一、注意基礎知識的整合、鞏固。進一步夯實基礎，提高解題的準確性和速度。
二、查漏補缺，保強攻弱。針對“一?！敝械膯栴}根據(jù)實際情況作出合理的安排。
三、提高運算能力，規(guī)范解答過程。運算技巧粗中有細，提高運算準確性和速度。
四、強化數(shù)學思維，構(gòu)建知識體系。同學們在聽課時注意把重點要放到理解老師對問題思路的分析以及解法的歸納總結(jié)，以便于同學們在刷題時做到思路清晰，迅速準確。
五、解題快慢結(jié)合，改錯反思。審題制定解題方案要慢，不要急于解題，要適當?shù)剡x擇好的方案，一旦方法選定，解題動作要快要自信。
六、重視和加強選擇題的訓練和研究。對于選擇題不但要答案正確，還要優(yōu)化解題過程，提高速度。靈活運用特值法、排除法、數(shù)形結(jié)合法、估算法等。
專題2-1 函數(shù)與方程10類常考壓軸小題
模塊一
總覽
熱點題型解讀（目錄）
TOC \ "1-3" \n \h \z \u \l "_Tc171891404" 【題型1】分段函數(shù)零點個數(shù)問題
\l "_Tc171891405" 【題型2】分段函數(shù)等高線（方程根之間的數(shù)量關(guān)系）
\l "_Tc171891406" 【題型3】嵌套（復合）函數(shù)求值問題
\l "_Tc171891407" 【題型4】反函數(shù)對稱性的應用
\l "_Tc171891408" 【題型5】不等式恒成立與能成立問題
\l "_Tc171891409" 【題型6】存在，任意雙變量問題
\l "_Tc171891410" 【題型7】關(guān)于的f(x)的方程根的個數(shù)問題
\l "_Tc171891411" 【題型8】以分段函數(shù)為背景的嵌套函數(shù)零點個數(shù)問題
\l "_Tc171891412" 【題型9】2個函數(shù)存在對稱點問題
\l "_Tc171891413" 【題型10】隱零點問題初步
模塊二
核心題型·舉一反三
【題型1】分段函數(shù)零點個數(shù)問題
先對解析式變形，進而構(gòu)造兩個函數(shù)，然后在同一平面直角坐標系中畫出函數(shù)的圖象，首先要準確繪制分段函數(shù)的圖像，確保每個分段的圖像都正確無誤。在繪制過程中，特別注意分段連接點處的圖像變化
已知函數(shù)，若實數(shù)，則函數(shù)的零點個數(shù)為（ ）
A．0或1B．1或2C．1或3D．2或3
【答案】D
【解析】函數(shù)的零點個數(shù)即函數(shù)與的函數(shù)圖象交點個數(shù)問題，
畫出的圖象與，的圖象，如下：
故函數(shù)的零點個數(shù)為2或3.
（2024·高三·北京通州·期末）已知函數(shù)
（1）若，則的零點是 .
（2）若無零點，則實數(shù)的取值范圍是 .
【答案】
【解析】（1）若，則 ，令可得 ，即的零點是
（2）若無零點,則如圖所示
當此時，應有 ，
當 如圖所示，
此時應有 ，綜上可得 .
【鞏固練習1】（2024·北京西城·一模）設，函數(shù) 若恰有一個零點，則的取值范圍是（ ）
A．B．
C．D．
【答案】D
【解析】畫出函數(shù)的圖象如下圖所示：
函數(shù)可由分段平移得到，
易知當時，函數(shù)恰有一個零點，滿足題意；
當時，代表圖象往上平移，顯然沒有零點，不符合題意；
當時，圖象往下平移，當時，函數(shù)有兩個零點；
當時，恰有一個零點，滿足題意，即；
綜上可得的取值范圍是.
【鞏固練習2】已知函數(shù)若函數(shù)有3個零點，則的取值范圍是（ ）
A．B．C．D．
【答案】A
【解析】
要使函數(shù)有三個零點，則有三個不相等的實根，即與的圖象有三個交點，
當時，在上單調(diào)遞減，；
當時，在上單調(diào)遞增，；
當時，在上單調(diào)遞增，；
由與的圖象有三個交點，結(jié)合函數(shù)圖象可得，
【鞏固練習3】（23-24高三上·陜西西安·期末）已知函數(shù)若，且，則的取值范圍是（ ）
A．B．C．D．
【答案】A
【分析】作出的大致圖象，根據(jù)題意轉(zhuǎn)化為與的圖象有4個不同交點，結(jié)合圖象，即可求解.
【詳解】由題意，作出的大致圖象，如圖所示，
要使得，
即函數(shù)與的圖象有4個不同交點，則，
所以實數(shù)的取值范圍是．
故選：A.
