專題11：圓錐曲線（七大題型）-2024年新高考新題型試卷結(jié)構(gòu)沖刺講義-試卷下載-教習(xí)網(wǎng)

1.（2）橢圓的離心率為，則（）
A. B. C. D. 2
2. （8）設(shè)雙曲線的左、右焦點(diǎn)分別為，過(guò)坐標(biāo)原點(diǎn)的直線與交于兩點(diǎn)，，則的離心率為（）
A. B. 2C. D.
3. 已知拋物線的焦點(diǎn)為，過(guò)的直線交于兩點(diǎn)，過(guò)與垂直的直線交于兩點(diǎn)，其中在軸上方，分別為的中點(diǎn)．
（1）證明：直線過(guò)定點(diǎn)；
（2）設(shè)為直線與直線的交點(diǎn)，求面積的最小值．
題型一：橢圓的方程
【典例例題】
例1.（2024春·新高考）（多選）已知橢圓C：的左、右焦點(diǎn)分別為，，P是C上一點(diǎn)，則（）
A．B．的最大值為8
C．的取值范圍是D．的取值范圍是
【變式訓(xùn)練】
1.（2024春·河南?。┤魴E圓和的方程分別為和（且）則稱和為相似橢圓．己知橢圓，過(guò)上任意一點(diǎn)P作直線交于M，N兩點(diǎn)，且，則的面積最大時(shí)，的值為（）
A. B. C. D.
2.（2024春·湖南長(zhǎng)沙）（多選）橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程為為橢圓的左、右焦點(diǎn)，點(diǎn)．的內(nèi)切圓圓心為，與分別相切于點(diǎn)，則（）
A．B．
C．D．
題型二：橢圓的離心率
【典例例題】
例1.（2024·黑龍江）已知為橢圓上一點(diǎn)，分別為的左、右焦點(diǎn)，且，若外接圓半徑與其內(nèi)切圓半徑之比為，則的離心率為．
【變式訓(xùn)練】
1.（2024春·廣東省東莞）已知橢圓：（）的左、右焦點(diǎn)分別為，，左、右頂點(diǎn)分別為，，點(diǎn)在上，且，，則橢圓的離心率為（）
A.B.C.D.
2.（2024春·湖北武漢）已知橢圓的左右焦點(diǎn)為．直線與橢圓相交于兩點(diǎn)，若，且，則橢圓的離心率為．
3.（2024春·廣東汕頭市）已知橢圓，是以點(diǎn)為直角頂點(diǎn)的等腰直角三角形，直角邊與橢圓分別交于另外兩點(diǎn)．若這樣的有且僅有一個(gè)，則該橢圓的離心率的取值范圍是______．
4.（2024春·河北）如圖，已知橢圓和雙曲線具有相同的焦點(diǎn)，，A、B、C、D是它們的公共點(diǎn)，且都在圓上，直線與x軸交于點(diǎn)P，直線與雙曲線交于點(diǎn)，記直線、的斜率分別為、，若橢圓的離心率為，則的值為（）

A. 2 B. C. D. 4
題型三：雙曲線的方程
【典例例題】
例1.如圖，加斯帕爾·蒙日是18～19世紀(jì)法國(guó)著名的幾何學(xué)家，他在研究圓錐曲線時(shí)發(fā)現(xiàn)：橢圓（或雙曲線）上兩條相互垂直的切線的交點(diǎn)的軌跡方程為圓，該圓稱為外準(zhǔn)圓，也叫蒙日?qǐng)A．則雙曲線的蒙日?qǐng)A的面積為（）
A．B．C．D．
【變式訓(xùn)練】
1.（2024春·廣西桂林）已知雙曲線，直線與雙曲線相切于點(diǎn)，與兩條漸近線相交于，兩點(diǎn)，則此時(shí)三角形（O為原點(diǎn)）的面積為（）
A．B．1C．D．2
2．（2024春·河北）已知雙曲線的離心率為2，左?右頂點(diǎn)分別為，右焦點(diǎn)為，是上位于第一象限的兩點(diǎn)，，若，則（）
A．B．C．D．
3.（2024春·四川成都）若雙曲線的左、右焦點(diǎn)分別為，過(guò)右焦點(diǎn)的直線與雙曲線交于兩點(diǎn)，已知的斜率為，，且，，則直線的斜率是（）
A．B．C．D．
題型四：雙曲線的離心率
【典例例題】
例1.（2024春·江西贛州）已知雙曲線的右焦點(diǎn)為F，過(guò)點(diǎn)F且斜率為的直線l交雙曲線于A、B兩點(diǎn)，線段AB的中垂線交x軸于點(diǎn)D. 若，則雙曲線的離心率取值范圍是（）
A．B．C．D．
【變式訓(xùn)練】
1.（2024·吉林長(zhǎng)春）已知雙曲線的左，右焦點(diǎn)分別為為右支上一點(diǎn)，的內(nèi)切圓圓心為，直線交軸于點(diǎn)，則雙曲線的離心率為 .
