圓心，為半徑的圓上，則直線的傾斜角為（???????）
A． B． C． D．
【答案】C
【解析】
【分析】
設(shè)線段的中點為，連接、，利用圓的幾何性質(zhì)可得出，求得，利用橢圓的定義可求得，可判斷出的形狀，即可得解.
【詳解】
在橢圓中，，，，
設(shè)線段的中點為，連接、，則為圓的一條直徑，則，

因為為的中點，則，則，
所以，為等邊三角形，由圖可知，直線的傾斜角為.
故選：C.
11．已知A為橢圓上一點，F(xiàn)為橢圓一焦點，的中點為，為坐標(biāo)原點，若則（ ）
A． B． C． D．
【答案】B
【解析】不妨設(shè)橢圓左焦點為，右焦點為，
因為的中點為，的中點為，所以，
又由，可得.故選：B.
12.已知橢圓C：的左右焦點分別是，過的直線與橢圓C交于A，B兩點，且，則（ ）
A．4 B．6 C．8 D．10
【答案】A
【解析】由橢圓知：a=3，
由橢圓的定義得：，
所以，
又因為，
所以，
故選：A
題型二：橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程
【例1】已知橢圓：右焦點為，其上下頂點分別為，，點，，則該橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程為（????）
A． B．
C． D．
【答案】D
【分析】由橢圓的幾何性質(zhì)可知上下頂點坐標(biāo)，再由向量數(shù)量積可得，即可得到答案.
【詳解】根據(jù)題意可知，，；
所以，，
又，所以，可得
在橢圓中，，又，所以
即橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程為.
故選：D.
【例2】已知橢圓C：，橢圓C的一頂點為A，兩個焦點為，，的面積為，焦距為2，過，且垂直于的直線與橢圓C交于D，E兩點，則的周長是（????）
A． B．8 C． D．16
【答案】B
【分析】先根據(jù)的面積為，焦距為2，求得橢圓方程為，然后根據(jù)已知條件及等邊三角形的性質(zhì)，再利用等腰三角形的三線合一定理及橢圓的定義，結(jié)合三角形的周長公式即可求解.
【詳解】因為的面積為，焦距為2，所以，
所以，故橢圓方程為，
假設(shè)為橢圓C的上頂點，因為兩個焦點為，，
所以，，故,
所以為等邊三角形，又因為過，且垂直于的直線與橢圓C交于D，E兩點，
所以，,
由橢圓的定義可知：，
，
所以的周長為
，
故選：.
【例3】如圖，已知橢圓C的中心為原點O，為橢圓C的左焦點，P為橢圓C上一點，滿足，且，則橢圓C的方程為（????）

A． B． C． D．
【答案】D
【分析】設(shè)橢圓的右焦點為，連接，由可得，可求得，由橢圓的定義可求得，利用之間的關(guān)系可求得，即可得到答案
【詳解】如圖，設(shè)橢圓的右焦點為，則，連接，
因為，所以，
所以，
由橢圓的定義可得，則，
又因為，所以，
所以橢圓的方程為，

故選：D
【例4】阿基米德（公元前287年—公元前212年）不僅是著名的物理學(xué)家，也是著名的數(shù)學(xué)家，他利用“逼近法”得到橢圓的面積除以圓周率等于橢圓的長半軸與短半軸的乘積．若橢圓C的對稱軸為坐標(biāo)軸，焦點在y軸上，且橢圓C的離心率為，面積為，則橢圓C的方程為（????）
A． B． C． D．
【答案】C
【分析】利用待定系數(shù)法求橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程.
【詳解】可設(shè)橢圓的方程為，
由題意可得：，解得：，
所以橢圓的方程為.
故選：C
【例5】過橢圓：右焦點的直線：交于，兩點，為的中點，且的斜率為，則橢圓的方程為（????）
A． B．
C． D．
【答案】A
【分析】由與x軸交點橫坐標(biāo)可得半焦距c，設(shè)出點A，B坐標(biāo)，利用點差法求出的關(guān)系即可計算作答.
【詳解】依題意，焦點，即橢圓C的半焦距，設(shè)，，
則有，兩式相減得：，
而，且，即有，
又直線的斜率，因此有，而，解得，經(jīng)驗證符合題意，
所以橢圓的方程為.
故選：A
【例6】已知分別是橢圓的左?右焦點，A，B分別為橢圓的上，下頂點，過橢圓的右焦點的直線交橢圓于C，D兩點，的周長為8，且直線，的斜率之積為，則橢圓的方程為（????）
A． B． C． D．
【答案】C
【分析】由△的周長為8，可得，解得．設(shè)，，可得，由于直線，的斜率之積為，可得，代入化簡可得．即可得出．
【詳解】解：△的周長為8，，解得．
設(shè)，，則，
直線，的斜率之積為，，，
化為，可得．
橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程為：．
故選：C
【例7】已知橢圓C的焦點為，，過F2的直線與C交于A，B兩點．若，，則C的方程為（????）
A． B．
C． D．
【答案】A
【分析】由已知可設(shè)，則，得，在中求得，從而可求解．
【詳解】如圖，由已知可設(shè)，則，
由橢圓的定義有．
在中，由余弦定理推論得．
所以，則.
得，所以，又，得
故C的方程為
故選：A