【鞏固練習4】（2024·山西·模擬預測）已知函數(shù)若函數(shù)有三個零點，則實數(shù)a的取值范圍是（ ）
A．B．C．D．
【答案】C
【解析】函數(shù)當時，方程．可得．解得，函數(shù)有一個零點，
則當時，函數(shù)有兩個零點，即，在時有兩個解．
設，其開口向上，對稱軸為：在上單調(diào)遞減，在上單調(diào)遞增，所以，且，解得
【鞏固練習5】已知函數(shù)， 令，則下列說法正確的（ ）
A．函數(shù)的單調(diào)遞增區(qū)間為
B．當時，可能有3個零點
C．當時，的所有零點之和為
D．當時，有1個零點
【答案】BD
【解析】的圖像如下：
由圖像可知，的增區(qū)間為，
故A錯誤
當時，如圖
當時，與有3個交點，
當時，與有2個交點，
當時，與有1個交點，
所以當時與有3個交點或2個交點或1個交點，
即有3個零點或2個零點或1個零點，
故B正確；
當時，由可得，
由可得
所以的所有零點之和為，
故C錯誤；
當時，由B選項可知：
與有1個交點，
即有1個零點，
故D正確
【題型2】分段函數(shù)等高線（方程根之間的數(shù)量關(guān)系）
解決分段函數(shù)等高線（方程根之間的數(shù)量關(guān)系）問題，首先要明確分段函數(shù)的定義和各分段上的表達式。接著，對于每個分段，分別令函數(shù)值等于某個常數(shù)，以構(gòu)造等高線方程。然后，解這些等高線方程，找出它們的根，并關(guān)注這些根之間的數(shù)量關(guān)系。特別地，要注意分段連接點處等高線的行為，以及可能存在的多重根情況。最后，綜合所有分段的信息，得出等高線方程根之間的數(shù)量關(guān)系。在解題過程中，數(shù)形結(jié)合的方法往往能提供直觀的幫助。
已知函數(shù)，若有四個不同的解且，則的取值范圍是 ．
【答案】
【解析】根據(jù)對數(shù)函數(shù)與二次函數(shù)的性質(zhì)作出函數(shù)圖象，如圖所示，
易知，所以，
則，
而由二次函數(shù)對稱性可知，，
所以，
根據(jù)對勾函數(shù)的性質(zhì)可知，，
所以.
（2024·陜西咸陽·模擬預測）已知函數(shù)，若方程有四個根，且，則下列說法錯誤的是（ ）
A．B．
C．D．
【答案】C
【解析】函數(shù)的圖象開口向上，對稱軸為直線，
當時，在上遞減，函數(shù)值集合為，在上遞增，函數(shù)值集合為，
當時，在上遞減，函數(shù)值集合為，在上遞增，函數(shù)值集合為，
方程的根是直線與函數(shù)圖象交點的橫坐標，
方程有四個根，即直線與函數(shù)圖象有4個交點，
在同一坐標系內(nèi)作出直線與函數(shù)的圖象，如圖，
觀察圖象知，，，AD正確；
顯然，而，則，即，，
，B正確；
顯然，，C錯誤.
（23-24高三上·廣東·階段練習）設，若方程恰有三個不相等的實根，則這三個根之和為 ；若方程有四個不相等的實根，且，則的取值范圍為 .
【答案】 6
【分析】由函數(shù)解析式知函數(shù)圖象關(guān)于直線對稱，作出圖象，可知，，，即可求得，同時把用表示，利用換元法，函數(shù)的單調(diào)性求得其范圍．
【詳解】，因此的圖象關(guān)于直線對稱，作出函數(shù)的圖象，如圖，
作直線，
若是三個根，則，，，
若是四個根，由圖可知，，，所以，
，因此，
，
令，則，
對函數(shù)，設，，
因為，所以，，所以，即，
即是增函數(shù)，所以，
因素，在時遞增，
所以．
故答案為：6；．
【鞏固練習1】（23-24高三上·重慶沙坪壩·階段練習）已知函數(shù)，若關(guān)于x的方程有四個不同的根（），則的最大值是（ ）
A．B．
C．D．
【答案】A
【分析】數(shù)形結(jié)合，把四個不同的根用表示，借助導數(shù)討論函數(shù)的最值解決問題.
【詳解】圖，

由圖可知當且僅當時，方程有四個不同的根，
且，由題：，，
設則
，令，
故在遞增，在遞減，.
【鞏固練習2】（23-24高三上·甘肅平?jīng)觥るA段練習）（多選）已知函數(shù)，若，且，則下列結(jié)論正確的是（ ）
A． B． C．D．
【答案】BCD
【分析】根據(jù)分段函數(shù)的表達式作出函數(shù)圖象，由二次函數(shù)的對稱性即可判斷A，根據(jù)對數(shù)的運算性質(zhì)可判斷B，結(jié)合函數(shù)圖象即可求解CD.
【詳解】解：由函數(shù)，作出其函數(shù)圖象如圖所示，
由圖可知，；
當時，令，或，
所以；
由，得，
即，
所以，由圖可知
【鞏固練習3】已知函數(shù)，若方程恰有四個不同的實數(shù)解，分別記為，，，，則的取值范圍是（ ）
A．B．C．D．
【答案】A
【解析】，
所以如下圖示，要使恰有四個不同的實數(shù)解，則，
不妨設，由圖知：，且，即，
令，可得或，令，可得或，
所以，而在上遞減，故，
綜上，.
【鞏固練習3】（23-24高三上·湖北·開學考試）（多選）設函數(shù)，若，且，則的值可以是（ ）
A．3B．4C．5D．
【答案】BC
【分析】作出函數(shù)的圖象，結(jié)合圖象可得，由得，從而得，再根據(jù)可求出結(jié)果.
【詳解】作出函數(shù)的圖象，如圖所示，

設，
由圖可知，當時，直線與函數(shù)的圖象有四個交點，
交點的橫坐標分別為，且，
當時，令，解得或.
由圖可知，,，
由，可得，所以，
則有，所以.
令，
易知在上為減函數(shù)，且，
故，且.
【鞏固練習4】已知函數(shù)，函數(shù)有四個不同的零點，， ，且，，則實數(shù)的取值范圍是 ．
【答案】
【分析】根據(jù)函數(shù)的圖象特征可得，再由對數(shù)的運算性質(zhì)得，然后代入可求得結(jié)果.
【詳解】的圖象如圖所示，
因為的圖象關(guān)于直線對稱，且函數(shù)有四個不同的零點，， ，
所以，，
所以，
因為，
所以，得，
即實數(shù)的取值范圍為，
故答案為：
【鞏固練習5】（22-23高三上·四川內(nèi)江·階段練習）設，若方程有四個不相等的實根，則的取值范圍為 .
