?第18講 直線與圓常考6種題型總結(jié)
【考點分析】
考點一：圓的定義：在平面上到定點的距離等于定長的點的軌跡是圓
考點二：圓的標(biāo)準(zhǔn)方程
設(shè)圓心的坐標(biāo)，半徑為，則圓的標(biāo)準(zhǔn)方程為：
考點三：圓的一般方程
圓的一般方程為，圓心坐標(biāo)：，半徑：
注意：①對于的取值要求：
當(dāng)時，方程只有實數(shù)解．它表示一個點
當(dāng)時，方程沒有實數(shù)解，因而它不表示任何圖形．
②二元二次方程，表示圓的充要條件是
考點四：以 為直徑端點的圓的方程為
考點五： 阿波羅尼斯圓
設(shè)為平面上相異兩定點，且，為平面上異于一動點且（且）則點軌跡為圓.
考點六：直線與圓的位置關(guān)系
設(shè)圓心到直線的距離，圓的半徑為，則
直線與圓的位置關(guān)系 幾何意義 代數(shù)意義 公共點的個數(shù)
①直線與圓相交 兩個
②直線與圓相切 一個
③直線與圓相離 0個
注：代數(shù)法：聯(lián)立直線方程與圓方程，得到關(guān)于的一元二次方程
考點七：直線與圓相交的弦長問題
法一：設(shè)圓心到直線的距離，圓的半徑為，則弦長
法二：聯(lián)立直線方程與圓方程，得到關(guān)于的一元二次方程 ，利用韋達(dá)定理，弦長公式即可


【題型目錄】
題型一：圓的方程
題型二：直線與圓的位置關(guān)系
題型三：直線與圓的弦長問題
題型四：圓中的切線 切線長和切點弦問題
題型五：圓中最值問題
題型六：圓與圓的位置關(guān)系問題
【典型例題】
題型一：圓的方程
【例1】頂點坐標(biāo)分別為，，．則外接圓的標(biāo)準(zhǔn)方程為______．
【答案】
【解析】設(shè)圓的標(biāo)準(zhǔn)方程為，因為過點，，
所以 解得
則圓的標(biāo)準(zhǔn)方程為
故答案為：
【例2】已知圓關(guān)于直線對稱，則的最小值為（???）
A． B． C．4 D．8
【答案】B
【分析】求出圓心坐標(biāo)，進(jìn)而求出a，b的關(guān)系，再利用基本不等式中“1”的妙用求解作答.
【詳解】圓的圓心為，依題意，點在直線上，
因此，即，
，當(dāng)且僅當(dāng)，即時“=”，
所以的最小值為.
故選：B
【例3】過點，且圓心在直線上的圓的方程為_______．
【答案】
【分析】設(shè)圓的標(biāo)準(zhǔn)方程為，根據(jù)題意列出方程組，求得的值，即可求解.
【詳解】設(shè)圓的標(biāo)準(zhǔn)方程為，
因為圓過點，且圓心在直線上，
則有，解得，
所以所求圓的方程為．
故答案為：.
【例4】設(shè)甲：實數(shù)；乙：方程是圓，則甲是乙的（???????）
A．充分不必要條件 B．必要不充分條件
C．充要條件 D．既不充分也不必要條件
【答案】B
【分析】由方程表示圓可構(gòu)造不等式求得的范圍，根據(jù)推出關(guān)系可得結(jié)論.
【詳解】若方程表示圓，則，解得：；
∵，，，甲是乙的必要不充分條件.
故選：B.
【例5】蘇州有很多圓拱的懸索拱橋（如寒山橋），經(jīng)測得某圓拱索橋（如圖）的跨度米，拱高米，在建造圓拱橋時每隔米需用一根支柱支撐，則與相距米的支柱的高度是（???????）米.（注意：≈）

A．6.48 B．5.48 C．4.48 D．3.48
【答案】A
【解析】以O(shè)為原點,以AB所在直線為x軸,以O(shè)P所在直線為y軸建立平面直角坐標(biāo)系.