【題型專練】
1．已知、是橢圓C：的左、右焦點，A為橢圓的上頂點，B在x軸上，且.若坐標(biāo)原點O到直線AB的距離為3，則橢圓C的方程為（????）
A． B．
C． D．
【答案】D
【分析】根據(jù)題干條件得到，為的中點，作出輔助線，利用相似得到，即，結(jié)合直角三角形的性質(zhì)得到，求出，得到橢圓方程.
【詳解】因為，所以，
因為，所以，即，
所以為的中點，
又因為，所以，
過點O作OM⊥AB于點M，則，
根據(jù)，可得，所以，
因為A為上頂點，所以
根據(jù)雙曲線定義可知：，所以，
由直角三角形斜邊中線等于斜邊一半可得：，即，
所以，故，
所以橢圓方程為：

故選：D
2．已知橢圓，其左?右焦點分別為，，離心率為，點P為該橢圓上一點，且滿足，若的內(nèi)切圓的面積為，則該橢圓的方程為（????）
A． B． C． D．
【答案】A
【分析】由離心率的值，可得的關(guān)系，由三角形的內(nèi)切圓的面積，求出內(nèi)切圓的半徑，再由及余弦定理可得的值，進(jìn)而求出的面積，再由，可得的值，進(jìn)而求出橢圓的方程．
【詳解】由離心率，得，即．
因為的內(nèi)切圓的面積為，設(shè)內(nèi)切圓的半徑為，所以，解得，
由橢圓的定義可知，
在中，，由余弦定理得，
即，
∴，
∴，可得，
所以，
而，
所以可得，解得，，
由，得，
所以該橢圓的方程為．
故選：A．
3．已知橢圓的兩個焦點為，，M是橢圓上一點，若，，則該橢圓的方程是（????）
A． B． C． D．
【答案】C
【分析】首先設(shè)，，再利用焦點三角形是直角三角形，列式求，即可求得的值.
【詳解】設(shè)，，因為，，，所以，，所以，所以，所以．因為，所以．所以橢圓的方程是．
故選：C
4．已知，是橢圓C的兩個焦點，過且垂直于x軸的直線交橢圓C于A，B兩點，，則橢圓C的標(biāo)準(zhǔn)方程為（????）
A． B． C． D．
【答案】C
【分析】方法一：構(gòu)造并利用，從而求出，得出橢圓C的標(biāo)準(zhǔn)方程；方法二：若橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程為，則過焦點且垂直于x軸的直線與橢圓相交所得的線段為橢圓的通徑，其長為，并利用，求出，從而得出橢圓C的標(biāo)準(zhǔn)方程.
【詳解】方法一：由題意，設(shè)橢圓C的標(biāo)準(zhǔn)方程連接，如圖所示．
由題意，得，．在中，①．
又②．由①②，得a＝2，所以，所以橢圓C的標(biāo)準(zhǔn)方程為．

方法二：由題意，設(shè)橢圓C的標(biāo)準(zhǔn)方程為，則，即，又，所以a＝2或（舍去），所以，，
故橢圓C的標(biāo)準(zhǔn)方程為．
故選：C.
5．已知橢圓C：的右焦點為，右頂點為A，O為坐標(biāo)原點，過OA的中點且與坐標(biāo)軸垂直的直線交橢圓C于M，N兩點，若四邊形OMAN是正方形，則C的方程為（????）
A． B． C． D．
【答案】A
【分析】待定系數(shù)法去求橢圓C的方程
【詳解】由橢圓方程可知，由四邊形OMAN是正方形可知，
又點M在橢圓C上，則有，解得，
又橢圓C的右焦點為，則，
結(jié)合橢圓中，解得，，則橢圓C的方程為.
故選：A
6．已知橢圓的左焦點為，過點的直線與橢圓相交于不同的兩點，若為線段的中點，為坐標(biāo)原點，直線的斜率為，則橢圓的方程為（????）
A． B．
C． D．
【答案】B
【分析】先求得焦點，也即求得，然后利用點差法求得，從而求得，也即求得橢圓的方程.
【詳解】直線過點，所以，
設(shè)，
由兩式相減并化簡得，
即，
所以，
所以橢圓的方程為.
故選：B
7．阿基米德既是古希臘著名的物理學(xué)家，也是著名的數(shù)學(xué)家，他利用“逼近”的方法得到橢圓的面積除以圓周率π等于橢圓的長半軸長與短半軸長的乘積.若橢圓C：的左，右焦點分別是，，P是C上一點，，，C的面積為12π，則C的標(biāo)準(zhǔn)方程為（????）
A． B． C． D．
【答案】C
【分析】由，根據(jù)橢圓的定義及余弦定理可得的關(guān)系，根據(jù)“逼近法”求橢圓的面積公式，及，即可求得的值，進(jìn)而可得的標(biāo)準(zhǔn)方程.
【詳解】由橢圓的定義可知，又，所以，.又，，所以，所以，.又橢圓的面積為12π，所以，解得，，.
故選：C.
8．已知橢圓C：(a＞b＞0)的左、右焦點分別為F1，F(xiàn)2，左、右頂點分別為M，N，過F2的直線l交C于A，B兩點(異于M、N)，△AF1B的周長為，且直線AM與AN的斜率之積為－，則橢圓C的標(biāo)準(zhǔn)方程為（????）
A． B．
C． D．
【答案】D
【分析】先利用周長為求得值，得到M，N坐標(biāo)，再設(shè)點，利用直線AM與AN的斜率之積構(gòu)建關(guān)系，結(jié)合滿足已知方程，解得，即得結(jié)果.
【詳解】由△AF1B的周長為，可知，解得，則，
設(shè)點，由直線AM與AN的斜率之積為－，可得，即 ①．
又，所以 ②，
由①②解得，所以橢圓C的標(biāo)準(zhǔn)方程為．
故選：D．
9．已知橢圓C的焦點為，，過的直線交于C與A，B，若，，則C的方程為（????）
A． B． C． D．
【答案】B
【分析】根據(jù)給定條件利用橢圓定義及余弦定理列出方程求出即可得解.
【詳解】依題意，設(shè)橢圓方程為，
由橢圓定義知，，因，，則，解得，
于是得，，，顯然點A在y軸上，如圖，