【答案】
【分析】由時，，得到的圖象關(guān)于對稱，不妨設，畫出圖象，易得，，，代入求解.
【詳解】解：當時，，則的圖象關(guān)于對稱，
不妨設，
如圖所示：

由圖象知：，，
所以，，，，
所以，
，
，
令，
則.
【題型3】嵌套（復合）函數(shù)求值問題
嵌套（復合）函數(shù)求值問題的解題思路主要在于分層求解和逐步代入。首先，需要明確嵌套函數(shù)的構(gòu)成，即確定內(nèi)層函數(shù)和外層函數(shù)。其次，根據(jù)題目給定的自變量值，先求解內(nèi)層函數(shù)的值，這個值將作為外層函數(shù)的輸入。接著，將內(nèi)層函數(shù)的輸出值代入外層函數(shù)，進行求解，得到最終的函數(shù)值。在求解過程中，需要注意函數(shù)的定義域，確保每一步的求解都在函數(shù)的定義域內(nèi)進行。最后，根據(jù)求解結(jié)果，給出問題的答案。
已知是定義域為的單調(diào)函數(shù)，且對任意實數(shù)，都有， 則的值為________.
【答案】
【解析】令，則
再令，則，則
【鞏固練習1】任意時，恒成立，且函數(shù)y＝f(t)單調(diào)，則_________.
【答案】
【解析】令，則，
再令,則有，則
所以.
【鞏固練習2】已知函數(shù)f(x)是定義域內(nèi)的單調(diào)函數(shù)，且滿足，則函數(shù)的解析式_______，若不等式對任意恒成立，則實數(shù)m的取值范圍是_______.
【答案】 ；
【解析】（1）令，則，則
（2），由單調(diào)性可知
【題型4】反函數(shù)對稱性的應用
反函數(shù)對稱性在高三題型中主要體現(xiàn)在其圖像關(guān)于直線y=x對稱的性質(zhì)。分析這類題型時，首先要明確反函數(shù)與原函數(shù)圖像的這種對稱性。其次，通過觀察或計算原函數(shù)的圖像，可以推斷出其反函數(shù)的圖像特征，如增減性、極值點等。再者，利用對稱性，可以解決一些涉及反函數(shù)圖像的問題，如求唯一公共點坐標、定值問題、參數(shù)問題等。最后，結(jié)合具體題目，靈活運用反函數(shù)的對稱性，可以有效簡化解題過程，提高解題效率。
（2024·云南昆明·模擬預測）已知是函數(shù)的一個零點，是函數(shù)的一個零點，則的值為（ ）
A．1012B．2024C．4048D．8096
【答案】B
【分析】由已知函數(shù)表達式變形后分別設出，兩點坐標，再利用反函數(shù)的性質(zhì)結(jié)合兩直線垂直，斜率之積的關(guān)系得到結(jié)果.
【詳解】由得，由得，
設點的坐標為，點的坐標為，
又與的圖象關(guān)于直線對稱，且的圖象也關(guān)于直線對稱，
則點，關(guān)于直線對稱，即，得
已知函數(shù)，，的零點分別為a，b，c，則 ．
【答案】3
【分析】先把轉(zhuǎn)化為函數(shù)，，與的交點的橫坐標，再利用與互為反函數(shù)，可得，又，所以.
【詳解】如圖，在平面直角坐標系中，作函數(shù)，，的圖象，它們的圖象與函數(shù)的交點的橫坐標就是.
因為，互為反函數(shù)，其圖象關(guān)于直線對稱，與垂直，所以.
又，所以.
所以.
若滿足，滿足,則______.
【答案】
【解析】，
令
因為EQ 2\S\UP6(x)與EQ lg\S\DO(2)x 關(guān)于 y＝x 對稱，
所以關(guān)于 y＝x－1 對稱，
從而它們與的交點也關(guān)于 y＝x－1對稱，
易求出與y＝x－1的交點為，
所以
（2024·山東淄博·一模）設方程，的根分別為p，q，函數(shù) ，令 則a，b，c的大小關(guān)系為 .
【答案】
【分析】根據(jù)給定條件，利用反函數(shù)性質(zhì)求出，再計算判斷即得.
【詳解】由，得，由，得，
依題意，直線與函數(shù)圖象交點的橫坐標分別為，
而函數(shù)互為反函數(shù)，它們的圖象關(guān)于直線對稱，又直線垂直于直線，
因此直線與函數(shù)圖象的交點關(guān)于直線對稱，即點在直線上，
則，，于是，
，而，
所以，即.
【鞏固練習1】已知分別是方程與的根，則的值為 .
【答案】
【分析】利用反函數(shù)的性質(zhì)，數(shù)形結(jié)合即可得解.
【詳解】易知分別是函數(shù)與及函數(shù)與交點的橫坐標，
易知函數(shù)與函數(shù)互為反函數(shù)，即其圖象關(guān)于對稱，
且也關(guān)于對稱，
即函數(shù)與及函數(shù)與交點關(guān)于對稱，
又易得與交點為，所以的中點為，
故.
故答案為：.
【鞏固練習2】（2024·湖南懷化·二模）（多選）已知函數(shù)的零點為的零點為，則（ ）
A．B．
C．D．
【答案】BC
【分析】利用函數(shù)零點的意義，結(jié)合函數(shù)與互為反函數(shù)，確定的關(guān)系，再逐項分析判斷得解.
【詳解】依題意，，，
則分別是直線與函數(shù)，圖象交點的橫坐標，
而函數(shù)與互為反函數(shù)，它們的圖象關(guān)于直線對稱，
又直線垂直于直線，則點與點關(guān)于直線對稱，
則，于是，，，BC正確，A錯誤；
，即，D錯誤.
