?2024年新高考統(tǒng)計概率解答題9大?？碱}型專題訓(xùn)練
【題型目錄】
題型一：統(tǒng)計案例檢驗解答題
題型二：線性回歸方程，相關(guān)系數(shù)有關(guān)解答題
題型三：條件概率的計算及應(yīng)用
題型四：離散型隨機(jī)變量分布列，期望及方差
題型五：二項分布解答題有關(guān)問題
題型六：統(tǒng)計概率中的中位數(shù)，百分位數(shù)，均值計算問題
題型七：正態(tài)分布在解答題中的應(yīng)用
題型八：統(tǒng)計概率中與數(shù)列有關(guān)的解答題
題型九：統(tǒng)計概率中的最值范圍問題
【題型總結(jié)】
題型一：統(tǒng)計案例檢驗解答題
【例1】某商店銷售某種產(chǎn)品，為了解客戶對該產(chǎn)品的評價，現(xiàn)隨機(jī)調(diào)查了200名客戶，其評價結(jié)果為“一般”或“良好”，并得到如下列聯(lián)表：

一般
良好
合計
男
20
100
120
女
30
50
80
合計
50
150
200
(1)通過計算判斷，有沒有99%的把握認(rèn)為客戶對該產(chǎn)品的評價結(jié)果與性別有關(guān)系？
(2)利用樣本數(shù)據(jù)，在評價結(jié)果為“良好”的客戶中，按照性別用分層抽樣的方法抽取了6名客戶.若從這6名客戶中隨機(jī)選擇2名進(jìn)行訪談，求所抽取的2名客戶中至少有1名女性的概率.
附表及公式：

0.15
0.10
0.05
0.025
0.010

2.072
2.706
3.841
5.024
6.635
其中，.

【例2】2022年12月2日晚，神舟十四號、神舟十五號航天員乘組進(jìn)行在軌交接儀式，兩個乘組移交了中國空間站的鑰匙，6名航天員分別在確認(rèn)書上簽字，中國空間站正式開啟長期有人駐留模式.為調(diào)查大學(xué)生對中國航天事業(yè)的了解情況，某大學(xué)進(jìn)行了一次抽樣調(diào)查，若被調(diào)查的男女生人數(shù)均為，統(tǒng)計得到以下列聯(lián)表，經(jīng)計算，有97.5%的把握認(rèn)為該校學(xué)生對中國航天事業(yè)的了解與性別有關(guān)，但沒有99%的把握認(rèn)為該校學(xué)生對中國航天事業(yè)的了解與性別有關(guān).

男生
女生
合計
了解



不了解



合計



求n的值；
，

0.05
0.025
0.010

3.841
5.024
6.635









【例3】國際足聯(lián)世界杯，簡稱“世界杯”，是由全世界國家級別球隊參與的，并具有最大知名度和影響力的足球賽事，2022年世界杯于11月21日—12月18日在卡塔爾舉行．某大學(xué)為了解本校學(xué)生對世界杯的關(guān)注程度，從學(xué)生中隨機(jī)抽取了200名學(xué)生進(jìn)行調(diào)查（其中男生120名），根據(jù)樣本的調(diào)查結(jié)果得到如下圖所示的等高規(guī)程條形圖．

關(guān)注
不關(guān)注
合計
男生



女生



合計




(1)請完成上面的列聯(lián)表，并判斷能否有的把握認(rèn)為學(xué)生是否關(guān)注世界杯與性別有關(guān)．
(2)從這200名學(xué)生里對世界杯關(guān)注的學(xué)生中，按性別采用分層抽樣的方法抽取8名學(xué)生，再從這8名學(xué)生中隨機(jī)選取3名參與學(xué)校足協(xié)活動．記參與學(xué)校足協(xié)活動的男生人數(shù)為，求的分布列與期望．
附：，其中．

0.050
0.010
0.005
0.001

3.841
6.635
7.879
10.828





【例4】冰雪運動是深受學(xué)生喜愛的一項戶外運動，為了研究性別與學(xué)生是否喜愛冰雪運動之間的關(guān)系，從某高校男、女生中各隨機(jī)抽取100名進(jìn)行問卷調(diào)查，得到如下列聯(lián)表．

喜愛
不喜愛
男生


女生


(1)當(dāng)時，從樣本中不喜愛冰雪運動的學(xué)生中，按性別采用分層抽樣的方法抽取6人，再從這6人中隨機(jī)抽取3人調(diào)研不喜愛的原因，記這3人中女生的人數(shù)為，求的分布列與數(shù)學(xué)期望．
(2)定義，其中為列聯(lián)表中第行第列的實際數(shù)據(jù)，為列聯(lián)表中第行與第列的總頻率之積再乘以列聯(lián)表的總額數(shù)得到的理論頻數(shù)，如，．基于小概率值的檢驗規(guī)則：首先提出零假設(shè)（變量X，Y相互獨立），然后計算的值，當(dāng)時，我們推斷不成立，即認(rèn)為X和Y不獨立，該推斷犯錯誤的概率不超過；否則，我們沒有充分證據(jù)推斷不成立，可以認(rèn)為X和Y獨立．根據(jù)的計算公式，求解下面問題：
①當(dāng)時，依據(jù)小概率值的獨立性檢驗，分析性別與是否喜愛冰雪運動有關(guān)？
②當(dāng)時，依據(jù)小概率值的獨立性檢驗，若認(rèn)為性別與是否喜愛冰雪運動有關(guān)，則至少有多少名男生喜愛冰雪運動？
附：

0.1
0.025
0.005

2.706
5.024
7.879







【例5】九江市正在創(chuàng)建第七屆全國文明城市，某中學(xué)為了增強學(xué)生對九江創(chuàng)文的了解和重視，組織全校高三學(xué)生進(jìn)行了“創(chuàng)文知多少”知識競賽（滿分100），現(xiàn)從中隨機(jī)抽取了文科生、理科生各100名同學(xué)，統(tǒng)計他們的知識競賽成績分布如下：






文科生
1
16
23
44
16
理科生
9
24
27
32
8
合計
10
40
50
76
24
(1)在得分小于80分的學(xué)生樣本中，按文理科類分層抽樣抽取5名學(xué)生．
①求抽取的5名學(xué)生中文科生、理科生各多少人；
②從這5名學(xué)生中隨機(jī)抽取2名學(xué)生，求抽取的2名學(xué)生中至少有一名文科生的概率．
(2)如果得分大于等于80分可獲“創(chuàng)文競賽優(yōu)秀獎”，能否有99.9%的把握認(rèn)為獲“創(chuàng)文競賽優(yōu)秀獎”與文理科類有關(guān)？
參考數(shù)據(jù)：

0.10
0.05
0.01
0.005
0.001

2.706
3.841
6.635
7.879
10.828
，其中．









【題型專練】
1.某大學(xué)“愛牙協(xié)會”為了解“愛吃甜食”與青少年“蛀牙”情況之間的關(guān)系，隨機(jī)對200名青少年展開了調(diào)查，得知這200個人中共有120個人“有蛀牙”，其中“不愛吃甜食”且“有蛀牙”的有30人，“不愛吃甜食”且“無蛀牙”的有50人.有列聯(lián)表：

有蛀牙
無蛀牙
總計
愛吃甜食



不愛吃甜食



總計



(1)根據(jù)已知條件完成如圖所給的列聯(lián)表，并判斷是否有99.5%的把握認(rèn)為“愛吃甜食”與青少年“蛀牙”有關(guān)；
(2)若從“無蛀牙”的青少年中用分層抽樣的方法隨機(jī)抽取8人作進(jìn)一步調(diào)查，再從這抽取的8人中隨機(jī)抽取2人去擔(dān)任“愛牙宣傳志愿者”，求抽取的2人都是“不愛吃甜食”且“無蛀牙”的青少年的概率.
附：，.