在中，，，在中，，
由余弦定理得，即，解得，，
所以橢圓C的方程為.
故選：B
題型三：橢圓的離心率
【例1】已知，為橢圓（a＞b＞0）的左、右焦點，以原點O為圓心，半焦距為半徑的圓與橢圓相交于四個點，設(shè)位于y軸右側(cè)的兩個交點為A，B，若為等邊三角形，則橢圓的離心率為（????）
A．﹣1 B．﹣1 C． D．
【答案】B
【分析】由為等邊三角形，及橢圓的對稱性可得：，又，可得，利用橢圓的定義可得：，即可得出．
【詳解】由為等邊三角形，及橢圓的對稱性可得：，

又，
∴，
∴，可得．
故選：B．
【例2】已知橢圓C：的左焦點為，直線與C交于點M，N.若，，則橢圓C的離心率為（????）
A． B． C． D．
【答案】B
【分析】由橢圓的對稱性可知：四邊形為平行四邊形，結(jié)合橢圓的定義并在中利用余弦定理求出關(guān)于的值，進(jìn)而可求出離心率.
【詳解】設(shè)橢圓C的右焦點為，如圖，連接，

因為為的中點，所以四邊形為平行四邊形，
所以，，由橢圓的定義可得：，
又因為，所以，
又因為，所以，
在中，由余弦定理可得：，
也即，因為，所以，所以橢圓的離心率，
故選：.
【例3】已知橢圓上存在兩點關(guān)于直線對稱，且線段中點的縱坐標(biāo)為，則橢圓的離心率是（????）
A． B． C． D．
【答案】A
【分析】根據(jù)兩點關(guān)于直線對稱點的特征可求得，并得到中點坐標(biāo)；利用點差法可構(gòu)造等式求得，根據(jù)橢圓離心率可求得結(jié)果.
【詳解】關(guān)于直線對稱，，
又中點縱坐標(biāo)為，中點橫坐標(biāo)為；
設(shè)，，則，
兩式作差得：，即，
；
又，，，解得：，
橢圓的離心率.
故選：A.
【例4】已知橢圓C：的左右焦點分別為，，過點做傾斜角為的直線與橢圓相交于A，B兩點，若，則橢圓C的離心率e為（????）
A． B． C． D．
【答案】D
【分析】根據(jù)題意寫出直線方程，與橢圓方程聯(lián)立，運用韋達(dá)定理與構(gòu)建出關(guān)于a、b、c的齊次方程，根據(jù)離心率公式即可解得.
【詳解】設(shè)，，，過點做傾斜角為的直線，
直線方程為：，聯(lián)立方程，可得
根據(jù)韋達(dá)定理：，
因為，即，所以
所以
即，所以，聯(lián)立，可得

故選：D.
【例5】設(shè)B是橢圓的上頂點，若C上的任意一點P都滿足，則C的離心率的取值范圍是（????）
A． B． C． D．
【答案】C
【分析】設(shè)點利用兩點間距離公式及點與橢圓的位置關(guān)系求出關(guān)于的函數(shù)關(guān)系式，利用函數(shù)思想求得a，b，c的不等關(guān)系，從而得出離心率的取值范圍.
【詳解】解：由題意知，設(shè)，則， ，

，
上任意一點都滿足，，
當(dāng)時，取得最大值，
①當(dāng)，即時，
，即，符合題意；
此時，即，
又，
，
②當(dāng)，即時，
化簡得，，顯然該不等式不成立，
綜上所述，離心率的取值范圍，
故選：C.
【例6】是橢圓的兩個焦點，P是橢圓C上異于頂點的一點，I是的內(nèi)切圓圓心，若的面積等于的面積的3倍，則橢圓C的離心率為（????）
A． B． C． D．
【答案】B
【分析】設(shè)出點的坐標(biāo)，根據(jù)內(nèi)切圓半徑公式表示出，然后再根據(jù)兩個三角形的面積關(guān)系求出.
【詳解】設(shè)橢圓方程為：

如圖，設(shè)三角形的周長為，
由橢圓的定義可得
，
又，解之：
故選：B
【例7】用平面截圓柱面，當(dāng)圓柱的軸與所成角為銳角時，圓柱面的截線是一個橢圓.著名數(shù)學(xué)家Dandelin創(chuàng)立的雙球?qū)嶒炞C明了上述結(jié)論.如圖所示，將兩個大小相同的球嵌入圓柱內(nèi)，使它們分別位于的上方和下方，并且與圓柱面和均相切.給出下列三個結(jié)論：