故選：BC

【鞏固練習3】(多選)已知函數(shù)的零點為,函數(shù)的零點為b,
則（ ）
A. B. C. D.
【答案】ABD
【解析】在同一坐標系中做出，，的圖像，則
由反函數(shù)對稱性可知A,B關(guān)于直線y=x對稱，而A,B兩點又在上，所以A,B關(guān)于點對稱，
則，，AB正確
因為a>0,b>0,且a≠b，所以，D正確；
，C錯誤.
【法二】——同構(gòu)式（指數(shù)式化為對數(shù)式）
由題可知，，
而，
構(gòu)造方程，則，b是方程的根
而函數(shù)是單調(diào)增函數(shù)，所以，
代入可得；，則AB正確
因為a>0,b>0,且a≠b，所以，則B錯誤,D正確
【鞏固練習4】（2024·四川綿陽·模擬預測）已知函數(shù) 方程有兩個不同的根，分別是則 （ ）
A．B．3C．6D．9
【答案】B
【分析】方程有兩個不同的根等價于函數(shù)與的圖象有兩個交點，作出函數(shù)與的圖象，根據(jù)數(shù)形結(jié)合計算即可得出結(jié)果.
【詳解】由題意得：為R上的增函數(shù)，且
當時，，，
當時，，，
方程有兩個不同的根等價于函數(shù)與的圖象有兩個交點，
作出函數(shù)與的圖象如下圖所示：
由圖可知與圖象關(guān)于對稱，
則兩點關(guān)于對稱，中點在圖象上，
由，解得：.
所以.
【鞏固練習5】（23-24高三下·重慶·階段練習）（多選）已知函數(shù)的零點為，的零點為，則（ ）
A．B．
C．D．
【答案】BCD
【分析】將零點問題轉(zhuǎn)化為交點問題，根據(jù)互為反函數(shù)的兩個函數(shù)的性質(zhì)逐一判斷即可.
【詳解】∵函數(shù)的零點為，的零點為，
∴函數(shù)與函數(shù)圖象的交點的橫坐標為，
函數(shù)與函數(shù)圖象的交點的橫坐標為，
作函數(shù)、函數(shù)、函數(shù)的圖象如圖6，點A的橫坐標為，點B的橫坐標為，
∵函數(shù)與函數(shù)的圖象關(guān)于直線對稱，函數(shù)的圖象關(guān)于直線對稱，
∴點A、B關(guān)于直線對稱，又∵點A、B在直線上，∴點A、B關(guān)于原點對稱，
對于A：∴，故選項A錯誤；
對于B：易知，故選項B正確；
對于C：∵，，，∴，即選項C正確；
對于D：由零點存在定理易知，，∴，即，，故選項D正確
【鞏固練習5】（23-24高三下·浙江·階段練習）已知函數(shù)的零點分別為，則的值是（ ）
A．1B．2C．3D．4
【答案】A
【分析】本題考查函數(shù)的零點問題，指數(shù)函數(shù)與對數(shù)函數(shù)互為反函數(shù)，令，利用指數(shù)函數(shù)與對數(shù)函數(shù)互為反函數(shù)和函數(shù)的對稱性求出，即可求的值．
【詳解】由題意，，
令，
因為與互為反函數(shù)，兩個函數(shù)的圖象關(guān)于直線對稱，
且的圖象也關(guān)于直線對稱，
設，
則關(guān)于直線對稱，
所以且
由可得，
所以．
由可得，
所以，
又代入上式可得，
則．
【題型5】不等式恒成立與能成立問題
（1）若函數(shù)在區(qū)間D上存在最小值和最大值，則
不等式在區(qū)間D上恒成立；
不等式在區(qū)間D上恒成立；
不等式在區(qū)間D上恒成立；
不等式在區(qū)間D上恒成立；
（2）若函數(shù)在區(qū)間D上不存在最大（?。┲?，且值域為，則
不等式在區(qū)間D上恒成立．
不等式在區(qū)間D上恒成立．
（3）若函數(shù)在區(qū)間Ｄ上存在最小值和最大值，即，則對不等式有解問題有以下結(jié)論：
不等式在區(qū)間D上有解；
不等式在區(qū)間D上有解；
不等式在區(qū)間D上有解；
不等式在區(qū)間D上有解；
（4）若函數(shù)在區(qū)間D上不存在最大（?。┲?，如值域為，則對不等式有解問題有以下結(jié)論：
不等式在區(qū)間D上有解
不等式在區(qū)間D上有解
已知函數(shù)，若存在，使得成立，則實數(shù)的取值范圍 ．
【答案】
【解析】因為，由，即，
即，設，
根據(jù)題意知存在，使得成立，即成立，
由，可得，
當時，，單調(diào)遞減；當時，，單調(diào)遞增，
所以當時，函數(shù)取得最小值，最小值為，所以，
即實數(shù)的取值范圍是.
（2024·山東泰安·模擬預測）已知函數(shù)，若恒成立，則的取值范圍是 .
【答案】
【分析】將原不等式做適當變形構(gòu)造函數(shù)，利用函數(shù)單調(diào)性把參數(shù)分離出來，最后轉(zhuǎn)化為求函數(shù)最值問題。
【詳解】∵
∴
兩邊加上得
設，則在上單調(diào)遞增，
∴，即
令，則
∵的定義域是
∴當時，，單調(diào)遞增；
當時，，單調(diào)遞減，
∴當時，取得極大值即為最大值，且，
∴，∴即為所求.