0.05
0.01
0.005

3.841
6.635
7.879










2．某中學(xué)在高一學(xué)生選科時，要求每位學(xué)生先從物理和和歷史這兩個科目中選定一個科目，再從思想政治、地理、化學(xué)、生物這四個科目中任選兩個科目．選科工作完成后，為了解該校高一學(xué)生的選科情況，隨機(jī)抽取了部分學(xué)生作為樣本，對他們的選科情況統(tǒng)計后得到下表：

思想政治
地理
化學(xué)
生物
物理類
100
120
200
180
歷史類
120
140
60
80
(1)利用上述樣本數(shù)據(jù)填寫以下列聯(lián)表，并依據(jù)小概率值的獨立性檢驗，分析以上兩類學(xué)生對生物學(xué)科的選法是否存在差異．
科類
生物學(xué)科選法

選
不選
合計
物理類



歷史類



合計



(2)假設(shè)該校高一所有學(xué)生中有的學(xué)生選擇了物理類，其余的學(xué)生都選擇了歷史類，且在物理類的學(xué)生中其余兩科選擇的是地理和化學(xué)的概率為，而在歷史類的學(xué)生中其余兩科選擇的是地理和化學(xué)的概率為．若從該校高一所有學(xué)生中隨機(jī)抽取100名學(xué)生，用表示這100名學(xué)生中同時選擇了地理和化學(xué)的人數(shù)，求隨機(jī)變量的均值．
附：

0.1
0.05
0.001
0.005
0.001

2.706
3.841
6.635
7.879
10.828



3．新冠疫情過后，國內(nèi)相繼爆發(fā)了甲型H1N1流感病毒（甲流）和諾如病毒感染潮，為了了解感染病毒類型與年齡的關(guān)系，某市疾控中心隨機(jī)抽取了部分感染者進(jìn)行調(diào)查．據(jù)統(tǒng)計，甲流患者數(shù)是諾如病毒感染者人數(shù)的2倍，在諾如病毒感染者中60歲以上患者占，在甲流患者中60歲以上的人數(shù)是其他人數(shù)的一半．
(1)若根據(jù)卡方檢驗，有超過99．5%的把握認(rèn)為“感染病毒的類型與年齡有關(guān)”，則抽取的諾如病毒感染者至少有多少人？
(2)研究發(fā)現(xiàn)，針對以上兩種病毒比較有效的藥物是奧司他韋和抗病毒口服液，并且發(fā)現(xiàn)奧司他韋治療以上兩種病毒有效的概率是抗病毒口服液的2倍．現(xiàn)對兩種藥物進(jìn)行臨床試驗，對抗病毒口服液共進(jìn)行兩輪試驗，每輪試驗中若連續(xù)2次有效或試驗3次時，本輪試驗結(jié)束；對奧司他韋先進(jìn)行3次試驗，若至少2次有效，則試驗結(jié)束，否則再進(jìn)行3次試驗后方可結(jié)束，假定兩種藥物每次試驗是否有效均互相獨立，且兩種藥物的每次試驗費用相同．請結(jié)合以上針對兩種藥物的臨床試驗方案，估計哪種藥物的試驗費用較低？
附：（其中n=a+b+c+d）

0.10
0.05
0.010
0.005
0.001

2.706
3.841
6.635
7.879
10.828














題型二：線性回歸方程，相關(guān)系數(shù)有關(guān)解答題
【例1】據(jù)統(tǒng)計，某校高三打印室月份購買的打印紙的箱數(shù)如表：
月份代號t
1
2
3
4
打印紙的數(shù)量y（箱）
60
65
70
85
(1)求相關(guān)系數(shù)r，并從r的角度分析能否用線性回歸模型擬合y與t的關(guān)系（若，則線性相關(guān)程度很強，可用線性回歸模型擬合）；
(2)建立y關(guān)于t的回歸方程，并用其預(yù)測5月份該校高三打印室需購買的打印紙約為多少箱.
參考公式：對于一組具有線性相關(guān)關(guān)系的數(shù)據(jù)，其回歸直線的斜率和截距的最小二乘估計分別為，
相關(guān)系數(shù)
參考數(shù)據(jù)：













【例2】基礎(chǔ)學(xué)科招生改革試點，也稱強基計劃，強基計劃是教育部開展的招生改革工作，主要是為了選拔培養(yǎng)有志于服務(wù)國家重大戰(zhàn)略需求且綜合素質(zhì)優(yōu)秀或基礎(chǔ)學(xué)科拔尖的學(xué)生.聚焦高端芯片與軟件?智能科技?新材料?先進(jìn)制造和國家安全等關(guān)鍵領(lǐng)域以及國家人才緊缺的人文社會科學(xué)領(lǐng)域.某校在一次強基計劃模擬考試后，從全體考生中隨機(jī)抽取52名，獲取他們本次考試的數(shù)學(xué)成績（x）和物理成績（y），繪制成如圖散點圖：

根據(jù)散點圖可以看出y與x之間有線性相關(guān)關(guān)系，但圖中有兩個異常點A，B.經(jīng)調(diào)查得知，A考生由于重感冒導(dǎo)致物理考試發(fā)揮失常，B考生因故未能參加物理考試.為了使分析結(jié)果更科學(xué)準(zhǔn)確，剔除這兩組數(shù)據(jù)后，對剩下的數(shù)據(jù)作處理，得到一些統(tǒng)計的值：，，，，，其中分別表示這50名考生的數(shù)學(xué)成績?物理成績，，2，…，50，y與x的相關(guān)系數(shù).
(1)若不剔除A，B兩名考生的數(shù)據(jù)，用52組數(shù)據(jù)作回歸分析，設(shè)此時y與x的相關(guān)系數(shù)為.試判斷與r的大小關(guān)系（不必說明理由）；
(2)求y關(guān)于x的線性回歸方程（系數(shù)精確到0.01），并估計如果B考生加了這次物理考試（已知B考生的數(shù)學(xué)成績?yōu)?25分），物理成績是多少？（精確到0.1）
附：線性回歸方程中：.







【例3】秋天的第一杯奶茶是一個網(wǎng)絡(luò)詞匯，最早出自四川達(dá)州一位當(dāng)?shù)孛窬冢窬谩扒锾斓牡谝槐滩琛表樌认乱幻?，由此而火爆全網(wǎng).后來很多人開始在秋天里買一杯奶茶送給自己在意的人.某奶茶店主記錄了入秋后前7天每天售出的奶茶數(shù)量（單位：杯）
如下：
日期
第一天
第二天
第三天
第四天
第五天
第六天
第七天
日期代碼
1
2
3
4
5
6
7
杯數(shù)
4
15
22
26
29
31
32
(1)請根據(jù)以上數(shù)據(jù)，繪制散點圖，并根據(jù)散點圖判斷，與哪一個更適宜作為y關(guān)于x的回歸方程模型（給出判斷即可，不必說明理由）；

(2)建立y關(guān)于x的回歸方程（結(jié)果保留1位小數(shù)），并根據(jù)建立的回歸方程，試預(yù)測要到哪一天售出的奶茶才能超過35杯？
(3)若每天售出至少25杯即可盈利，則從第一天至第七天中任選三天，記隨機(jī)變量X表示盈利的天數(shù)，求隨機(jī)變量X的分布列.
參考公式和數(shù)據(jù)：其中
回歸直線方程中，






22.7
1.2
759
235.1
13.2
8.2


【例4】某沙漠地區(qū)經(jīng)過治理，生態(tài)系統(tǒng)得到很大改善，野生動物數(shù)量有所增加．某研究小組為調(diào)查該地區(qū)某種野生動物的數(shù)量，將其分成面積相近的200個地塊，從這些地塊中用簡單隨機(jī)抽樣的方法抽取20個作為樣區(qū)，調(diào)查得到樣本數(shù)據(jù)，其中和分別表示第i個樣區(qū)的植物覆蓋面積（單位：公頃）和這種野生動物的數(shù)量，計算得，，，．作散點圖發(fā)現(xiàn)，除了明顯偏離比較大的兩個樣本點，外，其它樣本點大致分布在一條直線附近，為了減少誤差，該研究小組剔除了這兩個樣本點，重新抽樣補充了兩個偏離比較小的樣本點，．
(1)求該地區(qū)這種野生動物數(shù)量的估計值（這種野生動物數(shù)量的估計值等于樣區(qū)這種野生動物數(shù)量的平均數(shù)乘以地塊數(shù)）；
(2)建立地塊的植物覆蓋面積x（單位：公頃）和這種野生動物的數(shù)量y的線性回歸方程；
(3)經(jīng)過進(jìn)一步治理，如果每個地塊的植物覆蓋面積增加1公頃，預(yù)測該地區(qū)這種野生動物增加的數(shù)量．
參考公式：線性回歸方程，其中，．

















【例5】移動物聯(lián)網(wǎng)廣泛應(yīng)用于生產(chǎn)制造、公共服務(wù)、個人消費等領(lǐng)域．截至2022年底，我國移動物聯(lián)網(wǎng)連接數(shù)達(dá)18.45億戶，成為全球主要經(jīng)濟(jì)體中首個實現(xiàn)“物超人”的國家．右圖是2018-2022年移動物聯(lián)網(wǎng)連接數(shù)W與年份代碼t的散點圖，其中年份2018-2022對應(yīng)的t分別為1~5．