2.（2024春·新高考）如圖，已知雙曲線的一條弦所在直線的傾斜角為，點(diǎn)關(guān)于原點(diǎn)的對(duì)稱點(diǎn)為，若，雙曲線的離心率為，則（）

A．3B．C．D．4
3.（2024·新疆烏魯木齊）設(shè)雙曲線的左、右焦點(diǎn)分別為，，A是右支上一點(diǎn)，滿足，直線交雙曲線于另一點(diǎn)，且，則雙曲線的離心率為．
題型五：拋物線
【典例例題】
例1.（2024·安徽）（多選）設(shè)是坐標(biāo)原點(diǎn)，拋物線的焦點(diǎn)為，點(diǎn)，是拋物線上兩點(diǎn)，且.過(guò)點(diǎn)作直線的垂線交準(zhǔn)線于點(diǎn)，則（）
A．過(guò)點(diǎn)恰有2條直線與拋物線有且僅有一個(gè)公共點(diǎn)
B．的最小值為2
C．的最小值為
D．直線恒過(guò)焦點(diǎn)
【變式訓(xùn)練】
1.（2024春·黑龍江）圓心在拋物線上，且與直線相切的圓一定過(guò)的點(diǎn)是（）
A．B．
C．D．
2.（2024春·甘肅）已知過(guò)拋物線焦點(diǎn)的直線交于，兩點(diǎn)，點(diǎn)，在的準(zhǔn)線上的射影分別為點(diǎn)，，線段的垂直平分線的傾斜角為，若，則（）
A．B．1C．2D．4
3．（2024春·新疆烏魯木齊）設(shè)拋物線的焦點(diǎn)為，過(guò)點(diǎn)且傾斜角為的直線與交于A，B兩點(diǎn)，以為直徑的圓與準(zhǔn)線切于點(diǎn)，則的方程為（）
A．B．C．D．
4.（2024·貴州貴陽(yáng)）（多選）已知拋物線的焦點(diǎn)為為坐標(biāo)原點(diǎn)，其準(zhǔn)線與軸交于點(diǎn)，經(jīng)過(guò)點(diǎn)的直線與拋物線交于不同兩點(diǎn)，則下列說(shuō)法正確的是（）
A．
B．存在
C．不存在以為直徑且經(jīng)過(guò)焦點(diǎn)的圓
D．當(dāng)?shù)拿娣e為時(shí)，直線的傾斜角為或
題型六：直線與圓錐曲線的位置關(guān)系
【典例例題】
例1.（2024春·廣東省深圳外國(guó)語(yǔ)學(xué)校、執(zhí)信中學(xué)）已知橢圓的左、右焦點(diǎn)分別為、，離心率為，是橢圓上的點(diǎn).
（1）求橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程；
（2）設(shè)為的左頂點(diǎn)，過(guò)的直線交橢圓于、兩點(diǎn)，直線、分別交直線于、兩點(diǎn)，是線段的中點(diǎn)，在軸上求出一定點(diǎn)，使得.
【變式訓(xùn)練】
1.（2024春·廣州市華南師大附中第一次調(diào)研）已知橢圓的離心率為，斜率為2的直線l與x軸交于點(diǎn)M，l與C交于A，B兩點(diǎn)，D是A關(guān)于y軸的對(duì)稱點(diǎn)．當(dāng)M與原點(diǎn)O重合時(shí)，面積為．
(1)求C的方程；
(2)當(dāng)M異于O點(diǎn)時(shí)，記直線與y軸交于點(diǎn)N，求周長(zhǎng)的最小值．
2.（2024春·廣東惠州）已知橢圓的離心率為，且橢圓上的點(diǎn)到焦點(diǎn)的最長(zhǎng)距離為．
（1）求橢圓的方程：
（2）直線（不過(guò)原點(diǎn)）與拋物線相交于兩點(diǎn)，以為直徑的圓經(jīng)過(guò)原點(diǎn)，且此直線也與橢圓相交于兩點(diǎn)，求面積的最大值及此時(shí)直線的方程.