【鞏固練習1】已知函數(shù)，若在上有解，實數(shù)的取值范圍為________．
【答案】
【詳解】因為在上有解，所以在上有解，
當時，在上有解，
令，則，
令，則，
當時，，單調(diào)遞增，故，
則當時，，即．
所以，當時；當時，
所以在上單調(diào)遞減，在上單調(diào)遞增，
所以當時，，所以，
綜上可知，實數(shù)的取值范圍是．
【鞏固練習2】已知函數(shù)，若存在，使得成立，求實數(shù)的取值范圍是________．
【答案】
【詳解】因為，使得，
所以，
令，
即，
因為，
設，
所以在單調(diào)遞減，又，
則當，當，
故函數(shù)在單調(diào)遞增，單調(diào)遞減，
的最大值為
所以，，
即實數(shù)的取值范圍是．
【鞏固練習3】（2024·浙江·模擬預測）已知函數(shù)，，若關(guān)于的不等式有解，則的最小值是 .
【答案】
【分析】參變分離可得有解，令，，利用導數(shù)求出，即可求出參數(shù)的取值范圍，從而得解.
【詳解】由得，顯然，
所以有解，
令，則，
令，則，所以當時，當時，
所以在上單調(diào)遞減，在上單調(diào)遞增，
所以，即，
所以，則，即的最小值是.
【鞏固練習4】已知函數(shù)滿足，若關(guān)于的不等式在上恒成立，實數(shù)的取值范圍為________．
【答案】
【詳解】由題意在區(qū)間上恒成立，
即恒成立，即在區(qū)間上恒成立，
令，，只需，
因為，
令，，有，
所以函數(shù)在上單調(diào)遞減，
所以，即，
所以當時，；當時，，
所以函數(shù)在上單調(diào)遞增，在上單調(diào)遞減，
所以，即，
所以實數(shù)的取值范圍為．
【鞏固練習5】（2024高三下·全國·專題練習）若關(guān)于的不等式恒成立，則實數(shù)的最大值為 ．
【答案】
【分析】變形為同構(gòu)不等式，結(jié)合的單調(diào)性得在上恒成立，利用導數(shù)求出的最小值即可得解.
【詳解】由，得，得．
令，因為，所以函數(shù)在上單調(diào)遞增，
則不等式轉(zhuǎn)化為，所以，即在上恒成立．
令，則，
當時，，單調(diào)遞減，當時，，單調(diào)遞增，
所以當時，有最小值，即，則的最大值為．
【題型6】存在，任意雙變量問題
存在任意雙變量問題
（1），成立
（2），成立
（3），恒成立
（4），恒成立
（5）成立
（6）成立
（7）若，的值域分別為A，B，則有：
= 1 \* GB3 ①，，使得成立，則；
= 2 \* GB3 ②，，使得成立，則.
已知函數(shù)，．若，，使成立，則實數(shù)的取值范圍為 ．
【答案】
【解析】的定義域為，
則，
當時，∵，∴，
∴當時，；當時，．
故在區(qū)間上單調(diào)遞減，在區(qū)間上單調(diào)遞增，
所以，因為
所以，∵，∴，
∴在上為增函數(shù)．∴，
依題意有，∴，∴
（2024·重慶·模擬預測）已知函數(shù)，若存在使得，則實數(shù)的取值范圍為（ ）
A．B．C．D．
【答案】D
【分析】利用導數(shù)求得在區(qū)間上的值域，求得在區(qū)間上的值域，由此求得的取值范圍.
【詳解】對于，，
所以在區(qū)間上單調(diào)遞增，，
所以當時，的值域為.
對于，，
若，則，不符合題意.
若，則，所以在上單調(diào)遞增，
所以當時，的值域為，符合題意，D選項正確.
當時，在區(qū)間上單調(diào)遞增，
在區(qū)間上單調(diào)遞減，
，而當時
所以當時，的值域為，不符合題意.
綜上所述，實數(shù)的取值范圍為.
已知函數(shù)，，，．對，都，使得成立，則的范圍是 ．
【答案】
【分析】對，都，使得成立，等價于恒成立，對的取值進行分類討論，利用單調(diào)性求出和，列出關(guān)于的不等式組求得答案.
【詳解】函數(shù)，在上單調(diào)遞增，所以，
當時，在區(qū)間上單調(diào)遞增，，
所以，解得，
又因為，所以，解得；
當時，在區(qū)間上單調(diào)遞增，其最小值為，
所以有，解得，
當時，在區(qū)間上單調(diào)減，在上單調(diào)增，
其最小值為，
所以有，解得，
當時，在區(qū)間上單調(diào)減，，
此時，無解；
所以的取值范圍是，
【鞏固練習1】已知，，若，，使得成立，則實數(shù)的取值范圍是（ ）
A．B．
C．D．
【答案】C
【分析】由題意可知：，利用導數(shù)求，根據(jù)二次函數(shù)性質(zhì)求，即可得結(jié)果.
【詳解】由題意可知：，
因為，則，
注意到，令，解得；令，解得；
可知在內(nèi)單調(diào)遞減，在內(nèi)單調(diào)遞增，則，
又因為，由二次函數(shù)性質(zhì)可知，
可得，即實數(shù)的取值范圍是.
【鞏固練習2】已知函數(shù)，，對于存在的，存在，使，則實數(shù)的取值范圍為（ ）
A．B．
C．D．
【答案】A
【分析】條件可轉(zhuǎn)化為，，，，再分別求列不等式可求的取值范圍.
【詳解】因為對于存在，存在，使，
所以，，，
又，，
顯然在上單調(diào)遞減，則，
當時，，即在上單調(diào)遞增，
則，
由解得：，
所以實數(shù)的取值范圍為.