(1)根據(jù)散點圖推斷兩個變量是否線性相關(guān)．計算樣本相關(guān)系數(shù)（精確到0.01），并推斷它們的相關(guān)程度；
(2)(i)假設(shè)變量x與變量Y的n對觀測數(shù)據(jù)為(x1，y1)，(x2，y2)，…，(xn，yn)，兩個變量滿足一元線性回歸模型??（隨機(jī)誤差）．請推導(dǎo)：當(dāng)隨機(jī)誤差平方和Q＝取得最小值時，參數(shù)b的最小二乘估計．
(ii)令變量，則變量x與變量Y滿足一元線性回歸模型利用(i)中結(jié)論求y關(guān)于x的經(jīng)驗回歸方程，并預(yù)測2024年移動物聯(lián)網(wǎng)連接數(shù)．
附：樣本相關(guān)系數(shù)，，，，










【題型專練】
1．溫度作為環(huán)境因子，在種子的發(fā)芽過程中起著重要的作用．某研究性學(xué)習(xí)小組對某植物種子的發(fā)芽率y與環(huán)境平均溫度x（℃）之間的關(guān)系進(jìn)行研究，他們經(jīng)過5次獨立實驗，得到如下統(tǒng)計數(shù)據(jù)：
第n次
1
2
3
4
5
環(huán)境平均溫度x/℃
18
19
20
21
22
種子發(fā)芽率y
62%
69%
71%
72%
76%
(1)根據(jù)散點圖可以發(fā)現(xiàn)，變量y與x之間呈線性相關(guān)關(guān)系．如果在第6次實驗時將環(huán)境平均溫度控制在，試根據(jù)回歸方程估計這次實驗該植物種子的發(fā)芽率；
(2)若從這5次實驗中任意抽取3次，設(shè)種子發(fā)芽率超過70%的次數(shù)為X，求X的分布列與數(shù)學(xué)期望．
參考公式：線性回歸方程中，，．

2．受社會對高素質(zhì)人才不斷擴(kuò)大的需求和就業(yè)形勢等多方面因素的影響，我國本科畢業(yè)生中考研人數(shù)在不斷攀升，2021年考研人數(shù)是377萬人，2022年考研人數(shù)為457萬人，比上年增加80萬人，有關(guān)機(jī)構(gòu)估計2023年研究生報名人數(shù)將突破500萬人．某省統(tǒng)計了該省五所大學(xué)2022年的本（專）科大學(xué)畢業(yè)生人數(shù)及考研人數(shù)（單位：千人），得到如下表格：

A大學(xué)
B大學(xué)
C大學(xué)
D大學(xué)
E大學(xué)
2022年畢業(yè)人數(shù)x（千人）
7.8
6.2
4.6
3.4
3
2022年考研人數(shù)y（千人）
0.5
0.4
0.3
0.2
0.2
(1)已知與具有較強的線性相關(guān)關(guān)系，求關(guān)于的線性回歸方程；
(2)假設(shè)該省對選擇考研的大學(xué)生每人發(fā)放0.6萬元的補貼．若A大學(xué)的2022年的畢業(yè)生中小常、小郭選擇考研的概率分別為p、，該省對小常、小郭兩人的考研補貼總金額的期望不超過0.96萬元，求p的取值范圍．
參考公式：，．
3．大壩是一座具有灌溉、防洪、發(fā)電、航運、養(yǎng)殖和游覽等綜合效益的大型水利樞紐工程．為預(yù)測滲壓值和控制庫水位，工程師在水庫選取一支編號為的滲壓計，隨機(jī)收集個該滲壓計管內(nèi)水位和水庫水位監(jiān)測數(shù)據(jù)：
樣本號










總和
水庫水位











滲壓計管內(nèi)水位











并計算得，，．
(1)估計該水庫中號滲壓計管內(nèi)平均水位與水庫的平均水位；
(2)求該水庫號滲壓計管內(nèi)水位與水庫水位的樣本相關(guān)系數(shù)（精確到）；
(3)某天雨后工程師測量了水庫水位，并得到水庫的水位為．利用以上數(shù)據(jù)給出此時號滲壓計管內(nèi)水位的估計值．
附：相關(guān)系數(shù)，，，．











4．某劇場的座位數(shù)量是固定的，管理人員統(tǒng)計了最近在該劇場舉辦的五場表演的票價（單位：元）和上座率（上座人數(shù)與總座位數(shù)的比值）的數(shù)據(jù)，其中，并根據(jù)統(tǒng)計數(shù)據(jù)得到如下的散點圖：

(1)由散點圖判斷與哪個模型能更好地對與的關(guān)系進(jìn)行擬合（給出判斷即可，不必說明理由），并根據(jù)你的判斷結(jié)果求回歸方程；
(2)根據(jù)（1）所求的回歸方程，預(yù)測票價為多少時，劇場的門票收入最多．
參考數(shù)據(jù)：，，；設(shè)，則，，；，，．
參考公式：對于一組數(shù)據(jù)，其回歸直線的斜率和截距的最小二乘估計分別為：，．













5．為了研究某種細(xì)菌隨天數(shù)x變化的繁殖個數(shù)y，收集數(shù)據(jù)如下：
天數(shù)x
1
2
3
4
5
6
繁殖個數(shù)y
6
12
25
49
95
190

(1)在圖中作出繁殖個數(shù)y關(guān)于天數(shù)x變化的散點圖，并由散點圖判斷（a，b為常數(shù)）與（，為常數(shù)，且，）哪一個適宜作為繁殖個數(shù)y關(guān)于天數(shù)x變化的回歸方程類型？（給出判斷即可，不必說明理由）
(2)對于非線性回歸方程（，為常數(shù)，且，），令，可以得到繁殖個數(shù)的對數(shù)z關(guān)于天數(shù)x具有線性關(guān)系及一些統(tǒng)計量的值．






3.50
62.83
3.53
17.50
596.57
12.09
①證明：“對于非線性回歸方程，令，可以得到繁殖個數(shù)的對數(shù)z關(guān)于天數(shù)x具有線性關(guān)系（即，β，α為常數(shù)）”；
②根據(jù)（1）的判斷結(jié)果及表中數(shù)據(jù)，建立y關(guān)于x的回歸方程（系數(shù)保留2位小數(shù)）．
附：對于一組數(shù)據(jù)，，…，，其回歸直線方程的斜率和截距的最小二乘估計分別為，．





題型三：條件概率的計算及應(yīng)用
【例1】已知有一道有四個選項的單項選擇題和一道有四個選項的多項選擇題，小明知道每道多項選擇題均有兩個或三個正確選項.但根據(jù)得分規(guī)則：全部選對的得5分，部分選對的得2分，有選錯的得0分.這樣，小明在做多項選擇題時，可能選擇一個選項，也可能選擇兩個或三個選項，但不會選擇四個選項.
(1)如果小明不知道單項選擇題的正確答案，就作隨機(jī)猜測.已知小明知道單項選擇題的正確答案和隨機(jī)猜測的概率分別是、，在他做完單項選擇題后，從卷面上看，在題答對的情況下，求他知道單項選擇題正確答案的概率.
(2)假設(shè)小明在做該道多項選擇題時，基于已有的解題經(jīng)驗，他選擇一個選項的概率為，選擇兩個選項的概率為，選擇三個選項的概率為.已知該道多項選擇題只有兩個正確選項，小明完全不知道四個選項的正誤，只好根據(jù)自己的經(jīng)驗隨機(jī)選擇.記表示小明做完該道多項選擇題后所得的分?jǐn)?shù).求：
（i）；
（ii）的分布列及數(shù)學(xué)期望.
【例2】年月日全國各地放開對新冠疫情的管控，在強大的祖國庇護(hù)下平穩(wěn)抗疫三年的中國人民迎來了與新冠變異毒株奧密克戎的首次正面交鋒．某市為了更好的了解全體中小學(xué)生感染新冠感冒后的情況，以便及時補充醫(yī)療資源．從全市中小學(xué)生中隨機(jī)抽取了名抗原檢測為陽性的中小學(xué)生監(jiān)測其健康狀況，名中小學(xué)生感染奧密克戎后的疼痛指數(shù)為，并以此為樣本得到了如下圖所示的表格：
疼痛指數(shù)