①兩個球與的切點是所得橢圓的兩個焦點；
②橢圓的短軸長與嵌入圓柱的球的直徑相等；
③當(dāng)圓柱的軸與所成的角由小變大時，所得橢圓的離心率也由小變大.
其中，所有正確結(jié)論的序號是（????）
A．① B．②③ C．①② D．①③
【答案】C
【分析】根據(jù)切線長定理可以證明橢圓上任意一點到 的距離之和為定值，即是焦點再運用勾股定理證明短軸長，最后構(gòu)造三角形，運用三角函數(shù)表示離心率即可.
【詳解】如圖：

在橢圓上任意一點P作平行于 的直線，與球 交于F點，與球 交于E點，
則 ， 是過點P作球 的兩條公切線， ，同理 ，
，是定值，所以 是橢圓的焦點；①正確；
由以上的推導(dǎo)可知：??， ，
平面 ， 是直角三角形， ，即 ， ，②正確；
就是平面 與軸線的夾角 ，在 中，橢圓的離心率 ，
由余弦函數(shù)的性質(zhì)可知當(dāng)銳角 變大時， 變小，③錯誤；
故選：C.
【例8】國家體育場“鳥巢”的鋼結(jié)構(gòu)鳥瞰圖如圖1所示，內(nèi)外兩圈的鋼骨架是離心率相同的橢圓；某校體育館的鋼結(jié)構(gòu)與“鳥巢”相同，其平面圖如圖2所示，若由外層橢圓長軸一端點和短軸一端點分別向內(nèi)層橢圓引切線，，且兩切線斜率之積等于，則橢圓的離心率為（????）

A． B． C． D．
【答案】C
【分析】設(shè)內(nèi)層橢圓方程為，則外層橢圓方程為（），分別列出過和的切線方程，聯(lián)立切線和內(nèi)層橢圓，由分別轉(zhuǎn)化出的表達(dá)式，結(jié)合可求與關(guān)系式，齊次化可求離心率.
【詳解】解：設(shè)內(nèi)層橢圓方程為（），因為內(nèi)、外層橢圓離心率相同，
所以外層橢圓方程可設(shè)成（），
設(shè)切線方程為，與聯(lián)立得，
，
由，則，
設(shè)切線方程為，
同理可求得，
所以，，
所以，因此.
故選：C.
【題型專練】
1．直線與橢圓交于兩點，是橢圓的右焦點，且，則橢圓的離心率為（????）
A． B． C． D．
【答案】C
【分析】根據(jù)對稱關(guān)系和垂直關(guān)系可知四邊形為矩形，結(jié)合直線傾斜角大小可確定，由此利用表示出，結(jié)合橢圓定義可構(gòu)造齊次方程求得離心率.
【詳解】
記橢圓的左焦點為，
由對稱性可知：四邊形為平行四邊形，，
；
，，四邊形為矩形，，
又，，又，，
，，，
橢圓的離心率.
故選：C.
2．設(shè)分別是橢圓的左、右焦點，若橢圓上存在點，使且，則橢圓的離心率為（????）
A． B． C． D．
【答案】A
【分析】利用橢圓的定義求出，然后在中利用余弦定理即可求解.
【詳解】由橢圓的定義可知：，因為，
所以，在中，由余弦定理可得：
，
化簡整理可得：，所以，
故選：.
3.設(shè)橢圓的左、右焦點分別為，點M，N在C上（M位于第-象限），且點M，N關(guān)于原點O對稱，若，則C的離心率為（????）
A． B． C． D．
【答案】B
【分析】易判斷四邊形是矩形，設(shè)，由勾股定理得，求得結(jié)合橢圓第一定義得與關(guān)系，進(jìn)而得解.
【詳解】∵四邊形是平行四邊形，又，
∴四邊形是矩形，∴，
設(shè)，
∴，∴，
∴，
∴．

故選：B
4．如圖，直徑為4的球放地面上，球上方有一點光源P，則球在地面上的投影為以球與地面切點F為一個焦點的橢圓，已知是橢圓的長軸，垂直于地面且與球相切，，則橢圓的離心率為（?????）

A． B． C． D．
【答案】A
【分析】根據(jù)給定條件，結(jié)合球的性質(zhì)作出截面，再結(jié)合三角形內(nèi)切圓性質(zhì)求出長即可作答.
【詳解】依題意，平面截球O得球面大圓，如圖，是球O大圓的外切三角形，其中切圓O于點E，F(xiàn)，

顯然，而，則，又，有，
由圓的切線性質(zhì)知，，
在中，，則，于是得橢圓長軸長，即，
又F為橢圓的一個焦點，令橢圓半焦距為c，即有，因此，
所以橢圓的離心率.
故選：A
5．如圖圓柱的底面半徑為1，母線長為6，以上下底面為大圓的半球在圓柱內(nèi)部，現(xiàn)用一垂直于軸截面的平面去截圓柱，且與上下兩半球相切，求截得的圓錐曲線的離心率為（????）

A． B． C． D．3
【答案】A
【分析】根據(jù)題意作出截面圖，分析出平面與底面夾角余弦值為，再利用立體圖形得到，，再計算出值得到離心率.
【詳解】作出截面圖，顯然平面經(jīng)過中點，設(shè)中點為，切點分別為，，