【鞏固練習3】（23-24高三上·山東德州·階段練習）若對任意的，總存在唯一的，使得成立，則實數(shù)a的取值范圍是 ．
【答案】
【分析】根據(jù)給定條件，構(gòu)造函數(shù)，利用導數(shù)求出函數(shù)在區(qū)間上的取值集合，再借助集合的包含關(guān)系列式求解作答.
【詳解】由，得，
令，，
當時，，函數(shù)在上單調(diào)遞增，
當時，，函數(shù)在上單調(diào)遞減，
當時，取最大值，最大值為0；
又，，如下圖，
令，顯然函數(shù)在上單調(diào)遞減，函數(shù)的值域為，
由對任意的，總存在唯一的，使得成立，得，
因此，解得.
所以實數(shù)的取值范圍是.
【鞏固練習4】（2024·山東泰安·二模）已知函數(shù).
(1)若的極大值為，求的值；
(2)當時，若使得，求的取值范圍.
【解析】（1）因為函數(shù)，可得，
因為，令，解得或，
當時，即時，在上單調(diào)遞增，在上單調(diào)遞減，在上單調(diào)遞增
所以的極大值為，不符合題意；
當時，即時，，在上單調(diào)遞增，無極大值；
當時，即時，在上單調(diào)遞增，在上單調(diào)遞減，在上單調(diào)遞增，
所以極大值為，解得.
（2）當時，
由（1）知，在上單調(diào)遞增，在上單調(diào)遞減，在上單調(diào)遞增，且當時，，當時，
當時，即時，當時，單調(diào)遞增，，
又因為當時，，
因為，所以，當時，使得，
當時，即時，
當時，單調(diào)遞增，，
當時，
若滿足題意，只需，即，
當時，即時，
當時，在上單調(diào)遞減，上單調(diào)遞增
所以函數(shù)的最小值為，
所以，
又因為時，，
若滿足題意，只需，即，
因為，所以，
所以，當時，不存在使得，
綜上，實數(shù)的取值范圍為.
【題型7】關(guān)于的f(x)的方程根的個數(shù)問題
復合函數(shù)零點個數(shù)問題，要先畫出函數(shù)圖象，然后適當運用換元法，將零點個數(shù)問題轉(zhuǎn)化為二次函數(shù)或其他函數(shù)根的分布情況，從而求出參數(shù)的取值范圍或判斷出零點個數(shù).
設，若關(guān)于x的方程有三個不同的實數(shù)根，則實數(shù)t的取值范圍為（ ）
A．B．C．D．
【答案】C
【分析】作出函數(shù)的圖象，由題意可得或，的圖象與直線共有三個不同的交點，從而可求出實數(shù)t的取值范圍.
【詳解】由得或，作出函數(shù)的圖象，
易知當時，不符合題意；
當時，，結(jié)合函數(shù)的圖象知，要使方程有三個不同的解，需滿足方程有兩個解，方程有且只有一個解，
由圖象知，所以．
故選：C．
（2024·高三·河南·期末）已知函數(shù)，若方程有三個不同的實數(shù)解，則實數(shù)的取值范圍是（ ）
A．B．
C．D．
【答案】C
【解析】由函數(shù)，可得，
當時，；當時，，
所以在上單調(diào)遞增，在上單調(diào)遞減，所以函數(shù)，
當時，，且，
畫出函數(shù)的圖象，如圖所示，
令，要使得有三個不同的實數(shù)解，
則有兩個不同的實數(shù)根和，
且或，
若且時，此時無解；
若且時，令，
只需要，解得.
故選：C.
【鞏固練習1】（2024·內(nèi)蒙古呼和浩特·二模）已知函數(shù)，若關(guān)于的方程恰有3個不同的實數(shù)解，則實數(shù)的取值范圍是（ ）
A．B．C．D．
【答案】A
【解析】因為，
所以，令，得，
當時，，遞增；當時，，遞減；
所以當時，取得極大值，圖象如圖所示：
方程，即為，
解得 或 ，
由函數(shù)的圖象知： 只有一個解，
所以有兩個解，
所以 ，解得
【鞏固練習2】（2024·遼寧葫蘆島·二模）已知函數(shù)，，若關(guān)于x的方程有三個不同實數(shù)根，則實數(shù)t的取值范圍是（ ）
A．B．C．D．
【答案】B
【分析】令，作出函數(shù)的圖象，結(jié)合圖象得出關(guān)于的方程根的情況，再根據(jù)一元二次方程根的分布情況分類討論即可得解.
【詳解】如圖，作出函數(shù)的圖象，
令，
由圖可知，當時，關(guān)于的方程有個不同的實數(shù)根，
當或時，關(guān)于的方程只有個實數(shù)根，
因為關(guān)于x的方程有三個不同實數(shù)根，
所以關(guān)于的方程的一個根在上，另一個根在上，
或方程的兩個根一個為，另一個在上，
若為方程的根時，則，
當時，方程的另一個根為，不符題意，
當時，方程的另一個根為，不符題意，
若為方程的根時，則或，
當時，方程的另一個根為，不符題意，
當時，方程只有一個根為，不符題意，
若關(guān)于的方程的一個根在上，另一個在上時，
令，
則，即，解得，
綜上所述，實數(shù)t的取值范圍是.