人數(shù)（人）



名稱
無癥狀感染者
輕癥感染者
重癥感染者
其中輕癥感染者和重癥感染者統(tǒng)稱為有癥狀感染者．
(1)統(tǒng)計學(xué)中常用表示在事件發(fā)生的條件下事件發(fā)生的似然比．現(xiàn)從樣本中隨機(jī)抽取名學(xué)生，記事件：該名學(xué)生為有癥狀感染者，事件：該名學(xué)生為重癥感染者，求似然比的值；
(2)若該市所有抗原檢測為陽性的中小學(xué)生的疼痛指數(shù)近似的服從正態(tài)分布，且．若從該市眾多抗原檢測為陽性的中小學(xué)生中隨機(jī)抽取名，設(shè)這名學(xué)生中輕癥感染者人數(shù)為，求的分布列及數(shù)學(xué)期望．
【例3】人工智能是研究用于模擬和延伸人類智能的技術(shù)科學(xué)，被認(rèn)為是21世紀(jì)最重要的尖端科技之一，其理論和技術(shù)正在日益成熟，應(yīng)用領(lǐng)域也在不斷擴(kuò)大.人工智能背后的一個基本原理：首先確定先驗概率，然后通過計算得到后驗概率，使先驗概率得到修正和校對，再根據(jù)后驗概率做出推理和決策.基于這一基本原理，我們可以設(shè)計如下試驗?zāi)Ｐ停挥型耆嗤募住⒁覂蓚€袋子，袋子有形狀和大小完全相同的小球，其中甲袋中有9個紅球和1個白球乙袋中有2個紅球和8個白球.從這兩個袋子中選擇一個袋子，再從該袋子中等可能摸出一個球，稱為一次試驗.若多次試驗直到摸出紅球，則試驗結(jié)束.假設(shè)首次試驗選到甲袋或乙袋的概率均為（先驗概率）.
(1)求首次試驗結(jié)束的概率；
(2)在首次試驗摸出白球的條件下，我們對選到甲袋或乙袋的概率（先驗概率）進(jìn)行調(diào)整.
①求選到的袋子為甲袋的概率，
②將首次試驗摸出的白球放回原來袋子，繼續(xù)進(jìn)行第二次試驗時有如下兩種方案；方案一，從原來袋子中摸球；方案二，從另外一個袋子中摸球.請通過計算，說明選擇哪個方案第二次試驗結(jié)束的概率更大.





【例4】某市正在創(chuàng)建全國文明城市，學(xué)校號召師生利用周末從事創(chuàng)城志愿活動．高三（1）班一組有男生4人，女生2人，現(xiàn)隨機(jī)選取2人作為志愿者參加活動，志愿活動共有交通協(xié)管員、創(chuàng)建宜傳員、文明監(jiān)督員三項可供選擇．每名女生至多從中選擇參加2項活動，且選擇參加1項或2項的可能性均為；每名男生至少從中選擇參加2項活動，且選擇參加2項或3項的可能性也均為．每人每參加1項活動可獲得綜合評價10分，選擇參加幾項活動彼此互不彩響，求
(1)在有女生參加活動的條件下，恰有一名女生的概率；
(2)記隨機(jī)選取的兩人得分之和為X，求X的期望．




【例5】一醫(yī)療團(tuán)隊為研究某地的一種地方性疾病與當(dāng)?shù)鼐用竦男l(wèi)生習(xí)慣（衛(wèi)生習(xí)慣分為良好和不夠良好兩類）的關(guān)系，在已患該疾病的病例中隨機(jī)調(diào)查了100例（稱為病例組），同時在未患該疾病的人群中隨機(jī)調(diào)查了100人（稱為對照組），得到如下數(shù)據(jù)：

不夠良好
良好
病例組
40
60
對照組
10
90
(1)能否有99%的把握認(rèn)為患該疾病群體與未患該疾病群體的衛(wèi)生習(xí)慣有差異？
(2)從該地的人群中任選一人，A表示事件“選到的人衛(wèi)生習(xí)慣不夠良好”，B表示事件“選到的人患有該疾病”．與的比值是衛(wèi)生習(xí)慣不夠良好對患該疾病風(fēng)險程度的一項度量指標(biāo)，記該指標(biāo)為R．
（ⅰ）證明：；
（ⅱ）利用該調(diào)查數(shù)據(jù)，給出的估計值，并利用（ⅰ）的結(jié)果給出R的估計值．
附，

0.050
0.010
0.001
k
3.841
6.635
10.828


【題型專練】
1．為弘揚體育精神，營造校園體育氛圍，某校組織“青春杯”3V3籃球比賽，甲、乙兩隊進(jìn)入決賽．規(guī)定：先累計勝兩場者為冠軍，一場比賽中犯規(guī)4次以上的球員在該場比賽結(jié)束后，將不能參加后面場次的比賽．在規(guī)則允許的情況下，甲隊中球員都會參賽，他上場與不上場甲隊一場比賽獲勝的概率分別為和，且每場比賽中犯規(guī)4次以上的概率為．
(1)求甲隊第二場比賽獲勝的概率；
(2)用表示比賽結(jié)束時比賽場數(shù)，求的期望；
(3)已知球員在第一場比賽中犯規(guī)4次以上，求甲隊比賽獲勝的概率．
2.有研究顯示，人體內(nèi)某部位的直徑約的結(jié)節(jié)約有0.2%的可能性會在1年內(nèi)發(fā)展為惡性腫瘤．某醫(yī)院引進(jìn)一臺檢測設(shè)備，可以通過無創(chuàng)的血液檢測，估計患者體內(nèi)直徑約的結(jié)節(jié)是否會在1年內(nèi)發(fā)展為惡性腫瘤，若檢測結(jié)果為陽性，則提示該結(jié)節(jié)會在1年內(nèi)發(fā)展為惡性腫瘤，若檢測結(jié)果為陰性，則提示該結(jié)節(jié)不會在1年內(nèi)發(fā)展為惡性腫瘤．這種檢測的準(zhǔn)確率為85%，即一個會在1年內(nèi)發(fā)展為惡性腫瘤的患者有85%的可能性被檢出陽性，一個不會在1年內(nèi)發(fā)展為惡性腫瘤的患者有85%的可能性被檢出陰性．患者甲被檢查出體內(nèi)長了一個直徑約的結(jié)節(jié)，他做了該項無創(chuàng)血液檢測．
(1)求患者甲檢查結(jié)果為陰性的概率；
(2)若患者甲的檢查結(jié)果為陰性，求他的這個結(jié)節(jié)在1年內(nèi)發(fā)展為惡性腫瘤的概率（結(jié)果保留5位小數(shù)）；
(3)醫(yī)院為每位參加該項檢查的患者繳納200元保險費，對于檢測結(jié)果為陰性，但在1年內(nèi)發(fā)展為惡性腫瘤的患者，保險公司賠付該患者20萬元，若每年繳納保險費的患者有1000人，請估計保險公司每年在這個項目上的收益．




3．某學(xué)校為了增進(jìn)全體教職工對黨史知識的了解，組織開展黨史知識競賽活動并以支部為單位參加比賽．現(xiàn)有兩組黨史題目放在甲?乙兩個紙箱中，甲箱有個選擇題和個填空題，乙箱中有個選擇題和個填空題，比賽中要求每個支部在甲或乙兩個紙箱中隨機(jī)抽取兩題作答．每個支部先抽取一題作答，答完后題目不放回紙箱中，再抽取第二題作答，兩題答題結(jié)束后，再將這兩個題目放回原紙箱中．
(1)如果第一支部從乙箱中抽取了個題目，求第題抽到的是填空題的概率；
(2)若第二支部從甲箱中抽取了個題目，答題結(jié)束后錯將題目放入了乙箱中，接著第三支部答題，第三支部抽取第一題時，從乙箱中抽取了題目．求第三支部從乙箱中取出的這個題目是選擇題的概率．








題型四：離散型隨機(jī)變量分布列，期望及方差
【例1】某市教育行政部門為開展普及法律常識的宣傳教育活動，增強學(xué)生的法律意識，提高自身保護(hù)能力，在全市中小學(xué)生范圍內(nèi)，組織了一次法律常識知識競賽（滿分100分），現(xiàn)從所有參賽學(xué)生的競賽成績中隨機(jī)抽取200份，經(jīng)統(tǒng)計，這200份成績?nèi)拷橛谥g，將數(shù)據(jù)按照，，……，分成七組，得到如下頻數(shù)分布表：
競賽成績（單位：分）







人數(shù)（單位：人）
6
14
30
74
42
23
11
(1)試估計該市競賽成績的平均分（同一組中的數(shù)據(jù)用該組區(qū)間的中點值作代表）和第80百分位數(shù)（保留一位小數(shù)）；
(2)以樣本頻率值作為概率的估計值，若從該市所有參與競賽的學(xué)生中，隨機(jī)抽取3名學(xué)生進(jìn)行座談，設(shè)抽到60分及以上的學(xué)生人數(shù)為，求的分布列和數(shù)學(xué)期望．






【例2】在節(jié)日里為了促銷各大商場八仙過海各顯神通，推出了花樣繁多的促銷活動，某大超市為了拉升節(jié)日的喜慶氣氛和提升銷售業(yè)績，舉行了購物抽獎促銷活動，購物滿500元可獲得一次抽獎機(jī)會，抽獎方法如下：在盒子里放著除顏色外其他均相同的5個小球（紅球和黑球各1個，白球3個），不放回地摸球，每次摸1球，摸到黑球就停止摸獎，摸到紅球獎勵40元，摸到白球獎勵10元，摸到黑球不獎勵．
(1)求1名顧客摸球3次停止摸獎的概率；
(2)記X為1名顧客摸獎獲得的獎金數(shù)額，求隨機(jī)變量X的分布列及數(shù)學(xué)期望．