半徑為1，，則，，，則，作出以下立體圖，則平面與底面夾角余弦值為，

圓柱的底面半徑為橢圓的短軸,得，
又橢圓所在平面與圓柱底面所成角余弦值為,
以為原點建立上圖所示平面直角坐標(biāo)系，
，則橢圓標(biāo)準(zhǔn)方程為，
，故離心率,
故選：A.
6．已知橢圓C：的左、右焦點分別為，，P為坐標(biāo)平面上一點，且滿足的點P均在橢圓C的內(nèi)部，則橢圓C的離心率的取值范圍為（　　）
A． B．
C． D．
【答案】A
【分析】由題意知點P的軌跡為以為直徑的圓，且該圓在橢圓C的內(nèi)部，得到，再利用計算可得到離心率的范圍.
【詳解】

所以點P的軌跡為以為直徑的圓，且該圓在橢圓C的內(nèi)部，
所以，所以，
所以，即，
所以．
故選：A．
7．已知點，，為橢圓：上不重合的三點，且點，關(guān)于原點對稱，若，則橢圓的離心率為（????）
A． B． C． D．
【答案】A
【分析】設(shè)點，，的坐標(biāo)，將和用，，坐標(biāo)表示，代入化簡運算可得的值，進(jìn)一步可求出橢圓的離心率.
【詳解】方法一：
設(shè)不重合的點，，（），
∵點，關(guān)于原點對稱，∴，
∴，， （），
由已知，（），
∵點，均在橢圓上，
∴，
，
∴，
∴，（），
∴，
∴橢圓的離心率為.
方法二：
由題意，可取，為特殊點，不妨取，為橢圓左右頂點，
依據(jù)橢圓第三定義，有，
∴，.
故選：A.
8．已知橢圓的一個焦點為，橢圓上存在點，使得，則橢圓的離心率取值范圍是（????）
A． B． C． D．
【答案】B
【分析】不妨設(shè)，設(shè)，表示出，，依題意可得有解，根據(jù)數(shù)量積的坐標(biāo)表示得到方程在上有解，根據(jù)得到關(guān)于的不等式，解得即可.
【詳解】解：依題意不妨設(shè)為橢圓的左焦點，則，
設(shè)，則，，，則，
若存在點使得，則存在點使得，
即在上有解，
即在上有解，
令，顯然，，
所以，即且，
由，即，解得或，
由，即，解得或，
又，所以，即.
故選：B
題型四：橢圓中焦點三角形面積
【例1】已知橢圓的左、右焦點分別為，，為上一點， ，若的面積為，則的短袖長為（????）
A．3 B．4 C．5 D．6
【答案】D
【分析】利用橢圓的定義，余弦定理以及面積公式即可求解.
【詳解】由橢圓的定義知，所以，
又，即，
兩式相減，得，因為的面積為，
即，所以，解得，所以短軸長為6．
故選:D．
【例2】（2021年全國高考甲卷數(shù)學(xué)（理）試題）已知為橢圓C：的兩個焦點，P，Q為C上關(guān)于坐標(biāo)原點對稱的兩點，且，則四邊形的面積為________．
【答案】
【解析】因為為上關(guān)于坐標(biāo)原點對稱的兩點，
且，所以四邊形為矩形，
設(shè)，則，
所以，
，即四邊形面積等于.
故答案為：.
【題型專練】
1.設(shè)P為橢圓上一點，為左右焦點，若，則P點的縱坐標(biāo)為（ ）
A． B． C． D．
【答案】B
【分析】
根據(jù)橢圓中焦點三角形的面積公式求解即可.
【詳解】
由題知.設(shè)P點的縱坐標(biāo)為則
.
故選：B
2．已知是橢圓E的兩個焦點，P是E上的一點，若，且，則E的離心率為（　?。?br /> A． B． C． D．
【答案】C
【分析】由得焦點三角形為直角三角形，結(jié)合勾股定理與橢圓定義可得，再由面積公式可得齊次方程，進(jìn)而求出離心率
【詳解】由得，則，
由橢圓定義可知：，
所以，即，
所以，
又，所以，即，
故E的離心率為.
故選：C.
3．已知是橢圓上的點，、分別是橢圓的左、右焦點，若，則的面積為（????）
A． B． C． D．9
【答案】A
【分析】由已知可得，然后利用余弦定理和橢圓定義列方程組可解.
【詳解】因為，
所以，
又
記，則，
②2-①整理得：，所以
故選：A

題型五：橢圓中中點弦問題
【例1】已知橢圓C：（）的長軸為4，直線與橢圓C相交于A、B兩點，若線段的中點為，則橢圓C的方程為（????）
A． B． C． D．
【答案】B
【分析】設(shè)的中點坐標(biāo)為，代入橢圓方程相減，利用，，，得出等量關(guān)系，即可求解.
【詳解】設(shè)，直線交橢圓于，兩點，
若的中點坐標(biāo)為，所以直線斜率，
代入橢圓方程得，
兩式相減得
，
又，所以
所求的橢圓方程為.
故選:B.
【例2】平行四邊形內(nèi)接于橢圓，橢圓的離心率為，直線的斜率為1，則直線的斜率為（????）
A． B．
C． D．-1
【答案】A
【分析】利用對稱關(guān)系轉(zhuǎn)化為中點弦問題即可求解.
【詳解】
，
設(shè)