設(shè)圓心坐標(biāo)為（0，a），則P(0,10),A(-50,0).
可設(shè)圓拱所在圓的方程為,由題意可得：
解得： .
所以所求圓的方程為.
將x=-30代入圓方程,得: ,
因為y>0,所以.
故選：A.
【例6】阿波羅尼斯（約公元前262-190年）證明過這樣一個命題：在平面內(nèi)到兩定點距離之比為常數(shù)的點的軌跡是圓，后人將這個圓稱為阿氏圓．若平面內(nèi)兩定點A，B間的距離為2，動點P滿足，則面積的最大值是（???????）
A． B．2 C． D．4
【答案】C
【解析】設(shè)經(jīng)過點A，B的直線為x軸，的方向為x軸正方向，線段AB的垂直平分線為y軸，線段AB的中點O為原點，建立平面直角坐標(biāo)系.則，．

設(shè)，∵，∴，
兩邊平方并整理得，即．
要使的面積最大，只需點P到AB（x軸）的距離最大時，
此時面積為．
故選：C.
【題型專練】
1．設(shè)點M在直線上，點和均在上，則的方程為______________．
【答案】
【分析】設(shè)出點M的坐標(biāo)，利用和均在上，求得圓心及半徑，即可得圓的方程.
【詳解】解：∵點M在直線上，
∴設(shè)點M為，又因為點和均在上，
∴點M到兩點的距離相等且為半徑R，
∴，
，解得，
∴，，
的方程為.
故答案為：
2.經(jīng)過三個點的圓的方程為（???????）
A． B．
C． D．
【答案】C
【分析】根據(jù)三點在坐標(biāo)系的位置，確定出是直角三角形，其中是斜邊，則有過三點的圓的半徑為的一半，圓心坐標(biāo)為的中點，進(jìn)而根據(jù)圓的標(biāo)準(zhǔn)方程求解.
【詳解】由已知得，分別在原點、軸、軸上，
，
經(jīng)過三點圓的半徑為，
圓心坐標(biāo)為的中點，即，
圓的標(biāo)準(zhǔn)方程為.
故選：C.
3.過四點中的三點的一個圓的方程為____________．
【答案】或或或（答案不唯一，填其中一個即可）
【解析】設(shè)圓的方程為
若圓過，，三點，則，解得，故圓的方程為；
若圓過，，三點，則，解得，故圓的方程為；
若圓過，，三點，則，解得，故圓的方程為；
若圓過，，三點，則，解得，故圓的方程為.
4.已知“”是“”表示圓的必要不充分條件，則實數(shù)的取值范圍是（???????）
A． B． C． D．
【答案】B
【分析】求出表示圓的充要條件，然后可判斷出答案.
【詳解】若表示圓，則，
解得.
“”是“”表示圓的必要不充分條件，
所以實數(shù)的取值范圍是.
故選：B
5.若兩定點，，動點M滿足，則動點M的軌跡圍成區(qū)域的面積為（???????）．
A． B． C． D．
【答案】D
【分析】根據(jù)給定條件求出動點M的軌跡方程，再確定軌跡即可計算作答.
【詳解】設(shè)，依題意，，化簡整理得：，
因此，動點M的軌跡是以原點為圓心，2為半徑的圓，
所以動點M的軌跡圍成區(qū)域的面積為.
故選：D
6.古希臘著名數(shù)學(xué)家阿波羅尼斯發(fā)現(xiàn)：平面內(nèi)到兩定點A，B的距離之比為定值λ（λ≠1）的點的軌跡是圓，此圓被稱為“阿波羅尼斯圓”．在平面直角坐標(biāo)系xOy中，A（－2，0），B（4，0），點P滿足＝.設(shè)點P的軌跡為C，則下列結(jié)論正確的是（　　）
A．軌跡C的方程為（x＋4）2＋y2＝9
B．在x軸上存在異于A，B的兩點D，E使得＝
C．當(dāng)A，B，P三點不共線時，射線PO是∠APB的平分線
D．在C上存在點M，使得
【答案】BC
【分析】根據(jù)阿波羅尼斯圓的定義，結(jié)合兩點間距離公式逐一判斷即可.
【詳解】在平面直角坐標(biāo)系xOy中，A（－2，0），B（4，0），點P滿足，設(shè)P（x，y），則，化簡得（x＋4）2＋y2＝16，所以A錯誤；
假設(shè)在x軸上存在異于A，B的兩點D，E使得，設(shè)D（m，0），E（n，0），則，化簡得3x2＋3y2－（8m－2n）x＋4m2－n2＝0，由軌跡C的方程為x2＋y2＋8x＝0，可得8m－2n＝－24，4m2－n2＝0，
解得m＝－6，n＝－12或m＝－2，n＝4（舍去），即在x軸上存在異于A，B的兩點D，E使，所以B正確；
當(dāng)A，B，P三點不共線時，，
可得射線PO是∠APB的平分線，所以C正確；
若在C上存在點M，使得，可設(shè)M（x，y），
則有＝2，化簡得x2＋y2＋x＋＝0，與x2＋y2＋8x＝0聯(lián)立，方程組無解，故不存在點M，所以D錯誤．
故選：BC
【點睛】關(guān)鍵點睛：運(yùn)用兩點間距離公式是解題的關(guān)鍵.
7．已知動點M與兩個定點O（0，0），A（3，0）的距離滿足，則在O，A，M三點所能構(gòu)成的三角形中面積的最大值是（???????）
A．1 B．2 C．3 D．4
【答案】C
【分析】設(shè)，求出點軌跡方程得其軌跡，由面積公式轉(zhuǎn)化為，由三角形面積公式易得最大值．
【詳解】設(shè)，則得，
化簡整理得，所以點軌跡是以為圓心，2為半徑的圓，如圖，
，
，
易知時，取得最大值3．
故選：C．