【例3】為普及航天知識，某航天科技體驗館開展了一項“摸球過關(guān)”領(lǐng)取航天紀(jì)念品的游戲，規(guī)則如下：不透明的口袋中有3個紅球，2個白球，這些球除顏色外完全相同．參與者每一輪從口袋中一次性取出3個球，將其中的紅球個數(shù)記為該輪得分，記錄完得分后，將摸出的球全部放回袋中．當(dāng)參與完成第輪游戲，且其前輪的累計得分恰好為時，游戲過關(guān)，可領(lǐng)取紀(jì)念品，同時游戲結(jié)束，否則繼續(xù)參與游戲．若第3輪后仍未過關(guān)，則游戲也結(jié)束．每位參與者只能參加一次游戲．
(1)求隨機(jī)變量的分布列及數(shù)學(xué)期望；
(2)若甲參加該項游戲，求甲能夠領(lǐng)到紀(jì)念品的概率．


【例4】在某次現(xiàn)場招聘會上，某公司計劃從甲和乙兩位應(yīng)聘人員中錄用一位，規(guī)定從6個問題中隨機(jī)抽取3個問題作答.假設(shè)甲能答對的題目有4道，乙每道題目能答對的概率為，
(1)求甲在第一次答錯的情況下，第二次和第三次均答對的概率；
(2)請從期望和方差的角度分析，甲?乙誰被錄用的可能性更大？


【例5】針對我國老齡化問題日益突出，人社部將推出延遲退休方案.某機(jī)構(gòu)進(jìn)行了網(wǎng)上調(diào)查，所有參與調(diào)查的人中，持“支持”“保留”和“不支持”態(tài)度的人數(shù)如下表所示.

支持
保留
不支持
50歲以下
8000
4000
2000
50歲以上（含50歲）
1000
2000
3000
(1)在所有參與調(diào)查的人中，用分層抽樣的方法抽取n個人，已知從持“不支持”態(tài)度的人中抽取了30人，求n的值；
(2)在持“不支持”態(tài)度的人中，用分層抽樣的方法抽取10人看成一個總體，從這10人中任意選取3人，求50歲以下人數(shù)的分布列和期望.



【題型專練】
1．兔年春節(jié)期間，煙花“加特林”因燃放效果酷炫在網(wǎng)上走紅，隨之而來的身價暴漲也引發(fā)關(guān)注，甚至還有買不到的網(wǎng)友用多支普通的手持燃放煙花自制“加特林”.據(jù)悉，有，，三家工廠可以各自獨立生產(chǎn)煙花“加特林”，已知工廠生產(chǎn)的煙花“加特林”是正品同時工廠生產(chǎn)的煙花“加特林”也是正品的概率為，工廠生產(chǎn)的煙花“加特林”是正品同時工廠生產(chǎn)的煙花“加特林”不是正品的概率為，工廠生產(chǎn)的煙花“加特林”是正品同時工廠生產(chǎn)的煙花“加特林”不是正品的概率為.
(1)分別求，，三家工廠各自獨立生產(chǎn)出來的煙花“加特林”是正品的概率；
(2)，，三家工廠各自獨立生產(chǎn)一件煙花“加特林”，記隨機(jī)變量表示“三家工廠生產(chǎn)出來的正品的件數(shù)”，求的數(shù)學(xué)期望，它反映了什么實際意義？



2．某校舉行知識競賽，最后一個名額要在A?B兩名同學(xué)中產(chǎn)生，測試方案如下：A?B兩名學(xué)生各自從給定的4個問題中隨機(jī)抽取3個問題作答，在這4個問題中，已知A能正確作答其中的3個，B能正確作答每個問題的概率是，A?B兩名同學(xué)作答問題相互獨立.
(1)求A?B恰好答對2個問題的概率；
(2)設(shè)A答對的題數(shù)為X，B答對的題數(shù)為Y，若讓你投票決定參賽選手，你會選擇哪名學(xué)生，說明理由？



3．某商場在2023年元旦舉辦了一場有獎銷售活動，并且設(shè)置了一等獎、二等獎和三等獎，其中三等獎有4種獎品供選擇，每種獎品都有若干個，凡是在該商場消費的人均可參與抽獎，消費者抽中三等獎后可從4種獎品中隨機(jī)選擇一種，每種獎品被選中的可能性相同，且每位消費者抽中三等獎的概率均為．
(1)求甲、乙2位消費者均抽中三等獎且2人最終選擇的獎品不一樣的概率；
(2)若有4位消費者均抽中三等獎，記三等獎的4種獎品中無人挑選的獎品種數(shù)為，求隨機(jī)變量的分布列和數(shù)學(xué)期望．

4．因冰雪災(zāi)害，某柑桔基地果林嚴(yán)重受損，為此有關(guān)專家提出兩種拯救果樹的方案，每種方案都需分兩年實施．若實施方案一，預(yù)計第一年可以使柑桔產(chǎn)量恢復(fù)到災(zāi)前的1.0倍、0.9倍、0.8倍的概率分別是0.3、0.3、0.4；第二年可以使柑桔產(chǎn)量為第一年產(chǎn)量的1.25倍、1.0倍的概率分別是0.5、0.5．若實施方案二，預(yù)計第一年可以使柑桔產(chǎn)量達(dá)到災(zāi)前的1.2倍、1.0倍、0.8倍的概率分別是0.2、0.3、0.5；第二年可以使柑桔產(chǎn)量為第一年產(chǎn)量的1.2倍、1.0倍的概率分別是0.4、0.6．實施每種方案第一年與第二年相互獨立，令表示方案i實施兩年后柑桔產(chǎn)量達(dá)到災(zāi)前產(chǎn)量的倍數(shù)．
(1)寫出的分布列；
(2)實施哪種方案，兩年后柑桔產(chǎn)量超過災(zāi)前產(chǎn)量的概率更大？
(3)不管哪種方案，如果實施兩年后柑桔產(chǎn)量達(dá)不到、恰好達(dá)到、超過災(zāi)前產(chǎn)量，預(yù)計利潤分別為10萬元、15萬元、20萬元．問實施哪種方案的平均利潤更大？



題型五：二項分布解答題有關(guān)問題
【例1】為了“錘煉黨性修養(yǎng)，筑牢黨性根基”，黨員教師小A每天自覺登錄“學(xué)習(xí)強國APP”，參加各種學(xué)習(xí)活動，同時熱衷于參與四人賽.每局四人賽是由網(wǎng)絡(luò)隨機(jī)匹配四人進(jìn)行比賽，每題回答正確得20分，第1個達(dá)到100分的比賽者獲得第1名，贏得該局比賽，該局比賽結(jié)束.每天的四人賽共有30局，前2局是有效局，根據(jù)得分情況獲得相應(yīng)名次，從而得到相應(yīng)的學(xué)習(xí)積分，第1局獲得第1名的得3分，獲得第2、3名的得2分，獲得第4名的得1分；第2局獲得第1名的得2分，獲得第2、3、4名的得1分；后28局是無效局，無論獲得什么名次，均不能獲得學(xué)習(xí)積分.經(jīng)統(tǒng)計，小A每天在第1局四人賽中獲得3分、2分、1分的概率分別為，，，在第2局四人賽中獲得2分、1分的概率分別為，.
(1)設(shè)小A每天獲得的得分為，求的分布列、數(shù)學(xué)期望和方差；
(2)若小A每天賽完30局，設(shè)小A在每局四人賽中獲得第1名從而贏得該局比賽的概率為，每局是否贏得比賽相互獨立，請問在每天的30局四人賽中，小A贏得多少局的比賽概率最大？




【例2】賭徒分金問題是概率論發(fā)展史上最著名的問題之一，1651年法國著名統(tǒng)計學(xué)家德·梅赫將它提請著名數(shù)學(xué)家帕斯卡解決，后來大數(shù)學(xué)家費馬和惠更斯也參與了討論并給出一般性推廣．以下是賭徒分金問題的例子：
(1)甲乙兩個選手實力相當(dāng)（即每人每局勝的概率都是），約定誰先贏4局，就獲勝，并贏得獎金10000元，但在甲勝3局，乙勝2局時，比賽被迫中止，請計算甲最后獲勝的概率和分到獎金的數(shù)學(xué)期望．
(2)甲選手每局獲勝的概率為，乙選手每局獲勝的概率為，現(xiàn)在甲勝3局，乙勝2局，給出方案一：誰率先贏4局誰贏得獎金；方案二：誰率先贏5局誰贏得獎金，如果你是甲選手，你怎樣選擇比賽方案，并解釋其理由．