設(shè)為中點，由于為中點，所以,所以,
因為在橢圓上，
所以兩式相減得,
所以，即.
故選:A.
【例3】橢圓內(nèi)有一點，過點的弦恰好以為中點，那么這條弦所在的直線方程為（????）
A． B．
C． D．
【答案】B
【分析】結(jié)合點差法求得弦所在直線方程.
【詳解】，即，
設(shè)弦為，，
則，
兩式相減并化簡得，，
所以弦所在直線方程為.
故選：B
【例4】已知橢圓：上有三點，，，線段，，的中點分別為，，，為坐標(biāo)原點，直線，，的斜率都存在，分別記為，，，且，直線，，的斜率都存在，分別記為，，，則（????）
A． B． C． D．
【答案】B
【分析】采用點差法，設(shè)，，代入橢圓方程化簡可得，即，同理求出，，結(jié)合即可求解
【詳解】設(shè)，，代入橢圓方程可得，兩式相減，可得，即，故，即，即，同理可得：，．由，得，故．
故選：B．
【例5】離心率為的橢圓與直線的兩個交點分別為A，B，P是橢圓不同于A、B、P的一點，且、的傾斜角分別為，，若，則（????）
A． B． C． D．
【答案】A
【分析】設(shè)、、，根據(jù)點差法和兩點坐標(biāo)表示斜率公式可得
，進(jìn)而可得，利用兩角和與差的余弦公式、切弦互化化簡計算即可.
【詳解】設(shè)，，，
∴，，相減整理得，
即，，
∵，
∴，
故選：A.
【例6】（2022·全國·高考真題）已知直線l與橢圓在第一象限交于A，B兩點，l與x軸，y軸分別交于M，N兩點，且，則l的方程為___________．
【答案】
【分析】令的中點為，設(shè)，，利用點差法得到，設(shè)直線，，，求出、的坐標(biāo)，再根據(jù)求出、，即可得解；
【詳解】解：令的中點為，因為，所以，
設(shè)，，則，，
所以，即
所以，即，設(shè)直線，，，
令得，令得，即，，所以，
即，解得或（舍去），
又，即，解得或（舍去），
所以直線，即；

故答案為：
【例7】（2022·全國甲（理）T10） 橢圓的左頂點為A，點P，Q均在C上，且關(guān)于y軸對稱．若直線的斜率之積為，則C的離心率為（ ）
A. B. C. D.
【答案】A
【解析】
【分析】設(shè)，則，根據(jù)斜率公式結(jié)合題意可得，再根據(jù)，將用表示，整理，再結(jié)合離心率公式即可得解.
【詳解】解：，
設(shè)，則，
則，
故，
又，則，
所以，即，
所以橢圓的離心率.
故選：A.
【例8】橢圓上一點A關(guān)于原點的對稱點為B，F(xiàn)為橢圓的右焦點，若，設(shè)，且，則該橢圓離心率的最大值為__________．
【答案】
【解析】因為關(guān)于原點對稱，所以B也在橢圓上，設(shè)左焦點為，根據(jù)橢圓的定義：，因為，所以，O是直角三角形斜邊的中點，所以，
所以，所以，
由于，所以當(dāng)時，離心率的最大值為，故答案為．
【題型專練】
1．已知橢圓，，過點P的直線與橢圓交于A，B，過點Q的直線與橢圓交于C，D，且滿足，設(shè)AB和CD的中點分別為M，N，若四邊形PMQN為矩形，且面積為，則該橢圓的離心率為（??????）
A． B．
C． D．
【答案】D
【分析】不妨設(shè)，兩條直線的斜率大于零，連結(jié)，由題意知，求出，，求出，的斜率，設(shè)，，，，利用點差法，轉(zhuǎn)化推出橢圓的離心率即可．
【詳解】解：如圖，不妨設(shè)，兩條直線的斜率大于零，連結(jié)，
由題意知，
解得，，或，（舍），
所以，，
在中，因為，所以，
故此時，，
設(shè)，，，，則，
兩式相減得，
即，即，
因此離心率，所以，
故選：D．

2.橢圓的左、右頂點分別為,點在上且直線的斜率的取值范圍是，那么直線斜率的取值范圍是（　　）
A． B． C． D．
【答案】B
【詳解】由題意，橢圓：的左、右頂點分別為，
設(shè)，則，
又由，可得，
因為，即，可得，
所以直線斜率的取值范圍.
故選：B
3．已知橢圓，直線不過原點且不平行于坐標(biāo)軸，與有兩個交點，線段的中點為，則的斜率與直線的斜率的乘積（????）
A． B．1 C． D．
【答案】D
【分析】根據(jù)題意設(shè)直線方程為，，進(jìn)而聯(lián)立方程求解中點的坐標(biāo)，計算斜率乘積即可.
【詳解】解：根據(jù)題意設(shè)直線方程為，
由得，