【題型8】以分段函數(shù)為背景的嵌套函數(shù)零點個數(shù)問題
在高考數(shù)學命題中，嵌套函數(shù)問題常以考察數(shù)學思維能力的題型出現(xiàn)，常出現(xiàn)在選擇或填空的壓軸題中。對于嵌套問題，具有抽象程度高，綜合性強的特點，是函數(shù)理解的一個難點，但卻可以很好地考查學生對于數(shù)學抽象、邏輯推理、數(shù)學建模及直觀想象等數(shù)學核心素養(yǎng)，是高考數(shù)學的高頻熱門考點。這類題典型的特點就是很繞，燒腦，需要慢慢悟，仔細體會。主打就是一個數(shù)學邏輯推理。
這類題要做對，必須對函數(shù)有深刻的理解。函數(shù)實際上就是自變量與函數(shù)值在一定的法則下的對應關(guān)系。只要遵循對應法則，那么自變量和函數(shù)值可以通過換元化歸變化成不同的形式（當然轉(zhuǎn)化的形式要對解題目標有效，即不做無效變換）
定義在上的滿足對，關(guān)于的方程有7個不同的實數(shù)根，則實數(shù)a的取值范圍是（ ）
A．B．C．D．
【答案】A
【分析】依題意，對化簡得，即，畫出圖象，結(jié)合圖象即可得到答案.
【詳解】關(guān)于的方程可化簡為，
即有7個不同的根，畫出的圖象，

觀察可以看出當有4個不同的根，
故只需有3個不同的根即可，所以.
設函數(shù)，若關(guān)于x的函數(shù)恰好有五個零點.則實數(shù)a的取值范圍是 .
【答案】
【分析】畫出圖象，換元后數(shù)形結(jié)合分析可得方程兩根的范圍，再利用二次函數(shù)根的分布列出不等式組即可得解.
【詳解】作出函數(shù)的圖象如圖，
令，函數(shù)恰好有五個零點．
則方程化為，
則必有兩個不同實根，則，
結(jié)合圖形可知，則必不為，
故方程的一根在區(qū)間內(nèi)，另一根在區(qū)間內(nèi)，
令，
則，解得：，
綜上：實數(shù)的取值范圍為.
（多選）已知函數(shù)，若函數(shù)恰好有4個不同的零點，則實數(shù)的取值可以是（ ）
A．-3B．-2C．0D．2
【答案】BC
【分析】令，則，將函數(shù)的零點問題分解成兩個步驟完成，先求的值，再求x的值，結(jié)合函數(shù)圖象分析運算.
【詳解】由題意可知，
當時，在上單調(diào)遞減，則；
當時，在上單調(diào)遞增，則；
若函數(shù)恰好有4個不同的零點，
令，則有兩個零點，可得，
當時，則，解得；
當時，則，可得；
可得和均有兩個不同的實根，
即與、均有兩個交點，
則，且，解得，
綜上所述：實數(shù)的取值范圍為.
且，故A、D錯誤，B、C正確.
故選：BC.
【鞏固練習1】（23-24高三上·山東濱州·期末）設函數(shù) 若關(guān)于的方程有5個不相等的實數(shù)根，則實數(shù)的取值范圍是 ．
【答案】
【分析】令，代入方程解得或，則和共有5個不同的實數(shù)根.作出的圖象，觀察圖象即可求出的取值范圍.
【詳解】令，則，即，即，解得或，則和共有5個不同的實數(shù)根.作出的圖象，如圖：
由圖可知，，解得.
【鞏固練習2】設函數(shù)，若方程有6個不同的實數(shù)解，則實數(shù)a的取值范圍為（ ）
A．B．C．D．
【答案】B
【解析】畫出的圖象如下圖所示，由圖可知要使有個解，則需，
依題意，方程有6個不同的實數(shù)解，
令，則有兩個不相等的實數(shù)根，
且，令，
則，解得，
所以實數(shù)a的取值范圍為.
故選：B
【鞏固練習3】已知函數(shù)若方程有5個不同的實數(shù)解，則實數(shù)的取值范圍為（ ）
A．B．C．D．
【答案】A
【解析】函數(shù)的大致圖象如圖所示，
令，則可化為，因為方程有5個不同的實數(shù)解，所以在上各有一個實數(shù)解或的一個解為，另一個解在內(nèi)或的一個解為，另一個解在內(nèi).
當在上各有一個實數(shù)解時，
設，則解得；
當?shù)囊粋€解為時，，此時方程的另一個解為，不在內(nèi)，不滿足題意；
當?shù)囊粋€解為時，，此時方程有兩個相等的根，不滿足題意.
綜上可知，實數(shù)的取值范圍為.
【題型9】2個函數(shù)存在對稱點問題
已知函數(shù)，若的圖象上存在兩個點關(guān)于原點對稱，則實數(shù)的取值范圍是（ ）
A．B．C．D．
【答案】D
【解析】由函數(shù)解析式可得，函數(shù)圖象如下圖示，
如圖，要使的圖象上存在兩個點關(guān)于原點對稱，
只需，即即可.
（2023·全國·高三專題練習）已知函數(shù)的圖象上存在點，函數(shù)的圖象上存在點，且，關(guān)于軸對稱，則的取值范圍是（ ）
A．B．
C．D．
【答案】A
【解析】因為函數(shù)與函數(shù)的圖象關(guān)于x軸對稱，
根據(jù)已知得函數(shù)的圖象與函數(shù)的圖象有交點，
即方程在上有解，
即在上有解．
令，，
則，
可知在上單調(diào)遞增，在上單調(diào)遞減，
故當時，，
由于，，且，
所以．
【鞏固練習1】（2024·四川內(nèi)江·一模）已知函數(shù)，，，若與的圖象上分別存在點?，使得?關(guān)于直線對稱，則實數(shù)的取值范圍是（ ）
A．B．C．D．
【答案】C
【解析】由于關(guān)于點的坐標之間的關(guān)系得函數(shù)關(guān)于對稱的函數(shù)為，進而將問題轉(zhuǎn)化為函數(shù)與函數(shù)圖象在區(qū)間有交點，即方程在區(qū)間上有解，故，進而得.設是函數(shù)的圖象上的任意一點，其關(guān)于對稱的點的坐標為，
所以，所以函數(shù)關(guān)于對稱的函數(shù)為.