題型二：直線與圓的位置關(guān)系
【例1】直線與圓的位置關(guān)系是（????）
A．相交 B．相離
C．相切 D．無法確定
【答案】A
【分析】直線l過定點，求出定點的坐標(biāo)，根據(jù)定點與圓的位置關(guān)系來確定l與圓的位置關(guān)系.
【詳解】由 得： ，所以直線l過定點 ，
圓 的圓心為原點，半徑為 ，由 知：
點A在圓內(nèi)，所以直線l與圓相交；
故選：A.
【例2】（黑龍江哈爾濱市）若過點的直線與曲線有公共點，則直線的斜率的取值范圍為（ ）
A． B． C． D．
【答案】C
【解析】由題意知，直線的斜率存在，設(shè)直線的斜率為，則直線方程為，即，圓心為，半徑為，所以圓心到直線得距離，解得
【例3】直線 與曲線只有一個公共點，則實數(shù)范圍是（????）
A． B．
C． D．
【答案】C
【分析】確定直線恒過定點，確定曲線表示圓心為，半徑為1，且位于直線右側(cè)的半圓，包括點，由直線與圓位置關(guān)系解決即可.
【詳解】由題知，直線 恒過定點，曲線表示圓心為，半徑為1，且位于直線右側(cè)的半圓，包括點，
當(dāng)直線經(jīng)過點時，與曲線有2個交點，此時，不滿足題意，直線記為，
當(dāng)直線經(jīng)過點時，與曲線有1個交點，此時，滿足題意，直線記為，
如圖，當(dāng)直線與半圓相切時，由，解得，直線記為，

由圖知，當(dāng)或，與曲線有1個交點，
故選：C
【例4】已知直線與圓，點，則下列說法正確的是（????）
A．若點在圓上，則直線與圓相切
B．若點在圓內(nèi)，則直線與圓相交
C．若點在圓外，則直線與圓相離
D．若點在直線上，則直線與圓相切
【答案】AD
【分析】根據(jù)直線與圓的位置關(guān)系相應(yīng)條件判斷即可．
【詳解】解：圓心到直線的距離，
若點在圓上，
則，
所以，
則直線與圓相切，故A正確；
若點在圓內(nèi)，則，
所以，
則直線與圓相離，故B錯誤；
若點在圓外，則，
所以，
則直線與圓相交，故C錯誤；
若點在直線上，則，
即，
所以，
直線與圓相切，故D正確．
故選：AD．
【題型專練】
1.直線與圓的公共點個數(shù)為 （ ）
A．個 B．個 C．個 D．個或個
【答案】D
【解析】將直線變形為，令，解得，所以直線過定點，因為，所以點在圓上，所以直線與圓相切或者相交
2.已知關(guān)于的方程有兩個不同的實數(shù)根，則實數(shù)的范圍______.
【答案】
【分析】畫出和的圖像，數(shù)形結(jié)合得出實數(shù)的范圍.
【詳解】設(shè)，，圖像如圖所示，