【題型專練】
1．某會議室用盞燈照明，每盞燈各使用燈泡一只，且型號相同．假定每盞燈能否正常照明只與燈泡的壽命有關(guān)，該型號的燈泡壽命為年以上的概率為，壽命為年以上的概率為．從使用之日起每滿年進(jìn)行一次燈泡更換工作，只更換已壞的燈泡，平時不換．
(1)在第一次燈泡更換工作中，求不需要換燈泡的概率和更換只燈泡的概率；
(2)在第二次燈泡更換工作中，對其中的某一盞燈來說，求該盞燈需要更換燈泡的概率；
(3)當(dāng)，時，求在第二次燈泡更換工作，至少需要更換只燈泡的概率．（結(jié)果保留兩個有效數(shù)字）

2．某工廠的某種產(chǎn)品成箱包裝，每箱件，每一箱產(chǎn)品在交付用戶之前要對產(chǎn)品作檢驗，如檢驗出不合格品，則更換為合格品．檢驗時，先從這箱產(chǎn)品中任取件作檢驗，再根據(jù)檢驗結(jié)果決定是否對余下的所有產(chǎn)品作檢驗，設(shè)每件產(chǎn)品為不合格品的概率都為，且各件產(chǎn)品是否為不合格品相互獨立．
（1）記件產(chǎn)品中恰有件不合格品的概率為,求的最大值點；
（2）現(xiàn)對一箱產(chǎn)品檢驗了件，結(jié)果恰有件不合格品，以（1）中確定的作為的值．已知每件產(chǎn)品的檢驗費用為元，若有不合格品進(jìn)入用戶手中，則工廠要對每件不合格品支付元的賠償費用．
（i）若不對該箱余下的產(chǎn)品作檢驗，這一箱產(chǎn)品的檢驗費用與賠償費用的和記為，求;
（ii）以檢驗費用與賠償費用和的期望值為決策依據(jù)，是否該對這箱余下的所有產(chǎn)品作檢驗？

題型六：統(tǒng)計概率中的中位數(shù)，百分位數(shù)，均值計算問題
【例1】為了了解高一學(xué)生的體能情況，某校抽取部分學(xué)生進(jìn)行1分鐘跳繩測試，將所得數(shù)據(jù)整理后，畫出頻率分布直方圖(如圖).圖中從左到右各小矩形面積之比為2:4:17:15:9:3，第二小組頻數(shù)為12.

(1)第二小組的頻率是多少?樣本容量是多少?
(2)通過頻率分布直方圖估計總體的平均數(shù)、中位數(shù)、眾數(shù).
【例2】2022年4月16日，神舟十三號載人飛船返回艙成功著陸，航天員翟志剛、王亞平、葉光富完成在軌駐留半年的太空飛行任務(wù)，標(biāo)志著中國空間站關(guān)鍵技術(shù)驗證階段圓滿完成．并將進(jìn)入建造階段某地區(qū)為了激發(fā)人們對天文學(xué)的興趣．開展了天文知識比賽，滿分100分（95分及以上為認(rèn)知程度高），結(jié)果認(rèn)知程度高的有m人，這m人按年齡分成5組，其中第一組：，第二組：，第三組：第四組：，第五組：，得到如圖所示的頻率分布直方圖，已知第一組有10人．

(1)根據(jù)頻率分布直方圖，估計這m人的平均年齡和第80百分位數(shù)；
(2)現(xiàn)從以上各組中用分層隨機(jī)抽樣的方法抽取20人，擔(dān)任“黨章黨史”的宣傳使者．
①若有甲（年齡36），乙（年齡42）兩人已確定入選宜傳使者，現(xiàn)計劃從第四組和第五組被抽到的使者中，再隨機(jī)抽取2名作為組長，求甲、乙兩人至少有一人被選上的概率；
②若第四組宣傳使者的年齡的平均數(shù)與方差分別為36和，第五組宣傳使者的年齡的平均數(shù)與方差分別為42和1，據(jù)此估計這m人中35~45歲所有人的年齡的平均數(shù)和方差．
【例3】為了監(jiān)控某種零件的一條生產(chǎn)線的生產(chǎn)過程，檢驗員每天從該生產(chǎn)線上隨機(jī)抽取16個零件，并測量其尺寸（單位：cm）.根據(jù)長期生產(chǎn)經(jīng)驗，可以認(rèn)為這條生產(chǎn)線正常狀態(tài)下生產(chǎn)的零件的尺寸服從正態(tài)分布.
（1）假設(shè)生產(chǎn)狀態(tài)正常，記X表示一天內(nèi)抽取的16個零件中其尺寸在之外的零件數(shù)，求及X的數(shù)學(xué)期望；
（2）一天內(nèi)抽檢零件中，如果出現(xiàn)了尺寸在之外的零件，就認(rèn)為這條生產(chǎn)線在這一天的生產(chǎn)過程可能出現(xiàn)了異常情況，需對當(dāng)天的生產(chǎn)過程進(jìn)行檢查.
（?。┰囌f明上述監(jiān)控生產(chǎn)過程方法的合理性；
（ⅱ）下面是檢驗員在一天內(nèi)抽取的16個零件的尺寸：
9.95
10.12
9.96
9.96
10.01
9.92
9.98
10.04
10.26
9.91
10.13
10.02
9.22
10.04
10.05
9.95
經(jīng)計算得，，其中xi為抽取的第i個零件的尺寸，.
用樣本平均數(shù)作為μ的估計值，用樣本標(biāo)準(zhǔn)差s作為σ的估計值，利用估計值判斷是否需對當(dāng)天的生產(chǎn)過程進(jìn)行檢查？剔除之外的數(shù)據(jù)，用剩下的數(shù)據(jù)估計μ和σ（精確到0.01）.
附：若隨機(jī)變量Z服從正態(tài)分布，則，，.










【題型專練】
1.某中學(xué)組織學(xué)生進(jìn)行地理知識競賽，隨機(jī)抽取500名學(xué)生的成績進(jìn)行統(tǒng)計，將這500名學(xué)生成績分成5組：[50，60），[60，70），[70，80），，[90，100]，得到如圖所示的頻率分布直方圖，若成等差數(shù)列，且成績在區(qū)間內(nèi)的人數(shù)為120．

(1)求a，b，c的值；
(2)估計這500名學(xué)生成績的中位數(shù)和平均數(shù)（同一組中的數(shù)據(jù)用該組區(qū)間的中點值代替）；
(3)由成績在區(qū)間[90，100]內(nèi)的甲、乙等5名學(xué)生組成幫助小組，幫助成績在區(qū)間[50，60）內(nèi)的學(xué)生A，B，其中3人幫助A，余下的2人幫助B，求甲、乙都幫助A的概率．
2．為了監(jiān)控某種零件的一條生產(chǎn)線的生產(chǎn)過程，檢驗員每隔從該生產(chǎn)線上隨機(jī)抽取一個零件，并測量其尺寸（單位：）．下面是檢驗員在一天內(nèi)依次抽取的16個零件的尺寸：
抽取次序
1
2
3
4
5
6
7
8
零件尺寸
9．95
10．12
9．96
9．96
10．01
9．92
9．98
10．04
抽取次序
9
10
11
12
13
14
15
16
零件尺寸
10．26
9．91
10．13
10．02
9．22
10．04
10．05
9．95
經(jīng)計算得，，
，其中為抽取的第個零件的尺寸，．
（1）求的相關(guān)系數(shù)，并回答是否可以認(rèn)為這一天生產(chǎn)的零件尺寸不隨生產(chǎn)過程的進(jìn)行而系統(tǒng)地變大或變?。ㄈ簦瑒t可以認(rèn)為零件的尺寸不隨生產(chǎn)過程的進(jìn)行而系統(tǒng)地變大或變?。?br /> （2）一天內(nèi)抽檢零件中，如果出現(xiàn)了尺寸在之外的零件，就認(rèn)為這條生產(chǎn)線在這一天的生產(chǎn)過程可能出現(xiàn)了異常情況，需對當(dāng)天的生產(chǎn)過程進(jìn)行檢查．
（?。倪@一天抽檢的結(jié)果看，是否需對當(dāng)天的生產(chǎn)過程進(jìn)行檢查？
（ⅱ）在之外的數(shù)據(jù)稱為離群值，試剔除離群值，估計這條生產(chǎn)線當(dāng)天生產(chǎn)的零件尺寸的均值與標(biāo)準(zhǔn)差．（精確到）附：樣本的相關(guān)系數(shù)
，．