由于與的圖象上分別存在點?，使得?關(guān)于直線對稱，
故函數(shù)與函數(shù)圖象在區(qū)間有交點，
所以方程在區(qū)間上有解，
所以，即，所以.
【鞏固練習2】（2024·河北邯鄲·二模）若直角坐標平面內(nèi)兩點滿足條件：
①點都在的圖像上；
②點關(guān)于原點對稱，則對稱點對是函數(shù)的一個“兄弟點對”（點對與可看作一個“兄弟點對” ．
已知函數(shù)，則的“兄弟點對”的個數(shù)為（ ）
A．2B．3C．4D．5
【答案】D
【解析】設，則點關(guān)于原點的對稱點為，
于是，，只需判斷方程根的個數(shù)，
即與圖像的交點個數(shù)，
因為，；，；
，；
作出兩函數(shù)的圖象，由圖知，與的圖象有5個交點，所以的“兄弟點對”的個數(shù)為5個．
故選：D．
【鞏固練習3】）已知函數(shù)，函數(shù)與的圖象關(guān)于直線對稱，若無零點，則實數(shù)k的取值范圍是（ ）
A．B．C．D．
【答案】D
【解析】由題知，，設，當時，，此時單調(diào)遞減，當時，，此時單調(diào)遞增，所以，的圖象如下，由圖可知，當時，與無交點，即無零點．
故選：D．
【題型10】隱零點問題初步
1、解題感悟
隱零點指對于超越方程或者是一些帶參數(shù)的方程，無法直接求得確切的零點，但是零點確實存在的問題。特別是在求導的過程，求函數(shù)極值點，對原函數(shù)求導后，令導函數(shù)等于零，就導函數(shù)零點進一步探尋原函數(shù)極值點或最值時會經(jīng)常遇到“隱零點”問題
隱零點問題本質(zhì)上還是函數(shù)的零點問題，只不過這個零點的值我們沒有辦法用一個確定的值來表示而已，也就是說我們明知道這個函數(shù)有一個零點，但就是沒辦法給出這個零點的具體數(shù)值，不可描述，這時候我們就稱為這個零點為隱零點，雖然我們沒辦法給出具體值，但我們可以給出這個零點的大致范圍，它在中學數(shù)學最大的用處就是把這個存在但沒辦法具體描述的數(shù)，當成一個確定的常數(shù)來用，然后瞞天過海完成運算.
2、解決辦法
往往是“虛設零點”，設而不求，結(jié)合零點存在定理來初步確定零點的所在區(qū)間。往往這樣的零點都與某個參數(shù)相關(guān)聯(lián)，相互依賴。在使用零點存在定理確定區(qū)間時往往存在困難，必要時使用放縮法取含參的特殊值來確定零點存在區(qū)間。特別是針對導函數(shù)的“隱零點”，求解取值范圍時，需要根據(jù)導函數(shù)零點代入方程，把參數(shù)表示成含隱零點的函數(shù)，再來求原函數(shù)的極值或者最值問題，或證明不等式。構(gòu)建關(guān)于隱零點作為自變量的新函數(shù)，求函數(shù)值域或者證明不等式恒成立問題。
確定隱性零點范圍的方式是多種多樣的，可以由零點的存在性定理確定，也可以由函數(shù)的圖象特征得到，甚至可以由題設直接得到等等，至于隱性零點的范圍精確到多少，由所求解問題決定，因此必要時盡可能縮小其范圍．進行代數(shù)式的替換過程中，盡可能將目標式變形為整式或分式，那么就需要盡可能將指、對數(shù)函數(shù)式用有理式替換，這是能否繼續(xù)深入的關(guān)鍵，最后值得說明的是，隱性零點代換實際上是一種明修棧道，暗渡陳倉的策略，也是數(shù)學中“設而不求”思想的體現(xiàn).
已知函數(shù)，若在有實數(shù)解，則實數(shù)的取值范圍是（ ）
A．B．C．D．
【答案】C
【分析】
首先分析題意，由于，設出進一步分析，則，分析單調(diào)性解出實數(shù)的取值范圍.
【詳解】根據(jù)題意，，所以，令，
則函數(shù)在上存在零點等價于與的圖象有交點.
，
令，則，故在上單調(diào)遞增，
因為，，所以存在唯一的，使得，
即，即，，
所以當時單調(diào)遞減，當
時，單調(diào)遞增，所以，
又時，，故，所以
【鞏固練習1】（2024·廣東·二模）已知函數(shù)的最小值為0，則a的值為 .
【答案】
【分析】對求導，進而研究的單調(diào)性，根據(jù)有最小值為0，則使，且求出，即可求參數(shù)值.
【詳解】由，且，
令，則，即在上遞增，
所以在上遞增，又，，，，
所以，使，且時，，
時，，所以在上遞減，在上遞增，
所以
由，得，
令函數(shù)，，
所以在上是增函數(shù)，注意到，所以，
所以.

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重難點專題 1.2 抽象函數(shù)的賦值計算與模型總結(jié)【15類題型】（講與練）-2025年高考數(shù)學二輪熱點題型專題突破（新高考專用）：

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熱點專題 6.1 平面向量重難點題型【17類題型匯總】（講與練）-2025年高考數(shù)學二輪熱點題型專題突破（新高考專用）：

這是一份熱點專題 6.1 平面向量重難點題型【17類題型匯總】（講與練）-2025年高考數(shù)學二輪熱點題型專題突破（新高考專用），文件包含熱點專題61平面向量重難點題型17類題型匯總原卷版docx、熱點專題61平面向量重難點題型17類題型匯總解析版docx等2份試卷配套教學資源，其中試卷共142頁， 歡迎下載使用。

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