3.（2024春·廣東廣州市）在平面直角坐標(biāo)系中，點(diǎn)，點(diǎn)是平面內(nèi)的動(dòng)點(diǎn).若以PF為直徑的圓與圓內(nèi)切，記點(diǎn)P的軌跡為曲線E．
（1）求E的方程；
（2）設(shè)點(diǎn)，，，直線AM，AN分別與曲線E交于點(diǎn)S，T（S，T異于A），，垂足為H，求的最小值．
4.（2024春·河北廊坊）已知拋物線C：的焦點(diǎn)為F，圓M：．點(diǎn)是拋物線C上一點(diǎn)，
（1）求拋物線C的標(biāo)準(zhǔn)方程；
（2）若點(diǎn)P在圓M上，PA，PB是C的兩條切線，A，B是切點(diǎn)，求面積的最大值．
題型七：圓錐曲線新穎題型
【典例例題】
例1.（2024春·廣東汕頭）已知點(diǎn)為雙曲線上的動(dòng)點(diǎn).
(1)判斷直線與雙曲線的公共點(diǎn)個(gè)數(shù)，并說(shuō)明理由；
(2)（i）如果把（1）的結(jié)論推廣到一般雙曲線，你能得到什么相應(yīng)的結(jié)論？請(qǐng)寫出你的結(jié)論，不必證明；
（ii）將雙曲線的兩條漸近線稱為“退化的雙曲線”，其方程為，請(qǐng)利用該方程證明如下命題：若為雙曲線上一點(diǎn)，直線：與的兩條漸近線分別交于點(diǎn)，則為線段的中點(diǎn).
【變式訓(xùn)練】
1.（2024春·四川雅安）我們把形如和的兩個(gè)雙曲線叫做共軛雙曲線．設(shè)共軛雙曲線，的離心率分別為，，則當(dāng)取得最大值時(shí)，（）
A．B．C．D．
2.（2024春·安徽合肥）我們約定，如果一個(gè)橢圓的長(zhǎng)軸和短軸分別是另一條雙曲線的實(shí)軸和虛軸，則稱它們互為“姊妺”圓錐曲線.已知橢圓，雙曲線是橢圓的“姊妺”圓錐曲線，分別為的離心率，且，點(diǎn)分別為橢圓的左?右頂點(diǎn).
(1)求雙曲線的方程；
(2)設(shè)過(guò)點(diǎn)的動(dòng)直線交雙曲線右支于兩點(diǎn)，若直線的斜率分別為.
（i）試探究與的比值是否為定值.若是定值，求出這個(gè)定值；若不是定值，請(qǐng)說(shuō)明理由；
（ii）求的取值范圍.
3.（2024春·安徽黃山）如圖，已知曲線是以原點(diǎn)O為中心、為焦點(diǎn)的橢圓的一部分，曲線是以原點(diǎn)O為中心，為焦點(diǎn)的雙曲線的一部分，A是曲線和曲線的交點(diǎn)，且為鈍角，我們把曲線和曲線合成的曲線C稱為“月蝕圓”．設(shè).

(1)求曲線和所在的橢圓和雙曲線的標(biāo)準(zhǔn)方程；
(2)過(guò)點(diǎn)作一條與x軸不垂直的直線，與“月蝕圓”依次交于B，C，D，E四點(diǎn)，記G為CD的中點(diǎn)，H為BE的中點(diǎn)．問(wèn)：是否為定值？若是，求出此定值；若不是，請(qǐng)說(shuō)明理由.