當(dāng)直線與半圓相切時，圓心到直線的距離，即，
解得：（舍），或
當(dāng)直線過點時，可求得直線的斜率，
則利用圖像得：實數(shù)的范圍為
故答案為：
3.（2022全國新高考2卷）設(shè)點A(－2，3)，B(0，a)，若直線AB關(guān)于y＝a對稱的直線與圓C：
＋＝1有公共點，則a的取值范圍為_______．
【答案】
【解析】關(guān)于對稱的點的坐標(biāo)為，在直線上，
所以所在直線即為直線，所以直線為，即；
圓，圓心，半徑，依題意圓心到直線的距離，
即，解得，即；故答案為：
題型三：直線與圓的弦長問題
【例1】已知圓C：與直線l：x-y-1=0相交于A，B兩點，若△ABC的面積為2，則圓C的面積為（???????）
A． B． C． D．
【答案】C
【解析】
如圖，
由圓C方程可知圓心，半徑為a，由點到直線的距離公式可知圓心C到直線l的距離，
又△ABC的面積為，解得，由勾股定理可得，則a=2，
即圓C的半徑為2.則圓C的面積為.
故選：C.
【例2】已知圓，過點的直線，，…，被該圓M截得的弦長依次為，，…，，若，，…，是公差為的等差數(shù)列，則n的最大值是（????）
A．10 B．11 C．12 D．13
【答案】D
【分析】求出弦長的最小和最大值，根據(jù)等差數(shù)列的關(guān)系即可求出n的最大值
【詳解】解：由題意
在圓中

∴圓心，半徑為3，
過點的直線，，…，被該圓M截得的弦長依次為，，…，
過圓心作弦的垂線，交圓于兩點，如下圖所示：
由幾何知識得，當(dāng)時，
為最短弦長；為最長弦長，為6.

此時，
直線的解析式為：
直線的解析式為：
圓心到弦BC所在直線的距離：
連接,

由勾股定理得，

∴，
∴最短弦長，
∵，，…，是公差為的等差數(shù)列
∴設(shè)
∵最長弦長為6
∴
解得：
故選：D.
【例3】已知直線與圓交于兩點，過分別作的垂線與軸交于兩點，則當(dāng)最小時，（???????）
A．4 B． C．8 D．
【答案】D
【分析】首先求出直線過定點，即可求出弦的最小值，求出直線的傾斜角的傾斜角，再利用銳角三角函數(shù)計算可得.
【詳解】解：直線過定點，最小時，，
圓心到直線的距離，，
因為，所以此時，所以直線的傾斜角為，
過點作交于點，則，
在中，所以.

故選：D
【例4】（多選題）若直線l經(jīng)過點，且被圓截得的弦長為4，則l的方程可能是（????）
A． B． C． D．
【答案】AC
【分析】由弦長公式得出圓心到直線距離，考慮直線斜率不存在和存在兩種情況，根據(jù)距離公式得出所求方程.
【詳解】圓的標(biāo)準(zhǔn)方程為：，由題意圓心到直線l的距離
①當(dāng)直線的斜率不存在時，直線方程為，圓心到直線的距離，符合題意，
②當(dāng)直線的斜率存在時，設(shè)直線的方程為，即，
圓心到直線的距離為，解得，則直線方程為，
綜上，直線 l的方程為或．
故選：AC．
【題型專練】
1.直線與圓相交于A，B兩點，若，則實數(shù)m的取值范圍為（???????）
A． B． C． D．
【答案】B
【解析】令圓的圓心到直線l的距離為d，而圓半徑為，弦AB長滿足，
則有，又，于是得，解得，
所以實數(shù)m的取值范圍為.
故選：B
2.在圓內(nèi)，過點的最長弦和最短弦分別是AC和BD，則四邊形ABCD的面積為（???????）
A． B． C． D．
【答案】D
【解析】圓化簡為可得圓心為
易知過點的最長弦為直徑，即
而最短弦為過與垂直的弦，圓心到的距離：

所以弦
所以四邊形ABCD的面積：
故選：D.
3.若直線 與圓相交于兩點， 且(其中為原點)，則的值為（???????）
A．或? B．? C．或? D．?
【答案】A
【分析】根據(jù)點到直線的距離公式即可求解.
【詳解】由可知，圓心到直線的距離為，根據(jù)點到直線的距離公式可得
故選：A
4.直線：與圓：相交于A，B兩點，則的最小值是（???????）
A． B．2 C． D．4
【答案】D
【解析】分別取，則，得，即直線過定點，
將圓C化為標(biāo)準(zhǔn)方程：，圓心為，半徑.
如圖，因為，所以當(dāng)圓心到直線距離最大時最小.
當(dāng)CP不垂直直線時，總有，故當(dāng)時最小，因為，所以的最小值為.
故選：D