，

故選：D
4．點，在橢圓上，點，，則直線的方程是（????）
A． B． C． D．
【答案】C
【分析】利用點差法可求直線的方程.
【詳解】因為，故為的中點.
設(shè)，故，
因此，故，
故，故即直線的斜率為-1，
故直線的方程為：，
故選：C.
5．已知橢圓上有三個點??，，，的中點分別為??，，，的斜率都存在且不為0，若(為坐標(biāo)原點)，則（????）
A．1 B．-1 C． D．
【答案】A
【分析】設(shè)，利用點差法把的斜率轉(zhuǎn)化為的斜率，結(jié)合題設(shè)條件，即可求解.
【詳解】設(shè)，則，
兩式作差，可得，
所以，即，
同理可得，
所以.
故選：A.
6．直線經(jīng)過橢圓的左焦點，且與橢圓交于兩點，若為線段中點，，則橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程為（????）
A． B．
C． D．
【答案】C
【分析】由已知求得，得到M的橫坐標(biāo)為,進(jìn)而求得M的縱坐標(biāo)，然后得出OM的斜率，由,得到，即可判定結(jié)論.
【詳解】易得直線l的與x軸的交點橫坐標(biāo)為,∴橢圓的半焦距,
又∵，∴M的橫坐標(biāo)為,代入直線方程得到M的縱坐標(biāo)為，
∴OM的斜率,
由于直線l的斜率,
,
,,∴,
∴,∴,
逐項檢驗，即可判定只有C符合，
故選：C.
【點睛】是應(yīng)當(dāng)熟記的結(jié)論.檢驗法是快速求解選擇題的重要思想方法.
7．已知三角形的三個頂點都在橢圓：上，設(shè)它的三條邊，，的中點分別為，，，且三條邊所在線的斜率分別為，，，且，，均不為0.為坐標(biāo)原點，若直線，，的斜率之和為1.則（????）
A． B． C． D．
【答案】A
【解析】設(shè)，，，，，，利用，在橢圓上，代入橢圓方程，兩式相減得：，同理可得：，，再利用已知條件即可得出結(jié)果.
【詳解】設(shè)，，，，，，
因為，在橢圓上，
所以，
，
兩式相減得：
，
即，
同理可得，，
所以
因為直線??的斜率之和為1，
所以，
故選：A.
【點睛】關(guān)鍵點睛：本題主要考查橢圓的簡單性質(zhì)的應(yīng)用.利用平方差法轉(zhuǎn)化求解斜率是解決本題的關(guān)鍵.
8．已知過點的直線與橢圓交于兩點，且滿足則直線的方程為（???????）
A． B． C． D．
【答案】D
【分析】設(shè)，直線斜率為，根據(jù)，即點為中點，由，利用點差法求解.
【詳解】設(shè)，直線斜率為，
則有，
①-②得，
因為，
所以點為中點，則，
，
即，
所以直線的方程為，
整理得
故選：D
題型六：橢圓中的最值問題
【例1】已知橢圓的上、下焦點分別是，，點P在橢圓C上則下列結(jié)論正確的是（????）
A．有最大值無最小值 B．無最大值有最小值
C．既有最大值也有最小值 D．既無最大值也無最小值
【答案】C
【分析】根據(jù)平面向量數(shù)量積的坐標(biāo)表示公式，結(jié)合橢圓的范圍進(jìn)行求解判斷即可.
【詳解】設(shè)，，，，
，
由，
所以，
因為，
所以當(dāng)時，有最小值，當(dāng)時，有最大值，
故選：C
【例2】若點O和點F分別為橢圓的中心和左焦點，點P為橢圓上的任意一點，則的最大值為（????）
A． B． C． D．
【答案】A
【分析】根據(jù)數(shù)量積的坐標(biāo)表示求出的表達(dá)式，結(jié)合橢圓方程和橢圓上的點的坐標(biāo)的范圍求其最值即可.
【詳解】因為點F為橢圓的左焦點，所以，設(shè)點的坐標(biāo)為，
則
∵P為橢圓上一點，∴，
∴
，
因為，對稱軸為，故當(dāng)時取得最大值．
故選：A.
【例3】已知點是橢圓+=1上的動點（點不在坐標(biāo)軸上），為橢圓的左，右焦點，為坐標(biāo)原點；若是的角平分線上的一點，且丄，則丨丨的取值范圍為（????）
A．（0，） B．（0，2）
C．（l，2） D．（，2）
【答案】A
【分析】延長、相交于點，連接，利用橢圓的定義分析得出，設(shè)點，求出的取值范圍，利用橢圓的方程計算得出，由此可得出結(jié)果.
【詳解】如下圖，延長、相交于點，連接，

因為，
因為為的角平分線，所以，，則點為的中點，
因為為的中點，所以，，
設(shè)點，由已知可得，，，
則且，且有，
，
故，
所以，.
故選：A.
【例4】已知點在橢圓上運動，點在圓上運動，則的最小值為（????）
A． B． C． D．
【答案】D
【分析】先求出點到圓心的距離的最小值，然后減去圓的半徑可得答案
【詳解】設(shè)點，則，得，
圓的圓心，半徑為，
則
，
令，對稱軸為，
所以當(dāng)時，取得最小值，
所以的最小值為，
所以的最小值為，
故選：D
【例5】已知動點在橢圓上，若點坐標(biāo)為，，且，則的最小值為（????）
A． B． C． D．
【答案】B
【分析】由題設(shè)條件，結(jié)合向量的性質(zhì)，得到，越小，越小，結(jié)合圖形可知，當(dāng)點為橢圓的右頂點時，即可得到最小值．
【詳解】解：，，
，
點的軌跡為以為以點為圓心，1為半徑的圓，
，越小，越小，
結(jié)合圖形知，當(dāng)點為橢圓的右頂點時，
取最小值，
最小值是．
故選：B．