一、單項(xiàng)選擇
1.（2024春·江西?。E圓與橢圓的（）
A．長(zhǎng)軸長(zhǎng)相等B．短軸長(zhǎng)相等C．離心率相等D．焦距相等
2．（2024春·廣東深圳）已知雙曲線的左、右焦點(diǎn)分別為、，經(jīng)過(guò)的直線交雙曲線的左支于，，的內(nèi)切圓的圓心為，的角平分線為交于M，且，若，則該雙曲線的離心率是（）
A．B．C．D．2
3.（2024春·內(nèi)蒙古赤峰）過(guò)雙曲線的右頂點(diǎn)作斜率為的直線，與的兩條漸近線分別交于點(diǎn)，若，則雙曲線的離心率為（）
A．B．C．D．
3.（2024春·天津）已知分別為雙曲線的左、右焦點(diǎn)，過(guò)向雙曲線的一條漸近線引垂線，垂足為點(diǎn)，且（為坐標(biāo)原點(diǎn)），則雙曲線的漸近線方程為（）
A．B．
C．D．
二、多項(xiàng)選擇
4．（2024春·遼寧）已知拋物線的焦點(diǎn)為，為坐標(biāo)原點(diǎn)，傾斜角為的直線過(guò)點(diǎn)且與交于，兩點(diǎn)，若的面積為，則（）
A． B．
C．以為直徑的圓與軸僅有個(gè)交點(diǎn) D．或
5.（2024春·山東日照）如圖是數(shù)學(xué)家Germinal Dandelin用來(lái)證明一個(gè)平面截圓錐側(cè)面得到的截口曲線是橢圓的模型（稱為“Dandelin雙球”）．在圓錐內(nèi)放兩個(gè)大小不同的小球，使得它們分別與圓錐的側(cè)面、截面相切，截面分別與球，球切于點(diǎn)E，F(xiàn)（E，F(xiàn)是截口橢圓C的焦點(diǎn)）．設(shè)圖中球，球的半徑分別為4和1，球心距，則（）
A．橢圓C的中心不在直線上 B．
C．直線與橢圓C所在平面所成的角的正弦值為
D．橢圓C的離心率為
6.（2024春·廣東廣州）雙曲線具有如下性質(zhì)：雙曲線在任意一點(diǎn)處的切線平分該點(diǎn)與兩焦點(diǎn)連線的夾角.設(shè)為坐標(biāo)原點(diǎn)，雙曲線的左右焦點(diǎn)分別為，右頂點(diǎn)到一條漸近線的距離為2，右支上一動(dòng)點(diǎn)處的切線記為，則（）
A．雙曲線的漸近線方程為
B．雙曲線的離心率為
C．當(dāng)軸時(shí)，
D．過(guò)點(diǎn)作，垂足為
8.（2024春·廣東東莞）已知雙曲線的左?右焦點(diǎn)分別為為坐標(biāo)原點(diǎn)，直線與雙曲線的漸近線交于點(diǎn)（在第二象限，在第一象限），下列結(jié)論正確的是（）
A．
B．
C．若的面積為2，則雙曲線的焦距的最小值為4
D．若的面積為2，則雙曲線的焦距的最小值為8
簡(jiǎn)答題
9.（2024春·廣東惠州市）如圖，已知半圓C1：與x軸交于A、B兩點(diǎn)，與y軸交于E點(diǎn)，半橢圓C2：的上焦點(diǎn)為F，并且是面積為的等邊三角形，將由C1、C2構(gòu)成的曲線，記為“?！保?br>
（1）求實(shí)數(shù)a、b的值；
（2）直線l：與曲線Γ交于M、N兩點(diǎn)，在曲線Γ上再取兩點(diǎn)S、T（S、T分別在直線l兩側(cè)），使得這四個(gè)點(diǎn)形成的四邊形MSNT的面積最大，求此最大面積；
（3）設(shè)點(diǎn)，P是曲線Γ上任意一點(diǎn)，求的最小值．
10. （2024春·廣東省潮州市）設(shè)圓的圓心為A，直線l過(guò)點(diǎn)B（1,0）且與x軸不重合，l交圓A于C，D兩點(diǎn)，過(guò)B作AC的平行線交AD于點(diǎn)E.
（I）證明為定值，并寫出點(diǎn)E的軌跡方程；
（II）設(shè)點(diǎn)E的軌跡為曲線C1，直線l交C1于M,N兩點(diǎn)，過(guò)B且與l垂直的直線與圓A交于P,Q兩點(diǎn)，求四邊形MPNQ面積的取值范圍.
11.（2024春·廣東省深圳市龍崗區(qū)）已知雙曲線的左、右焦點(diǎn)分別為，，離心率為，過(guò)點(diǎn)的直線與雙曲線的左、右兩支分別交于點(diǎn)，．當(dāng)時(shí)，的面積為5．
（1）求雙曲線的標(biāo)準(zhǔn)方程；
（2）若直線與軸交于點(diǎn)，且，，求證：為定值．

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