題型四：圓中的切線 切線長和切點弦問題
【例1】直線l過點且與圓相切，則直線l的方程為______________．
【答案】或.
【分析】先求出圓的圓心和半徑，然后分直線的斜率不存在和存在兩種情況求解即可.
【詳解】由，得圓心為，半徑，
當(dāng)直線的斜率不存在時，直線的方程為，此時直線恰好與圓相切，符合題意，
當(dāng)直線的斜率存在時，設(shè)直線的方程為，則
，，
解得，
所以直線的方程為，即，
綜上，直線l的方程為或，
故答案為：或.
【例2】已知圓：，且圓外有一點，過點作圓的兩條切線，且切點分別為，，則______.
【答案】
【分析】畫出圖象，利用等面積法求得
【詳解】圓：，即，
圓的圓心為，半徑.
畫出圖象如下圖所示，，
四邊形的面積為，解得.
故答案為：

【例3】點在圓：上，，，則最大時，___________.
【答案】3
【分析】根據(jù)題意最大時，直線與圓相切從而可得出答案.
【詳解】點在圓：上，即圓心為，已知，，
如圖將繞點沿逆時針方向旋轉(zhuǎn)，當(dāng)剛好與圓相切時，最小.
當(dāng)旋轉(zhuǎn)到與圓相切于點時，最大.
所以最大時，直線與圓相切，

故答案為：3

【例4】過點作圓：的切線，切點分別為，則下列說法正確的是（????）
A．
B．四邊形的外接圓方程為
C．直線方程為
D．三角形的面積為
【答案】BCD
【分析】求出，由勾股定理求解，即可判斷選項；
利用為所求圓的直徑，求出圓心和半徑，即可判斷選項；利用，求出直線的斜率，即可判斷選項；求出直線和的交點坐標(biāo)，利用三角形的面積公式求解，即可判斷選項.
【詳解】對于，由題意可得：，由勾股定理可得，，故選項錯誤；
對于，由題意知，，則為所求圓的直徑，所以線段的中點為，半徑為，則所求圓的方程為，化為一般方程為，故選項正確；
對于，由題意，其中一個切點的坐標(biāo)為，不妨設(shè)為點，則，又，所以，所以直線的方程為，故選項正確；
對于，因為，且直線的方程為，直線的方程為，聯(lián)立方程組，解得，所以兩條直線的交點坐標(biāo)為，則，，
故的面積為，所以的面積為，故選項正確，
故選：.
【題型專練】
1.過點作與圓相切的直線l，則直線l的方程為（???????）
A． B．
C． D．
【答案】BC
【分析】將圓的方程配成標(biāo)準(zhǔn)式，即可得到圓心坐標(biāo)與半徑，再分斜率存在與不存在兩種情況討論，分別求出切線方程.
【詳解】解：圓，即，則圓心為，半徑為1，易知點在圓外，
顯然是其中一條切線.
當(dāng)切線斜率存在時，設(shè)切線方程為，則，解得，
所以切線方程為.綜上，切線方程為或.
故選：BC.
2.直線平分圓的周長，過點作圓C的一條切線，切點為Q，則（???????）
A．5 B．4 C．3 D．2
【答案】B
【詳解】圓的圓心為，半徑為，
因為直線平分圓的周長，
所以直線經(jīng)過，所以，故，
由已知，，，圓的半徑為3，
所以，
故選：B.