【點睛】本題主要考查橢圓上的線段長的最小值的求法，考查平面向量的數(shù)量積的性質(zhì)和運用，解題時要認(rèn)真審題，要熟練掌握橢圓的性質(zhì)，屬于中檔題．
【例6】設(shè)、滿足則的最大值為（?????）
A．2 B．3 C．4 D．6
【答案】C
【分析】由得出，表示橢圓，寫出橢圓的參數(shù)方程，利用三角函數(shù)求的最大值.
【詳解】由題可得：則，
有
?????????
?????????.
因為，
????則： ，
所以的最大值為4.
故選：C.
【點睛】本題主要考查與橢圓上動點有關(guān)的最值問題，利用橢圓的參數(shù)方程，轉(zhuǎn)化為三角函數(shù)求最值.
【例7】設(shè)，分別是橢圓的左，右焦點，為橢圓上任一點，點的坐標(biāo)為，則的最大值為（????）
A．9 B．1 C．2 D．0
【答案】A
【分析】根據(jù)在橢圓的外，數(shù)形結(jié)合解決即可.
【詳解】由題知，橢圓，，分別是的左，右焦點，
所以，
所以，

因為在橢圓的外部，
所以
，
當(dāng)且僅當(dāng)三點共線時取等號，
故選：A
【題型專練】
1．已知點是橢圓上的任意一點，過點作圓：的切線，設(shè)其中一個切點為，則的取值范圍為（????）
A． B． C． D．
【答案】B
【分析】設(shè)，得到，利用橢圓的范圍求解.
【詳解】解：設(shè)，
則，
，
，
因為，
所以，即，
故選：B
2．已知點滿足，點A，B關(guān)于點對稱且，則的最大值為（????）
A．10 B．9 C．8 D．2
【答案】C
【分析】利用向量的加法運算求出，根據(jù)向量數(shù)量積基底模式求出，
再用兩點間的距離公式及點在橢圓上即可求解.
【詳解】由橢圓定義可得點在橢圓上，因為點A，B關(guān)于點對稱，所以，而，因為，
所以當(dāng)時取得最大值3，所以的最大值為.
故選:C．
3．設(shè)分別為圓和橢圓上的點,則兩點間的最大距離是

A． B． C． D．
【答案】D
【解析】轉(zhuǎn)化為圓心到橢圓上點的距離的最大值加（半徑）.
【詳解】設(shè)，圓心為，
則，
當(dāng)時，取到最大值，∴最大值為．
故選：D.
【點睛】本題考查圓上點與橢圓上點的距離的最值問題，解題關(guān)鍵是圓上的點轉(zhuǎn)化為圓心，利用圓心到動點距離的最值加（或減）半徑得出結(jié)論．
4．橢圓上任一點到點的距離的最小值為（????）
A． B． C．2 D．
【答案】B
【解析】設(shè)點的坐標(biāo)為，結(jié)合兩點間的距離公式，化簡得到，即可求解.
【詳解】設(shè)點的坐標(biāo)為，其中，
由，可得，
又由，
當(dāng)時，取得最小值，最小值為.
故選：B.
5．若點，分別在橢圓和直線上運動，則的最小值為（????）
A． B． C． D．
【答案】A
【分析】由題意可知，利用點到直線的距離公式轉(zhuǎn)化為三角函數(shù)的最值，即可求解
【詳解】由橢圓方程可設(shè)，
則到直線的距離為
，
當(dāng)時，，
所以的最小值為，
故選：A
6．已知橢圓（）的左、右焦點分別為，，過的直線交橢圓于兩點，若的最大值為10，則的值是（????）
A． B． C． D．
【答案】D
【分析】根據(jù)橢圓的幾何性質(zhì)求解.
【詳解】，
根據(jù)橢圓的幾何性質(zhì)可知，當(dāng)軸時，有最小值，
此時的最大值為10，
此時在中，令則，
所以，
所以的值是.
故選:D.
7．已知點M為橢圓上一點，橢圓的長軸長為，離心率，左、右焦點分別為，，其中，則的最小值為（????）
A． B． C． D．
【答案】D
【分析】先求出橢圓的方程，借助于橢圓的定義把，結(jié)合三角形中的兩邊之差小于第三邊得答案
【詳解】由題意可得：，解得，所以
橢圓方程為：
由，則
當(dāng)三點不共線時，
當(dāng)三點共線時，
所以,且
故
當(dāng)且僅當(dāng)共線時（如圖點在處）取得最小值．
故選: D．

8．設(shè)是橢圓上一點，，分別是圓和上的點，則的最大值為（???）
A． B． C． D．
【答案】A
【分析】結(jié)合題意畫出圖形，對，由三角形三邊關(guān)系可得①，同理對，可得②，兩式作和，結(jié)合橢圓第一定義即可求解.
【詳解】根據(jù)題意作出如圖所示的圖象，其中、是橢圓的左，右焦點，在中可得：
①，

當(dāng)且僅當(dāng)、、三點共線時，等號成立，
在中可得：②，
當(dāng)且僅當(dāng)、、三點共線時，等號成立，
由①②得：，
由橢圓方程可得：，即，
由橢圓定義可得：，
所以，.
故選：A.


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