3．互花米草是禾本科草本植物，其根系發(fā)達(dá)，具有極高的繁殖系數(shù)，對近海生態(tài)具有較大的危害．為盡快消除互花米草危害，2022年10月24日，市政府印發(fā)了《莆田市互花米草除治攻堅實施方案》，對全市除治攻堅行動做了具體部署．某研究小組為了解甲、乙兩鎮(zhèn)的互花米草根系分布深度情況，采用按比例分層抽樣的方法抽取樣本．已知甲鎮(zhèn)的樣本容量，樣本平均數(shù)，樣本方差；乙鎮(zhèn)的樣本容量，樣本平均數(shù)，樣本方差．
(1)求由兩鎮(zhèn)樣本組成的總樣本的平均數(shù)及其方差；
(2)為營造“廣泛發(fā)動、全民參與”的濃厚氛圍，甲、乙兩鎮(zhèn)決定進(jìn)行一次“互花米草除治大練兵”比賽，兩鎮(zhèn)各派一支代表隊參加，經(jīng)抽簽確定第一場在甲鎮(zhèn)舉行．比賽規(guī)則：
每場比賽直至分出勝負(fù)為止，勝方得1分，負(fù)方得0分，下一場在負(fù)方舉行，先得2分的代表隊獲勝，比賽結(jié)束．
當(dāng)比賽在甲鎮(zhèn)舉行時，甲鎮(zhèn)代表隊獲勝的概率為，當(dāng)比賽在乙鎮(zhèn)舉行時，甲鎮(zhèn)代表隊獲勝的概率為．假設(shè)每場比賽結(jié)果相互獨立.甲鎮(zhèn)代表隊的最終得分記為X，求．
參考數(shù)據(jù)：．




題型七：正態(tài)分布在解答題中的應(yīng)用
【例1】某國家網(wǎng)球隊為了預(yù)選2024年奧運會的參賽選手，預(yù)計在國家隊選拔一批隊員做特訓(xùn)．選拔過程中，記錄了某隊員的40局接球成績，每局發(fā)100個球，該隊員每接球成功得1分，否則得0分，且每局結(jié)果相互獨立，得到如圖所示的頻率分布直方圖．

(1)結(jié)合直方圖，估算該隊員40局接球成績的平均分（同一組數(shù)據(jù)用該組區(qū)間的中點值作代表）；
(2)若該隊員的接球訓(xùn)練成績X近似服從正態(tài)分布，其中近似為樣本平均數(shù)，求的值；
(3)為了營造競技氛圍，隊員間相互比賽．一局比賽中發(fā)球方連續(xù)發(fā)100個球，若接球方得分達(dá)到80分，則接球方獲勝，否則發(fā)球方獲勝．若有人獲勝達(dá)3局，則比賽結(jié)束，記比賽的局?jǐn)?shù)為Y．以頻率分布直方圖中該隊員獲勝的頻率作為概率，求均值．
參考數(shù)據(jù)：若隨機(jī)變量，則，，．










【例2】某單位為了解職工對垃圾回收知識的重視情況，對本單位的200名職工進(jìn)行考核，然后通過隨機(jī)抽樣抽取其中的50名，統(tǒng)計其考核成績（單位；分），制成如圖所示的頻率分布直方圖.

(1)求這50名職工考核成績的平均數(shù)（同一組中的數(shù)據(jù)用該組區(qū)間的中點值為代表）及中位數(shù)（精確到0.01）；
(2)若該單位職工的考核成績服從正態(tài)分布，其中“近似為50名職工考核成績的平均數(shù)近似為樣本方差，經(jīng)計算得，利用該正態(tài)分布，估計該單位200名職工考核成績高于90.06分的有多少名？（結(jié)果四舍五入保留整數(shù).）
附參考數(shù)據(jù)與公式：，，則，，.













【題型專練】
1．某工廠一臺設(shè)備生產(chǎn)一種特定零件，工廠為了解該設(shè)備的生產(chǎn)情況，隨機(jī)抽檢了該設(shè)備在一個生產(chǎn)周期中的100件產(chǎn)品的關(guān)鍵指標(biāo)（單位：），經(jīng)統(tǒng)計得到下面的頻率分布直方圖：

(1)由頻率分布直方圖估計抽檢樣本關(guān)鍵指標(biāo)的平均數(shù)和方差．（用每組的中點代表該組的均值）
(2)已知這臺設(shè)備正常狀態(tài)下生產(chǎn)零件的關(guān)鍵指標(biāo)服從正態(tài)分布，用直方圖的平均數(shù)估計值作為的估計值，用直方圖的標(biāo)準(zhǔn)差估計值s作為估計值．
（i）為了監(jiān)控該設(shè)備的生產(chǎn)過程，每個生產(chǎn)周期中都要隨機(jī)抽測10個零件的關(guān)鍵指標(biāo)，如果關(guān)鍵指標(biāo)出現(xiàn)了之外的零件，就認(rèn)為生產(chǎn)過程可能出現(xiàn)了異常，需停止生產(chǎn)并檢查設(shè)備．下面是某個生產(chǎn)周期中抽測的10個零件的關(guān)鍵指標(biāo)：
0.8
1.2
0.95
1.01
1.23
1.12
1.33
0.97
1.21
0.83
利用和判斷該生產(chǎn)周期是否需停止生產(chǎn)并檢查設(shè)備．
（ii）若設(shè)備狀態(tài)正常，記X表示一個生產(chǎn)周期內(nèi)抽取的10個零件關(guān)鍵指標(biāo)在之外的零件個數(shù)，求及X的數(shù)學(xué)期望．
參考公式：直方圖的方差，其中為各區(qū)間的中點，為各組的頻率．
參考數(shù)據(jù)：若隨機(jī)變量X服從正態(tài)分布，則，，，，．





題型八：統(tǒng)計概率中與數(shù)列有關(guān)的解答題
【例1】2022年12月18日，第二十二屆男足世界杯決賽在梅西率領(lǐng)的阿根廷隊與姆巴佩率領(lǐng)的法國隊之間展開，法國隊在上半場落后兩球的情況下，下半場連進(jìn)兩球，2比2戰(zhàn)平進(jìn)入加時賽，加時賽兩隊各進(jìn)一球（比分3∶3）再次戰(zhàn)平，在隨后的點球大戰(zhàn)中，阿根廷隊發(fā)揮出色，最終贏得了比賽的勝利，時隔36年再次成功奪得世界杯冠軍，梅西如愿以償，成功捧起大力神杯．
(1)法國隊與阿根廷隊實力相當(dāng)，在比賽前很難預(yù)測誰勝誰負(fù)．賽前有3人對比賽最終結(jié)果進(jìn)行了預(yù)測，假設(shè)每人預(yù)測正確的概率均為，求預(yù)測正確的人數(shù)X的分布列和期望；
(2)足球的傳接配合非常重要，傳接球訓(xùn)練也是平常訓(xùn)練的重要項目，梅西和其他4名隊友在某次傳接球的訓(xùn)練中，假設(shè)球從梅西腳下開始，等可能地隨機(jī)傳向另外4人中的1人，接球者接到球后再等可能地隨機(jī)傳向另外4人中的1人，如此不停地傳下去，假設(shè)傳出的球都能接住，記第n次傳球之前球在梅西腳下的概率為，求．




【例2】2021年5月12日，2022北京冬奧會和冬殘奧會吉祥物“冰墩墩”、“雪容融”亮相上海展覽中心.為了慶祝吉祥物在上海的亮相，某商場舉辦了贏取冰墩墩、雪容融吉祥物掛件答題活動.為了提高活動的參與度，計劃有的人只能贏取冰墩墩掛件，另外的人既能贏取冰墩墩掛件又能贏取雪容融掛件，每位顧客若只能贏取冰墩墩掛件，則記1分，若既能贏取冰墩墩掛件又能贏取雪容融掛件，則記2分，假設(shè)每位顧客能贏取冰墩墩掛件和贏取雪容融掛件相互獨立，視頻率為概率.
(1)從顧客中隨機(jī)抽取3人，記這3人的合計得分為X，求X的分布列和數(shù)學(xué)期望；
(2)從顧客中隨機(jī)抽取人，記這人的合計得分恰為分的概率為，求






【題型專練】
1．甲口袋中裝有2個黑球和1個白球，乙口袋中裝有3個白球．現(xiàn)從甲、乙兩口袋中各任取一個球交換放入另一口袋，重復(fù)n次這樣的操作，記甲口袋中黑球個數(shù)為，恰有2個黑球的概率為，恰有1個黑球的概率為．
（1）求p1，q1和p2，q2；
（2）求與的遞推關(guān)系式和的數(shù)學(xué)期望(用 n表示) ．