3.過點作圓的兩條切線，切點分別為 、，則直線的方程為_______．
【答案】
【分析】由題知、，進(jìn)而求解方程即可.
【詳解】解：方法1：由題知，圓的圓心為，半徑為，
所以過點作圓的兩條切線，切點分別為、，
所以，
所以直線的方程為，即；
方法2：設(shè)，，則由，可得，
同理可得，
所以直線的方程為.
故答案為：
題型五：圓中最值問題
【例1】已知：，分別交，軸于，兩點，在圓：上運(yùn)動，則面積的最大值為（???????）
A． B． C． D．
【答案】C
【解析】

如圖所示，以為底邊，則面積最大等價于點到距離最大，
而點到距離最大值等于到的距離加半徑看，到的距離，又圓的半徑，
，，則，所以面積的最大值為
故選：C
【例2】已知點是圓上的點，點是直線上的點，點是直線上的點，則的最小值為（????）
A． B． C． D．
【答案】B
【分析】設(shè)圓心，記點，作圓關(guān)于直線的對稱圓，計算出圓心到直線的距離，結(jié)合對稱性可得出的最小值為，即可得解.
【詳解】設(shè)圓心，記點，作圓關(guān)于直線的對稱圓，

由對稱性可知，
點到直線的距離為，
故當(dāng)與直線垂直時，且當(dāng)為與直線的交點以及點為圓與線段的交點(靠近直線)時，取得最小值，
且.
故選：B.
【例3】已知直線與、軸的交點分別為、，且直線與直線相交于點，則面積的最大值是（????）
A． B．
C． D．
【答案】A
【分析】求出點、的坐標(biāo)，可得出的值，求出直線、所過定點的坐標(biāo)，根據(jù)可求得點的軌跡方程，根據(jù)圓的幾何性質(zhì)可求得點在直線距離的最大值，再利用三角形的面積公式可求得面積的最大值.
【詳解】在直線的方程中，令可得，令可得，
即點、，故，
將直線的方程變形可得，由可得，
所以，直線過定點，
將直線的方程變形為，由可得，
所以，直線過定點，
，則，設(shè)點.
①若點不與或重合，則，且，，
，整理可得；
②當(dāng)點與或重合，則點、的坐標(biāo)滿足方程.
所以，點的軌跡方程為.
圓圓心到直線的距離為，
所以，點到直線的最大距離為，
因此，面積的最大值是.
故選：A.
【例4】已知圓的圓心為，為直線上的動點，過點作圓的切線，切點為，則的最小值為（????）
A． B． C． D．
【答案】B
【分析】由圓的方程可確定圓心和半徑，結(jié)合向量線性運(yùn)算和數(shù)量積運(yùn)算定義可求得，則當(dāng)為圓心到直線的距離時，取得最小值，結(jié)合點到直線距離公式可求得結(jié)果.
【詳解】由圓的方程可知：圓心為，半徑；

；
，，
，
則當(dāng)為圓心到直線的距離時，取得最小值，
，.
故選：B.
【例5】已知復(fù)數(shù)z滿足（i為虛數(shù)單位），則的最大值為（??????????）
A．2 B． C． D．1
【答案】B
【解析】令，x，，則，
即，表示點與點距離為1的點集，
此時，表示圓
上點到原點距離，所以的最大值，即為圓上點到原點的距離的最大值，
而圓心到原點距離為，且半徑為1，
所以圓上點到原點的距離的最大值為．
故選：B．
【例6】若，則的取值范圍為
【答案】
【解析】因為，所以所以
如圖，此方程表示的是圓心在原點，半徑為1的半圓,

的幾何意義是點與點連線的斜率
如圖，，
，
所以的取值范圍為故選：D
【例】AB為⊙C：(x－2)2＋(y－4)2＝25的一條弦，，若點P為⊙C上一動點，則的取值范圍是（???????）
A．[0，100] B．[－12，48] C．[－9，64] D．[－8，72]
【答案】D
【解析】
【分析】
取AB中點為Q,利用數(shù)量積的運(yùn)算性質(zhì)可得，再利用圓的性質(zhì)可得取值范圍，即求.
【詳解】
取AB中點為Q，連接PQ