2．為了治療某種疾病，研制了甲、乙兩種新藥，希望知道哪種新藥更有效，為此進(jìn)行動物試驗．試驗方案如下：每一輪選取兩只白鼠對藥效進(jìn)行對比試驗．對于兩只白鼠，隨機(jī)選一只施以甲藥，另一只施以乙藥．一輪的治療結(jié)果得出后，再安排下一輪試驗．當(dāng)其中一種藥治愈的白鼠比另一種藥治愈的白鼠多4只時，就停止試驗，并認(rèn)為治愈只數(shù)多的藥更有效．為了方便描述問題，約定：對于每輪試驗，若施以甲藥的白鼠治愈且施以乙藥的白鼠未治愈則甲藥得1分，乙藥得分；若施以乙藥的白鼠治愈且施以甲藥的白鼠未治愈則乙藥得1分，甲藥得分；若都治愈或都未治愈則兩種藥均得0分．甲、乙兩種藥的治愈率分別記為α和β，一輪試驗中甲藥的得分記為X．
（1）求的分布列；
（2）若甲藥、乙藥在試驗開始時都賦予4分，表示“甲藥的累計得分為時，最終認(rèn)為甲藥比乙藥更有效”的概率，則，，，其中，，．假設(shè)，．
(i)證明：為等比數(shù)列；
(ii)求，并根據(jù)的值解釋這種試驗方案的合理性．




題型九：統(tǒng)計概率中的最值范圍問題
【例1】已知甲、乙兩所體校都設(shè)有三個考試科目：足球、長跑、跳遠(yuǎn)．若小明報考甲體校，其每個科目通過的概率均為，若小明報考乙體校，則其足球、長跑、跳遠(yuǎn)三個科目通過的概率依次為，，，其中，且每個科目是否通過相互獨立．
(1)若，表示事件“小明報考甲體校時恰好通過個科目”，表示事件“小明報考乙體校時至多通過個科目”，求，；
(2)若小明報考甲體校相比報考乙體校，通過的科目數(shù)的期望值更大，求的取值范圍．






【例2】某小區(qū)有居民2000人，想通過驗血的方法篩查出乙肝病毒攜帶者，為此需對小區(qū)全體居民進(jìn)行血液化驗，假設(shè)攜帶病毒的居民占a%，若逐個化驗需化驗2000次.為減輕化驗工作量，隨機(jī)按n人一組進(jìn)行分組，將各組n個人的血液混合在一起化驗，若混合血樣呈陰性，則這n個人的血樣全部陰性；若混合血樣呈陽性，說明其中至少有一人的血樣呈陽性，就需對每個人再分別單獨化驗一次.假設(shè)每位居民的化驗結(jié)果呈陰性還是陽性相互獨立.
(1)若，，試估算該小區(qū)化驗的總次數(shù)；
(2)若，每人單獨化驗一次花費10元，n個人混合化驗一次花費元.求n為何值時，每位居民化驗費用的數(shù)學(xué)期望最小.
（注：當(dāng)時，）






【例3】一種微生物群體可以經(jīng)過自身繁殖不斷生存下來，設(shè)一個這種微生物為第0代，經(jīng)過一次繁殖后為第1代，再經(jīng)過一次繁殖后為第2代……，該微生物每代繁殖的個數(shù)是相互獨立的且有相同的分布列，設(shè)X表示1個微生物個體繁殖下一代的個數(shù)，．
（1）已知，求；
（2）設(shè)p表示該種微生物經(jīng)過多代繁殖后臨近滅絕的概率，p是關(guān)于x的方程：的一個最小正實根，求證：當(dāng)時，，當(dāng)時，；
（3）根據(jù)你的理解說明（2）問結(jié)論的實際含義．




【例4】某超市計劃按月訂購一種酸奶,每天進(jìn)貨量相同,進(jìn)貨成本每瓶4元,售價每瓶6元,未售出的酸奶降價處理,以每瓶2元的價格當(dāng)天全部處理完.根據(jù)往年銷售經(jīng)驗,每天需求量與當(dāng)天最高氣溫(單位:℃)有關(guān).如果最高氣溫不低于25,需求量為500瓶;如果最高氣溫位于區(qū)間,需求量為300瓶;如果最高氣溫低于20,需求量為200瓶.為了確定六月份的訂購計劃,統(tǒng)計了前三年六月份各天的最高氣溫數(shù)據(jù),得下面的頻數(shù)分布表:
最高氣溫
[10,15)
[15,20)
[20,25)
[25,30)
[30,35)
[35,40)
天數(shù)
2
16
36
25
7
4
以最高氣溫位于各區(qū)間的頻率代替最高氣溫位于該區(qū)間的概率.
(1)求六月份這種酸奶一天的需求量X(單位:瓶)的分布列.
(2)設(shè)六月份一天銷售這種酸奶的利潤為Y(單位:元),當(dāng)六月份這種酸奶一天的進(jìn)貨量n(單位:瓶)為多少時,Y的數(shù)學(xué)期望達(dá)到最大值?




【題型專練】
1．第19屆亞運會將于2023年9月23日至10月8日在杭州舉行，在保持原有40個大項目不變的前提下，增設(shè)了電子競技和霹靂舞兩個競賽項目，國家體育總局為了深入了解各省在“電子競技”和“霹靂舞”兩個競賽項目上的整體水平，隨機(jī)選取了10個省進(jìn)行研究，便于科學(xué)確定國家集訓(xùn)隊隊員，各省代表隊人數(shù)如下表
省代表隊










電子競技
45
51
27
38
57
19
26
47
34
29
霹靂舞
26
15
44
42
32
28
56
36
48
20
(1)從這10支省代表隊中隨機(jī)抽取3支，在抽取的3支代表隊參與電子競技的人數(shù)均超過30人的條件下，求這3支代表隊參與霹靂舞的人數(shù)均超過30人的概率；
(2)若霹靂舞參與人數(shù)超過40人的代表隊所在地可以成為國家隊集訓(xùn)基地，現(xiàn)從這10支代表隊中隨機(jī)抽取4支，記X為選出代表隊所在地可以成為國家隊集訓(xùn)基地的個數(shù)，求X的分布列和數(shù)學(xué)期望；
(3)某省代表隊準(zhǔn)備進(jìn)行為期3個月的霹靂舞封閉訓(xùn)練，對太空步?空中定格?整體移動三個動作進(jìn)行集訓(xùn)，且在集訓(xùn)中進(jìn)行了多輪測試.規(guī)定：在一輪測試中，這3個動作至少有2個動作達(dá)到“優(yōu)秀”，則該輪測試記為“優(yōu)秀”，已知在一輪測試的3個動作中，甲隊員每個動作達(dá)到“優(yōu)秀”的概率均為，每個動作互不影響且每輪測試互不影響：如果甲隊員在集訓(xùn)測試中獲得“優(yōu)秀”次數(shù)的平均值不低于9次，那么至少要進(jìn)行多少輪測試？












2．某企業(yè)準(zhǔn)備投產(chǎn)一批特殊型號的產(chǎn)品，已知該種產(chǎn)品的總成本與產(chǎn)量的函數(shù)關(guān)系式為，該種產(chǎn)品的市場前景無法確定，有三種可能出現(xiàn)的情況，各種情形發(fā)生的概率及產(chǎn)品價格與產(chǎn)量的函數(shù)關(guān)系式如下表所示:
市場情況
概率
價格與產(chǎn)量的函數(shù)關(guān)系式
好


中


差


設(shè)分別表示市場情形好、中、差時的利潤，隨機(jī)變量，表示當(dāng)產(chǎn)量為，而市場前景無法確定時的利潤.試求:
（1）分別求利潤與產(chǎn)量的函數(shù)關(guān)系式;
（2）當(dāng)產(chǎn)量確定時，求期望;
（3）試問產(chǎn)量取何值時，取得最大值.



3．現(xiàn)有甲、乙兩個項目，對甲項目每投資10萬元，一年后利潤是1.2萬元、1.18萬元、1.17萬元的概率分別為；已知乙項目的利潤與產(chǎn)品價格的調(diào)整有關(guān)，在每次調(diào)整中，價格下降的概率都是p(0

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第20講 雙曲線高考6大?？蓟A(chǔ)題型總結(jié)-【高考備考題型講義】備戰(zhàn)2024年高考數(shù)學(xué)?？碱}型分類講義（新高考專用）

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第19講 橢圓中6種?？蓟A(chǔ)題型-【高考備考題型講義】備戰(zhàn)2024年高考數(shù)學(xué)常考題型分類講義（新高考專用）

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第18講 直線與圓?？?種題型總結(jié)-【高考備考題型講義】備戰(zhàn)2024年高考數(shù)學(xué)?？碱}型分類講義（新高考專用）

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