，

，
又，
，
∵點P為⊙C上一動點，
∴
的取值范圍[－8，72].
故選：D.
【題型專練】
1．直線分別與軸，軸交于兩點，點在圓上，則面積的取值范圍是（????）
A． B． C． D．
【答案】A
【分析】根據(jù)已知條件及兩點的距離公式，利用圓的標(biāo)準(zhǔn)方程及點到直線的距離公式，結(jié)合圓上的點到直線的最值問題及三角形的面積公式即可求解.
【詳解】因為直線分別與軸，軸交于兩點，
所以令，得，所以，
令，得，所以，
所以，
因為圓的方程為，
所以圓心坐標(biāo)為，半徑為，
所以圓心到直線的距離為
,
設(shè)點到直線的距離為，
所以，即，于是有，
所以，
故面積的取值范圍為.
故選: A.
2.（多選題）已知點P在圓O:上,直線:分別與軸,軸交于兩點,則（????）
A．過點作圓O的切線,則切線長為 B．滿足的點有3個
C．點到直線距離的最大值為 D．的最小值是
【答案】ACD
【分析】對于A,根據(jù)勾股定理求解即可;對于B,即,所以點在以為直徑的圓上,設(shè)的中點為,寫出圓的方程,根據(jù)兩個圓的交點個數(shù)即可判斷正誤;對于C,根據(jù)圓上一點到直線的最大距離為圓心到直線的距離加上半徑進(jìn)行判斷;對于D,,求解的最小值即可判斷正誤.
【詳解】對于A,點,點,過點作圓O的切線,則切線長為,A正確;
對于B,,
點在以為直徑的圓上,
設(shè)的中點為,
圓的方程:,
則圓與圓的圓心距為:,
,
圓與圓O相交,有兩個交點,
即滿足的點有2個,B不正確;
對于C,點,則圓心到直線的距離,所以點到該直線距離的最大值為,C正確;
對于D,的中點,,因為,的最小值是,D正確.
故選:ACD.
3．已知動點，分別在圓：和圓：上，動點在直線上，則的最小值是_______
【答案】##
【分析】圓的圓心為，半徑為，圓的圓心為，半徑為，設(shè)點關(guān)于直線對稱的點為,進(jìn)而根據(jù)對稱性得，再結(jié)合題意得
【詳解】解：由題知圓：的圓心為，半徑為，
圓：的圓心為，半徑為，
如圖，設(shè)點關(guān)于直線對稱的點為，
所以，，解得，即，
所以，
所以，，即的最小值是.
故答案為：

4．過直線上的一點P向圓作兩條切線．設(shè)與的夾角為θ，則的最大值為______．
【答案】##
【分析】由題可得圓心為，半徑為2，設(shè)與圓切于，根據(jù)圓的性質(zhì)結(jié)合條件可得，進(jìn)而即得.
【詳解】由，可得圓心為，半徑為2，
設(shè)與圓切于，則，

在中，，，
又到直線的距離為，
所以，，
所以的最大值為，即的最大值為.
故答案為：.
5．已知圓 是圓上的動點，則的最大值為_________；的最小值為____________．
【答案】???? ##0.5????
【分析】把變成代入圓方程，利用判別式不小于0求出最值即可，
利用原點到圓心的距離即可求得最小值．
【詳解】圓標(biāo)準(zhǔn)方程是，，半徑為，
由得代入圓的方程整理得，
，，
所以的最大值是；
表示點與坐標(biāo)原點的距離的平方, ，
，所以的最小值是．
故答案為: ;
6.世紀(jì)末，挪威測量學(xué)家維塞爾首次利用坐標(biāo)平面上的點來表示復(fù)數(shù)，使復(fù)數(shù)及其運(yùn)算具有了幾何意義，例如，也即復(fù)數(shù)的模的幾何意義為對應(yīng)的點到原點的距離．已知復(fù)數(shù)滿足，則的最大值為（???????）
A． B． C． D．
【答案】C
【解析】，對應(yīng)的點的軌跡為圓；
的幾何意義為點到點的距離，
.故選：C.
題型六：圓與圓的位置關(guān)系問題
【例1】已知圓與圓，則圓與的位置關(guān)系是（????）
A．內(nèi)含 B．相交 C．外切 D．相離
【答案】D
【分析】根據(jù)兩圓心距離與兩半徑關(guān)系確定兩圓位置關(guān)系.
【詳解】圓的圓心為，半徑，
圓的圓心為，半徑，
因為，
所以兩圓相離，
故選：D.
【例2】已知點在圓：上，點，，滿足的點的個數(shù)為（???????）
A．3 B．2 C．1 D．0
【答案】B
【解析】
【分析】設(shè)，軌跡可得點P的軌跡方程，即可判斷該軌跡與圓的交點個數(shù).
【詳解】
設(shè)點，則，
且，由，得
，
即，
故點P的軌跡為一個圓心為、半徑為的圓，
則兩圓的圓心距為，半徑和為，半徑差為，
有，所以兩圓相交，滿足這樣的點P有2個.
故選：B.
【例3】圓與圓的公共弦長為（????）
A． B． C． D．
【答案】A
【分析】兩圓的一般方程相減得到公共弦所在直線的方程，求出圓的圓心到公共弦的距離，再由
公共弦長公式求出答案即可.
【詳解】聯(lián)立兩個圓的方程，
兩式相減可得公共弦方程，
圓的圓心坐標(biāo)為，半徑為，
圓心到公共弦的距離為，
公共弦長為.
故選：A.
【例4】已知圓C：和兩點，，若圓C上存在點P，使得，則m的最大值為（???????）
A．12 B．11 C．10 D．9
【答案】B
【解析】
【分析】
由題意得點軌跡，轉(zhuǎn)化為有交點問題
【詳解】
，記中點為，則，故點的軌跡是以原點為圓心，為半徑的圓，
又P在圓C上，所以兩圓有交點，則，而，
得．
故選：B
【題型專練】
1．寫出與圓和圓都相切的一條直線的方程______.
【答案】（答案不唯一，寫其它三條均可）
【分析】先判斷兩圓的位置關(guān)系，可設(shè)公切線方程為，根據(jù)圓心到直線的距離等于半徑列出方程組，解之即可得出答案.
【詳解】解：圓的圓心為，半徑為，
圓的圓心為，半徑為，
則，
所以兩圓外離，
由兩圓的圓心都在軸上，則公切線的斜率一定存在，
設(shè)公切線方程為，即，
則有，
解得或或或
所以公切線方程為或或或，
即或或或.
故答案為：.（答案不唯一，寫其它三條均可）
2.（2022全國新高考1卷）寫出與圓＋＝1和＋＝16都相切的一條直線的方程_______．
【答案】或或
【解析】
【分析】
先判斷兩圓位置關(guān)系，分情況討論即可.
【詳解】
圓的圓心為，半徑為，圓的圓心為，半徑為，
兩圓圓心距為，等于兩圓半徑之和，故兩圓外切，
如圖，
當(dāng)切線為l時，因為，所以，設(shè)方程為
O到l的距離，解得，所以l的方程為，
當(dāng)切線為m時，設(shè)直線方程為，其中，，
由題意，解得，
當(dāng)切線為n時，易知切線方程為，
故答案為：或或.

3.（多選題）圓和圓的交點為A，B，則有（???????）
A．公共弦AB所在直線的方程為
B．公共弦AB所在直線的方程為
C．公共弦AB的長為
D．P為圓上一動點，則P到直線AB距離的最大值為
【答案】AD
【分析】對于AB，兩圓方程相減消去二次項可求得公共弦AB所在直線的方程，對于C，求出圓心到公共弦的距離，然后利用弦心距，弦和半徑的關(guān)系可求出公共弦的長，對于D，點P到直線AB距離的最大值為
【詳解】由與作差可得，
即公共弦AB所在直線的方程為，故A正確，B錯誤；
對于C，圓心到直線的距離為，圓的半徑，
所以，故C錯誤；
對于D，點P為圓上一動點，則點P到直線AB距離的最大值為，故D正確.
故選：AD.
4.已知點，則滿足點到直線的距離為，點到直線距離為的直線的條數(shù)有（???????）
A．1 B．2 C．3 D．4
【答案】D
【解析】
【分析】
以為圓心，為半徑，為圓心，為半徑分別畫圓，將所求轉(zhuǎn)化為求圓與圓的公切線條數(shù)，判斷兩圓的位置關(guān)系，從而得公切線條數(shù).
【詳解】
以為圓心，為半徑，為圓心，為半徑分別畫圓，如圖所示，
由題意，滿足點到直線的距離為，點到直線距離為的直線的條數(shù)
即為圓與圓的公切線條數(shù)，
因為，所以兩圓外離，
所以兩圓的公切線有4條，即滿足條件的直線有4條.
故選：D

5.已知圓，圓，點M、N分別是圓、圓上的動點，點P為x軸上的動點，則的最大值是（???????）
A． B．9 C．7 D．
【答案】B
【解析】
【分析】
分析可知，設(shè)點關(guān)于軸的對稱點為，可得出，求出的最大值，即可得解.
【詳解】
圓的圓心為，半徑為，
圓的圓心為，半徑為．
，
又，，
．
點關(guān)于軸的對稱點為，
，
所以，，
故選：B．






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